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必修5-3.2一元二次不等式及其解法PPT课件


? 1.了解一元二次不等式的概念. ? 2.理解一元二次不等式、一元二次方程、二次函数之间的关 系,并会用其来解一元二次不等式.(重点) ? 3.会解含参数的一元二次不等式.(难点、易错点)

复习:一元二次方程与一元二次函数

(1)一元二次方程的解法

ax ? bx ? c ? 0(a ? 0)
2

因式分解法(十字相乘)

b c 韦达定理 x1 ? x2 ? ? , x1 x2 ? a a
(2)一元二次函数
2

?b ? b2 ? 4ac x? ; 公式法: 2a

y ? ax ? bx ? c(a ? 0)
? b 4ac ? b 2 ? 顶点坐标 ? ? , ? 4a ? ? 2a

b 开口方向; 对称轴 x ? ? 2a

教材 P76

某同学要把自己的计算机接入因特网。现有两家ISP公司可供选择。公司
A每小时收费1.5元,公司B的收费原则如图(教材76页),即在用户上网的

第1小时内收费1.7元,第2小时内收费1.6元,以后每小时减少0.1元(若一次
上网用时超过17小时,按17小时计算)。

一般来说,一次上网时间不会超过17小时,所以不妨假设一次上网时间
总小于17小时。那么,选用哪一家公司的网络更省钱?

? 1.一元二次不等式的概念 2的不等式, ? (1)我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数为 ___________ 称为一元二次不等式.
? (2)一元二次不等式经过变形,可以化成下列两种标准形式
2+bx+c>0 2+bx+c<0 ax ax _____________或 _____________(其中a≠0).

? 1.下列说法正确的有
? (1)方程2x2-3x-2=0有两个不等的实根;

? (2)方程x2-2x+1=0有一个实数根;
? (3)方程x2-x+2=0没有实数根.

? 提示:(1)(2)(3)均正确.

? 2.解一元二次方程的主要方法是什么?
? 提示:公式法和因式分解法.

? 3.对于一元二次函数y=ax2+bx+c(a≠0),若令y=0,就得到一元二
次方程ax2+bx+c=0,若令y>0或y<0,就得到不等式ax2+bx+c>0或

ax2+bx+c<0.如何解不等式ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0?
? 提示:分别a>0或a<0两种情况,结合二次函数y=ax2+bx+c的图象

求解.

二次函数、二次方程、与二次不等式的关系
函数 f ( x ) ? x 2 ? 5 x 方程 x 2 ? 5 x ? 0的解 x1 ? 0, x2 ? 5 y 不等式 x 2 ? 5 x ? 0 不等式的解集 ? x x ? 0或x ? 5?

x ? 5x ? 0
2

不等式的解集 ? x 0 ? x ? 5? y>0 O y<0 5 y>0 x

? 2.一元二次函数、二次方程、二次不等式之间的关系
Δ=b2-4ac Δ>0 Δ=0 Δ<0

y=ax2+bx+c(a>0) 的图象

ax2+bx+c=0(a>0) 的根 ax2+bx+c>0(a>0)的 解集 ax +bx+c<0(a>0)的 解集
2

有两相异实根 x1,x2 有两相等实根 x1=x2

没有实数根

{x|x<x1 或 x>x2} {x|x1<x<x2}

“大取两边,小取中间”

? ? ? b? ?x|x≠- ? ? 2a? ? ?

R

?

?

解一元二次方程的程序框图

开始

将原不等式化成一般形式ax2 +bx+c>0(a>0)
? ? b2 ? 4ac

??0




求方程ax2 ? bx ? c ? 0 的两实根x1, x2

方程ax2 +bx+c=0没有实根


原不等式的解集为 {x| x ? R且x ? x1 }

x1 ? x2 ?

原不等式的解集为R
( x1 ? x2 )


原不等式的解集为

{x|

x ? x1或x ? x2



结束

? 1.不等式(x-1)(x+2)<0的解集是__________.

