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《利用导数判断函数的单调性》课件5


人教B版选修1-1

利 用 导 数 判 断 函 数 的 单 调 性

利用导数 判断函数 的单调性

教材分析

教学目标

设 计 内 容

重点难点

教学过程

教学反思

教材分析 利用导数 判断函数 的单调性 一.教材分析 1、内容分析

教学目标

重点难点

教学过程

教学反思

微积分的创立是数学发展中的里程碑,它的发展和广泛应用,一方面开创了近 代数学过渡的新时期,为研究变量和函数提供了重要的方法和手段;另一方面,它 还极大的促进了力学、天文学以及物理学的发展.体现了数学来源于实践,又应用于 实践. 导数是微积分的核心概念之一,是高中数学新教材新增知识,在研究函数性 质时有独到之处,体现了现代数学思想.本节的教学内容属导数的应用,是在学 习了导数的概念、运算和几何意义的基础上学习的内容.学好它既可加深对导数 的理解,又为研究函数的极值和最值打好基础.

由于学生在高一已经掌握了函数单调性的定义,并会用定义判定函数在给定
区间上的单调性.通过本节课的学习应使学生体验到,用导数判断函数的单调性比 用定义要简捷的多(尤其对于三次和三次以上的多项式函数,或图像难以画出的

函数而言),充分展示了导数的优越性.

利用导数 判断函数 的单调性

教材分析

教学目标

重点难点

教学过程

教学反思

2、学情分析 在必修一中,学生学习了单调函数的定义,并会用定义判断或证明函数在给定 区间上的单调性,在前几节,学生学习了导数的概念、几何意义及运算法则,已经 掌握了利用导数研究函数单调性的必备知识.

用定义证明函数在给定区间的单调性的方法是作差、变形、判断符号.而 对大部分函数而言,变形环节是非常繁琐,甚至是无法做到的,并且不清楚“给 定区间”是如何给出的,这就要求同学们积极探索更好的方法来判断函数的单调 性和探求函数的单调区间,以此来激发学生的学习兴趣.
由于我执教班级的学生基础知识相对比较扎实,在以往的探究性课题学习方 面都比较成功,基本上能适应以探究为主导策略的教学模式,并对探究性课题的学 习有积极的兴趣、善于探索,因此,这节课我采用“问题探究”式的教学方法.

利用导数 判断函数 的单调性

教材分析

教学目标

重点难点

教学过程

教学反思 评价分析

二、教学目标
依据新课标纲要,学生已有的认知基础和本节的知识特点, 制定了以下教学目标:

(1)知识与技能目标:
借助于函数的图象了解函数的单调性与导数的关系;培养学生的观 察能力、归纳能力,增强数形结合的思维意识.

(2)过程与方法目标:
会判断具体函数在给定区间上的单调性;会求具体函数的单调区间.

(3)情感、态度与价值观目标:
通过实例探究函数单调性与导数关系的过程,体会知识间的相 互联系和运动变化的观点,提高理性思维能力.

利用导数 判断函数 的单调性

教材分析

教学目标

重点难点

教学过程

教学反思

三. 教学重点、难点
1、教学重难点的确定 通过求函数的导数,找出函数的单调区间,判断函数的大体走向,了解函 数的大致图像,可以增强对函数直观认识.同时导数也蕴涵着丰富的数学思想 方法,是培养学生辨证思维和逻辑思维的重要载体.也是高考命题的生长点和 热点.导数又提供了研究函数单调性的一种有效的方法和手段.鉴于此,本节重 点难点确定如下: 利用导数判断函数的 单调性. 1、判断导数在 给定区间上的符 号;

教学重点:

教学难点:

2、提高灵活应用导 数法解决有关函数单 调性问题的能力.

利用导数 判断函数 的单调性

教材分析

教学目标

重点难点

教学过程

教学反思

2. 教学重难点的解决方法 本着“以教师为主导、学生为主体、问题解决为主线”的教学思想,运 用“问题探究”式的教学方法.通过问题激发学生求知欲,使学生主动参与教 学实践活动,在教师的指导下发现、分析和解决问题,总结规律,培养积极探 索的科学精神.本节课采用多媒体课件等辅助手段以加大课堂容量,通过数形 结合,使抽象的知识直观化、形象化,以促进学生的理解. 现代教学观念认为,教师的“教”,不仅要学生“学会知识”,更重要 的是“会学知识”,而正确的学法指导是培养这种能力的关键. 本节我主要指导了以下学习方法:

1.自主探究法:让学生自己发现问题,自己归纳总结,自己评析解题对 错,从而提高学生的参与意识和数学表达能力. 2.比较法:对同一个问题,采用不同的方法,从中体会导数法的优越性.

