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高中物理奥赛突破手册


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0

10

典 试 题 汇 编
(

第 一 版

高 中 物 理 奥 赛 经

于万堂编著 首师大附中内部资料
1

)

/> 第一章 运动学
一.矢量的运算法则 若 C ? A ? B ,作图作出 C A

?

?

?

若 D ? A ? B ,作图作出 D A

?

?

?

B

B

二.两个实例 【实例 1: 】在无风的下雨天,你会看到窗外的雨丝入帘,垂直而下,若在开动的汽车中,
你会看到雨丝的帘幕似乎飘了起来,车速愈大,雨丝帘幕愈加倾斜。 怎么定量说这个事情 呢? 我们不妨研究三个物体 A、B、C (1)标出 B 相对 A 的位移 SBA; C 相对于 A 的位移 SCA; 以及 C 相对于 B 的位移 SCB. A

B

C

(2)根据方才学习的矢量加法的知识,说出三者之间的关系

(3)根据以上知识,画出车的运动和雨滴运动之间关系的矢量图

2

【实例 2: 】 一艘沿河行驶的舰艇, 在射击岸上的固定目标时, 如果径直地把炮筒对准目标,
则无论如何也不能击中,舰艇行驶速度越大,误差越大。怎样调整炮筒的方位才能击中?

【练习】 1. 在十字交叉路口,当汽车甲经交叉路口向南行驶时,汽车乙正在叉路口正东方向距离路 口 l 处向路口行驶,已知甲、乙均作匀速直线运动,甲的速度为 v1 ,乙的速度为 v2 ,求: (1)经多长时间,甲、乙两车相距最近? (2)甲、乙两车的最小距离为多大?



西









3

2 火车在雨中以 30m/s 的速率向南行驶,雨被风吹向了南方,在地球上静止的观察者测得单 个雨滴的径迹与铅直方向成 30 0 ,而坐在火车里的乘客看到雨的径迹恰好沿着铅直方向。 求 雨相对于地球的速率

3.甲舰自北向南以速率 v1 行驶,乙舰自南向北以速率 v2 行驶,两舰连线和航线垂直时,乙 舰向甲舰发射炮弹,发射速率为 v0 ,求发射方向和航向之间的夹角

4. .模型飞机以相对于空气 39 km / h 的速度绕着一个边长为 2km 的等边三角形飞行,设风速 u ? 21km / h ,方向与三角形的一边平行,并和飞机起飞方向相同,问:飞机绕三角形一周 需要多少时间?

4

5.一帆船在静水中顺风飘行,风速为 v0,问:船速多大时,风供给船的功率最大?(设帆面 是完全弹性面,且与风向垂直) 已知功率的表达式为 P=Fv

6.(2008 清华)在赤道上的 A 处静止放置一个小物体,现在设想地球对物体的万有引力突 然消失,在数小时内,小物体相对于 A 点处的地面来说,将( ) A.水平向东飞去 B.原地不动,物体对地面的压力消失 C.向上并逐渐向西飞去 D.向上并逐渐向东方飞去 7.几辆相同的汽车以等速度 v 沿宽为 c 的直公路行驶, 每车宽为 b, 前后两车头尾间距为 a, 则人能以最小速度沿一直线穿过马路所用的时间为多少?

c a

b

5

8 . 一 辆 坦 克 以 速 度 v1=54km/h 行 驶 , 子 弹 与 坦 克 的 运 动 方 向 成 角 ? ? 600 以 速 度 被板弹开。 求弹开的子弹将以怎样的速度飞行? v0 ? 1800 km / h 射到坦克的正面防护板上,

9..在海面上有三艘轮船,船 A 以速度 u 向正东方向航行,船 B 以速度 2u 向正北方向航行, 船 C 以速度 2 2u 向东偏北 45?方向航行。在某一时刻,船 B 和 C 恰好同时经过船 A 的航 线并位于船 A 的前方,船 B 到船 A 的距离为 a,船 C 到船 A 的距离为 2a.若以此时刻作为计 算时间的零点,求在 t 时刻 B、C 两船间距离的中点 M 到船 A 的连线 MA 绕 M 点转动的角 速度。

6

牵连关系
关系 1:杆上各点沿杆方向的速度方向分量相等。 [相关练习] 1.如图,一杆一端靠在光滑的竖直墙面上,一端放在光滑的 水平面上,当杆下滑至如图所示的位置时. (1) 杆端 A 点和 B 点速度关系是什么?

A

?
(2) A 相对于 B 作什么运动? B

【发散 1】四根同样的硬杆长均为 L,杆端用铰链相连,构成菱形,其对角线 BD 比对角线 AC 长,菱形平放在桌面上,某时刻 A 和 C 两顶点以同样大小的速度 v 沿直线 AC 朝相反的 方向开始运动,求当菱形变成正方形时顶点 B 相对桌面的加速度? B

A

C

D

关系 2:用两根绳连接的物体,沿绳方向的速度相等(因为绳不可伸长) 。 [相关练习] 1.人拉船过程中,人的速度为 v0 假设绳子与水平方向的夹角为 ? 时,船的速度多大?如果在 人匀速拉船,则船做的是什么运动? v v0

7

如果此时船和滑轮之间的绳长为 l,人的速度为 v0 ,绳子与水平方向的夹角为 ? ,船运动的 加速度为 a,则此时人的加速度为多大?

【发散 1】距离河岸(看成直线)500m 处有一艘静止的船,船上的探照灯以转速为 1r / min 转动,当光速与岸边成 600 时,光束沿岸边移动的速率为______________

【发散 2】如图所示,AB 为水平的光滑细杆,另一细杆 OP 可饶 AB 上方距 AB 高为 h 的 O 轴转动,两杆都穿过环 Q。若使 OP 杆饶 O 以角速度 ω 逆时针转动,则当 OP 与竖直方向的 夹角为 300 时,环 Q 的速度为多大? O α A Q B P

[发散 3](清华 2011)如图,纸面内两根足够长的细杆 ab、cd 都穿过小环 M,杆 ab 两端固定,杆 cd 可以在纸面内绕过 d 点 并与纸面垂直的定轴转动。若杆 cd 从图示位置开始,按照图 中箭头所示的方向,以匀角速度转动,则小环 M 的加速度 A.逐渐增加 B. 逐渐减小 C.先增加后减小 D. 先减小后增加

8

【发散 4】如图所示,在绳的 A 端以速率 v 做匀速收绳从而 拉物体 M 做水平方向的直线运动,当绳 AB 与水平方向恰 好成 ? 角时,物体的速度为___________。 Bα

A v

关系 3:两个相互接触的刚体,可将其运动沿切线方向和法线方向分解,则沿着法线方向的 速度相等。 [相关练习] 1..如图,三个相同的圆柱体紧靠在在一起后开始运动,达 到如图位置.如果此时 A 球的速度大小为 v A ,则此时 B 球 的速度为多大? B O1 θ O2 A

C

2.如图,一个倾角为 ? 的斜面靠墙放在光滑的水平面上,一个半径 为 R 的圆柱体靠着光滑的竖直墙面放在斜面上,如果此时圆柱体的 速度为 v1 ,斜面体的速度为 v2 ,则 v1和v2 的关系为________

?

3.顶杆 AB 可在竖直滑槽 K 内滑动,其下端由凸轮 M 推动,凸轮 绕 O 点以角速度 ? 转动,在图示的瞬间, OA ? r ,凸轮轮缘与 A 接触处的法线 n 与 OA 的夹角为 ? ,试求此瞬间 AB 的速度为_______

B

K

A n O

?

9

4 一个半径为R的半圆柱体沿水平方向向右作加速度为a的匀加速运动, 在半圆柱体上搁置 一根竖直杆,此杆只能沿竖直方向运动,当圆柱体速度为v时,杆与半圆柱体接触点P与柱 心的连线与竖直方向的夹角为 ? ,求此时竖直杆运动的速度和加速度。

P
R ?

O

关系 4:交点或特殊点问题
1.两个相同的正方形铁丝框如图所示放置,它们沿对角线方向分别以速度 v 和 2v 向两边运 动,则两线框的交点 M 的运动速度大小为( ) 。

(A)

6 v 2

(B)

10 v 2

(C)

3 2 v 2

(D)

2 v 2

v

2v

2.一个半径为 R 的环(环心为 O2)立在水平面上,另一个同样大小的环(环心为 O1)以速 度 v 从前一环的旁边经过。试求当两环的环心相距为 d(2R>d>0)时,两环上部的交点 A 的运动速度。 两环很薄, 可以认为两环是在同一 平面内,第二个环是紧贴着第一个环擦过去的。 A

O1

O2

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[综合训练] 1.如右图所示, A 物块以速度 v 沿竖直杆匀速下滑, 经细绳 通过定滑轮拉动物体 B 在水平方向上运动.当细绳与水平 面成夹角为 θ 时,则 vB= 。

2.如图所示,一根细绳绕过两个相距 2a 的定滑轮(滑轮大小不计),细绳两端分别静止吊着相 同的物体 A 和物体 B.现于两个滑轮间绳子的中点处挂一物体 C,当 C 下 落距离 b 时,其速率为 v,则此时 A、B 的速率为( ) A. v

v a2 ? b2 B. 2b

C.

bv a 2 ? b2

v a2 ? b2 D. b

3.如图所示,重物 A、B 由刚性绳拴接,跨过定滑轮处 于图中实线位置,此时绳恰好拉紧,重物静止在水平面 上,用外力水平向左推 A,当 A 的水平速度为 vA 时, 如图中虚线所示,求此时 B 的速度 vB=______。

4.两只小环 O 和 O′分别套在静止不动的竖直杆 AB 和 A′B′上,一根不可伸长的绳子一端系 在 A′点上, 并穿过环 O′, 另一端系在环 O 上, 如图 4 所示. 若环 O′以恒定速度 v'向下运动, 求当∠AOO′=α 时,环 O 的速度 v=?

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5.如图所示,在水平地面上,用两根不可伸长的绳子 AM 和 BM 共同拉动一个物体。某刻, 绳端 A 点和 B 点移动的速度分别为 v1 和 v2,v1 沿 MA 方向且与地面平行,v2 沿 MB 方向且 与地面平行,∠AMB = α ,求此刻物体的移动速度。 v1 A α M B v2

6.如图所示,合页构件由三个菱形组成,其边长之比为 3 : 2 : 1.顶点 A3 以速度 v 沿水平 方向移动,那么当构件的所有角均为 90?时,求顶点 A1,A2,B2 的即时速度.

7.如图所示,合页构件由两菱形组成,边长分别为2L 和 L,若顶点A以匀加速度a水平向 右运动,当 BC 垂直于 OC 时,A 点速度恰为 v ,求此时 (1)B 点的速度,C 点的速度; (2)B 点的加速度和 C 点的加速度 C

O

B

A

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8..A,B,C 三个芭蕾舞演员同时从边长为 l 的三角形顶点 A,B,C 出发,以相同的速率 v 运动;运动中始终保持 A 朝着 B,B 朝着 C,C 朝着 A.试问经多少时间三人相聚?每个演员 跑了多少路径?

9.边长为 a 的正 n 边形 A1、A2、…、An 各顶点上均有一个人,某刻,这些人同时开始以相 等的速率 v 运动,运动中始终保持 A1 朝着 A2,A2 朝着 A3,…,An 朝着 A1,问他们每人 各自通过多长的路程而相遇?

10.一木板坚直地立在车上,车在雨中匀速进行一段给定的路程。木板板面与车前进方向
垂直,其厚度可忽略。设空间单位体积中的雨点数目处处相等,雨点匀速坚直下落。下列诸 因素中与落在木板面上雨点的数量有关的因素是 A、雨点下落的速度 C、车行进的速度 B、单位体积中的雨点数 D、木板的面积

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11. 放映电影时, 看到影片中的一辆马车从静止起动, 逐渐加快。 在某一时刻车轮开始倒转。 已知电影放映机的速率是每秒 30 幅画面,车轮的半径是 0.6 米,有 12 根辐条。车轮开始倒 转时马车的瞬时速度是 __________米/秒。

12.有一竖直放置、两端封闭的长玻璃管,管内为真空,管内有一小球自某处自由下落(初
速度为零) ,落到玻璃管底部时与底部发生弹性碰撞.以后小球将在玻璃管内不停地上下跳 动。现用支架固定一照相机,用以拍摄小球在空间的位置。每隔一相等的确定的时间间隔 T 拍摄一张照片,照相机的曝光时间极短,可忽略不计。从所拍到的照片发现,每张照片上小 球都处于同一位置。求小球开始下落处离玻璃管底部距离(用 H 表示)的可能值以及与各 H 值相应的照片中小球位置离玻璃管底部距离的可能值。

抛体运动
抛体运动是一种重要的曲线运动形式, 按照抛出的初速度的方向与重力方向的关系, 可将抛 体运动划分为竖直上抛、竖直下抛、平抛和斜抛。 。 根据运动的叠加原理,抛体运动一般可以分解为竖直方向的匀变速直线运动和水平方向 的匀速直线运动。 y 以斜上抛为例,如图所示,取抛体轨迹平面为 Oxy 平面,抛出 点为坐标原点,则抛体运动的规律为: v0

ax ? 0
a y ? ?g

v x ? v 0 cos?
v y ? v 0sin? ? gt

?
O x

x ? v 0 cos? ? t
y ? v 0 sin? ? t ? 1 2 gt 2

14

其轨迹方程为: y ? xtg? ?

g 2v0 cos ?
2 2

x2

斜抛运动还有一种接法是: 沿着初速度方向的匀速直线运动和自由落体运动。 当然还有其它 解法,怎么分解要视问题而定。 [相关练习] 1、从底角为 ? 的斜面顶端,以初速度 v 0 水平抛出小球,不计空气阻力,若斜面足够长,则 小球抛出后离开斜面的最大距离 H 为多大?

2.如图所示,在圆柱形屋顶的天花板上的 O 点,挂一根 L=3m 的细绳,绳的下端系一质量 m=0.5kg 的小球。细绳的最大张力为 10N,小球在水平面内做圆周运动,当速度增大到绳断 裂后,小球以 v=9m/s 的速度落到墙边,求这个圆柱形屋顶的高度 H 和半径 R。

O

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3.(2012 清华)小球从台阶上以一定初速度水平抛出,恰落到第一级台阶边缘,反弹后再次落 下经 0.3s 恰落至第 3 级台阶边界,已知每级台阶宽度及高度均为 18cm,取 g=10m/s2。 1 且小球反弹时水平速度不变,竖直速度反向,但变为原速度的 。 4 (1)求小球抛出时的高度及距第一级台阶边缘的水平距离; (2)问小球是否会落到第 5 级台阶上?说明理由。

4.仓库高 20m、宽 40m ,在仓库前某处 A 点抛一石块过屋顶,试问 A 距仓库多远处时,所需 要的初速度 v 0 最小?此时 v 0 为多少?(g=10m/s2)

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5.如图所示,在高为 h 的山顶向平地放炮,若炮弹的出口速度的大小为 v 0 ,问 v 0 与水平方 向夹角 ? 为多大时,水平射程最远?

?
h

6.如图所示,一小球自 A 点以初速 v0 与水平成 θ 角抛出,最后落在 B 点。球抛出的同时, 人从 C 点向 B 点跑保持等速率为 v1 ,人与球同时到达 B 点,已知 BC = x0 ,人与球的连线 与水平所成之角度 ? ,证明:tan ? 与时间 t 成正比。

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7.如图所示,在仰角 a 的雪坡上举行跳台滑雪比赛,运动员从高处滑下,能在 O 点借助于器 材以与水平方向成 θ 角的速度 v0 起跳,最后落在坡上的 A 点,假如 v0 的大小不变,那么以 怎样的 θ 角起跳能使 OA 最远?最远距离为多少? v0 P θ vt/2 O α A

8..在掷铅球时,铅球出手时距地面的高度为 h、速度为 v0,以何角度掷铅球时,水平射程最 远?

9..从 h 高的平台上以速度 v0 水平抛出一球,落到平地后反跳作斜抛体运动。设每次与地面 碰撞后, 竖直分速度变为碰撞前的 e 倍 (e<1) , 而水平分速度不变。 不计空气阻力。 求: (1) 小球与地面第 n 次与第 n+1 次碰撞之间的射高和水平射程。 (2)小球与地面作第 n+1 次碰 撞时,到出发点的水平距离和经过的时间。

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10.为训练宇航员能在失重状态下工作和生活, 需要创造一种失重的环境。 在地球表面附近, 当飞机模拟某些在重力作用下的运动时,就可以在飞机座舱内实现短时间的完全失重状态。 现要求一架飞机在速率为 v1=500m/s 时进入失重状态试验,在速率为 v2=1000m/s 时退出失 重状态试验。重力加速度 g=10m/s2。试问: (i)在上述给定的速率要求下,该飞机需要模拟何种运动,方可在一定范围内任意选择失 重时间的长短?试定量讨论影响失重时间长短的因素。 (ii)飞机模拟这种运动时,可选择的失重状态的时间范围是多少?

11.公园的转椅以恒定的角速度 ω 绕其竖直对称轴在水平面内做匀速转动,如图所示。转椅 上的人以相对转椅 v 的速度平抛一小球,为使小球能击中转椅架底部中心点 O,试求 v 的大 小和方向。已知小球抛出点比 O 点高 h,与竖直转轴的距离为 R。

12.高为 H 的灯杆顶部有一小灯,灯柱下有一个身高为 h 的人由灯杆所在位置出发,沿直线 方向在水平地面上离灯柱而去。 设某时刻此人的行走速度为 v0, 试求此时此人头顶在地面投 影的前进速度。

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13.从离地面的高度为 h 的固定点 A,将甲球以速度 v0 抛出,抛射角为 α, 0 ? ? ?

?
2

。若

在 A 点前方适当的地方放一质量非常大的平板 OG,让甲球与平板作完全弹性碰撞,并使碰 撞点与 A 点等高,如图所示,则当平板的倾角 θ 为恰当值时( 0 ? ? ?

?
2

),甲球恰好能

回到 A 点。另有一小球乙,在甲球自 A 点抛出的同时,从 A 点自由落下,与地面作完全弹 性碰撞。试讨论 v0、a、θ 应满足怎样的一些条件,才能使乙球与地面碰撞一次后与甲球同 时回到 A 点。

第二章 物体的平衡
一.刚体平衡的条件

物体平衡的充要条件

?F ? 0 ?F ? 0 ?M ? 0
x

y

i

20

1. .匀质杆AO可绕O轴转动,今用水平力使它缓缓抬起的过程中,如图 所示,重力对O轴的力臂变化是_____________,重力对O轴的力矩变 化情况是_____________, 中果已知抬起过程中水平拉力力矩的大小应 等于重力的力矩,则水平拉力F的变化 情况是_____________。 F A

O

2.如图,重为 G、半径为 R 的均匀圆柱体,放在倾角为?的斜面上, 圆柱与斜面间的摩擦力足够大,要使圆柱体在斜面上保持静止,所需 加 的 最 小 力 是 _____________ , 这 时 地 面 对 斜 面 的 摩 擦 力 大 小 为 _______________

?