? 2.不等式x2-2x+1>0的解集是________.

? 3.不等式x2-x+2<0的解集是________.

?一元二次不等式的概念 ? 一元二次不等式概念及与二次函数的关系

? (1)一元二次不等式定义中,“只含有一个未知数”并不是说在代数式

中不能含有其他字母类的量,只要明确谁是“未知量”,谁是“参数”
即可.另外,“次数最高是2”仅限于“未知数”.

(2)一元二次不等式与二次函数的关系. ? 一元二次不等式ax2+bx+c>0(a>0)的解集,就是二次函数y= ax2+bx+c(a>0)的图象在x轴上方的点的横坐标x的集合.ax2 +bx+c<0(a>0)的解集,就是二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的

图象在x轴下方的点的横坐标x的集合.

? 一元二次不等式的解法 ? 1.图象法:一般地,当a>0时,解形如ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+

c<0(≤0)的一元二次不等式,一般可分为三步:
? ①确定对应方程ax2+bx+c=0的解;

? ②画出对应函数f(x)=ax2+bx+c的图象(简图);
? ③由图象得出不等式的解集.

? 对于a<0的一元二次不等式,可以直接采用类似a>0时的解题步骤求解,
也可以先把它化成二次项系数为正的一元二次不等式,再求解.

2.代数法:将所给不等式化为一般式后借助因式分解法或配
方法求解.当p<q时,若(x-p)(x-q)>0,则x>q或x<p;若(x -p)·(x-q)<0,则p<x<q,口诀为“大于取两边,小于取中 间”.

【练一练】 (广东高考)不等式 2x2-x-1>0 的解集是(
? 1 ? A.?- ,1? ? 2 ?

)

B.(1,+∞)
? 1? D.?-∞,- ?∪(1,+∞) 2? ?

C.(-∞,1)∪(2,+∞)

?不含参数的一元二次不等式的解法
? ? 求下列一元二次不等式的解集. (1) x2-5x>6; (2) 4x2-4x+1≤0; (3) -x2+7x>6.

?
? ? ?

解一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式变形,使二次项系数大于零; (2)计算对应方程的判别式; (3)求出相应的一元二次方程的根,或根据判别式说明方程

没有实根;

?

(4)根据函数图象与x轴的相关位置写出不等式的解集.

1.解下列不等式. 1 2 (1) 2x -x+6>0; (2) - x +3x-5>0;(3) (5-x)(x+1)≥0. 2
2

?含参数的一元二次不等式的解法 ? 解关于x的不等式x2+(1-a)x-a<0.

?

【自主解答】 方程x2+(1-a)x-a=0的解为x1=-1,x2=a,函数y

=x2+(1-a)x-a的图象开口向上,则当a<-1时,原不等式解集为

{x|a<x<-1};
? 当a=-1时,原不等式解集为?;

?

当a>-1时,原不等式解集为{x|-1<x<a}.

?
?

解含参数的一元二次不等式的注意点
(1)若二次项系数含有参数,则需对二次项系数大于0与小于

0进行讨论; ? (2)若求对应一元二次方程的根需用公式,则应对判别式Δ进

行讨论;

?

(3)若求出的根中含有参数,则应对两根的大小进行讨论.

? 2.解关于x的不等式:56x2-ax-a2>0.

?三个“二次”之间的关系问题
? 已知关于x的不等式x2+ax+b<0的解集为(1,2),试求关于x

的不等式bx2+ax+1>0的解集.

三个“二次”的关系 ? (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)的解集的端点值是一元二次方

程ax2+bx+c=0的根,也是函数y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标. ? (2)二次函数y=ax2+bx+c的图象在x轴上方的部分,是由不等式ax2

+bx+c>0的x的值构成的;图象在x轴下方的部分,是由不等式ax2+bx +c<0的x的值构成的,三者之间相互依存、相互转化.

? 3.已知不等式ax2-bx+2<0的解集为{x|1<x<2},求a,b的值.

