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苏州市2013—2014学年第一学期五校期中考试联考高一数学试卷


苏州新区一中 2013—2014 学年第一学期期中考试 高一数学
注意事项: 1.本试卷均为非选择题(第 1 题~第 20 题,共 20 题).本卷满分为 160 分.考试时间为 120 分钟. 2. 答题前,请您务必将自己的姓名、 考试证号用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔填写在答题卷的 规定位置. 3. 作答试题必须用 0.5 毫米黑色墨水的签字笔在答题卷的指定位置作

答,在其它位置作答一 律无效.

一、填空题
1

本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题 ..

卷 相应位置上 . . .....
? 8 ?3 1. ? ? ? 的值是 ? 27 ?





2. lg 5 ? lg 20 的值是





3.若集合 A ? {1,2,3}, B ? {1,3,4}, 则 A ? B 的子集个数为 4.函数 f ( x) ? 1 ? 2 ?
x





1 的定义域为 x?3


2



5.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 6. 下列函数 , ① y ?

1 ,则 f (?1) = x





1 ?x 2 , ② y ? e , ③ y ? x ? 1 , ④ y ? lg | x | . 其中既是偶函数又在区间 x

?0,??? 上单调递增的函数是
2



.(填序号)

7.关于 x 的方程 x ? ax ? 2 ? 0 一根大于 3 一根小于 3,则实数 a 的取值范围为 8.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ?[1,5] ,则函数 f ( x ? 3) 的值域为 9.函数 f ( x) ? ?









?? ln x, x ? 1, 的最大值为 x x ? 1, ? e ,





2 10.设不等式 4 x ? 8x ? 3 ? 0 的解集为 A,且 a ? A, a ? N ,则函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2

的最小值为





11.已知函数 f ( x) ? ln

1? x 1 ? 2 ,则 f (lg 2) ? f (lg ) = 1? x 2





12. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 , 且在区间 [0, ??) 单调递增 . 若实数 a 满足

f (lo g2 a) ? f (1) ,则 a 的取值范围是





1

1? 13.设 A ? B, B ? ?0,?? ?, A ? ? ,从 A 到 B 的两个函数分别为 f ( x) ?| log 0.5 x | , g ( x) ? ? ? ? , ?2?

x

若对于 A 中的任意一个 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ,则集合 A 中元素的个数为





14.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 , g ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 2 ,设 H1 ( x) ? max

? f ( x), g ( x)?, H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? , ?max?p, q?? 表示 p, q 中的较大值, min ? p, q? 表示 p, q
中的较小值,记 H1 ? x ? 的最小值为 A , H 2 ? x ? 的最大值为 B ,则 A ? B =





二、解答题 本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卷指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 已知集合 M ? {x 0 ? x ? m ? 2} , N ? {x ? x ? 5 x ? 4 ? 0} .
2

(Ⅰ)若 M

N ,求实数 m 的取值范围.

(Ⅱ)若 M ? C R N ? C R N ,求实数 m 的取值范围.

16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log a (4 ? 2 x) , g ( x) ? log a (4 ? 2 x) ( 0 ? a ? 1). (Ⅰ)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (Ⅱ)求使函数 f ( x) ? g ( x) 的值为正数的 x 的取值范围.

17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 ?
x

a ,且 f ( x) 为奇函数. 2x a , (a ? 0), x ? 0 , 则 函 数 g ( x) 在 (0, a ] 上 是 减 函 数 , 在 x

(Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) 定 义 : 若 函 数 g ( x) ? x ?

[ a ,??) 是增函数.设 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ,求函数 F ( x) 在 x ?[?1,1] 上的值域.

2

18.(本小题满分 16 分) 销售甲乙两种商品所得利润分别是 P(单位:万元)和 Q(单位:万元),它们与投入资金 t(单位:万 元)的关系有经验公式 P ?