3.如图所示,厚薄均匀的BC板长L为0.5m,板的一端B与墙用铰链 连接,在C端用一水平的细绳连接,绳的另一端固定在墙上的A 点, 已知AB和BC的夹角为60?, 在板上放一重球, 球重G1=20N, 半径为5cm,板重G2=8N,求水平绳的拉力F(不计摩擦)

4.如图一均匀木板长12m,重200N,距A端3m处有一固定 转轴O,另一端B用细绳悬吊着,使木板成水平状态.若细 绳能承受的最大拉力为200N,细绳与木板的夹角为30°, 欲使一个体重为600N的人在板上能安全行走, 此人在板上 行走的范围是多大? (从转轴左侧1m到转轴右侧0.5m之间)

21

5.如图所示,质量为 m 匀质木杆,上端可绕固定转动光滑轴 O 转动,下端放在木板上, 木板放在光滑的水平地面上,棒与竖直线成 450 角,棒与木板间的摩擦系数为 0.5。为使木 板向由匀速运动,水平拉力为: ( ) A.

1 mg 2

B. mg

1 3

C.

1 mg 4

D.

1 mg 6

O

m F

6.有一质量为m=50kg的杆, 竖立在水平地面上, 杆与地面间的最大静摩擦因数为μ =0.3,
杆的上端被固定在地面上的绳索拉住,绳与杆的夹角θ =30°。 ①若以水平力F作用于杆上,作用点到地面的距离h为杆长L的 F最大不能超过多少?②若将作用点移到 h ?

2 ,要使杆不滑到,则力 5

4 L 处,情况又如何? 5

F

22

三力平衡问题 (1) 三力平衡原理:若物体受到三个力而平衡,那么其中任意 两个力的合力和第三个力是一对平衡力。 (2) 三力汇交原理:若三力平衡,则该三力必共点。 (3) 拉密定理:若三力平衡,则三力必共面,且其中一个力与 另外两个力夹角的正弦相等。 F1

F2

?

?
?
F3

F F F2 即有: 1 ? ? 3 sin ? sin ? sin ?
即:三个力可以组成一个三角形,利用正弦定理 便可证明之。 1.一不均匀的木棒通过两根细绳系在两端,并挂在天花板上 保持水平,如图所示,已知木棒长度为 L,求木棒的重心距 离其左端的水平距离?

370

530

A 2.如图所示, 轻杆 BC 的 C 端用铰链接于墙, B 端用绳子拉紧, 挂重物 G,当重物 G 从 C 点缓慢运动到 B 的过程中,墙对轻 杆 BC 的作用力 N 大小变化为______________, 绳子拉力 T 的 变化为_________________ C G

B

3.如图,一轻杆两端固结两个小球 A 和 B,A、B 两球质 量分别为 4m 和 m,轻绳长为 L,求平衡时 OA 和 OB 分 别多长(不计绳和滑轮间的摩擦) 。

O

B

A

23

4..(2005 年交大)如图,一均匀细杆长为 1m,重量为 W,在距其上端 25cm 处用一钉子将其 钉在铅直墙面上,使细杆可绕此钉子无摩擦地转动,今施一水平力作用在其上端,使细杆偏 离铅垂线 ? 角 (? ? 900 ) 而平衡,则钉子作用在细轴上的力的范 围为多大? F

钉子

5.如图 7 所示,在固定的、倾角为α 斜面上,有一块可以转 动的夹板(β 不定) ,夹板和斜面夹着一个质量为 m 的光滑 均质球体,试求:β 取何值时,夹板对球的弹力最小。

6.如图所示,一个半径为 R 的非均质圆球,其重心不在球 心 O 点,先将它置于水平地面上,平衡时球面上的 A 点和 地面接触; 再将它置于倾角为 30° 的粗糙斜面上, 平衡时球 面上的 B 点与斜面接触,已知 A 到 B 的圆心角也为 30° 。 则球体的重心 C 到球心 O 的距离为__________

24

7 如图所示,一个重量为 G 的小球套在竖直放置的、半径为 R 的光滑大环上,另一轻质弹 簧的劲度系数为 k ,自由长度为 L(L<2R) ,一端固定在大圆环的顶点 A ,另一端与小球 相连。环静止平衡时位于大环上的 B 点。试求弹簧与竖直方向 的夹角 θ。

8 如图,两个重力分别为 W A 和 W B 的小圆环用细线连接着套在一个竖直固定着的大圆环上, 如果连线对圆心的夹角为 ? , 当大圆环和小圆环之间的摩擦力及线的质量忽略不计时, 求A 处连线与竖直方向的夹角 A B

O

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三:摩擦力的问题 1.如图所示,质量为 m 的物体放在水平放置的钢板 C 上,与钢板的动摩擦因素为 u 。由于 光滑导槽 AB 的控制,物体只能沿水平导槽运动。现 使钢板以速度 v1 向右运动,同时用力 F 沿导槽的方 向拉动物体,使物体沿导槽 A、B 以速度 v2 匀速运 动,则 F 的大小 力 。 ,物体对光滑导槽的压

2.一个倾角为 ? 的斜面以速度 v 0 沿平行于底边的方向匀速运动,滑块和斜面之间的滑动摩 擦因数为 ? ,一块垂直于底边的竖直光滑挡板限制滑块的运动方向,先给滑块一个较大的 沿挡板向下的速度,求滑块最后的稳定速度。

v0

3.在图 1-2 中,A、B 是两个带柄(a 和 b)的完全相同的长方形物体,C 是另一长方体,其 厚度可以忽略,质量为 m,A、B 与斜面间以及与 C 之间皆有摩擦,C 与 A 或 B 间的静摩 擦系数均为 μ0,设它们原来都处于静止状态。 (1)若一手握住 a,使 A 不动,另一手握住 b,逐渐用力将 B 沿倾角为 θ 的斜面向上拉。 当力增大到能使 B 刚刚开始向上移动时,C 动不动?若动,如何动? (2)此时 A 与 C 之间的摩擦力为多大? (3)若握住 b 使 B 不动,握住 a 逐渐用力将 A 沿倾角为 θ 的斜面向下拉。当 A 开始移动 时,C 动不动?若动,如何动?

θ
图 1-2

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【综合训练】
1.如图所示,把三条质量均为 M、长度均为 L 的均匀薄铁皮一端搁在碗 口上三等分的点,另一端搁在其它铁皮的中点,保持平衡,此时,碗口 对每条铁片的弹力大小为____________,两铁皮间的相互作用的弹力大 小为______________。

[类比]有四根相同的刚性长薄片 A、B、C、D,质量均为 m,相互 C 交叉成井字形, 接触点均在各薄片的中点, 放置在一只水平的碗口 边(俯视图如图所示) ,并在 D 薄片右端的 N 点放上质量也为 m 的小物体,那么在 D 薄片中点受到的压力为________。 D

B N A

2 如图,在倾角? 为 37?的固定光滑斜面上放的一块质量不计的薄板,水平放置的棒 OA,A 端搁在薄板上, O 端装有水平转轴, 将薄板沿斜面向上或向下匀速拉动时所需拉力大小之比 为 2 : 3, 则棒对板的压力大小之比为__________, 棒和板间的滑动摩擦系数为_____________。
O ? A

27

3.如图所示, 一个半径为 R 的均质金属球上固定着一根长为 L 的轻质细杆, 细杆的左端用铰 链与墙壁相连,球下边垫上一块木板后,细杆恰好水平,而木板下面是光滑的水平面。由于 金属球和木板之间有摩擦(已知动摩擦因数为 μ) ,所以要将木板从球下面向右抽出时,至 少需要大小为 F 的水平拉力。试问:现要将木板继续向左插进一些,至少需要多大的水平 推力?

4.(2004 交大)半径为 R 的匀质半球体置于水平地面上,其重心在球心 O 正下方 C 点处,

OC ?

3 R ,半球质量为 m,在半球的平面上放一个质量为 m / 8 的物体,它与半球间的动 8

摩擦因数为 0.2,如图所示,则物体刚要开始滑动时离球心的最大距离为_______

5.(2006 交大)两个质量分布均匀的球体,半径为 r,重为 P,置于两端开口的圆筒内,圆筒 的半径为 R( r ? R ? 2r ) ,并竖直放在水平面上,设所有的接触面光滑,为使圆筒不至于 倾倒,圆筒的最小重量 Q 为多少?如果换成有底的圆筒,情况又如何?

28

6.(2008 交大)重为 80kg 的人沿如图的梯子从底部向上攀登, 梯子的质量为 25kg, 顶角为 300.。 已知 AC 和 CE 都为 5m 长且用铰链在 C 处相连,BD 为一段轻绳,两端固定在梯子高度的 一半处,设梯子与地面的摩擦可以忽略,求在人向上攀登的过程中轻绳中张力的变化? C

B A

D E

7.(2010 南大)如图,一个质量均匀分布的直杆搁置在质量均匀的圆环上,杆和圆环相切, 系统静止在水平地面上,杆和地面的接触点为 A,与环面的接触点为 B。已知两个物体的质 量线密度均为 ? , 直杆和地面的夹角为 ? , 圆环半径为 R。 所有接触点的摩擦力足够大, 求: (1)地给圆环的摩擦力 (2)求 A、B 两点的静摩擦系数的取值范围?

B

A

?

29

物体的平衡(二) 1.有六个完全相同的刚性长条薄片 AiBi(i=1,?,6)其两 端下方各有一个小突起,薄片及突起的重量均可以不计。现 将此六个薄片架在一只水平的碗口上,使每个薄片一端的小 突起 Bi 恰在碗口上, 另一端小突起 Ai 位于其下方薄片的正中, 由正下方俯视如图 6-4 所示。若将一质量为 m 的质点放在薄 片 A6B6 上一点, 这一点与此薄片中点的距离等于它与小突起 A6 的距离,求薄片 A6B6 中点所受的(由另一薄片的小突起 A1 所施的)压力。

2.重型机械和起重设备上,常用双块式电磁制动器,它的简 化示意图如图所示,O1 和 O2 为固定铰链。在电源接通时,A 杆被往下压,通过铰链 C1、C2、C3 使弹簧 S 被拉伸,制动 块 B1、B2 与制动轮 D 脱离接触,机械得以正常运转。当电 源被切断后, A 杆不再有向下的压力(A 杆及图中所有连杆及 制动块所受重力皆忽略不计), 于是弹簧回缩, 使制动块产生 制动效果。此时 O1C1 和 O2C2 处于竖直位置。已知欲使正在 匀速转动的 D 轮减速从而实现制动,至少需要 M=1100 牛? 米的制动力距,制动块与制动轮之间的摩擦系数 μ=0.40, 弹簧不发生形变时的长度为 L=0.300 米, 制动轮直径 d=0.400 米,图示尺寸 a=0.065 米,h1=0.245 米,h2=0.340 米,试求 选用弹簧的倔强系数 k 最小要多大。

30

3.在竖直墙面上有两根相距为 2a 的水平木桩 A 和 B ,另 有一细木棒置于 A 之上、 B 之下, 与竖直方向成θ 角静止。 棒与 A、B 的摩擦系数均为μ ,现由于 A、B 的摩擦力恰 好能使木棒不下坠,求此时棒的重心与 A 桩的距离。

4.半径为 R、质量为 M1 的均匀圆球与一质量为 M2 的 重物分别用细绳 AD 和 ACE 悬挂于同一点 A, 并处于平衡, 如图所示。已知悬点 A 到球心 O 的距离为 L,不考虑绳的 质量和绳与球心的摩擦,试求悬挂圆球的绳 AD 与竖直方 向 AB 的夹角 θ。

A D B C

O

E 图 1.12

31

5.一根细棒 AB,A 端用铰链与天花板相连,B 端用铰链与另一细棒 BC 相连。二棒长度相 等,限于在图示的竖直面内运动,且不计铰链处的摩擦。当在 C 端加一个适当的外力(与 AB、BC 在一个平面内)可使二棒 静止在图所示位置, 即二棒相互垂直, 且 C 端在 A 端的正下方。 (1)不论二棒的质量如何,此外力只可能在哪个反向范围 内?试说明理由。 (2)如果 AB 棒质量为 m1,BC 棒质量为 m2,求此外力的 大小和反向。 (3)此时BC棒对AB棒的作用力的大小是多少?

6.在一个与水平面成 α 角的粗糙斜面上放着一个物体在 A 点, 它系于一根不可伸长的细绳上, 绳子的另一端 B 通过小孔 C 穿出底面,如图所示,开始时 A、C 等高,当物体开始缓慢下 滑时,适当的拉动绳端 B,使物体在斜面上划过一个半圆到达 C,求 A 和斜面之间的动摩 擦因数 μ。

A

C

α

B

32

7.磅秤由底座、 载物平台 Q、 杠杆系统及硅码组成, 图示为其等效的在竖直平面内的截面图。 Q 是一块水平放置的铁板,通过两侧的竖直铁板 H 和 K 压在 E、B 处的刀口上。杠杆系统 由横杆 DEF、ABCP 和竖杆 CF、MP 以及横梁 MON 组成,另有两个位于 A、D 处的刀口分 别压在磅秤的底座上(Q、K、H、E、B、A、D 沿垂直于纸面的方向都有一定的长度,图中 为其断面)。C、F、M、N、O、P 都是转轴,其中 O 被位于顶部并与磅秤底座固连的支架 OL 吊住, 所以转轴 O 不能发生移动, 磅秤设计时, 已做到当载物平台上不放任何待秤物品、 游码 S 位于左侧零刻度处、砝码挂钩上砝码为零时,横梁 MON 处于水平状态,这时横杆 DEF、ABCP 亦是水平的,而竖杆 CF、MP 则是竖直的。 当重为 W 的待秤物品放在载物平台 Q 上时,用 W1 表示 B 处刀口增加的压力,W2 表示 E 处 刀口增加的压力,由于杠杆系统的调节,横梁 MON 失 去平衡,偏离水平位置。适当增加砝码 G 或移动游码 S 的位置,可使横梁 MON 恢复平衡,回到水平位置。待 秤物品的重量 (质量) 可由砝码数值及游码的位置确定。 为了保证待秤物品放在载物台上不同位置时磅秤都能 显示出相同的结果,在设计时,AB、DE、AC、DF 之 间应满足怎样的关系?

8.用两个 “爬犁”(雪橇)在水平雪地上运送一根质量为 m, 长为 l 的均匀横梁, 横梁保持水平, 简化示意图如图所示,每个爬犁的上端 A 与被运送的横梁端头固连,下端 B 与雪地接触, 假设接触面积很小,一水平牵引力 F 作用于前爬犁,作用点到雪地的距离用 h 表示。已知 前爬犁与雪地间的动摩擦因数为 ?1 ,后爬犁与雪地之间的动摩擦因数为 ? 2 。问要在前后两 爬犁都与雪地接触的条件下,使横梁沿雪地匀速向前移动,h 应满足什么条件?水平牵引力 F 应多大?设爬犁的质量可忽略不计。

A B B

A h

33

9.如图所示,用两段直径均为 d ? 0.02m 且互相平行的 小圆棒 A 和 B 水平地支起一根长为 L ? 0.64m 、质量 均匀分布的木条,设木条与两圆棒之间的静摩擦因数 滑动摩擦因数 ? ? 0.2 。 现使 A 棒固定不动, ? 0 ? 0.4 ,

L A B

并对 B 棒施以适当外力,使木棒 B 向左缓慢移动。试讨论分析木条的移动情况,并把它的 运动情况表示出来。设木条与圆棒 B 之间最先开始滑动。

摩擦角问题
1、全反力:接触面给物体的摩擦力与支持力的合力称全反力,一般用 R 表示 2、摩擦角:全反力与支持力的最大夹角称摩擦角,一般用 ? 表示。此时物体达到最大 运动趋势,必有: ? = arctgμs(μs 为静摩擦因数) ,称静摩擦角。

【应用】

1.“千斤顶”中的学问 在固定的斜面上放一物体,并对它施加一竖直向下的压力,物体与 斜面间的摩擦因数为 μ 。 求斜面倾角 θ 的最大值, 使得当 θ ≤θ 时,无论竖直向下的压力有多大,物体也不会滑下。
m

θ

34

2.破冰船中的道理 1999 年, 中国首次北极科学考察队乘坐我国自行研制的 “雪龙” 号科学考察船。 “雪龙” 号科学考察船不仅采用特殊的材料,而且船体的结构也满足一定的条件,以对付北极地 区的冰块和冰层。它是靠本身的重力压碎周围的冰块,同时又将碎冰块挤向船底,如果 碎冰块仍挤在冰层与船体之间,船体由于受到巨大的侧压力而可能解体。为此,船体与 竖直方向之间必须有一倾角 α 。设船体与冰块之间的动摩擦因数为 μ 。试问使压碎的 冰块能被挤压向船底,α 角应满足的条件。

3.压延机原理 2.压延机由两轮构成,两轮的直径均为d=50mm,轮间的间隙 为a=5mm,两轮按反方向转动,如图中箭头所示。已知烧红的铁 板和铸铁轮之间的摩擦因数为μ =0.1,问能压延的铁板厚度b是 多少?