利用导数 判断函数 的单调性

教材分析

教学目标

重点难点

教学过程

教学反思

创设情境 复习引入 探求新知 形成概念 合作探究 解决问题 实践操作 互评纠错 学以致用 深化认识

独立解题 由懂到会
小结作业 承前启后

创设情境 复习引入

Y 第十一届全运会刚刚在山东济南 闭幕,其中跳水比赛精彩纷呈, 随着运动员纵身一跳,一道优美 的弧线呈现在我们眼前.

y ? ? x2 ? 4x ? 3

O

X

创设情境 复习引入

引例1: 如何判断函数 y ? ? x ? 4 x ? 3 的单调性?
2

创设情境 复习引入 探求新知 形成概念 合作探究 解决问题 实践操作 互评纠错 学以致用 深化认识 独立解题 由懂到会 小结作业 承前启后

解(定义法):设 x1? x2则
2 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ? x12 ? 4 x1 ? x2 ? 4 x2

图象法
Y

? ( x1 ? x2 )(4 ? (x1 ? x2) )

? x1 ? x2 ?当x1 ? x2 ? 2时,f ( x1 ) ? f ( x2 ) 当x2 ? x1 ? 2时,f ( x1 ) ? f ( x2 ) ?函数f ( x)在(2,??)上单调递减 在?? ?, 2?上单调递增

O

2

X

引导学生回顾“定义法”与“图象法”

创设情境 复习引入

举世瞩目的29届奥运会在北京成功举行,为了预测北京奥运会开幕式 当天的天气情况,数学兴趣小组研究了2002年到2007年每年这一天的天气 情况,下图是鸟巢2007年8月8日一天24小时内气温随时间变化的曲线图.
问题:观察图形,能得到什么信息?

预案: (1)当天的最高温度、最低温度以及达到的时刻; (2)在某时刻的温度; (3)某些时段温度升高,某些时段温度降低.

探求新知 形成概念

引例2:如何判断函数y=-x3+4x+2 的单调性?
设计意图

创设情境 复习引入

让学生在短时间内尝试完成,结果发现用“定义法”作差后 判断正负很麻烦,而用“图象法”,图象又很难画出.

探求新知 形成概念
合作探究 解决问题 实践操作 互评纠错 学以致用 深化认识 独立解题 由懂到会 小结作业 承前启后

观察函数 y=-x3+4x+2 的图象
问题: 1.直观判断函数 y=-x3+4x+2的单调区间是什么? 2.观察单调性与函数图象在相应区间上切线的斜 率的符号有何关系? 3.总结单调性与函数在相应区间上的导数有何关系?

合作探究 解决问题

应用导数求已知函数的单调区间
例1.判断函数 y ? ? x ? 4 x ? 2 的单调性
3

3、 2、 明 确 导 数 法 判 断 函 数 单 调 性 的 步 骤 。 形 象 说 明 单 调 区 间 一 般 不 能 写 成 并 集 形 式 ;

1、 检 验 和 刚 才 观 察 的 是 否 一 致 , 了 解 三 次 函 数 的


创设情境 复习引入

y ? ? x3 ? 4 x ? 2? y' ? ?3x2 ? 4
' 令 y ?0

探求新知 形成概念
合作探究 解决问题 实践操作 互评纠错 学以致用 深化认识 独立解题 由懂到会 小结作业 承前启后

得 x?2 3 3 得

或 x??

2 3 3

令 y ?0
'

?

2 3 2 3 ?x? 3 3

所以减区间为 (??, ?

2 3 2 3 ) 及 ( , ??) 3 3 2 3 2 3 ( ? , ) 增区间为 3 3

一 般 图 象 特 征 ;

设 计 意 图 :

总结导数法判断函数单调性的步骤:

(1)求定义域;
(2)求导数; (3)f’(x)>0(<0) ,则 f(x) 为增 (减)函数.