1 t , Q ? m t ,其中 0 ? m ? 1 .今将 10 万元资金投入经营甲乙两 10

种商品,其中对甲种商品投资 x(单位:万元). (Ⅰ)求总利润 y(单位:万元)关于 x 的函数; (Ⅱ)甲乙两种商品分别投资多少万元,才能使总利润 y(单位:万元)的最大,并求最大值.

19.(本小题满分 16 分) 设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ?
ax ? b . x ?1

(Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当 x ? 0 时,(i)证明 f (1) ? f ( ) ? [ f (

b a

b 2 )] ; a

(ii)若

2ab ? f ( x) ? ab ,求 x 的取值范围. a?b

20.(本小题满分 16 分) 设函数 f ( x) ? lg[ax ? (1 ? a ) x ] 的定义域区间为 I ,其中 a ? 0 .
2 2

(Ⅰ)求 I 的长度 L( a ) (注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ); (Ⅱ)判断函数 L( a ) 的单调性,并用单调性定义证明; (Ⅲ)给定常数 k ? (0,1) ,当 a ? ?1 ? k ,1 ? k ?时,求区间 I 长度 L( a ) 的最小值.

3

苏州新区一中 2013—2014 学年第一学期期中考试 高一数学答题纸
………………密……………封……………线……………内……………不……………要……………答……………题………………

一、填空题(5×14 分)

得分
2. ___________ ; 3.___________ ; 4.

1.___________ ; ___________; 5.___________ ; ___________; 9.___________ ; ___________; 13.___________;

6. ___________ ;

7.___________ ;

8.

姓名_____________考试号________________考场号_____

10. ___________ ;

11.___________ ;

12.

14. ___________;

班级___________

4

二、解答题:本大题共 6 小题,共 90 分.请把解答写在规定的答题框内,解 答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
15. (本题满分 14 分)

得分

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

5

16. (本题满分 14 分)

得分

17. (本题满分 14 分)

得分

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效! 6

18. (本题满分 16 分)





19. (本题满分 16 分)





请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

7

………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………… …………………………………………………………………………………………………………………………………………………………………

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效!

密 封 线 内 , 请 勿 答 题 ! 密 封 线 内 , 请 勿 答 题 ! 密 封 线 内 , 请 勿 答 题 ! 密 封 线 内 , 请 勿 答 题 ! 密 封 线 内 , 请 勿 答 题 ! 密 封 线 内 , 请 勿 答 题 !

8

20. (本题满分 16 分)

得分

请在各题规定的黑色矩形区域内答题,超出该区域的答案无效

9

2013—2014 学年第一学期五校期中考试联考

高一数学参考答案
一、填空题
1

本大题共 14 小题,每小题 5 分,共 70 分.请把答案直接填写在答题 ..

卷 相应位置上 . . .....
? 8 ?3 1. ? ? ? 的值是 ? 27 ?



.?

2 3
.1

2. lg 5 ? lg 20 的值是



3.若集合 A ? {1,2,3}, B ? {1,3,4}, 则 A ? B 的子集个数为 4.函数 f ( x) ? 1 ? 2 ?
x



.4

1 的定义域为 x?3


2

. ?? 3,0?

5.已知函数 f ( x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x ? 6. 下列函数 , ① y ?

1 ,则 f (?1) = x



.-2

1 ?x 2 , ② y ? e , ③ y ? x ? 1 , ④ y ? lg | x | . 其中既是偶函数又在区间 x

?0,??? 上单调递增的函数是
2



.(填序号) ③④

7.关于 x 的方程 x ? ax ? 2 ? 0 一根大于 3 一根小于 3,则实数 a 的取值范围为▲ . a? 8.已知函数 f ( x) ? 2 x ? 1, x ?[1,5] ,则函数 f ( x ? 3) 的值域为 9.函数 f ( x) ? ?