35

【练习】 1.物块重为 P, 放在倾角为 ? 的斜面上, 与斜面之间的静摩擦因数为 ? ( ? ? tan? ) , 如图, 求物块平衡时,水平力 F 的大小范围 F

N
2.质量为 m 的两环 A、B 用长为 a 的细线相连套在水平杆 上,在细线的中点挂有一质量为 M 的物块 C,如图所示。 A、B 环与杆间的静摩擦因数为 ? ,求平衡情况下两环的 最大距离 x 。

f
A

m
T
mg

m
B

C M

36

3.一根长度为 l 的杆 AB 重为 G ,B 端压在粗糙的地面上,A 端用一根 足够牢的轻绳斜拉在地上,绳与杆的夹角为 ? 。在离 B 端 a ? l 处有一个 水平作用力 F 。问: (1)杆 B 端与地面之间的静摩擦因数至少为多大,才能维持杆静 止? (2)如果 B 端与地面之间的静摩擦因数为 ?0 ,那么在 AB 上有一 点 D,在 AD 之间不论施加多大的水平力 F ,都不会破坏 AB 的平衡, 求 D 点的位置。

A

? l
?
B

F

al

4.结构均匀的梯子 AB,靠在光滑竖直墙上,已知梯子长 为 L,重为 G,与地面间的静摩擦因数为μ ,如图所示, (1)求梯子不滑动,梯子与水平地面夹角θ 的最小值θ 0; A (2)当θ >θ 0 时,一重为 P 的人沿梯子缓慢向上,他上到 什么位置,梯子开始滑动?
O B

37

多点摩擦的平衡问题 1. 一个半径为 r 的重为 P 的均匀球体靠在竖直墙边,球跟墙面和水平面的静摩擦因数都是 μ , 如果在球上施加一个竖直向下的力 F, 如图所示, 问力 F 离球心的水平距离 s 多大, 才能使球做逆时针转动? F

2.如图所示,均质轮轴重为 P,半径为 R,轮轴上轮毂半径为 r,在轮毂上缠绕轻质绳经过 定滑轮系以重物,各处摩擦因数均为μ , ? 角已知,求平衡时重物的最大重量 W。

α W O r

38

2. 如图,匀质圆球 A 重为 G A ? 10N ,匀质立方体物块 B 重 GB ? 20N ,其边长与球 A 的 直径相同,均为 2R=0.1m。将它们置于倾角 ? ? 300 的固定斜面上,物块 B 受水平推力 F=15N 的作用,系统处于平衡状态,A,B 的相对位置的关系以及力 F 的作用点的位置可 由俯视图(b)看清,图中 O 及 O ? 分别代表 A 和 B 的重心,试求: (1)A、B 所受斜面摩擦力的大小和方向 (2)B 所受斜面弹性支持力的合力 N B 的作用线与重心 O ? 的距离

F B

A F O O

39

4.如图 1.6 所示,有一个半径为 R 的圆柱 A ,静止在水平地面上,并与竖直墙面相接触,现 有另一质量与 A 相同,半径为 r 的较细圆柱 B ,将 B 放在 A 的上面,并使之与墙面接触, 然后放手,已知圆柱 A 与地面的静摩擦因数为 0.20 ,两圆柱间的静摩擦因数为 0.30 。若放 手后,两圆柱体能保持图示的平衡,问圆柱 B 与墙面间的静摩擦因数和圆柱 B 的半径 r 的 值各应满足数什么条件? B O2

A O1

1.6

40

二力杆的问题

1.如图 1.7 所示,三根长度均为 l 的轻杆用铰链连接并固 定在水平天花板上的 A 、 B 两点, AB 相距为 2l 。今在 铰链 C 上悬挂一质量为 m 的重物, 要使 CD 杆保持水平状 态,则在 D 点上应施的最小力为多大?

A

B

C

D

图 1.7

2.如图所示,屋架由同一竖直面内的多根无重杆铰接而成,各铰接点依次为 1,2??9 ,其 中绞接点 8、2、5、7、9 位于同一水平直线上,且 9 可以无摩擦地水平滑动。各绞接点间沿 水平方向上的间距和沿竖直方向上的间距如图所示,绞接点 3 承受有竖直向下的压力 P/2, 点 1 承受有竖直向下的压力 P,求绞接点 3 和 4 间杆的内力。

p 3 2
P

1

4

6 9

l l

8
l

2

5
l


7
l

l

41

3.由重量可以忽略的轻杆组成的一种对称的支架结构如图所示, 支架构件 FC, AD 和 EB 交叉 但不接触,其他结点都连在一起,现将此支架放在竖直平面内,将 A、C 两点支起,而在 B 点施竖直向下的力 W,试求各杆所受到的内力的大小。 E 450

F

D

450 A

B

300 W

C

4.如图所示,n 层支架由相同的三角形板铰接而成,其顶部受二力作用,力的大小均为 P, 不计三角板的自重,试求固定铰支 A、B 支的约束力。

42

5.如图所示,各杆件质量均不计,已知 a=12m,h=8m,F=50kN,试求杆件 8、9、10 的内 力 a C E 8 9 A D F G F 10 F F F H h

物体平衡种类的判断方法
(1)受力分析法 当质点受到外界的扰动稍微偏离平衡位置以后, 如果所受到的合外力指向平衡位置, 那么这 个质点的平衡是稳定的,如果受到的合外力背离平衡位置,那么该平衡是不稳定的;如果所 受到的合外力为零,那么该质点处于随遇平衡状态。 (2)力矩比较法 对于有支轴的刚性物体, 当它受到外界扰动而偏离平衡位置时, 如果外力会引起一个回复力 矩,此力矩有把物体拉回到原位置的倾向,则物体处于稳定平衡状态,如果外力会引起一个 推斥的力矩,它有把物体推离原平衡位置的倾向,则物体处于不稳定状态,如果物体受到的 合力矩为零,那么刚体处于随遇平衡状态。
43

(3)重心升降法 对于受到重力和支持力而平衡的物体(包括质点和刚体两种) ,判断其平衡种类时,常可以 用重心升降的方法,使物体稍微偏离平衡位置,若重心升高,则为稳定平衡,若重心降低, 则为不稳定平衡,若重心高度不变,则为随遇平衡。 (1) 支面判断法 具有支面的物体平衡时,物体所受重力的作用线一定在支面内,如果偏离平衡位置后,重力 作用线仍然在支面内,物体就能回到平衡位置,属于稳定平衡;但如果物体倾斜较大时,重 力的作用线超出支面,重力的力矩就会使物体继续远离原来的位置,即原来的平衡被破坏, 这就是不稳定平衡,利用这一点,常可为处理平衡种类的一些问题找到解决办法。

1.儿童玩具“不倒翁”高 h ? 21cm ,质量 M ? 300g,相对于轴 KD 对称分布,不倒翁的 下部是半径 R ? 6cm 的部分球面,如果不倒翁放在与水平面成角 ? ? 300 的粗糙斜面上, 当它的对称轴 KD 与竖直方向偏角 ? ? 450 时,刚好还能处于稳定平衡状态,为了使它在水 平桌面上失去稳定平衡,就要在头顶 K 点上固定塑泥,试问最少需加多少塑泥? 分析: K K N h O D G R O C A D

44

2.如图 4-6, 底边长为 a, 高度为 b 的长方形匀质物块置于斜 面上, 斜面与物块之间的静摩擦系数为 μ, 斜面的倾角为 θ。 当 θ 足够小时,物块静止于斜面上,如逐渐将倾角增大,当 θ 取某个临界值 θ0 时,物块或将开始滑动或将翻倒。试分别 求出滑动和翻倒时的 θ0, 并说明在什么条件下出现的是滑动, 在什么条件下出现的是翻倒。

b

θ
图 4-6

3.用一根细线竖直悬挂一根长为 l 的均匀细木杆,置于水桶内水平面上方,如图所示,当水 桶缓慢上提时,细木杆逐渐浸入水中,当木杆浸入水中超过一定深度 l ? 时,木杆开始出现倾 斜现象,求 l ? 。已知木杆的密度为 ? ,水的密度为 ? 0

4.边长为 a 的均匀立方体,对称地放在一个半径为 r 的圆柱面顶 端,假设静摩擦因数足够大,足以防止立方体下滑,试证明物体 稳定平衡的条件是 r ?

a

a 。 2

r

45

5.如图所示, 将一根长度为 2l 的硬铅丝弯成等臂直角框架, 在两臂的端点各固定一个质量为 m 的小球, 在直角的顶点焊一根长为 r 的支杆, 支杆平分这一顶角, 并将杆支在这一支座上, 试证明:当 r ?

2 2 l 时,平衡为随遇的,当 r ? l 时,平衡为非稳定的,而当 2 2

r?

2 平衡成为稳定的 (不计支杆、 铅丝的质量) 。 l 时, 2

牛顿定律
一. 质点系牛顿第二定律
对于连接体的问题,如果组成连接体的各个物体的加速度相同时,采用的方法一般是“先整 体,后隔离”。如果加速度组成连接体的各个物体的加速度不相同时,则一般采用“质点系 牛顿第二定律”来解答。 如果一个质点系中的诸质点 m1 、m 2 ……. m n 在某一个任意的 x 方向上受到了质点系以 外的沿 x 方向的作用力 F1x 、 F2x ……… Fnx (注意不包括这些质点间的相互作用力),从 而使得物体 m1 、 m 2 …… m n 分别产生了加 速度 a1 、 a 2 …….. a n 。 F m1 m2 an mn a1 a2

1.如图所示,一只木箱放在水平地面上,箱内有一固定的竖直杆, 在杆上套着一个环,箱与杆的总质量是 M,环的质量为 m,已知, 环沿杆以加速度 a ?a ? g ? 加速下滑,则此时木箱对地的压力为多 大?

46

2.一条轻绳跨过一轻滑轮,滑轮和轴的摩擦不计。在绳的一端挂一质量为 m1 的物体,在另 一侧有一质量为 m2 的环,求当环相对于绳以恒定的加速度 a2 沿绳向下滑动时,物体和环相 对于地面的加速度各为多大?环与绳间的摩擦多大?

m2 m1

3.如图所示,一密度为 ? 0 , 重为 W1 的铁块悬挂在细线下, 并全部浸入密度为 ? 的液体中, 液体和杯共重 W2 ,置于地面上。 (1)铁块平衡时,线的拉力以及杯底对地面的压力各为多大? (2)若剪断细线,铁块在该液体中“自由下落”时,杯底对地面的压力 为多大?

4.如图所示,一质量为 M 的楔形块放在水平桌面上,它的顶角为 90° ,两底角为 α 和 β;a、b 是两个位于斜面上的质量均为 m 的木块。 (1)若 a、b 均静止。而楔形块也静止不动。这时楔形块 对水平桌面的压力等于 A.Mg+mg C.Mg+mg(sinα+sinβ) 此时地面对楔形块的摩擦力( A.向左 B。向右 ( ) B.Mg+2mg D.Mg+mg(cosα+cosβ) ) C。无法确定 D。无摩擦 α ? a M

b
β

(2)若所有接触面都是光滑的。现发现 a、b 沿斜面下滑,而楔形块静止不动,这时楔形 块对水平桌面的压力等于 ( A.Mg+mg C.Mg+mg(sinα+sinβ) ) B.Mg+2mg D.Mg+mg(cosα+cosβ) ) D 无摩擦
47

(3)此时地面对楔形块的摩擦力( A.向左 B 向右

C 无法确定

5.如图一个质量为 M 的斜面放在粗糙的地面上,斜面的表面 光滑, 一个质量为m的物块沿斜面自由下滑, 斜面保持静止, 求:物体在下滑的过程中,斜面受到的摩擦力和支持的的大 小各多大?

?

6.如图所示,一根绳跨过装在天花板上的滑轮,一段接质量为 M 的物体,另一端吊一载人 的梯子而平衡,人的质量为 m。若滑轮与绳子的质量均不计,绳绝对柔软,不可伸长,问为 使滑轮对天花板的作用力为零,人相对于梯子应该按照什么规律运动?

7 气球下悬一软梯,总质量为 M,软梯上站一质量为 m 的人,共同在气球所受 的浮力 F 作用下匀加速上升,若人相对于软梯的加速度 a m 上升,求: (1) 人相对软梯加速上升时气球的加速度? (2) 讨论气球能继续加速上升的条件?

?

48

8.光滑水平桌面上静置三个小球, m1 ? 1kg 、 m 2 ? 2kg、 m 3 =3kg,两绳间有不可伸长的 绳子相连,且组成直角三角形,? ? 370 ,若在 m1 上突然施加一垂直于 m 2 、 m 3 连线方向 m3 的力 F ? 10N 。求此瞬间 m1 受到的合力? m1 F

?
m2

9.如图所示,C 为一放在固定的粗糙水平桌面上的双斜面,其质量 m C ? 6.5kg,顶端有一 定滑轮, 滑轮的质量及轴处的摩擦皆可以不计, A、 B 是两个滑块, 质量分别为 3.0kg 和 0.5kg , 由跨过定滑轮的不可伸长的轻绳相连, 开始时, 设法抓住 A、 B 和 C, 使它们处于静止状态, 且滑轮两边的轻绳恰好伸直, 今用一大小等于 26.5N 的水平推力 F 作用于 C, 并同时释放 A、 B 和 C,若 C 沿着桌面向左滑动,其加速度大小 a ? 3.0m / s 2 ,B 相对于桌面无水平方向的
0 2 位移(绳子一直是绷紧的) ,试求 C 与桌面间的摩擦因数。 ( g ? 10m/ s , sin37 ? 0.6 )

B

A

530

C

37 0

F

49

二.惯性力
凡是牛顿第一 I 定律成立的参照系,叫做惯性系,一切相对于某一个惯性系静止或匀 速运动的参照系也都是惯性参照系。如果不考虑地球的自转,那么在很短的时间内,地球就 可以被看成近似程度很好的惯性系。 凡是相对于地面静止或匀速运动的物体都可以被看成是 惯性系

a
f =-ma


a
F f =-ma


图(a)

图(b)

【典型习题】
1..如图所示, AB 棒上有一滑套 C, 可以无摩擦地在棒上滑动, 棒与水平方向保持 ? 角, 当滑套 C 距 A 端为b时, 使滑套相对 于棒静止,若棒开始以加速度 a( a ? tg? )作匀加速直线运动, a 求滑套 C 从 A 端滑出所经历的时间(设滑套长不计) C b A

?
B

50

2.如图一根长为 2L 的轻杆, 在其中点和下端点各固定一个相同的小球, 上端固定(可以自由转动) ,已知两个小球在水平面内作角速度为 ω 的圆周运动,求 θ 角为多大?

?

?

3.图示,物体 m 静止在光滑的斜面上,斜面倾角为 ? , ( ? ? 900 ,是一个确定的量,但可 取不同的值) ,假设细线在承受 2mg 拉力时将断掉,则在保持 m 与斜面相对静止的条件下 (同时不脱离斜面)使斜面水平向右做匀加速运动的加速度 a 不能超过多少?

m

?

4.倾角为 ? 的斜面上有一小车沿斜面向下运动,小车上悬挂着一小球,当悬线与竖直方向的 夹角为以下值时,小车的加速度如何?(1) 0 答案: (1)_______________________ (2)_________________________ (3)_________________________
0

(2) ?

(3) ? ( ? ? ? )

?

?

51

5.如图所示 A 为定滑轮,B 为动滑轮,三个物体的质量分别为 m1 = 0.2kg,m2 = 0.1kg, m3 = 0.05kg。滑轮的质量与绳的伸长和摩擦均可忽略。求: (1)每个物体的加速度. (2)两根绳中的张力 T1 和 T2。 A B m1 m2 m3

6.如图,斜面的质量为M,高为h,斜面的倾角为 ? ,顶端放一个质量为 m 的小物体,自静 止下滑,一切摩擦不计,求: (1)m 下滑时,m的加速度 (2)m下滑时,M的加速度 (3)m下滑时,m对M的加速度 (4)m与M之间的弹力 (5)M对桌面的正压力 ? (6)m 滑到底端时,M 的位移?

52

7.长分别为 l1 和 l2 的不可伸长的轻绳悬挂质量都是 m 的两个小球, 如图 4 所示, 它们处于平 衡状态。突然连接两绳的中间小球受水平向右的冲击(如另一球的碰撞),瞬间内获得水平向 右的速度 v0,求这瞬间连接 m2 的绳的拉力为多少?

8.长为 2b 的轻绳,两端各系一个质量为m的小球,中央系一个质量为M的小球,三球静止 在光滑的水平桌面上,绳处于拉直状态,现给中间球施加一个垂直于绳方向初速度 v0 ,分 析当绳端的两球发生碰撞的瞬间绳中的张力以及绳端小球速度的大小? v0 m M m

53

9.在与水平方向成 ? 角的光滑杆上套一个质量为 m1 的小 环, 一根轻绳系在环上, 绳上挂一个质量为为 m 2 的小球,

?

求: (1) 当绳静止在竖直方向时释放环, 释放的瞬间升上 的张力多大? (2) 绳与竖直方向成多大角度时释放环,绳在竖直方向不发生摆动?

10.一辆质量为 m 的汽车以速度 v 在半径为 R 的水平弯道 上作匀速圆周运动。汽车左右轮相距为 d,重心离地面 的高度为 h,车轮与路面之间的静摩擦因数为 ? 0 ,求: (1) 汽车内外轮各承受多大的支持力? (2) 汽车能够安全行驶的最大速度为多少?

A

B

54

[综合训练] 1.棒 AB 的 A 端靠在竖直墙上,B 端搁置在水平地面上,棒长 L ? 2m ,在棒的中点 C 处,有 一质量 m ? 0.5 kg 的小物体被固定在棒上,棒的两端可分别沿墙面和地面滑动。今棒的 B 端以速度 v ? 3m / s 向右匀速滑动,当棒与地面的夹角 ? ? 600 时,棒对小物体的作用力为 多大?(取 g ? 10m/ s 2 ) A

C

V B

2.在竖直平面内建立图示直角坐标, 在坐标系中有光滑的抛物线轨道, 轨道对应方程 y = Ax2 。 轨道的顶点 O 处有一小球,受轻微扰动后无初速沿轨道右方滑下。试问:小球是否会中途 脱离轨道?

55

3.如图所示,斜面体置于水平面上,其斜面的倾角为 ? ,斜面体 B 恰好与斜面 A 重合,而 B 的上表面呈水平状态,物体 C 置于 B 的上表面上,已知 A、B、C 三者的质量相同,现将 三者同时由静止释放,不计一切摩擦,求刚释放后物体 C 的加速度。 C B

?

A

4.如图所示,质量为 m 的物体 C 用两根绳子系住,两绳分别跨过同一高度的滑轮 O1 和 O2 后与滑块 A、B 相连.滑块 A 的质量为

2 3 m,滑块 B 的质量为 2m,分别放在倾角为 60° 和 3

30° 的固定光滑斜面上.当系统平衡时,在物体 C 上无初速地放上另一质量也为 m 的物体 D, 并且 C、D 立刻粘在一起.试求刚放上 D 的瞬时物体 A 和 B 的加速度..

A A 600

C D

B

300

56

5..足球比赛中发角球时,有经验的足球队员可发出所谓“香蕉球”。即球飞到球门前方时会拐 弯进入球门。试简要地说明其道理。

6..广而深的静水池中竖立一固定细杆,其露出水面部分套着一个长度为 L、密度为 ρ、截面
均匀的匀质细管,细管可沿杆无摩擦地、竖直上下滑动,因套在杆上,不会倾倒。现在用手 持管,使管的下端刚刚与水面接触,放手后管竖直下沉,设水的密度为 ρ 水,不计水的阻力 和表面张力。 (1)当管的密度 ρ 等于某一值 ρ0 时,管能下沉到刚好全部没入水中。求 ρ0 (2)在 ρ=ρ0 的情形下,管下沉所经历的时间等于什么? (3)设管的密度 ? ?