? 1.解一元二次不等式的常见方法
? (1)图象法:由一元二次方程、一元二次不等式及二次函数的关系求解. ? (2)代数法:将所给不等式化为一般式后借助分解因式或配方求解.

? 2.一元二次不等式解集的记忆方法
? (1)一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0(a>0)的解集的记忆口

诀:大于取两边,小于取中间.
? (2)当一元二次不等式ax2+bx+c>0与ax2+bx+c<0的二次项系数a<0

时,可以转化为a>0.

? 3.含参数的一元二次型的不等式

? 在解含参数的一元二次型的不等式时,往往要对参数进行分类讨论,
为了做到分类“不重不漏”,讨论需从如下三个方面进行考虑:

? (1)关于不等式类型的讨论:二次项系数a>0,a<0,a=0.
? (2)关于不等式对应的方程根的讨论:二根(Δ>0),一根(Δ=0),无根 (Δ<0). ? (3)关于不等式对应的方程根的大小的讨论:x1>x2,x1=x2,x1<x2.

? 1.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.

? 2.能够从实际生活和生产中抽象出一元二次不等式的模型,并加以解
决.

? 3.掌握与一元二次不等式有关的恒成立问题的解法.

下列各命题正确的有________. (1)(x-1)(2-x)≤0 的解集是{x|1≤x≤2}; (2)x <9 的解集是{x|-3<x<3}; (3)(x-1)2≤0 的解集是{1}; x-1 (4) >0 的解集是{x|x<1 或 x>3}; x-3 (5)不等式 ax2+bx+c>0 的解集是全体实数的条件是 a>0 且 Δ=b2-4ac<0.
2

1.分式不等式的同解变形法则
? g?x?>0 ?f?x?· f?x? (1) >0?? ; g?x? ? ?g?x?≠0 ? g?x?≤0 ?f?x?· f?x? (2) ≤0?? ; g?x? ? ?g?x?≠0

f?x?-ag?x? f?x? (3) ≥a? ≥0. g?x? g?x?

2.一元二次不等式恒成立问题 (1) 转化为一元二次不等式解集为 R 的情况,即 ax2 + bx +
? ?a>0, c>0(a≠0)恒成立?? ? ?Δ<0.

ax

2

? ?a<0, +bx+c<0(a≠0)恒成立?? ? ?Δ<0.

(2)分离参数,将恒成立问题转化为求最值问题,即: k≥f(x)恒 成立?k≥f(x)max;k≤f(x)恒成立?k≤f(x)min.

x-2 1.不等式 >0 的解集是__________. 1-x

2.不等式x2+ax+4<0的解集为空集,则a的取值范围是 __________.

?已知两角及一边解三角形 ? 解下列不等式.

2x-1 (1) ≥0; 3x+1

(2)

2-x >1. x+3

?

分式不等式的解法
f?x? f?x? 先通过移项、通分整理成标准型 >0(<0)或 ≥0(≤0),再化 g?x? g?x?

成整式不等式来解,如果能判断出分母的正负,直接去分母也可.

x2-2x-2 1.不等式 2 <2 的解集为( x +x+1 A.{x|x≠-2} B .R

)

C.?

D.{x|x<-2 或 x>2}

?不等式的恒成立问题 ? 关于x的不等式mx2-mx-6+m<0对x∈R恒成立,求实数m

的取值范围.

解: (1)若 m=0,则问题等价于-6<0 对 x∈R 恒成立,显然成立. (2)若
?m<0 m≠0,则有? ?Δ<0 ? ?m<0 即? 2 ? - m ? -4m?m-6?<0 ? ?

解得 m<0.

综上所知,所求 m 的取值范围是 m≤0.

? 【互动探究】 本例中若mx2-mx-6+m<0对x∈[1,3]恒成立,求实数

m的取值范围.

解:设 f(x)=mx -mx-6+m. 因为
? 1?2 3 f(x)= m?x- ? + m- 6<0 2? 4 ?