11 3



.[3,11] P52,3

?? ln x, x ? 1, 的最大值为 x x ? 1, ? e ,



.e

2 10.设不等式 4 x ? 8x ? 3 ? 0 的解集为 A,且 a ? A, a ? N ,则函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2

的最小值为



.?3

P55,15

11.已知函数 f ( x) ? ln

1? x 1 ? 2 ,则 f (lg 2) ? f (lg ) = 1? x 2



. 4

P111, 15 (2)

12. 已知函数 f ( x) 是定义在 R 上的偶函数 , 且在区间 [0, ??) 单调递增 . 若实数 a 满足

f (lo g2 a) ? f (1) ,则 a 的取值范围是



. ? ,2? 2

?1 ? ? ?

P111,17

1? 13.设 A ? B, B ? ?0,?? ?, A ? ? ,从 A 到 B 的两个函数分别为 f ( x) ?| log 0.5 x | , g ( x) ? ? ? ? , ?2?

x

若对于 A 中的任意一个 x ,都有 f ( x) ? g ( x) ,则集合 A 中元素的个数为
10



.1 或 2

P52,12 14.已知函数 f ( x) ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 , g ( x) ? ? x 2 ? 2(a ? 1) x ? a 2 ? 2 ,设 H1 ( x) ? max

? f ( x), g ( x)?, H 2 ( x) ? min ? f ( x), g ( x)? , ?max?p, q?? 表示 p, q 中的较大值, min ? p, q? 表示 p, q
中的较小值,记 H1 ? x ? 的最小值为 A , H 2 ? x ? 的最大值为 B ,则 A ? B =



.?4

二、解答题 本大题共 6 小题,共计 90 分.请在答题卷指定区域内作答,解答时 应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15.(本小题满分 14 分) 已知集合 M ? {x 0 ? x ? m ? 2} , N ? {x ? x ? 5 x ? 4 ? 0} .
2

(Ⅰ)若 M

N ,求实数 m 的取值范围.

(Ⅱ)若 M ? C R N ? C R N ,求实数 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)M = {x | m≤x≤m+2}, N = {x | x ? 1或x ? 4 } 由 M N,得 m ? 2 ? 1或m ? 4 ∴实数 m 的取值范围是 m ? ?1或m ? 4 (Ⅱ) C R N =[1,4] 由 M ? C R N ? C R N ,得 M ? C R N ∴ m ? 2 ? 4 ,解得 m ? 2 ∴实数 m 的取值范围是 1 ? m ? 2 16.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? log a (4 ? 2 x) , g ( x) ? log a (4 ? 2 x) ( 0 ? a ? 1). (Ⅰ)求函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域; (Ⅱ)求使函数 f ( x) ? g ( x) 的值为正数的 x 的取值范围. 解: (Ⅰ)由题意可知, ……………2 分 ……………3 分 ……………2 分 ……………1 分 ……………2 分 ……………2 分 ……………2 分

?

m ?1

?

m ?1

f ( x) ? g ( x) = log a (4 ? 2 x) ? log a (4 ? 2 x) ,

由 4 ? 2 x ?0 , 解得 ∴ ? 2 ? x ? 2,

?

4? 2 x ?0

?

x ? ?2 x?2 ,

……………5 分 ……………1 分 ……………1 分

∴函数 f ( x) ? g ( x) 的定义域是 (?2,2) .

11

(Ⅱ)由 f ( x) ? g ( x) ? 0 ,得

f ( x)? g ( x, )
① ……………2 分

即 log a (4 ? 2 x) ? log a (4 ? 2 x) ,

当 0 ? a ? 1时, 4 ? 2 x ? 4 ? 2 x ,解得 x ? 0 , 又由①可得 ? 2 ? x ? 2 ,∴ ? 2 ? x ? 0 . ∴

……………4 分 ……………1 分

x 的取值范围是 ?? 2,0? .
a ,且 f ( x) 为奇函数. 2x

17.(本小题满分 14 分) 已知函数 f ( x) ? 2 x ? (Ⅰ)求 a 的值; (Ⅱ) 定 义 : 若 函 数 g ( x) ? x ?