2 ? 水 ,求管下沉到最后位置所需的时间 3

57

7.一根绳的一端连于 A 点,绳上距 A 端为 a 处系有一个质量为m的质点B,绳的另一端通 过固定在C点的滑轮,A、C处在同一水平线上,某人握 A ? ? 住绳的自由端,以恒定的速率v收绳,当绳收到如图的位 v a c C 置时,质点B两边的绳与水平线的夹角分别为 ? 和 ? ,求 B 这时人收绳的力?忽略一切摩擦以及绳与滑轮的质量

8、均质半圆形金属拱架 ACB ,圆心在 O 点,质量 M = 1000kg ,A 端与地面的铰链相连, B 端搁在滚珠上。现有一质量 m = 500kg 的物体从顶点 C 无摩擦滑下, 当它滑到 D 点时 (已 知∠COD = 30°) ,试求 A、B 两处对拱架的作用力。

58

9.如图所示,质量为 M 的圆形滑块平放在桌面上,一轻绳跨过滑块后,两端各挂一个质量 分别为 m1 和 m2 的物体,两物体通过平行的绳子悬垂在桌面外边。不计所有摩擦,试求圆 形滑块的加速度。

10、用细杆把质量为 M 的圆环固定起来,其顶部套有两个质量均为 m 的小环,它们之间无 摩擦。现给两小环一个微小扰动,令两小环分别从左、右两边下滑(不计初速) 。试讨论: m 和 M 满足何关系时,大环有上升或下降的趋势。

59

11.一根不可伸长的细轻绳,穿上一粒质量为 m 的珠子(视为质点) ,绳的下端固定在 A 点, 上端系在轻质小环上, 小环可沿固定的水平细杆滑动 (小环的质量及与细杆摩擦皆可忽略不 计) , 细杆与 A 在同一竖直平面内. 开始时, 珠子紧靠小环, 绳被拉直, 如图复 19-7-1 所示, 已知,绳长为 l , A 点到杆的距离为 h ,绳能承受的最大张力为 Td ,珠子下滑过程中到达最 低点前绳子被拉断,求细绳被拉断时珠子的位置和速度的大小(珠子与绳子之间无摩擦) 注: 质点在平面内做曲线运动时, 它在任一点的加速度沿该点轨道法线方向的分量称为法向 加速度 an ,可以证明, an ? v2 / R , v 为质点在该点时速度 的大小,R 为轨道曲线在该点的“曲率半径”,所谓平面曲线 上某点的曲率半径, 就是在曲线上取包含该点在内的一段弧, 当这段弧极小时,可以把它看做是某个“圆”的弧,则此圆的 半径就是曲线在该点的曲率半径. 如图复 19-7-2 中曲线在 A 点的曲率半径为 RA ,在 B 点的曲率半径为 RB .

60

瞬心和平面上各点的加速度
一.瞬心及瞬心的确定方法 1. 瞬心的概念: 只要刚体做角速度不为零的运动, 则物体上必然会有一点的瞬时速度为零, 这一点叫做刚体的瞬心。瞬心的位置会随着物体的运动而发生变化。 2. 求下列情况下刚体的瞬心 (1) 做纯滚动的车轮

(2)已知刚体上一点 P 的线速度和角速度的大小分别为 v 和 ?

P

v ω

vB
B A

(3)已知刚体上的两点 A 和 B 的速度 v A 何 v B ,且两者不平行

vA

(4)已知刚体上的两点 A 和 B 的速度 v A 何 v B ,且两者平行且同向

B A

vB vA

(5) 已知刚体上的两点 A 和 B 的速度 v A 何 v B ,且两者平行且反向

B

vB

vA

A

二.平面上个点的速度和加速度 1.确定刚体上任意一点的速度方法有两种: (1)是速度投影法:两点的速度在两点连线上的 投影大小相等 2.基点法:找到刚体上一点 O,作为基点,则另外一点 A 的速度: v A ? vO ? rAO ? ? AO

?

?

?

?

61

2.分析平面上个点的加速度方法主要也是平面法:平面图形上任意一点 M 的加速度等于基 点 O 的加速度以及 M 点相对于基点 O 的加速度(切向和法向)

? ? ? ? ? ? aM ? ao ? aMO ? ao ? aMOn ? aMO?
基点首选瞬心 【例题分析】 1. 轮子的纯滚动:如图,已知某瞬间轮心 C 的速度 vC ,加速度 aC ;试求该瞬间轮缘上的 点 N 和 P 的速度及加速度. C

N

P

62

2. 杆的运动:杆 AB 长为 l,其 A 端沿水平轨道运动,B 端沿铅直轨道运动,在如图所示的 瞬时,杆 AB 和铅直线成夹角 ? ,A 端具有向右的速度 v A 和加速度 a A ,求此瞬时 B 端 的速度和加速度以及杆 AB 的角速度和角加速度。 B φ

A

63

3.一平面机构如图所示,已知 OA ? BC ?

3r , AB ? 2CD ? 2r .OA 杆以加速度 ? 绕 O 轴

转动,CD 杆以角速度 2 ? 绕 D 轴转动,在图示位置 OA ? AB , CD 平行于 AB,BC 和 AB 的 0 夹角为 60 ,试求该瞬时各杆的瞬心位置和角速度

C

D 2ω

A ω O

B

64

4.图中所示为用三角形刚性细杆 AB、BC、CD 连成的平面连杆结构图。AB 和 CD 杆可分 别绕过 A、D 的垂直于纸面的固定轴转动,A、D 两点位于同一水平线上。BC 杆的两端分 别与 AB 杆和 CD 杆相连, 可绕连接处转动 (类似铰链) 。 当 AB 杆绕 A 轴以恒定的角速度 ? 转到图中所示的位置时,AB 杆处于竖直位置。BC 杆与 CD 杆都与水平方向成 45°角,已 知 AB 杆的长度为 l ,BC 杆和 CD 杆的长度由图给定。求此时 C 点加速度 ac 的大小和方向 (用与 CD 杆之间的夹角表示)

65

5.连杆滚轮综合机构 曲柄 OA 长度为 r,以匀角速度 ?0 绕过 O 点的水平固定轴做逆时针的转动,通过连杆 AB 带动 轮子在固定水平直线轨道上做无滑动的滚动, 已知 AB ? l , 轮子的半径为 R, 且l ? R ? r , 在图示的瞬时, 曲柄处于铅直状位置时 A 轴与轮子的最低点登高, 求该瞬时轮子上 D 点的速 度和加速度大小

B l A ω0 O

D

【综合练习】

质量分别为 m1=m, m2=2m 的两个小球 M1, M2 用长为 L 而重量不计的刚杆相连。 现将 M1 置于光滑水平面上,且 M1M2 与水平面成 60 ? 角。则当无初速释放,M2 球落地时,M1 球移动的水平距离为___(1)___。 L L L (1) ; (2) ; (3) ; (4)0。 3 4 6 4 已知 OA=AB=L, ?=常数, 均质连杆 AB 的质量为 m, 曲柄 OA, 滑块 B 的质量不计。则图示瞬时,相对于杆 AB 的质心 C 的动量 矩的大小为 __ LC ?
m L2? , (顺时针方向)___。 12

66

均质杆杆长 L 质量为 m,两端 A、B 分别在光滑的铅直和水平 面上运动。已知图示瞬时 B 端的速度 v,则该瞬时杆的动能 为____________

A

θ

B

图示半径为 R 的绕线轮沿固定水平直线轨道作纯滚动,杆端点 D 沿轨道滑动。已知:轮轴 半径为 r,杆 CD 长为 4R,线段 AB 保持水平。在图示位置时,线端 A 的速度为 v ,加速度 ? 为 a ,铰链 C 处于最高位置。试求该瞬时杆端点 D 的速度和加速度。

?

67

图示运动机构,曲柄 OA 以匀角速度ω 绕水平轴 O 逆时针转动,通过连杆 AB、带动滑块 B 沿铅直滑道运动,并通过连杆 BC 带动轮 C 沿直线路面 作纯滚动。 已知: OA=r, AB=a, BC=b, 均质圆轮的轮心为 C, 半径为 R。 图示位置,OA 水平,AB 与水平线的夹角θ =45?,BC 与水平 线的夹角β 设为已知。求此瞬时 1、连杆 BC 的角速度 2、 圆轮的角速度 3、 滑块 B 的加速度。
B

C

β

θ A ω

O

68

机械能
一.几种力的功 (1)重力的功 (2)弹簧弹力的功 弹簧在弹力 F ? kx 的作用下,从位置

O F

x1

x2

x 1 运动到了位置 x 2 ,这一过程中弹簧弹力
做负功,做的负功的绝对值等于如图梯形部分的面积。 所以有:

W ? ?(

kx1 ? kx 2 1 1 2 2 )(x 2 ? x 1 ) ? kx1 ? kx 2 2 2 2


x1

x2



1、锤子每次从同一高度下落打击木桩,每次有 80 0 0 的能量传给木桩,且木桩受到的阻力 f 与插入地面的深度 x 成正比,求木桩每次打入的深度比?

2、如图所示,在盛有水的圆柱形容器内竖直地浮着一块圆柱形木块,木块体积为 V,高为 h,其密度为水的密度 ? 的一半,横截面积也为容器截面积的一半,水面高为 2h,用一细棒 把木块缓慢地压至容器底部,求木棒的压力做了多少功?

69

二、动能定理 用动能定理解决问题的优越性在于对力作用的中间过程不予考虑, 只要考虑初状态和末状态, 这给问题的解决带来了不少的方便 例题、两个质量均为m的小球,用细绳连接起来,置于光滑的水平面上,绳刚好被拉直,用 一个恒力F作用在连绳的中点, F的方向水平且垂直于绳的初始位置, F力拉动原来处于静 止状态的小球, 问在两个小球第一次相撞前的瞬间, 小球垂直于F作用线的方向上的分速度 是多大?(绳子长为2L) m L


L m

三、势能和机械能守恒 1.一质量为 m 的小球与一劲度系数为 k 的弹簧相连组成一体系,置于光滑水平桌面上,弹簧 的另一端与固定墙面相连, 小球做一维自由振动。 试问在一沿此弹簧长度方向以速度 u 作匀 速运动的参考系里观察,此体系的机械能是否守恒,并说明理由。

。 2.一个盛满水的圆柱形水桶,桶底和壁都很轻很薄,桶的半径为 R,高为 h,桶的上缘处在 湖面下深度为 H 处,如果用轻绳将它缓慢的上提,直到桶的底面刚离开水面,若不计水的 阻力,求上提过程中拉力所做的功。

70

3.一个质量 m=200.0 千克, 长 l0=2.00 米的薄底大金属桶倒扣在宽旷的水池底部 (如图 7-8) 。 2 桶内的横截面积 S=0.500 米 (桶的容积为 l0S) ,桶本身(桶壁与桶底)的体积 V0=2.50× 10-2 米 3。桶内封有高度 l=0.200 米的空气,池深 H0=20.00 米,大气压强 p0=10.00 米水柱高,水 的密度 ρ=1.000×103 千克/米 3。重力加速度 g 取 10.00 米/秒 2。若用图中所示的吊绳将桶上 提,使桶底能到达水面处,则绳拉力所需做的功有一最小值。试求从开始到绳拉力刚完成此 功的过程中, 桶和水 (包括池水及桶内水) 的机械能改变了多少 (结果要保留三位有效数字) 。 不计水的阻力,设水温很低,不计其饱和蒸汽压的影响,并设水温上下均匀且保持不变。

p0

H0
l0
l

图 7-8

71

3.弹簧的弹性势能 假设弹簧的弹性系数为 k ,当弹簧发生了 x 大小的形变时,其所具有的弹性势能为

Ep ?

1 2 kx 2

【相关练习】 如图所示, 用一弹簧把两物块 A 和 B 连接起来后, 置于水平地面上, 已知 A、 B 的质量分别为 m1 和 m 2 。问应在物块 A 上加多大的压力 F,才可能在撤去力 F 后,A 向 上跳起后会出现 B 对地无压力的情况?弹簧的质量略去不计。 A

B

四、功能原理和能量守恒定律 1.如图为用于节水喷水“龙头”的示意图,喷水口距离地面高度 为 h,用效率为η 的抽水机,从地下 H 深的井里抽水,使水充 满喷水口,并以恒定的速率从该“龙头”沿水平喷出,喷水口截 面积为 S,其喷灌半径可达 10h 。求带动抽水机的电动机的最小 输出功率。 (已知水的密度为 ? ,不计空气阻力。 ) h H 10h

72

2 、两个质量分别为 m1 和 m2 的重物悬挂在细绳的两端,已知

m1 ? m 2 ,绳子绕过一个半径为 r 的滑轮,如图所示,在滑轮的
轴上固定了四个长为 L,分布均匀的辐条,辐条的端点固定有质 量为 m 的小球,重物 m1 和 m2 的运动是由本身的重力产生的,轴 的摩擦、绳及辐条和滑轮的质量均不计,绳与滑轮间不发生相对 滑动,求两个重物运动的加速度? m
1

m2

3、M 和 m 用绳通过定滑轮连接,m 放在倾角为 ? ? 370 的固定斜面上,M=5kg, m=1kg,m和斜面的动摩擦因数 ? ? 0.5 ,而物体M沿杆AB无摩擦滑动,OA间距离 为L=4m,问当M由静止开始沿如图所示的位置下滑h=3m时,它的速度为多大?











?

73

4、 一个质量为 m 的小金属球, 穿在一个半径为 R 的光滑竖直圆形金属圈中, 小球可以滑动, 它的初始位置在 P0 点, ?P0 OA ? 600 ,此时连接 A 点与 小球的弹簧没有形变,然后释放,如图所示,数据: 忽略弹簧的质量和球、 m ? 1kg, k ? 50N/ m; R ? 50cm。 圈间的摩擦。 (1)推导小球可以到达 B 点时,上述各量必须满足什么 条件,证明已经给出的数据满足这一条件。 (2)求小球到达 B 点时的速率? B P0 A

【综合训练】 1、 足球运动员在离球门 L=11m 的罚球点准确地从其正前方球门的横梁的下缘踢进一球, 横梁的下缘离地面高为 h ? 2.5m ,足球的质量为 M ? 0.5kg ,不计空气阻力,问必须 传给这个球的能量至少是多少?

74

2.图中的 AOB 是游乐场中的滑道模型,它位于竖直平面内,由两个半径都是 R 的 1/4 圆周连 接而成,它们的圆心 O1 、O2 与两圆弧的连接点 O 在同一竖直线上.O2 B 沿水池的水面.一 小滑块可由弧 AO 的任意点从静止开始下滑. 1.若小滑块从开始下滑到脱离滑道过程中,在两个圆弧上滑过的弧长相等,则小滑 块开始下滑时应在圆弧 AO 上的何处?(用该处到 O1 的连线与竖直线的夹角表示) . 2 .凡能在 O 点脱离滑道的小滑块, 其落水点到 O2 的距离如何? A O1

O O2 B

3.如图,长度为 L 轻杆上端连着一个质量为 m 的体积可忽略的的小重物 B。杆的下端被用 铰链固定于水平面上的 A 点,同时,置于同一水平面上的立方体 C 恰与 B 接触,立方体 C 的质量为 M,令作微小扰动,使杆向右倾倒,设 B 与 C、C 与水平地面间均没有摩擦,而 B 与 C 刚脱离的瞬间,杆与地面的夹角恰好为 30 0 ,求 B 与 C 的质量之比? B C

A

75

4.倔强系数为 k 的水平轻质弹簧,左端固定,右端系一质量为 m 的物体。物体可在有摩擦的 水平桌面上滑动(如图 5-7) 。弹簧为原长时物体位于 O 点,现在把物体沿弹簧长度方向向 右拉到距离 O 点为 A0 的 P 点按住,放手后弹簧把物体拉住。设物体在第二次经过 O 点前, 在 O 点左方停住。计算中可以认为滑动摩擦系数与静摩擦系数相等。 (1)讨论物体与桌面间的摩擦系数 μ 的大小应在什么范围内。 (2)求出物体停住点离 O 点的距离的最大值。并回答:这是不是物体在运动过程中所能达 到的左方最远值?为什么?

m O
图 5-7

P

5.如图所示,AB 两物体的质量分别是 m1 和 m2。中间用一根原长为 L0 ,劲度系数为 k 的轻 质弹簧连接在一起,并置于光滑的水平面上处于自然静止状态。某时刻突然给物体 A 一个 水平向右的速度 v0。同时加一个水平向右的力,使物体 A 保持以速度 v0 作匀速运动,运动 过程中弹簧始终处于弹性限度内。试求: (1)AB 间的最大距离为多大? (2) 从开始运动至 AB 间距达到最大距离的过程中,外力 F 做了多少功? F

B

A

76

6.两带正电的小球 A 和 B, 质量分别为 m1 和 m2。电量分别为 q1 和 q2。 开始时两球相距 L0 。 并使它们在光滑水平面上静止,现给小球 A 一个向左的初速度 v0,同时加一个外力 F,以 确保小球 A 以 v0 的速度向左做匀速运动,试问: (1)求 AB 两球间的最小距离为多大? (2)从开始运动至 AB 间距达到最小距离的过程中,外力 F 做了多少功? B v0 A F

7.如图 7-3 所示,在水平桌面上放一质量为 M,截面为直角三角形的物体 ABC,AB 与 AC 间的夹角为 θ,B 点到桌面的高度为 h。在斜面 AB 上的底部 A 处放一质量为 m 的小物体。 开始时两者皆静止。现给小物体一沿斜面 AB 方向的初速度 v0,如果小物体与斜面间以及 ABC 与水平桌面间的摩擦都不考虑,则 v0 至少要大于何值才能使小物体经 B 点滑出。

B M C
图 7-3

m

v0

A

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8..如图所示, 质量相等的重物 A 和 C 用绕过定滑轮 M 和 N 的细绳连接在一起, 重物 A 和 C 处于静止状态。现将质量与 A 和 C 相同的重物 B 挂于滑轮 M 和 N 间细绳的中点,设滑轮 M 和 N 之间的距离为 2a,两滑轮处于同一水平线上,求:B 获得的最大速度为多少?

M

O
B

N

A

C

÷

动量和能量综合 一.质点动量定理

? ? ? I合 ? mv t ? mv0
质点动量定理是一个矢量表达式,它可以在三个方向上投影,从而写出其标量表达式:

I x ? mvxt ? mvx0
I y ? mvyt ? mvy0

I z ? mvzt ? mvz0
78

练习:在一次军训中,一个战士在离墙 s 0 处以速度 v 0 起跳,再用脚迅速蹬墙面一下,使身 体的速度方向变为竖直向上,墙面和鞋底之间的摩擦因数为 ? ,问:该战士以怎样的 ? 角 起跳,才能使身体重心升得最高?

v0

?

79

五、质点系动量定理 如果研究对象是一个质点系, 我们同样可以用动量定理解决问题: 质点系内各个物体受到的 合冲量,等于它们的动量增量之和。这就是质点系动量定理。可以表达为

? I ? ?m v
i i i i

?