实践操作 互评纠错

尝试练习
求函数

y ? ln(2 ? 3x)
'

的单调区间
【正解】

创设情境 复习引入

探求新知 形成概念
合作探究 解决问题 实践操作 互评纠错 学以致用 深化认识 独立解题 由懂到会 小结作业 承前启后

2 2-3x>0 ? x< ? 3 3 ' 3 2 2 ? 0 得 x< ?? ln(2 ? 3x)? ? ?0 得 x> 令 3 x ? 2 3 3x ? 2 2 3 2 ?所求函数的增区间为 ( , ? ? ) 所求函数的减区间为 ( ? ?,) 3 3 2
3 ?ln(2 ? 3x)? ? 3x ? 2

【错解】

3 令 3x ? 2 ? 0

所求函数的减区间为 ( ? ?, ) 无增区间

3

设 计 意 图

(1)让学生意识到单调区间必须在定义域内,即考察单调区间 时必须保证定义域优先. (2)要解决给定区间上导数符号的判定问题,需用不等式的性 质。

实践操作 互评纠错

2 例2.求函数 y ? ln x ? 0.5x ? 2x 的单调区间

? ?) 定义域为(0, ? ?) 【解法 【析】 2】 定义域为 (0, 【析】 【解法 1】
创设情境 复习引入

1 ( x ? 1) 2 令 y ? ? x?2? >0 x x
'

探求新知 形成概念
合作探究 解决问题 实践操作 互评纠错 学以致用 深化认识 独立解题 由懂到会 小结作业 承前启后



x ?1

x?0

当且仅当

2 1 ( x ? 1) ≥ 0 y' ? ? x ? 2 ? x 1 x

x?

?所求函数的增区间为
(0,1) 及 (1, ??) 当 x ?1 时
不影响单调性.
2 1 ( x ? 1) y' ? ? x ? 2 ? ?0 x x

x



x ?1

时等号成立

?所求函数的增区间为 (0, ??)

由 f '(x)> 0 求出增区间后,要检验 f ' ? x ? ? 0 设计意图: 也可由 f ' ? x ? ≥0求增区间,检验 f ' ? x ? 是否 时的情形. 恒等于零.减区间同样求法.

独立解题 由懂到会

1、确定函数 f ( x) ? 2x3 ? 6x2 ? 7 在哪个区间内是增函数,哪个 区间内是减函数.
创设情境 复习引入

2、y ? x ? ln(1 ? x) 的单调增区间为(



探求新知 形成概念

A (?1, 0)
合作探究 解决问题 实践操作 互评纠错 学以致用 深化认识 独立解题 由懂到会 小结作业 承前启后

? ?) B (??, ?1)和 (0,

? ?) C (0,
3、若函数y ? a( x
3

D (??, ?1)

? x) 的减区间为 (?

3 3 , )则 3 3

a 的范

围(



A a?0 C a?0

B ?1 ? a ? 0 D

0 ? a ?1

小结作业 承前启后

学生小结
1.导数法判定单调性的步骤:

f ( x) ? 0(? 0),则 f (1)求定义域;(2)求导数;(3)
'

( x)为增

创设情境 复习引入

(减)函数;
2. 实际应用; 3.注意: f ' ( x) ? 0 是 f

探求新知 形成概念
合作探究 解决问题 实践操作 互评纠错

( x) 为增函数的充分不必要条件;

4.思想方法:数形结合、分类讨论等.

课后作业
变式引思 深化认识 独立解题 由懂到会 小结作业 承前启后

必做题:课本练习A 第4题,练习B 第2题 探究题:判断函数

ax f ( x) ? 2 (a ? 0) 在区间 (?1,1) x ?1

的单调性

利用导数 判断函数 的单调性
创设情境 复习引入

约需5分钟 约需6分钟 探求新知 形成概念 约需5分钟 合作探究 解决问题

时 间 安 排

约需9分钟
实践操作 互评纠错 变式引思 深化认识 独立解题 由懂到会 约需2分钟 小结作业 承前启后 约需6分钟 约需12分钟

利用导数 判断函数 的单调性

板书设计
课 1、引例 题 4、课堂小结 3、例题、练习

2、探求新知

利用导数 判断函数 的单调性

教材分析

教学目标

重点难点

教学过程

教学反思

现代教学观念要求学生从“学会”向“会学”转变.本课从单调性与导 数关系的发现到应用都有意识的营造一个较为自由的空间,让学生能主动 去观察、猜测、发现、验证,积极的动手、动口、动脑,使学生在学知识 的同时形成方法.

整个教学过程体现了三个注重:(1)注重学生参与知识的形成过程, 体会应用数学知识解决简单问题的乐趣;(2)注重师生间、同学间的互动协 作、共同提高;(3)注重智能统一,让学生在学知识的同时掌握方法,灵 活运用.
通过本节课的学习,学生当堂能够掌握导数法判断函数的单调性,并 了解其优越性.


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