a , (a ? 0), x ? 0 , 则 函 数 g ( x) 在 (0, a ] 上 是 减 函 数 , 在 x

[ a ,??) 是增函数.设 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 ,求函数 F ( x) 在 x ?[?1,1] 上的值域.
解: (Ⅰ)函数 f(x)的定义域为 R, ∵ f ( x) 为奇函数,∴f(0)=0,∴1+a=0,a=-1 (Ⅱ) F ( x) ? f ( x) ? f ( x ? 1) ? 2 = 2 ?
x

……………3 分

1 1 2x 1 x ?1 ? 2 ? ? 2 ? ? ? 2 ……………3 分 2 2x 2x 2 x?1
……………3 分

设 2 ? t ,则当 x ?[?1,1] 时, t ? [ , 2] , ∴y?

x

1 2

1 1 t? ?2 2 t 1 1 1 ∵当 t ? [ , 2] 时,函数 y ? t ? ? 2 单调递减;当 t ? [ 2, 2] 时, 2 2 t 1 1 函数 y ? t ? ? 2 单调递增; ……………2 分 2 t
∴当 t ? 当t ?

2 时,y 的最小值为 2 ? 2
……………2 分

1 17 7 17 时, y ? ,当 t ? 2 时, y ? ,y 的最大值为 4 2 2 4
? ? 17 ? 。 4? ?

∴函数 F ( x) 在 x ?[?1,1] 上的值域是 ?2 ? 2 ,

……………1 分

18.(本小题满分 16 分) 销售甲乙两种商品所得利润分别是 P(单位:万元)和 Q(单位:万元),它们与投入资金 t(单位:万 元)的关系有经验公式 P ?

1 t , Q ? m t ,其中 0 ? m ? 1 .今将 10 万元资金投入经营甲乙两 10

种商品,其中对甲种商品投资 x(单位:万元). (Ⅰ)求总利润 y(单位:万元)关于 x 的函数; (Ⅱ)甲乙两种商品分别投资多少万元,才能使总利润 y(单位:万元)的最大,并求最大值. 解: (Ⅰ)由题意可知: 0 ? x ? 10 ……………1 分
12

1 1 x, Q ? m 10 ? x 得, y ? x ? m 10 ? x 10 10 1 ∴总利润 y 关于 x 的函数为 y ? x ? m 10 ? x ,0 ? x ? 10 。 10
由P ? (Ⅱ)令 t ? 10 ? x ,0 ? x ? 10 ,则 x ? 10 ? t ,0 ? t ? 10
2

……………3 分 ……………3 分

∴y?

1 1 1 5m 2 (10 ? t 2 ) ? mt ? ? t 2 ? mt ? 1 ? ? (t ? 5m) 2 ? 1 ? 10 10 10 2

……………3 分

5m 2 10 2 当 0 ? 5m ? 10 ,即 0 ? m ? 时, t ? 5m ,即 x ? 10 ? 25m ,y 取最大值 1 ? 5 2
……………2 分 当 5m ? 10 ,即

10 ? m ? 1 时, t ? 10 ,即 x ? 0 ,y 取最大值 10 m 5
……………2 分

∴当 0 ? m ?

10 2 2 时,甲乙两种商品分别投资 10 ? 25m 万元,25m 万元时,总利润最大, 5

且为 1 ?

5m 2 万元 2



10 ? m ? 1 时,10 万元全部投乙种商品,总利润最大,且为 10 m 万元 5
……………2 分

19.(本小题满分 16 分) 设 a ? 0 , b ? 0 ,已知函数 f ( x) ?
ax ? b . x ?1

(Ⅰ)当 a ? b 时,讨论函数 f ( x) 的单调性(直接写结论); (Ⅱ)当 x ? 0 时,(i)证明 f (1) ? f ( ) ? [ f (

b a

b 2 )] ; a

(ii)若

2ab ? f ( x) ? ab ,求 x 的取值范围. a?b b?a ,得 x ?1
……………2 分 ……………2 分

解: (Ⅰ)由 f ( x) ? a ?