?

i

例题:质量分别为 m1、m 2、m3 的三个质点 A、B、C 位于光滑的水平桌面上,用一拉直 的的不可伸长的柔软细绳 AB 和 BC 连接, ?ABC 为 ? ? ? , ? 为一锐角,如图所示。今 有一冲量为 J 的冲击力沿着 BC 方向作用于 C 点,求质点 A 开始运动时的速度。

?

C

m3

A

m1

?

m2
B

五、动量守恒定律 当系统受到的总冲量为零时,系统的总动量保持不变。即: p1 ? p 2 。 动量守恒定律是一个矢量式,它可以在三个方向上投影化成标量表达式:

?

?

p1x ? p 2x
p1y ? p 2y

p1z ? p 2z
下面讨论几个应用动量守恒定律的较重要的问题 六、碰撞 1、碰撞是指物体相互作用时间极短而相互作用的物体的动量又有明显的变化的过程。由于 碰撞过程中, 系统内部的相互的内力要比它们受到的外力大得多, 故此过程中外力的作用可 以忽略不计,此系统的总动量守恒。 2、碰撞的分类 (1)按照碰撞前后系统的机械能有无损失来分类为:若碰撞前后相互碰撞的物体的总动能 不变,则此碰撞叫完全弹性碰撞;若碰撞前后相互作用的物体的总动能发生变化,则此碰撞
80

叫非弹性碰撞;若碰转后两碰撞的物体的速度相同,则此碰撞叫完全非弹性碰撞,完全弹性 碰撞的机械能的损失最大。有机械能损失的碰撞但不是最大的碰撞叫做非完全弹性碰撞。 A、完全弹性碰撞: p 0 ? p t B、非弹性碰撞: p 0 ? p t

E0 ? E t E0 ? E t

对于相互碰撞的两个质点组成的物体系,由动量守恒定律得:

? ? ? ? ? ? m 2 v? m1 v1 ? m 2 v 2 ? m1 v1 2①
如果碰撞时(完全)弹性碰撞,则前后动能守恒,有:

1 1 1 2 2 ?2 1 ?2 m1 v1 ? m 2 v 2 ? m1 v1 ? m 2 v 2 ② 2 2 2 2
将②式变形得: m1 (v 1 ? v1 )( v1 ? v1 ) ? m 2 ( v 2 ? v 2 )( v 2 ? v 2 ) 将①式变形得: m 1 ( v1 ? v1 ) ? m 2 ( v 2 ? v 2) ④ ③④两式相识得: v1 ? v1 ? v 2 ? v 2 所以:有: v1 ? v 2 ? v 2 ? v1 ⑤ 这个结果被称为牛顿碰撞定律, v 2 ? v1 是碰撞前 m 2 相对于 m1 的速度,或者说是 m 2 趋近

?

?

?

?



?

?

?

?

?

?

? ? m1 的速度; v1 ? v 2 是碰撞后 m1 相对于 m 2 的速度,或者说是 m1 离开 m 2 的速度。
将①⑤两式联立解得: v1 ?

?

(m1 ? m 2 ) v1 ? 2m2 v 2 m1 ? m 2

? (m 2 ? m1 ) v 2 ? 2m1 v1 v2 ? m1 ? m 2
由此结果可以看出:当 m1 ? m 2 时, v 1 ? v 2

?

? v 2 ? v1 ,即两球的速度发生了交换,当

? m 2 ?? m1 ,且 v 2 ? 0 时, v1 ? ? v1 ?

? v 2 ? 0 即 m1 被原速弹回(如小球撞在墙上)
?

如果 m1 ?? m 2 ,且 v 2 ? 0 时,则 v1 ? v1 , v 2 ? 2v 1 即 m1 的速度不变, m 2 以 2v1 的 速度前进。 (如相同半径的铅球撞篮球)

如果碰撞之后两个球的速度相同,可以补充一个方程 v 1 ? v 2 ⑥ ①⑥联立得 v 2 ? v1 ?

?

?

?

?

m1 v1 ? m 2 v 2 m1 ? m 2

这种碰撞称为完全非弹性碰撞或范性碰撞。为了区别碰撞的性质,我们引入恢复系数 e,e 定
81

义为分离速度和接近速度的比值

e?

? ? v 2 ? v1 v1 ? v 2

将此式与动量守恒式联立可得:

m (v ? v 2 ) ? v1 ? v1 ? (1 ? e) 2 1 m1 ? m 2 m ( v ? v1 ) ? v 2 ? v 2 ? (1 ? e) 1 2 m1 ? m 2
在完全弹性碰撞中 e=1, 完全非弹性碰撞中 e=0,对于非完全弹性碰撞 0<e<1 1、 范性过程 范性过程指两个物体碰撞后连在一起运动, 其他还有一些类型的运动其特征和范性碰撞相似, 即相互作用后, 两个物体的速度相同, 对这一类相互作用的过程, 我们可以称之为范性过程。 范性过程可长可短,范性过程中两个物体的相互作用力可以是各种性质的力,例如: 弹力、摩擦力、万有引力、库仑力等。在范性过程中,动能肯定是不守恒的,而且是各种相 互作用中动能损失最大的一种。而范性过程中,机械能守恒与否,要看范性过程中,两个物 体之间的作用力的类型,如果是滑动摩擦力,机械能肯定不守恒,如果通过弹簧弹力、万有 引力等相互作用,则机械能是守恒的,只不过动能转化为了势能。 下面看一道高考题,当年的正确率不到 1℅ 在光滑水平面上,有一质量 m1 ? 20kg的小车,通过一根不可伸长的轻绳与另一质量为

m 2 ? 25kg的拖车相连接,一质量 m3 ? 15kg的物块放在拖车的平板上,物体与平板车之
间的动摩擦擦因数 ? ? 0.2 , 开始时, 拖车静止, 绳未张紧, 如图, 小车靠惯性以 v 0 ? 3m / s 的速度前进,求: (1)当 m1 , m 2 , m3 达到相同速度时,其速度为多大? (2)物块在拖车上滑动的距离 m2 m3 m1

82

七、动量守恒定律的推广 由于一个质点系在不受外力的作用时, 它的总动量是守恒的, 所以一个质点系的内力不能改 变它质心的运动状态,这个讨论包含了三层含义: (1)如果一个质点系的质心原来是不动的,那么在无外力作用的条件下,它的质心始终不 动,即位置不变。 (2)如果一个质点系的质心原来是运动的,那么在无外力作用的条件下,这个质点系的质 心将以原来的速度做匀速直线运动。 (3)如果一个质点系的质心在某一个外力的作用做某种运动,那么内力不能改变质心的这 种运动,比如一个物体做抛体运动,如果突然炸成两块,那么这两块物体的质心的运动仍然 继续做原来的抛体运动。 练习: 如果一个质量为 m A 的半圆形槽 A 原来静止 在水平面上,圆槽半径为 R,将一个质量为 m B 的 滑块 B 由静止释放,若不计一切摩擦,问 A 的最 大位移为多少?

B

A

[综合练习:] 1.在光滑的水平面上,放置一个质量为 M,截面是四分之一圆(圆的半
径为 R)的柱体,如图所示,柱体光滑,顶端放置一质量为 m 的小滑块 B,初始时刻 A、B 都处于静止状态, 在固定坐标系 xOy 中的位置如图所示, 设小滑块从圆柱顶端沿圆弧滑下, 试求小滑块脱离圆弧以前在固定坐标系中的轨迹方程。 y

x O

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2.(2007 复旦)如图所示,质量分别为 m1 和 m2 的物体 A、B 静止在光滑水平板上, 其间有一压缩的轻弹簧, 长板可以绕 O 轴转动,另一端用细线悬于 C 点。现将弹簧释放,在 A、 B 分别滑向板端的过程中,细线上的拉力将 ______________(不变、变大、变小).

C

A O

B

3.(2009 清华)一质量为 m,长为 l 的柔软绳自由悬垂,下端恰与一台秤秤盘接触,某时刻 放开柔软绳的上端,求台秤的最大读数?

4.一根质量为 M 的均匀干麦管放在无摩擦的水平桌面上,麦管与桌边垂直,且有一半伸出 桌外,开始时有一只质量为 m 的苍蝇(可视为质点)停在麦管在桌面内的末端上,然后从 该端出发,顺着麦管爬到另一端,而后另一只苍蝇也停落在这一端,但麦管并未倾覆,求第 二只苍蝇的质量的取值范围?

84

5.(2008 清华)有人设计了这样一个小车,其意图是依靠摆球下落时撞击挡板反弹回来,再 次撞击挡板并反弹回来,如此反复使小车前进,请你帮他做进一步的分析计算:在摆球初始 位置水平,初始速度为零的情况下: (1)摆球与挡板第一次撞击后的瞬间,小车的速度多大? (2)摆球反弹回来后能回到原来的位置吗?为什么? (3)摆球第二次与挡板撞击后的瞬间,小车的速度又是多大? 设小车的质量为 M 1 ,摆球的质量为 M 2 ,摆球的重心到悬点的距离为 h,摆球与挡板撞击时正 好在其铅直位置,碰撞为完全弹性的,小车与地面无摩擦。

6.如图质量分别为 m 和 M 的 A、B 两重物用弹性系数为 k 的轻弹簧竖直地连接起来,使弹 簧为原长, 从静止状态开始自由下落, 下落过程中弹簧始终保持竖直状 A 态,当重物 A 下落 h 距离时,重物 B 刚好与地面相碰,假定碰撞后的 瞬间重物 B 不离开地面(即 B 与地面作完全非弹性碰撞) 。为使重物 A 反弹时能将重物 B 提离地面,试问下落高度 h 至少为多大? h B

85

7.(2009 北大)光滑的水平面上平放着一个半径为 R,内壁光滑的固定圆环,质量分别为 m、 2m、m 的小球 A、B、C 在圆环内侧的初始位置和初始速度均在图中示出,注意此时 B 球静 止。已知而后球间发生的碰撞都是弹性的,试问经多长时间,三球又第一次恢复到图示的位 置和运动状态? 3v
0

A C R v0

B

8.如图在光滑水平面上沿同一直线以一定间隔按从左向右顺序 1、2、3、…………N 排列着 N 个大小相同的球,球 1 的质量为 3m,其他球的质量均为 m,沿球心连线向右给球 1 一个 冲量使其得到速度 v,则球 1 与球 2 先发生对心碰撞,接着便从左向右依次发生相邻球间的 相互对心碰撞,若碰撞均为弹性正碰,求各球不能再碰时,球 1、球 2、球 3、…………球 N 的速度各多大? 1 2 3 4 N

…………

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9.(2008 北大)水平光滑大桌面上有一质量为 M 的均匀圆环形细管道,管道内有两个质量同 为 m 的小珠,位于管道直径 AB 的两端。开始时环静止,两个小珠沿着朝右的切线方向运 动,具有相同的初速度 v0,设系统处处无摩擦。 (1)当两个小珠在管道内第一次相碰前的瞬间,试求两个小珠之间的相对速度大小? (2)设碰撞是弹性的,试分析判定两小珠碰后能否在管道内返回到原来的 A、B 位置? A

v0 B

10(2008 东南大学)如图所示,竖直平面内有一光滑竖直轨道,O 为最低点。A、B 两点距 O 的高度分别为 h 和 4h, 先从 A 点释放一质量为 M 的大物体, 且每隔适当的时间从 B 释放 一质量为 m 的小物体,它们和大物体碰撞后都结为一体,已知 M=100m。 (1)若每当大物体向右运动到 O 点时,都有一小物体与之碰撞,问碰撞多少次后大物体的 速度会减为零? (2)若大物体第一次向右运动到 O 点时,和小物体碰撞,以后每当大物体向左运动到 O 点 时,才与一个小物体碰撞,问共碰撞多少次后大 物体才能越过 A 点? (3)若每当大物体运动到 A 点时,都有一个小 物体与它碰撞,问碰撞 50 次后,大物体运动的 最大高度为 h 的几分之几?

B A O

87

11.. 如图所示,质量为 M 的长滑块静止在光滑的水 平面上,左侧固定一弹性系数为 k,且足够长的水平 轻质弹簧,右侧用一不可伸长的细轻绳连接与竖直 墙上, 细绳能承受的最大拉力为 T。 使一质量为 m、 初速度为 v 0 的小物体,在滑块上无摩擦地向左滑动, 而后压缩弹簧。 (1)、给出细绳被拉断的条件。 (2)滑块在细绳被拉断后被加速的过程中,所能获得的最大向左的加速度。 (3)物体最后离开滑块时,相对地面速度恰好为零的条件是什么?

12. (2009 交大) 如图, 在长为 L 的轻杆两端分别固定两个线度可忽略的质量为 m 和 M=3m 的小球,竖直放置于光滑的水平面上。如果受到空气扰动的影响,系统将倾倒。在 M 落地 的瞬间 M 的速度大小为 vM ? __________ ,该过程中系统的质心相对于小球 m 的位移大 小为____________ M

m

88

13. (2006 同济) 如图所示, 在光滑的水平面上有 A、 B、 C 三个物体, 质量分别为 m A ? 2kg ,

mB ? mC ? 1kg ,用一弹簧连接 A 和 B 两物体,现用力压缩弹簧使三物块靠近,此过程中
外力做功 72J,然后释放,求: (1)当物块 B 和 C 分离时,B 对 C 做了多少功? (2)当弹簧再次被压缩到最短而又伸长到原长时,物体 A、B 的速度各是多大?

C B

A

14.(2004 南大)质量为 m,速度为 v0 的粒子 A 与原来静止且质量为 M 的粒子 B 发生弹性碰 撞。 (1)求碰撞后粒子 B 的速度 v 和 v0 的夹角 ? 的最大可能值? (2)若 m=M,求证 A、B 发生非对心碰撞后的运动方向必相互垂直。

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15.(2010 北大)光滑水平面上两个相隔一定距离的小球分别以 v0 (向左)和 0.8v0 (向右) 反方向匀速运动,它们中间有两个小球,质量为 m 的小球 1 在左侧,质量为 2m 的小球 2 在右侧,中间有一压缩的弹簧,弹性势能为 E p ,当弹性势能完全释放后。 (1)求小球 1 和 2 的速度? (2)若小球 1 能追上左边的以 v0 运动的球,而小球 2 不能追上右边以 0.8v0 运动的球,求 m 的取值范围? v0 1 m 2m 2 0.8v0

16 一个质量为 m 的小球由静止开始沿质量为 M 的小车上的 求小球处于如图 ? 位置时车对球的支持力。 m

1 圆弧下滑,忽略一切摩擦, 4

?
M

90

17.如图所示,一根长 L ? 0.6m 的轻细绳,上端与一质量 m ? 1kg 的小圆环相连环套在光滑 的水平细杆上,绳的下端挂一质量 M ? 2kg 的小球,开始时使绳拉直成水平状态,环与球 均静止,然后释放小球,试求当小球具有最大竖直分速度时,绳的拉力 T 及此时小球的速 度 M L m

18 如图一个质量为 M 的人站在台秤上,手拿一个质量为m,悬线长为R的小球,在竖直面 内做圆周运动,且摆线正好能通过轨道的最高点,求台秤示数的变化范围。

91

19.三个弹性钢球,放在光滑的水平面上,球心在一条直线上,位于中间的球,质量为 m1 , 两边的球质量均为 m 2 。给中间的球一个初速度,方向沿球心连成的直线,使他跟另外两球 先后相碰,并使此球发生三次碰撞,则 m1 和 m 2 的关系如何?

20 长为 2b 的轻绳,两端各系一质量为m的小球,中央系一个质量为M的小球,三球均静止 于光滑的水平桌面上,绳处于拉直状态,三球处于同一直线上,如图所示,今给小球M一个 冲击,使它获得水平速度v,v的方向与绳垂直。 求: (1)M刚受到冲击时绳上的张力。 (2)在两端的小球发生碰撞前的瞬间绳中的张力 (3) 若从小球M开始运动到两球相碰时的时间为t, 求在此期间小球M经过的距离 s M 。 v

92

21.质量为M、倾角为 ? 的光滑劈放在水平地面上,一个质量为m的小球以竖直速度 v 0 落到 斜面上,如图,恢复系数为 e,求: (1)小球的反弹高度 h (2)斜劈获得的速度 V m

M

v0

α

22.质量不同的 A 球和 B 球相碰, 现仅仅知道最初 A 球静止, B 球具有速率 v0,且于碰撞后 B 球沿与其速度垂直的方向运动,速率为 知条件能够求出碰撞后 A 球的速率?

v0

2

, (1)求碰撞后 A 球的运动方向(2)根据已

93

23.两个等质量的小球 A 和 B 用长为 L 的轻绳相连,放在光滑的桌面上,一开始 A、B 都静 止,B 的运动受到一条槽的限制,A、B 的连线垂直于槽,A 到槽的距离为 平行于槽的速度 v 0 ,求绳张紧后的瞬间 B 的速度。 B

L 。现给 A 一个 2

L 2
A

L

v0

24.四个质量分别为 m1、m 2、m3、m 4 的小球,用已拉紧的不可伸长的轻绳互相连接,放 在光滑的水平桌面上,? 已知为 600,且四个小球的质量相等 ,如给 1 小球一个沿着 2、1 I 两小球连线方向的冲量,求 4 小球开始运动时获得的速度。 4 1

?
3 2

?

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25.一块质量很大的平板在水平地面上以速度 v 0 匀速运动,板上方高 h 处有一小球由静止开 始自由下落,小球与平板之间的摩擦因数为 ? ,小球的反弹高度仍为h,试求小球反弹角 度的正切和 h 之间的关系。

26.有一个半径为 R、质量为 M 的刚性均匀圆环,开始时静止在光滑的水平桌面上,环上有 一个小孔 P, 桌面上另有一个质量为 m 的质点, 可以自由穿过小孔。 开始时质点以初速度 v 0 从小孔 P 射入,质点与圆环内壁发生 N 次碰撞后,又从小孔 P 穿出,设圆环内壁光滑,从 质点射入到穿出,圆环中心 O 到质点的连线相对于圆环刚好转过 360 。求质点穿出小孔后 圆环中心相对于桌面的速度。
0

95

27.三个质量分别为 3m,2m, m 的小球 A、B、C 由两根长度相等的细绳相连,放置在光滑的 水平面上, 三个小球刚好处在一个正三角形的三个顶点, 细绳刚好拉直。 现小球 A 以速度 v 0 沿平行于 BC 的方向运动,求细绳刚拉紧时小球 C 的速度。 A

C

B

28.如图所示,有三个小球 A、B、C 用两根不可伸长的轻绳将 A 与 B 以及 B 与 C 相连,然 后置于光滑的水平面上。将 AB 绳和 BC 绳完全拉直, ?ABC ?