2

在 x∈[1,3]上恒成立,所以当 x

∈ [1,3]时,f(x)max<0. (1)当 m>0 时, y=f(x)在 [1,3]上是增函数, 所以 f(x)max= f(3)= 7m 6 -6<0, 所以 0<m< . 7

(2)当 m= 0 时, f(x)=-6, 显然有 f(x)max=-6<0. (3)当 m<0 时,y=f(x)在 [1,3]上是减函数,所以 f(x)max= f(1)=m -6<0, 所以 m<0. 6 综上可得 m 的范围是 m< . 7

?

1.不等式的解集为R的条件

不等式的解集为 R(或恒成立) 2 2 不等式 ax +bx+c>0 ax +bx+c<0 a=0 b=0,c>0 b=0,c<0 a≠0
?a ? 0 ? ?? ? 0 ?a ? 0 ? ?? ? 0

? 2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法小结 f(x)≤a恒成立?f(x)max≤a f(x)≥a恒成立?f(x)min≥a

? 2.当x∈(1,2)时,不等式x2+mx+4<0恒成立,则m的取值范围是

________.

解:构造函数 f(x)= x +mx+4,x∈ [1,2],则 f(x)在 [1,2]上的最 大值为 f(1)或 f(2), 由于当 x∈ (1,2)时,不等式 x2+mx+4<0 恒成立.
? ?f?1?≤0 则有? ? ?f?2?≤0 ? ?1+m+4≤0 ?? ? ?4+2m+4≤0 ? ?m≤-5 ?? ? ?m≤-4

2

?m≤-5.

?一元二次不等式的实际应用

?

某投资商到一开发区投资72万元建起了一座蔬菜加工厂,经

营中,第一年支出12万元,以后每年支出增加4万元,从第一年起每年

蔬菜销售收入50万元.设f(n)表示前n年的纯利润总和(f(n)=前n年的总
收入-前n年的总支出-投资额72万元).该厂从第几年开始盈利?

【自主解答】 由题意知 f(n)
? ? n?n-1? 2 ? =50n-?12n+ - 72 =- 2 n +40n-72. ×4 2 ? ?

由 f(n)>0,即-2n +40n-72>0,解得 2<n<18, 由 n∈N 知,从第三年开始盈利.
*

2

解不等式应用题的四个步骤 (1)阅读理解、认真审题,把握问题中的关键量、找准不等关 系. ?

(2)引入数学符号,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系).

?
?

(3)解不等式(或求函数最值).
(4)回扣实际问题.

? 3.某校园内有一块长为800 m,宽为600 m的长方形地面,现要对该

地面进行绿化,规划四周种花卉(花卉带的宽度相同),中间种草坪,
若要求草坪的面积不小于总面积的一半,求花卉带宽度的范围.

解:设花卉带的宽度为 x m,则中间草坪的长为(800-2x) m, 1 宽为(600-2x) m.根据题意可得(800-2x)(600-2x)≥ ×800×600, 2 整 理 得 x2 - 700x + 600×100≥0 , 即 (x - 600)(x - 100)≥0 , 所 以 0<x≤100 或 x≥600,x≥600 不符合题意,舍去. 故所求花卉带宽度的范围为(0,100] m.

? 1.关于分式不等式解法

? 解分式不等式时,一定要等价变形为一边为零的形式,再化归为一元
二次不等式(组)求解.若不等式含有等号时,分母不为零.

? 2.不等式恒成立求参数取值范围
? (1)考虑能否进行参变量分离,若能,则构造关于变量的函数,转化为

求函数的最大(小)值,从而建立参变量的不等式;
? (2)若参变量不能分离,则应构造关于变量的函数(如一元一次、一元 二次函数),并结合图象建立参变量的不等式求解.

? 3.解一元二次不等式应用题 ? 解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型,选择 其中的起关键作用的未知量为x,用x来表示其它未知量,根据题意, 列出不等关系再求解.


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