当 a ? b 时, f ( x) 分别在 ?? ?,?1?, ?? 1,?? ? 上是增函数; 当 a ? b 时, f ( x) 分别在 ?? ?,?1?, ?? 1,?? ? 上是减函数;

13

(Ⅱ) (i)∵ f (1) ?

b 2ab b a?b ,f( )? , f( )? a a?b a 2

a

b ?b a ? ab …………2 分 b ?1 a
……………1 分

∴ f (1) f ( ) ? ab ? [ f (

b a

b 2 b b ) ] ,∴ f (1) f ( ) ? [ f ( )] 2 a a a

(ii)∵

2ab ? f ( x) ? ab a?b
b a b ), a
……………2 分 ……………2 分

∴由(i)可知, f ( ) ? f ( x) ? f (

①当 a ? b 时, f ( x) ? a ,H=G=a, x 的取值范围为 x ? 0 . ②当 a ? b 时,∵

b b ? 1 ,∴ ? a a

b a

由(Ⅰ)可知, f ( x) 在 ?0,??? 上是增函数,∴ x 的取值范围为

b b ?x? ……2 分 a a

③当 a ? b 时,∵

b b ? 1 ,∴ ? a a

b a
b b ?x? ……2 分 a a

由(Ⅰ)可知, f ( x) 在 ?0,??? 上是减函数,∴ x 的取值范围为

综上,当 a ? b 时, x 的取值范围为 x ? 0 ;当 a ? b 时, x 的取值范围为

b b ?x? ;当 a a

a ? b 时, x 的取值范围为
20.(本小题满分 16 分)

b b ?x? 。 a a

……………1 分

设函数 f ( x) ? lg[ax ? (1 ? a ) x ] 的定义域区间为 I ,其中 a ? 0 .
2 2

(Ⅰ)求 I 的长度 L( a ) (注:区间 (? , ? ) 的长度定义为 ? ? ? ); (Ⅱ)判断函数 L( a ) 的单调性,并用单调性定义证明; (Ⅲ)给定常数 k ? (0,1) ,当 a ? ?1 ? k ,1 ? k ?时,求区间 I 长度 L( a ) 的最小值. 解: (Ⅰ)由 ax ? (1 ? a ) x ? 0 ,得 0 ? x ?
2 2

a , 1? a2

……………2 分 …………1 分

I ? (0,

a a 。 ) ∴ L( a ) ? 2 1? a 1? a2

14

(Ⅱ) L( a ) 在 ?0,1? 上是增函数,在 ?1,?? ? 上是减函数, 设 0 ? a1 ? a2 ? 1 ,则 L(a1 ) ? L(a 2 ) ?

……………1 分

a1 a (a ? a 2 )(1 ? a1a 2 ) …………2 分 ? 22 ? 1 2 2 1 ? a1 1 ? a 2 (1 ? a12 )(1 ? a 2 )
……………2 分 ……………1 分 ……………1 分 ……………1 分

∵ 0 ? a1 ? a2 ? 1 ,∴ a1 ? a2 ? 0,1 ? a1a2 ? 0 ,∴ L(a1 ) ? L(a 2 ) ∴ L( a ) 在 ?0,1? 上是增函数 同理可证, L( a ) 在 ?1,?? ? 上是减函数 (Ⅲ)∵ k ? (0,1) ,∴ 0 ? 1 ? k ? 1,1 ? k ? 1 由(Ⅱ)可知, L( a ) 在 ?1 ? k ,1? 上是增函数,在 ?1,1 ? k ? 上是减函数

L(a ) 的最小值为 L(1 ? k ), L(1 ? k ) 中较小者;
∵ L(1 ? k ) ? L(1 ? k ) ?

……………2 分

(?2k )[1 ? (1 ? k )(1 ? k )] ? 2k 3 ? ? 0 ……2 分 [1 ? (1 ? k ) 2 ][1 ? (1 ? k ) 2 ] [1 ? (1 ? k ) 2 ][1 ? (1 ? k ) 2 ]

∴ L( a ) 的最小值为

1? k k ? 2k ? 2
2

……………1 分

15


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