?
2

,且处于静止状态。现

有第四个小球 D 沿 ?ABC 的平分线以速度 v 0 与 B 发生完全非弹性碰撞, 设碰撞时间极短, 碰后各球同时开始运动,已知四球的质量之比为 m A:m B : mC : m D ? 1 : 1 : 2 : 1 。求: (1)B、D 球结合后开始共同运动时的速度 (2)碰撞过程中损失的能量占 D 球初动能的百分比。 A B

v0
D C

96

29.质量为 M,表面光滑的半球体静止在光滑的水平地面上,半球的顶端有一个质量为 m 的 小滑块由静止开始下滑,至圆心角为 ? 处是飞离半球体,已知 cos ? ? 0.7 ,求:M/m m

?
M

30.质量为m的A、B两个小球用长为L的细绳相连,置于光滑的水平桌面上,且B恰在桌 子边缘,另一个质量也为 m 的小球 C 沿着 AB 连线的方向以速度 v 0 和 A 发生弹性正碰 ( v0 ?

gL
4

3

) ,求: (1)A 受碰后多长时间离开桌面

(2)A 离开桌面的瞬间,绳子对 A 的冲量大小 (3)A 离开桌面后,AB 连线第一次水平时离桌面的高度差。

v0
C

A

B

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31 如图,质量为 M 半径为 R 的光滑半圆槽置于水平面 上,一质量为 m 的小球从半圆槽的最高点由静止下滑, 试分析,小球下滑到什么位置时,圆槽的加速度最大?

32.如图,质量分别为 m1 和 m2 的两个小球系在长度为 l 的不可伸长的轻绳的两端,放置在 光滑的水平桌面上,初始时绳是拉直的,在桌面上另有一质量为 m3 的光滑小球,以垂直于 绳的速度 u 与小球 m1 发生对心正碰,若恢复系数为 e,求碰后瞬间绳子的张力 m2 l m1

u

m3

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33.如图所示,三个质量都是 m 的刚性小球 A、B、C 位于光滑的水平桌面上(图中纸面) , A、B 之间,B、C 之间分别用刚性轻杆相连,杆与 A、B、C 的各连接处皆为“铰链式”的 (不能对小球产生垂直于杆方向的作用力) .已知杆 AB 与 BC 的夹角为??? ,??< ?/2.DE 为固定在桌面上一块挡板, 它与 AB 连线方向垂直. 现令 D A、B、C 一起以共同的速度 v 沿平行于 AB 连线方向向 DE 运动, 已知在 C 与挡板碰撞过程中 C 与挡板之间无摩 B 擦力作用,求碰撞时当 C 沿垂直于 DE 方向的速度由 v A A 变为 0 这一极短时间内挡板对 C 的冲量的大小. ???? A C
A A

E

角动量
一.角动量的概念 二.动量对空间某点或某轴线的矩,叫动量矩,也叫角动量。 如图,B 点上的动量 P 对原点 O 的动量矩 J 为 P=mv

? ? ? J ?r ?P ( r

? OB )
O

B

二.角动量定理 质点对某点或某轴线的动量矩对时间的微商,等于作用在该质点上的 力对同点或同轴的力矩,即

dJ ?M dt

( M 为力矩) 。

三.角动量守恒定律 如果质点不受外力作用,或虽受外力作用,但诸外力对某点的合力矩为零,则对该点来 讲,质点的动量矩 J 为一恒矢量,这个关系叫做角动量守恒定律 即 r×F=0,则 J=r×
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mv=r×P=恒矢量 四.质点对轴角动量守恒定律 当质点对轴的力矩为零时, 则质点对该轴的角动量保持不变, 叫做质点对轴的角动量守 恒定律 怎么求:力对轴的力矩?把该力 F 在垂直于该轴的面上投影 F1,F1 对平面与轴交点的 力矩便为所求 怎么求质点对轴的角动量: 例如对 Z 轴的角动量: LZ=mr2ω (ω 是质点绕 Z 轴的角速度) 五.质点系角动量守恒定律 当一个系统的外力为参考点的力矩为零时,则质点组对该点的角动量保持不变。 【练习】 1. 如图所示,一细绳穿过光滑水平桌面上的小孔 o,绳的一端系有一质量为 m 的小球并 放在桌面上;另一端用力往下拉住。设开始时小球以角速度 ?0 绕孔 o 作半径 r 的匀速圆周 运动,现在向下缓慢拉绳,直到小球作圆周运动的半径为 r/2 时止,求这一过程中拉力的功。

2.在一光滑的水平面上,有一轻弹簧,倔强系数为 k=100N/m,一端固定于 o 点,另一端连接一 质量为 m=1kg 的滑块,设开始时,弹簧的长度为 l0=0.2m(自然长度), 滑块速度 ?0=5m/s, 方 向与弹簧垂直。当弹簧转过 900 时,其长度 l=0.5m,求此时滑块速度 ? 的大小和方向。

100

3.两个滑冰运动员的质量各为 70kg,以 6.5m/s 的速度沿相反的方向滑行,滑行路线间的垂 直距离为 10m,当彼此交错时,各抓住长为 10m 的绳子的一端,然后相对旋转。 (1)在各 自抓住绳子的一端之前,各自对绳子重心的角动量为多大?抓住之后是多少? (2)他们各自收拢绳,到绳长为 5m 时,各自速度是多大? (3)绳子长度为 5m 时,绳子的拉力为多大? (4)二人在收拢绳子时,各做了多少功?

4.理想滑轮悬挂两质量为 m 的砝码盘,用轻绳拴住轻弹簧的两端,使它处于压缩状态,将此 弹簧竖直放在一砝码盘上,弹簧上端放一质量为 m 的砝码,另一砝码盘上也放置一质量为 m 的砝码,使两盘静止,然后烧断细绳,轻弹簧达到自由长度即与砝码脱离,求砝码上升的 高度?已知弹簧的劲度系数为 k,被压缩的长度为 l0

101

5.悬挂于光滑轴承 C 处的轻质杆联结质量均为 1kg 的两球, 已知每根轻杆长度为 1m。 如图, 0 一子弹质量为 100g,以 6m/s 的速度与杆成 45 射向下方的圆球,并嵌入球内,求嵌入后瞬时 轻杆摆动的角速度 C

天体运动竞赛部分
1、万有引力的几个结论 (1)一个质量均匀分布的球壁状物质层,对放在其内部区域的质点的万有引力为零,而对 放在其外部的质点则产生引力作用, 而且其作用就像是整个球壁层的质量都集中在的它的中 心一样。 (2)一个质量分布均匀的球壁状物质层,总质量为 M 半径为 R,某一质量为m的质点与其 的万有引力势能有以下规律。

Mm (r ? R ) r Mm (r ? R ) EP ? ? G R

EP ? ? G

【问题】 (1)、在球壳内的一个质量为 m 质点受到的球壳所施加的万有引力为_____________ (2).一半径为 R 质量为 M 的均匀球体内有一质点, 该质点质量为 m, 距球心的距离为 r(r<R), 则球体对该质点的万有引力为 ________________________ (3). 一半径为 R 质量为 M 的均匀球体内有一质点,该质点质量为 m,如要将该质点从球心 处移到无穷远处,则至少需要做功为______________________

102

2、开普勒三定律 (1)行星轨道为椭圆,太阳在椭圆的一个焦点上 (2)从太阳画到行星的矢径,在相等的时间内扫过相等的面积。 (3)行星绕太阳运行周期的平方正比于各行星轨道长半轴的立方。

【综合训练】
1、根据万有引力定律,行星和太阳之间的引力势能为 E p ? ?G

Mm r

试根据机械能守恒定律,开普勒第一和第二定律分别求出行星运动的总机械能 E,面积速度 S 和公转周期 T 的公式(用 G、M、m、a、b 表示)并证明开普勒第三定律 P b c F O a B

A

2 某行星绕太阳沿着=椭圆轨道运行。它的近日点 A 离开太阳的距离为 a,行星经过近日点 的 速 度 为 v1 ; 行 星 的 远 日 点 B 离 开 太 阳 的 距 离 为 b , 则 行 星 经 过 远 日 点 的 速 度 为

v2 ? ________
3.一质量为 m 的卫星绕质量为 M 的地球做半长轴为 a,半短轴为 b 的椭圆运动,则该卫星 在近地点的曲率半径为__________,在远地点的曲率半径为____________,在半短轴的端点的 曲率半径为___________,该卫星的机械能为_____________

103

4.设地球质量分布均匀,求一个物体下降到距离地球表面深度 h 为多大时,其重力加速度为 地面上重力加速度的 25 0 0 。

5.如果将地球近似地看作一个各层均匀的球,则地球对物体的引力指向地心,令 g 0 为不考 虑地球自转的重力加速度, g 为考虑地球自转的加速度,已知 R 为地球半径, ? 为地球自 转角速度, ? 为 A 点的纬度,当

R? 2 R? 2 1 ?? 1 时,试证: g ? g 0 (1 ? ) ? R? 2 cos2? g0 2g 0 2

6..要使一颗同步卫星能覆盖赤道上东经 750 到东经 1350 之间的区域, 则卫星应该定位在哪个 经度范围内的上空?地球半径 R0 ? 6.37 ?106 m ,地球表面的重力加速度 g ? 9,80m / s 。
2

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7.已知地球质量为 M e ,太阳质量为 M s ,地球半径为 R,日地距离为 r 试分别推导第一、 第二和第三宇宙速度。

8.要发射一艘探测太阳的宇宙飞船,使其具有与地球相等的绕日运动周期,以便发射一年后 又将与地球相遇而发回探测资料。 在地球发射这一艘飞船时, 应使其具有多大的绕日速 度?

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9.新发现一行星,其星球半径为 6400 km,且由通常的水形成的海洋覆盖它所有的表面,海 洋的深度为 10 km,学者们对该行星进行探查时发现,当把试验样品浸入行星海洋的不同深 度时, 各处的自由落体加速度以相当高的精确度保持不变. 试求此行星表面处的自由落体加 速度.已知万有引力常量 G=6. 67×10-11N m2/ kg2。

10.质量为 m 的人造地球卫星, 在圆形轨道上运行. 运行中受到大小恒为 f 的微弱阻力作用, 以 r 表示卫星轨道的平均半径,M 表示地球质量,求卫星在旋转一周的过程中: (1)轨道半径的改变量Δ r=? (2)卫星动能的改变量Δ Ek=?

106

11.质量为 m 的宇宙飞船绕地球中心 O 作圆周运动, 已知地球半径为 R, 飞船轨道半径为 2R, 现要将飞船转移到另一个半径为 4R 的新轨道上。 (1)求转移所需要的最小能量, (2)如果转移是沿半椭圆双切轨道进行的,如图中的 ACB 所示,则飞船在两条轨道的交 接处 A 和 B 的速度变化 ?v A 和 ?v B 各是多少? 4R 2R A O B

C

12.宇宙飞船在距火星表面 H 高度处作匀速圆周运动,火星半径为 R,今设飞船在极短时间 内向外侧点喷气,使飞船获得一径向速度,其大小为原速度的α 倍,因α 量很小,所以飞船新轨道不会与火星表面交会。如图, B v0 P 飞船喷气质量可忽略不计。 (1)试求飞船新轨道的近火星点的高度 h 近和远火星点高度 h 远。 vP v (2)设飞船原来的运动速度 v0,试计算新轨道的运行周期 T。 A

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13.一个为 M,半径为 R 的星体,以速度 v 0 进入一片广阔的星际尘埃中,尘埃的平均密度为

? ,因为星体将周围的尘埃吸到星体上,求星体因此受到的阻力。

14.宇宙空间有质量分别为 m1 和 m 2 的两质点相距为 L,从静止开始在万有引力作用下相向 运动,试求从开始运动到相遇所需的时间?

15.一物体 A 由离地面很远处向地球下落, 落至地面上时, 其速度恰好等于第一宇宙速度. 已 知地球半径 R=6400 km.若不计物体在运动中所受到的阻力,求此物体在空中运动的时 间。

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16.(1)在地球表面上以第一宇宙速度竖直向上发射一物体(不计空气阻力) ,试计算物体 在空中的飞行时间(地球半径 R=6400km) (2)如果以同样大小的速度,与竖直线成 ? 角抛射一物体,那么物体能飞离地面多高处?

17. 质量为 M 的宇航站和质量为 m 的飞船一起沿着圆形轨道绕地球飞行,半径为地球半径 R 的 1.25 倍,某时刻,宇航站将飞船沿运动方向弹射出去,此后两者都沿椭圆轨道运行, 飞船轨道的最远点到地心的距离为 10R, 试问飞船和宇航站的质量之比 船绕地球一周后恰好与宇航站相遇?

m 为何值时,飞 M

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18.一质量为 m= 1.2 ?104 kg 的太空飞船在围绕月球的圆轨道上运动,其高度 h=100km,为 使飞船落到月球表面,喷气发动机在 P 点作一次短时间发动,从喷口喷出的热气流相对于 飞船的速度为 u=10000km/s.月球半径为 R=1700km,月球表面的落体加速度 g ? 1.7m / s 2 ,飞 船可用两种不同的方式到达月球 (1)向前喷射,使飞船到达月球的背面的 A 点,并相切,A 点与 P 点相对。 (2)向外侧喷射,使飞船得到一指向月球中心的速度,其轨道与月球表面 B 点相切 试计算上述两种情况下所需要的燃料能量。

A

O

P B O P

110

19.宇宙飞行器和小行星都绕太阳在同一平面内做圆周运动,飞行器的质量比小行星的质量 小很多,飞行器的速率为 ?0 ,小行星的轨道半径为飞行器轨道半径的 6 倍。有人企图 借助飞行器与小行星的碰撞使飞行器飞出太阳系,于是他便设计了如下方案:Ⅰ.当飞 行器在其圆周轨道的适当位置时, 突然点燃飞行器上的喷气发动机, 经过极短时间后立 即关闭发动机, 以使飞行器获得所需的速度, 沿圆周轨道的切线方向离开圆轨道; Ⅱ. 飞 行器到达小行星的轨道时正好位于小行星的前缘, 速度的方向和小行星在该处速度的方 向相同,正好可被小行星碰撞;Ⅲ.小行星与飞行器的碰撞是弹性正碰。不计燃烧的燃 料质量. (1)试通过计算证明按上述方案能使飞行器飞出太阳系. (2)设在上述方案中,飞行器从发动机取得的能量为 E1.如果不采取上述方案而令飞 行器在圆轨道上突然点燃喷气发动机, 经过极短时间后立即关闭发动机, 以使飞行器获得足 够的速度沿圆轨道切线方向离开圆轨道后能直接飞出太阳系. 采用这种办法时飞行器从发动 机取得的能量的最小值用 E2 表示.问

E1 为多少? E2

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20.经过用天文望远镜长期观测,人们在宇宙中已经发现了许多双星系统,通过对它们的研 究, 使我们对宇宙中物质的存在形式和分布情况有了较深刻的认识, 双星系统由两个 星体构成, 其中每个星体的线度都远小于两星之间的距离, 一般双星系统距离其他星 体很远,可以当作孤立系统处理,现根据对某一双星系统的光度学测量确定,该星系 统中每个星体的质量 M,两者相距 L,它们正围绕两者连线的中点作圆周运动. (1)试计算该双星系统的运动周期 T 计算; (2)若实验上观测到的运动周期为 T 观测,,且 T 观测∶T 计算=1∶ N (N>l) ,为了解释 T 观测与 T 计算的不同, 目前有一种流行的理论认为, 在宇宙中可能存在一种望远镜 观测不到的暗 物质,作为一种简化模型,我们假定在以这两个星体连线为直径 的球体内均这种暗物质, 而不考虑其他暗物质的影响, 试根据这一模型和上述观 测结果确定该星系间这种暗物质的密度.

112

21.质量为 m 的登月器连接在质量为 M(=2m)的航天飞机上一起绕月球作圆周运动,其轨 道半径是月球半径 Rm 的 3 倍,某一时刻,将登月器相对航天飞机向运动反方向射出后,登 月器仍沿原方向运动, 并沿图 6 一 7 所示的椭圆轨道登上月球表面, 在月球表面逗留一段时 间后, 经快速发动沿原椭圆轨道回到脱离点与航天飞机实现对接, 试求登月器在月球表面可 逗留多长时间?已知月球表面的重力加速度为 gm=1.62m/s2, 月球的半径 Rm ? 1.74 ?106 m 。

113

22.从赤道上的 C 点发射洲际导弹,使之精确地击中北极点 N,要求发射所用的能量最少. 假定地球是一质量均匀分布的半径为 R 的球体,R=6400km.已知质量为 m 的物体在地 球引力作用下作椭圆运动时,其能量 E 与椭圆半长轴 a 的关系为

E??

GMm 式中 M 为地球质量,G 为引力常量. 2a

(1)假定地球没有自转,求最小发射速度的大小和方向(用速度方向与从地心 O 到发射 点 C 的连线之间的夹角表示). (2)若考虑地球的自转,则最小发射速度的大小为多少? (3)试导出 E ? ?

GMm . 2a

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二体问题及质心系问题
一.质心运动定理

二.二体问题的动力学问题
如果一个系统中有两个相互作用的质点,并且系统的合外力为零,这类问题叫做二体问题. 如图所示,两个质点的质量分别为 m1 和 m2 ,两者之间的相互作 用力分别 f 21 和 f 12 ,则有: f 21 ? m1a1 所以有: a1 ? a 2 ? ( 1 f21 f12 2

?

?

? ? f12 ? m2 a2
即: f 21 ?

?

?

1 1 ? ? ) f 21 m1 m2

?

m1m2 ? ? a12 ? ua12 m1 ? m2

其中 u 叫做约化质量。即:两个物体之间的相互作用力大小等于约化质量乘以两个物体的 相对加速度。 1 C 2

假如两个质点的质量分别为 m1 和 m2 ,相距为 r12 ,如果以质 心 C 作为参考系,则 1 球和 2 球的坐标为: r1C ?

m2 r12 m1 ? m2

r2C ?

m1 r12 m1 ? m2

对以上两个式子求导得: v1C ?

m2 v12 m1 ? m2

v 2C ?

m1 v12 m1 ? m2 m1 a12 m1 ? m2

再对以上两式求导得: a1C ?

m2 a12 m1 ? m2

a 2C ?

又因为: f 21 ?

?

m1m2 ? ? a12 所以: f ? m1a1C m1 ? m2

? f ? m2 a2C

即: 二体问题中, 两物体之间的相互作用力等于物体的质量乘以物体相对于质心的加速度。 三. .质心系中的二体问题的动量和动能 【动量问题】对于有相互作用的两个质点,其质心坐标为 xC ?

m1 x1 ? m2 x2 m1 ? m2
?

? ? m1v1 ? m2 v2 ? 对上式求导得: vC ? m1 ? m2

即: (m1 ? m2 )vC ? m1v1 ? m2 v2

?

?

115

? ? ? ? m1 (vC ? v1 ) ? m2 (v2 ? vC )

,即: m2 v2C ? m1v1C ? 0

?

?

即:两个相互作用的物体,以其质心为参考系,系统的动量为零。 【动能问题】 :柯尼希定理的推导: 当质量分别为 m 和 M 的两个小球在同一直线上分别以速度 v1 和 v2 运动时,试求: (1)他们 质心的运动速度 (2)将他们的动能表达为两项之和, 其中一项只包含质心速度, 另一项只包含相对速度 (v1-v2) (3)如果两球发生正碰,说明只有第二项发生了改变 (4)在(3)的情况下给出恢复系数和总动能损失 ? E 之间的关系式

116

【习题】 1.水平光滑桌面上有两个质量分别为 M 和 m 的两个物体,两者用一根劲度系数为 k 的弹簧 连接而处于静止状态,今用棒击质量为 m 的物体,使之获得一指向另一方的速度 v,试利 用约化质量概念求出此后弹簧的最大压缩长度

2..水平面上有一辆质量为 M 的小车,车内有一平台,平台上有一根轻质弹簧,弹簧一端与 小车的后壁固定,将弹簧压缩一定线度后锁定,并将一个质量为 m 的小球靠在压缩弹簧的 自由端,解除锁定,弹簧可将小球弹出,小球飞出平台落在地板上。求下面两种情况下小球 在车内落地点与平台边缘的水平距离之比, (1)小车固定; (2)小车不固定。计算时忽略一 切摩擦。

3.双原子分子结构类似一只哑铃,模型可简化为质量为 m1 和 m2 的两个原子 AB 用一长度为 r,质量不计的轻杆相连,并以角速度 ? 绕质心转动。 (1)质心系中的角动量和动能 (2)在 A 原子的参考系中的角动量和动能。

117

4.开普勒第三定律的修正: (太阳的质量为 M,行星的质量为 m) (1)按照理想情况,太阳是不动的, ,求此时的开普勒第三定律 (2)由于行星对太阳的影响,考虑太阳的运动,必须对开普勒第三定律进行修正,求修正 后的结果。

5.在光滑的水平地面上有两个小球 A、B,质量分别为为 m1 和 m2,中间用劲度系数为 k 的弹 簧相连,弹簧原长为 l(设弹簧始终处于弹性限度内) (1)开始时弹簧处于原长,给球 B 以 v0 的初速度,求球 B 的加速度和时间 t 的关系 (2)给 A 以电量 q1,给 B 以电量 q2(q1 和 q2 同性) ,现将弹簧由原长压缩至长度 L 并静 止释放,求弹簧在原长时 B 相对于 A 的速度

118

6.质量为 M 的粒子以速度 v0 运动,与质量为 m 的静止粒子碰撞,求第一个粒子在碰撞后的 最大偏角?碰撞时完全弹性的。

7.质量为 m 的小珠子套在质量为 M 的均匀圆环上,将他们平放在水平桌面上,开始时珠子 具有速度 v,而环静止,求在以后过程中珠子的最小动能,不计一切摩擦。

119

8.如图所示,光滑水平面上放置着 A、B 两个可看做质点的物体,其质量分别为 m、 m/2, 中间以劲度系数为 k、 原长为 l 的轻弹簧相连接。 质量为 m/2 的物体 C 以大小 v0=

32kl 2 3m

方向为垂直弹簧的初速度与 B 发生碰撞, 且碰后立即粘成一个整体 D。 求此后运动过程中 A、 D 间距的最大值与最小值。

9.如图,质量分别为 m1 和 m2 的两个小球系在长为 l 的不可伸长的细绳两端,放置在光滑的水 平桌面上,初始时绳时拉直的。在桌面上另有一个质量为 m3 的光滑小球,以垂直于绳的速 度 u 与小球 m1 对心正碰,若恢复系数为 e ,求碰后瞬时绳中的张力。 m1 m2 u m3

120

10.哑铃是质量为 M 和

M 的两个小球分别固定在轻硬杆的两端,现将该哑铃放在光滑的水 2

平桌面上,还有一个质量为 m 的小球沿着桌面朝垂直哑铃方向运动,正好飞向哑铃上的 M 球,发生弹性碰撞,碰撞后哑铃将如何运动?球和哑铃还会发生一次碰撞吗?当 m 和 M 成 什么比例的时候会发生第二次碰撞

M M/2 v

11.(23 届复赛)如图所示,一根质量可以忽略的细杆,长为 2 l ,两端和中心处分别固连 着质量为 m 的小球 B、D 和 C,开始时静止在光滑的水平桌面上。桌面上另有一质量为 M 的 小球 A,以一给定速度 v0 沿垂直于杆 DB 的方间与右端小球 B 作弹性碰撞。求刚碰后小球 A,B,C,D 的速度,并详细讨论以后可能发生的运动情 况。

121

12.如图所示,定滑轮 B、C 与动滑轮 D 组成一滑轮组,各滑轮与转 轴间的摩擦、滑轮的质量均不计.在动滑轮 D 上,悬挂有砝码托盘 A,跨过滑轮组的不可伸长的轻线的两端各挂有砝码 2 和 3.一根用 轻线(图中穿过弹簧的那条竖直线)拴住的压缩轻弹簧竖直放置在 托盘底上,弹簧的下端与托盘底固连,上端放有砝码 1(两者未粘 连) . 已知三个砝码和砝码托盘的质量都是 m, 弹簧的劲度系数为 k, 压缩量为 l0,整个系统处在静止状态.现突然烧断拴住弹簧的轻线, 弹簧便伸长,并推动砝码 1 向上运动,直到砝码 1 与弹簧分离.假 设砝码 1 在以后的运动过程中不会与托盘的顶部相碰.求砝码 1 从 与弹簧分离至再次接触经历的时间.

B

D

C

2

1 A

3

122

13.如图 28 决—2 所示,在水平地面上有一质量为 M、长度为 L 的小车,车内两端靠近底部 处分别固定两个弹簧,两弹簧位于同一直线上,其原长分别为 l1 和 l2,劲度系数分别为 k1 和 k2;两弹簧的另一端分别放着一质量为 m1、m2 的小球,弹簧与小球都不相连。开始时, 小球 1 压缩弹簧 1 并保持整个系统处于静止状态, 小球 2 被锁定在车底板上, 小球 2 与小车 右端的距离等于弹簧 2 的原长。现无初速释放小球 1,当弹簧 1 的长度等于其原长时,立即 解除对小球 2 的锁定;小球 1 与小球 2 碰撞后合为一体,碰撞时间极短。已知所有接触都是 光滑的;从释放小球 1 到弹簧 2 达到最大压缩量时,小车移动了距离 l3.试求开始时弹簧 1 的长度 l 和后来弹簧 2 所达到的最大压缩量 Δl2.
L k1 m1 m2 k2

图 28 决—2

123

刚体力学
一、刚体的转动动能 刚体绕定轴转动时 ,构成刚体的所有质点的动能和,称为刚体的转动动能 .设某时刻刚体 绕 轴转动的角速度为,刚体中任一质元的质量为,离轴的垂直距离为 ri ,则其线速率为 ri ? . 该质元的动能为

?Ei ?

1 1 ?mi ?i2 ? ?mi ri 2 ?2 2 2

将此式对所有质元求和即得整个刚体的动能

1 Ek ? ? ?Ei ? (? ?mi ri 2 )?2 2 i

(3.9a)

定义 I z ? ? ?mi ri 2 为刚体对Z轴的转动惯量
i



Ek ?

1 I z? 2 2

(3.9b)

二、刚体的转动惯量 转动惯量 :定义刚体的转动惯量

I z ? ? ?mi ri 2
i

(3.10)

也就是说,转动惯量等于刚体中每个质元的质量与这一质元到转轴的垂直距离的平方的乘积 的和,而与质元的运动速度无关.与平动动能比较可知,转动惯量相当于平动时的质量.是物体 在转动中惯性大小的量度. 如果刚体的质量是连续分布的,需将(3.10)式的求和变为积分

I ? ? r 2 dm ?体积分 ??? ? r 2 ? dV
V

(3.11)

转动惯量的单位在国际单位中为千克?米 2(kg?m2). 平行轴定理 刚体对任意轴的转动惯量 I,等于它对通过刚体质心且与该轴平行的轴的

转动惯量 Jc,加上刚体的质量与两轴距离 d 的平方的乘积.即

I ? I c ? md2
这一关系称为平行轴定理.

(3.12)

例 1:试求质量为 m、长为 l 的匀质细棒对通过中心且与棒垂直的轴的转动惯量.

124

例 2: 试求质量为 m、半径为 R 的匀质圆盘对过它边缘上一点且垂直于盘面的轴的转动惯 量.

四、力矩与转动定律 力矩 与上章讨论质点角动量中力矩一样,刚体的力矩

? ? ? M ? r ?F
在外力矩的作用下,刚体获得加速度。 转动定律 讨论质点运动时 ,根据牛顿第二定律知 ,当质点所受的合外力大于零时,质点

将获得加速运动;对于刚体,由前面讨论可知,在外力矩的作用下获得角加速度,那么外力矩与 角加速度之间服从怎样的规律?

由于角加速度是矢量,转动惯量 J 是标量,所以力矩的方向与角加速度方向相同,因此其矢 量式为

? ? M ? I?

(3.17b)

上式表明,作定轴转动的刚体所受的合外力矩等于刚体对该转轴的转动惯量与刚体在此合外 力矩作用下所获得的角加速度的乘积.此即为刚体定轴转动的转动定律 。 例 3 一根质量为 m,长为 l 的匀质棒 AB,如图 3.8 所示,棒 可绕一水平的光滑转轴 O 在竖直平面内转动,O 轴离 A 端 的距离为 l/3,今使棒从静止开始由水平位置绕 O 轴转动, 求: (1) 棒在水平位置(启动时)的角速度和角加速度. (2) 棒转到竖直位置时的角速度和角加速度. (3) 棒在竖直位置时,棒的两端和中点的速度和加速度.

125

一、角动量(动量矩) 刚体定轴转动时,刚体上所有质元都在转动平面上作圆周运动.刚体上各个质元对轴的角 动量的方向都相同 ,垂直于转动平面并沿转轴的方向 .因此,定轴转动刚体的角动量大小等于 刚体中各个质元角动量大小的总和 .设刚体中某一质元的质量为 ?mi ,它到转轴的垂直距离 为 ri ,则该质元角动量为

Li ? ri ?mi ?i ? ?mi ri2?
把刚体中所有质元的角动量相加,则得到刚体转动的角动量

? ? ? ? L ? ? Li ? (? ?mi ri2 )? ? J?

(3.22)

由上式可知,刚体绕定轴转动的角动量等于刚体对该转轴的转动惯量与角速度的乘积. 由于角速度是矢量,所以刚体的角动量也是矢量,它的方向与角速度的方向相同. 在国际单位制中,角动量的单位为千克·米 2/秒(kg?m2/s). 同理可定义在 dt 时间内刚体对转轴的元冲量矩为 Mdt,那么在 t1 到 t2 时间内的冲量矩变 为

?

t2

t1

? Mdt . 冲量矩也是矢量,其方向与力矩的方向相同.

2 -1 在国际单位制中,冲量矩的单位为 N?m?s,量纲为 ML T .可见冲量矩和动量矩的量纲相同,它 们之间必有某种关系,下面讨论它们之间的关系. 二、动量矩定理 在刚体绕定轴转动中,若转动惯量为恒量,则刚体的转动定律可以写成

? ? ? ? ? d? d ( J?) dL M ? J? ? J ? ? dt dt dt

(3.23)

这样,刚体转动定律用动量矩可表述为:定轴转动物体的动量矩的时间变化率等于物体所受的 合外力矩. 说明: 上式表示的转动定律比转动定律 M ? J? 具有更广泛的适用性, 它既适用于刚体, 又适用于一般物体,即也适用于质点间距离不恒定,转动惯量可变化的物体。

?

?

? J不变 ? ? 积分 ? 变形 Mdt ? dL ?? ??? ? J变化 ?

? ?

t2

t1 t2

? ? ? Mdt ? J?2 ? J?1 ? ? ? ? ? Mdt ? L ? L0 ? J1?2 ? J 2?1
(3.24)

t1

式(3.24)说明:转动物体(刚体)所受合外力矩的冲量矩等于相应时间内转动物体动量矩的增量. 这一关系称为动量矩(角动量)定理.此定理给出了冲量矩这一过程量与动量矩这一状态之间 的关系.它是力矩对时间的积累效应. 三、动量矩守恒定律
126

如果刚体所受合外力矩为 0,由式(3.23)可得

? ? ? dL ? 0 ? J? ? L ? 恒矢量 dt

(3.25)

即当物体所受合外力矩为零时,物体的动量矩保持不变,称为动量矩守恒定律或角动量守恒定 律. 对于定轴转动,若取逆时针方向为正,瞬时针方向为负,式(3.23) 、 (3.24) 、 (3.25)都可用代 数量表示. 在日常生活中,动量矩守恒的例子很多.例如: (1)对于单个刚体,如果转动惯量为常数,在外力矩为零的条件下,角速度将保持不变.如磨 削用的砂轮,在切断电源后,由于阻力矩很小,可以旋转很长的时间.如果考虑其间一小段时间, 可以认为外力矩为零,故角速度恒定,刚体靠惯性作匀角速度转动. (2)对于转动惯量可变的力学系统.在外力矩为零的条件下,转动惯量减小,角速度增加;反 之,转动惯量增加,角速度减小.如舞蹈演员、 溜冰运动员在做旋转动作时,往往出现两臂张开旋 转,然后迅速把两臂收回靠拢身体,使自己的转动惯量迅速减小,从而使转速加快.停止时,又把 两臂和腿伸开,使转动惯量增加,以降低转速,运动员就可以平稳地停下来. (3)当转动物体由几个刚体组成时,若整个系统所受合外力矩为零,则系统的动量矩守恒, 即有

? ? J1?1 ? J 2?2 ? ? ? 恒量

在工程上,两飞轮常用摩擦齿合器使它们以相同的转速一起转动,如图 3.9 所示, A、B 为 两个飞轮, C 为齿合器,开始时,两飞轮分别以恒定的角速度 ?A 和 ?B 转动,在齿合过程中,系 统受轴向正压力和齿合器间的切向摩擦力 ,前者对转轴的力矩为零,后者为内力,系统不受外 力矩作用,所以系统的动量矩守恒,有

J A ?A ? J B?B ? (J A ? J B )?
两飞轮齿合后共同转动的角速度为

??

J A ?A ? J B?B JA ? JB
127

质点的直线运动(刚体的平动)与刚体的定轴转动的对应关系见下表

例.4 一根质量为 m,长为 2l 的均匀细棒,可以在竖直平面内绕通过其中心的水平轴转动。 开始时细棒在水平位置.一质量为 m1 的小球以速度 u 垂直落到棒的端点.设小球与棒作完

全弹性碰撞.求碰撞后小球的回跳速度以及棒的角速度各等于

128

【综合训练】 1.一个人站在一竹筏的一端用力向垂直于筏身方向水平跳出去。 筏由于受到反冲作用就要旋 转起来。 假定人的质量为 m = 60kg, 筏的质量 M =500kg, 人相对于岸的起跳速度为 3m/s。 求竹筏所获得的角速度。 (假定竹筏的转动惯量近似地可以用细杆的 公式来计算,水的摩擦可以忽略不计) 。筏长 10 m。

2.在半径为 R1、质量为 m 的静止水平圆盘上,站一质量为 m 的人。圆盘可无摩擦地绕通 过圆盘中心的竖直轴转动。当这人开始沿着与圆盘同心,半径为 R2(<R1)的圆周匀速地 走动时,设他相对于圆盘的速度为 v,问圆盘将以多大的角速度旋转?

3.如图所示,转台绕中心竖直轴以角速度 ω 作匀速转动。 转台对该轴的转动惯量 J = 5× 1O-5 kg.m。现有砂粒以 1 g/s 的速度落到转台,并粘在台面形成一半径 r =0.1m 的圆。 试求砂粒落到转台,使转台角速度变为 ω0/2 所花的时间

129

4.在一半径为 R、质量为 m 的水平圆盘的边上,站着一个质量为 m′的人。这圆盘可绕通过 中心的竖直轴转动, 转轴与轴承之间的摩擦阻力可忽略不计。 当人沿盘的边缘走一周回到盘 上原有位置时,这圆盘将转过多大的角度?

5.如图所示,一个质量为 m 的物体与绕在定滑轮上的绳子相联,绳子质量可以忽略,它与定 滑轮之间无滑动。假设定滑轮质量为 M,半径为 R,其转动惯量为

1 MR 2 ,滑轮轴光滑。试求该物体由静止开始下落的过程中, 2
下落速度与时间的关系。 M

R

m

6.质量分别为 m 和 2m、半径分别为 r 和 2r 的两个均匀圆盘,同轴地粘在一 起,可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动,对转轴的转动惯 量为 9mr2/2, 大小圆盘边缘都绕有绳子, 绳子下端都挂一质量为 m 的重物, 如图所示,求盘的角加速度的大小。 m

2r m r

2m

m

130

7.如图所示,一轻绳跨过一定滑轮,滑轮视为薄圆盘,绳的两端分别悬有质量为 m1 和 m2 的 物体( m2 ? m1 ) ,设滑轮的质量为 m,半径为 r,所受到的摩擦阻力的力矩为 Mr,绳和滑 轮之间无相对滑动,试求两个物体的加速度和绳的张力

m1 m2

8.匀质圆盘质量为 m 、半径为 R ,放在粗糙的水平桌面上,绕通过盘心的竖直轴转动,初 始角速度为 ?0 ,已知圆盘与桌面的摩擦系数为 ? ,问经过多长时间后圆盘静止?

9..一质量为 m,长度为 l 的均匀细杆 AB 由一摩擦力可以忽略的铰链悬挂在天花板上,现欲 使细杆恰好自铅垂位置转到水平位置,问需要给细杆的初始角速度为多大

131

10. 有一质量为 m1, 长度为 l 的均匀细杆静止水平放在摩擦系数为 ? 的水平桌面上, 它可绕 通过其端点 O 且与桌面垂直的固定光滑轴转动, 另一质量为 m2 的水平运动的小滑块从侧面 沿垂直于杆的方向与杆的另一端 A 相碰撞,并被反向弹回,碰撞时间极短,已知小滑块与 细杆碰撞前后的速度分别为 v1 , v2 .求: (1)碰撞后杆绕 O 点转动的角加速度 (2)碰撞后从杆开始运动到停止转动所用的时间。

11.如图所示,空心圆环可绕竖直轴 OO ? 自由转动,转动惯量为 J ,环的半径为 R,初始角 速度为 ?0 。质量为 m 的小球静止于环的最高点 A,由于微扰,小球向下滑动。求: (1)当 小球滑到 B 点时,环的角速度、小球相对于环的速度各为多少?(2)小球滑到最低点 C 点 时,环的角速度、小环相对于环的速球度各为多少?

132

12..将质量为 M,长为 L 的匀质细棒的一端悬挂于天花板上,且可绕悬挂点在竖直平面内自 由转动。现有一质量为 m,以 v0 的速率水平运动的子弹击中细棒的中心。 ①若子弹以

1 v0 的速率从棒的中心穿出,求细棒被子弹击中的瞬间所具有 2

的角速度ω ; ②若子弹没有穿透细棒而留在细棒内,则此时细棒角速度ω =? ③若子弹没有穿透细棒, 而是与细棒发生完全弹性碰撞, 则此时碰后细棒的 角速度ω =?子弹的 V = ?

13.一均质细杆,质量为 0.5 kg,长为 0.40 m,可绕杆一端 的水平轴转动。 若将此杆放在水平位置, 然后从静止释放, 试求杆转动到铅直位置时的动能和角速度。
?

计算题 ( 4 )

133

14.长为 l 质量为 m0 的细杆可绕垂直于一端的水平轴自由转动。杆原来处于平衡状态。现有 一质量为 m 的小球沿光滑水平面飞来, 正好与杆下端相碰(设碰撞为完全弹性碰撞)使杆向上 摆到 ? ? 60? 处,如图所示,求小球的初速度。
计算题 ( 1 )

15.长为 l 质量为 m 的均匀杆,在光滑桌面上由竖直位置自然 倒下,当夹角为 θ 时 (见图) ,求: (1)质心的速度; (2)杆的角速度。

134

微积分部分
第一节. 变化率与导数(1)
问题 1:气球膨胀率,求平均膨胀率 吹气球时,随着气球内空气容量的增加,气球的半径增加得越来越慢.从数学的角度如 何描述这种现象? 问题 2:高台跳水 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的高度 h(单位: 米)与起跳后的时间 t (单位: 秒) 存在函数关系 h(t)=-4.9t2+6.5t+10. 如何用运动员在某些时间段内的平均速度粗略地描述其运动状态? 新知:平均变化率:_______________=_______

试试: 设 y ? f ( x) ,x1 是数轴上的一个定点, 在数轴 x 上另取一点 x 2 ,x1 与 x 2 的差记为 ?x , 即 ?x = 或者 x 2 = , ?x 就表示从 x1 到 x 2 的变化量或增量,相应地, ?y 函数的变化量或增量记为 ?y ,即 ?y = ;如果它们的比值 ,则上式就表示 ?x 为 ,此比值就称为平均变化率. 反思:所谓平均变化率也就是 的增量与 的增量的比值.

※ 典型例题 2 例 1 已知函数 f ( x) ? x ,分别计算 f ( x ) 在下列区间上的平均变化率: (1)[1,1.1]; (2)[1,2]

变式:已知函数 f ( x) ? ? x2 ? x 的图象上一点 (?1, ?2) 及邻近一点 (?1 ? ?x, ?2 ? ?y) ,则

?y = ?x

小结
1.函数 f ( x ) 的平均变化率是 2.求函数 f ( x ) 的平均变化率的步骤: (1)求函数值的增量 (2)计算平均变化率 ※ 学习探究二 问题 3:计算运动员在 0 ? t ?

65 这段时间里的平均速度,并思考以下问题: 49
135

⑴运动员在这段时间内使静止的吗?

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗? 新知: 1. 瞬时速度定义:物体在某一时刻(某一位置)的速度,叫做瞬时速度. 2.导数的概念 从函数 y=f(x)在 x=x0 处的瞬时变化率是:

?x ?0

lim

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?y ? lim ?x ?0 ?x ?x
'

我 们称它为函数 y ? f ( x) 在 x ? x0 出的导数 ,记作 f ' ( x0 ) 或 y |x? x0 ,即

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ?x ?0 ?x 1. f ?( x0 )与x0的值有关.不同的x0 ,其导数值 f ?( x0 ) ? lim

一般也不相同. 说明: 2. f ?( x0 )与?x的具体取值无关。 3. f ?( x0 )可以不存在。

※ 典型例题

4. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称.
' 例2 f(x)=3x+5, 求f ( 2)

练习 位移s(t)(单位:m)与时间t(单位 : s) 的关系为: s(t ) ? 3t ? 1, 求t ? 2时的瞬时速度v.

例 3 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品,需要对原油进行冷却和加热. 如果 在第 xh 时,原油的温度(单位: 0c )为 f ( x) ? x2 ? 7 x ? 15(0 ? x ? 8) . 计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它们的意义.

小结
利用导数的定义求导,步骤为: 第一步,求函数的增量 ?y ? f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) ; 第二步:求平均变化率

?y f ( x0 ? ?x) ; ? ?x ?x
?x ?0

第三步:取极限得导数 f ?( x0 ) ? lim

?y . ?x

[练习] 1. y ? 2 x ? 1 在 (1, 2) 内的平均变化率为( ) A.3 B.2 C.1 D.0 2. 设函数 y ? f ( x) ,当自变量 x 由 x0 改变到 x0 ? ?x 时,函数的改变量 ?y 为( A. f ( x0 ? ?x) B. f ( x0 ) ? ?x C. f ( x0 )?x D. f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 )
136



3. 质点运动动规律 s ? t 2 ? 3 ,则在时间 (3,3 ? ?t ) 中,相应的平均速度为( ) 9 A. 6 ? ? t B. 6 ? ?t ? ?t C. 3 ? ? t D. 9 ? ? t 4. y ? x2 ? 2x ? 3 在 x ? 2 附近的平均变化率是____ 5. 一直线运动的物体,从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的位移为 ?s ,那么 lim ?s 为( ?t ? 0 ? t A.从时间 t 到 t ? ?t 时,物体的平均速度; B.在 t 时刻时该物体的瞬时速度; C.当时间为 ?t 时物体的速度; D.从时间 t 到 t ? ?t 时物体的平均速度 6. y ? x 2 在 x =1 处的导数为( ) A.2 x B.2 C. 2 ? ?x D.1
王新敞
奎屯 新疆



7. 在 f ?( x0 ) ? lim

?x ?0

f ( x0 ? ?x) ? f ( x0 ) 中, ?x 不可能( ?x



A.大于 0 B.小于 0 C.等于 0 D.大于 0 或小于 0 8.如果质点 A 按规律 s ? 3t 2 运动,则在 t ? 3 时的瞬时速度为 1 f [ x0 ? k ] ? f ( x0 ) 2 9. 若 f ?( x0 ) ? ?2 ,则 lim 等于 k ?0 k 10. 国家环保局对长期超标排污,污染严重而未进行治理的单位,规定出一定期限,强令 在此期限内完成排污治理. 下图是国家环保局在规定的排污达标日期前,对甲、乙两家企业 连续检测的结果(W 表示排污量) ,哪个企业治理得比较好?为什么?

11 一质量为 3kg 的物体作直线运动,设运动距离 s(单位:cm)与时间(单位:s)的关系可用 1 函数 s(t ) ? 1 ? t 2 表示,并且物体的动能 U ? mv 2 . 求物体开始运动后第 5s 时的动能. 2

第二节.几个常用函数导数
探究任务一:函数 y ? f ( x) ? c 的导数. 问题:如何求函数 y ? f ( x) ? c 的导数

137

新知: y ? ? 0 表示函数 y ? c 图象上每一点处的切线斜率为 若 y ? c 表示路程关于时间的函数,则 y ? ? ,可以解释为 即一直处于静止状态. 试试: 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

.

※ 典型例题
例 1 求函数 y ? f ( x) ?
1 的导数 x

变式: 求函数 y ? f ( x) ? x2 的导数

例 2 画出函数 y ? 方程.

1 的图象.根据图象,描述它的变化情况,并求出曲线在点 (1,1) 处的切线 x

变式 1:求出曲线在点 (1, 2) 处的切线方程.

变式 2:求过曲线上点 (1,1) 且与过这点的切线垂直的直线方程.

小结:利用导数求切线方程时,一定要判断所给点是否为切点,它们的求法是不同的. 练 1. 求曲线 y ? 2 x2 ? 1 的斜率等于 4 的切线方程
138

(理科用)练 2. 求函数 y ? f ( x) ? x 的导数

3. 在曲线 y ? x 2 上的切线的倾斜角为 A. (0, 0) 4. 过曲线 y ? B. (2, 4)

? 的点为( 4 1 1 1 1 C. ( , ) D. ( , ) 4 16 2 4



1 上点 (1,1) 且与过这点的切线平行的直线方程是 x 5. 物体的运动方程为 s ? t 3 ,则物体在 t ? 1 时的速度为

,在 t ? 4 时的速度为

6.. 氡气是一种由地表自然散发的无味的放射性气体.如果最初有 500 克氡气,那么 t 天后, 氡气的剩余量为 A(t ) ? 500 ? 0.834t ,问氡气的散发速度是多少?

第三节 基本初等函数的导数公式及导数的运算法则
C ' ? 0 ;( x )' ? nxn?1 ;(sin x)' ? cos x ;(cos x)' ? ? sin x ;
n

(a x )? ? a x ln a(a ? 0) ;(e

x

)? ? e x ;

(log x)? ?
a

1 1 (a ? 0, 且 a ? 1) ; (ln x)? ? . x ln a x

二、新课导学 ※ 学习探究 探究任务:两个函数的和(或差)积商的导数
新知: [ f ( x) ? g ( x)]? ? f ?( x) ? g ?( x)
[ f ( x)?g ( x)]? ? f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x)

[

f ( x) f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) ]? ? g ( x) [ g ( x)]2

试试:根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则,求函数 y ? x3 ? 2x ? 3 的导数.

※ 典型例题 例 1 假设某国家在 20 年期间的年均通贷膨胀率为 5%, 物价 p (单位: 元)与时间 t (单位: 年)
有如下函数关系 p(t ) ? p0 (1 ? 5%)t ,其中 p0 为 t ? 0 时的物价.假定某种商品的 p0 ? 1 ,那么在
139

第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到 0.01)?

变式:如果上式中某种商品的 p0 ? 5 ,那么在第 10 个年头,这种商品的价格上涨的速度大 约是多少?

例 2 日常生活中的饮用水通常是经过净化的. 随着水纯净度的提高, 所需净化费用不断增加. 5284 已知将 1 吨水净化到纯净度为 x % 时所需费用 (单位: 元) 为 c( x) ? (80 ? x ? 100) . 求 100 ? x 净化到下列纯净度时,所需净化费用的瞬时变化率: (1)90%; (2)98%.

练 1. 求下列函数的导数: (1) y ? x3 ? log2 x ; (2) y ? xn ex ; (3) y ?

x3 ? 1 sin x

2. 函数 y ? sin x(cos x ?1) 的导数是( ) A. cos 2 x ? cos x B. cos 2 x ? sin x C. cos 2 x ? cos x D. cos2 x ? cos x cos x 3. y ? 的导数是( ) x sin x A. ? 2 B. ? sin x x x sin x ? cos x x cos x ? cos x C. ? D. ? 2 x x2 2 4. 函数 f ( x) ? 13 ? 8 x ? 2 x ,且 f ?( x0 ) ? 4 , 则 x0 = sin x 5.曲线 y ? 在点 M (? , 0) 处的切线方程为 x 3V 1. 求描述气球膨胀状态的函数 r (V ) ? 3 的导数. 4?
140

2. 已知函数 y ? x ln x . (1)求这个函数的导数; (2)求这个函数在点 x ? 1 处的切线方程.

第四节 复合函数求导
复习 1:求 y ? x 3 ( x 2 ? 4) 的导数

复习 2:求函数 y ? (2 x ? 3)2 的导数

复合函数的求导法则: 两个可导函数复合而成的复合函数的导数等于函数对中间变量的导数乘上中间变量对 自变量的导数.用公式表示为:yx? ? yu? ? 其中 u 为中间变量.即: y 对 x 的导数等于 y 对 ux? ,
u 的导数与 u 对 x 的导数的乘积.

反思:求复合函数的导数,关键在于分析清楚函数的复合关系,选好中间变量。

※ 典型例题 例 1 求下列函数的导数: (1) y ? (2 x ? 3)2 ; (2) y ? e?0.05 x ?1 ; (3) y ? sin(? x ? ? ) (其中 ? , ? 均为常数)

变式:求下列函数的导数: x (1) y ? cos ; (2) y ? x ? 1 3

141

例 2 求描述气球膨胀状态的函数 r (V ) ?

3

3V 的导数. 4?

练 2. 一个距地心距离为 r ,质量为 m 的人造卫星,与地球之间的万有引力 F 由公式 GMm F ? 2 给出,其中 M 为地球队质量, G 为常量,求 F 对于 r 的瞬时变化率. r

1. 设 y ? sin 2 x ,则 y ? =( A. sin 2 x B. 2 sin x

) C. 2sin 2 x D. cos 2 x

2. 已知 f ( x) ? ln( x ? x 2 ? 1) ,则 f ?( x) 是( ) A.奇函数 B.偶函数 C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数
1 x3 ? ax )(a? 0,a? 1) 3. 若函数 f ( x) ? log 在区间 (? , 0) 内单调递增,则 a 的取值范围是 a ( 2 ( ) 1 3 9 9 A. [ ,1) B. [ ,1) C. ( , ??) D. (1, ) 4 4 4 4 4. (log 2 (?2 x ? 3))? = 5. (lg tan x)? =

6.(1) y ? ( x ? 1)99 ; (2) y ? 2e? x ; (3) y ? 2 x sin(2 x ? 5)

7.. 求下列函数的导数; (1) y ? 2 x tan x ; (2) y ? ( x ? 2)3 (3x ? 1)2 ; (3) y ? 2x ln x ; (4) y ?
x2 (2 x ? 1)3

例 5.求 y ? sin n x.sin nx 的导数.

练习:1.求 y ? x ? x ? x 的导数. 2.求 y ? 3 求y?

x

x



x x 的导数.
142

x

第五节

隐函数及参数方程确定的函数求导

一.隐函数求导 1.何谓隐函数?:微积分研究的函数主要是用解析法表示的,而应用解析法表示 的函数也有多种不同的方式.隐函数就是用解析法表示函数的另一种方式.何谓隐 函数?指的是当自变量 x 与因变量 y 之间的对应法则是由方程 F ?x, y ? ? 0 所确定 的.例如:由方程 5x ? 4 y ? 1 ? 0 就可确定一个隐函数 y ?
1 ?5 x ? 1? 或 x ? 1 ?4 y ? 1? 4 5

隐函数的求导法 其实隐函数非常简单,只有一个技巧;两边同时求导. 例 1.求由方程 tan x ? tan y ? xy 所确定的函数 y ? y?x ? 的导数

例 2.设 e

x? y

? xy 确定了一个隐函数 y ? y?x ? ,求

d2y dx 2

例 3.求 y ?

x2 1? x

3? x
3

?3 ? x ?

2

的导数.

143

例 4。求 y ?

x

x

的导数。 ( x ? 0)

例 5.溶液自水深 18 厘米,顶直径 12 厘米的正圆锥形漏斗中漏入一直径为 10 厘米的圆柱形筒中。开始时漏斗中盛满溶液。已知当溶液在漏斗中深为 12 厘米 时,其表面下降的速率为每分钟 1 厘米,问:此时圆柱形筒中溶液表面上升的速 率为多少?

第六节 一.引例

微分

前面研究了导数 f ? ? x0 ? ? lim

?x ?0

?y ,有时候,我们需要单独计算 ?x

它是关于 ?x 的函数。 比如, 设 y ? f ? x ? ? x2 , ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 的值.显然,
2 ? 2 x0 ?x ? ? ?x ? . 则有 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ? ? x0 ? ?x ? ? x0 2 2

一般说来,当 f ?x ? 的 表达式稍微复杂一点时 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? 不好求, 比如,y ? f ? x ? ? sin x, ?y ? sin ? x0 ? ?x ? ? sin x0 。 而在很多实际问题中, 我们对 ?y 的精确值并不感兴趣,只要能求出它的满足一定精度的近似值即可.为此,我们 有一个想法:能否用关于 ?x 的函数一个较简单的函数作为 ?y 的近似替代值?当 然,必须保证这种近似计算带来的精度.我们知道关于 ?x 的最简单的函数莫过于 线性函数 y ? A?x 了. 于是,我们可以把想法提得更诱人一点:在满足一定的条件下,可否用性函 数 y ? A?x 近似替代 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ?
144

即, ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ? A?x ? 当然,为了保证精度,还因应有:

| ?y ? A?x |? o??x ? (?)
如果可以做到,我们就称函数 y ? f ?x ?在点 x ? x0 处可微分. 下面看一个具体的例子。 1.引例.(热胀冷缩现象)一均匀的正方形薄铁片热胀后其边长由原来的 x0 变为

x0 ? ?x 。试求其面积增大了多少?
解:设边长为 x 的正方形薄铁片的面积为 s ? x ? ? x2 , 则所求面积的增大量即为面积函数 s ? x ? ? x2 在 x0 处的增量
2 ?s ? s ? x0 ? ?x ? ? s ? x0 ? ? ? x0 ? ?x ? ? x0 ? 2 x0 ?x ? ? ?x ? 2 2



? A?x ? 0 ? ?x ?

?

注意:此引例中, ?s 果然可表示成两个部分之和,其中的 A?x ? 2x0?x 部分称为
?s 的线性主部;我们就称之为函数 s ? s?x ? 在 x0 处的微分,记为: ds|
x ? x0

.

显然,在这样的记号下, ?s ? ds| 简单吗?这种说法有没有道理? 二.微分的概念

x ? x0

.有的同学这样问:干脆把 0??x? 也忽略不更

1.定义 1.若函数 y ? f ?x ?在 x0 处的增量 ?y 可表示为 ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ?

? A?x ? 0 ? ?x ? ,其中 A 是与 ?x 无关的常数,则称函数 y ? f ?x ? 在 x0 处可微分,
并称 A?x 为 y ? f ?x ? 在 x0 处的微分,记作 dy|
x ? x0

? A?x ,或者 df |

x ? x0

? A?x .

注意:由微分的定义可见,当 y ? f ?x ? 在 x0 处可微分时且 | ?x | 很小时,有下 述的近似计算公式: ?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ? dy| 2.可微与可导间的关系 定理 1.函数 y ? f ?x ?在 x0 可微 ? 函数 y ? f ?x ?在 x0 可导. 证明: (必要性)若函数 y ? f ?x ?在 x0 可微,即
x ? x0

.-------------(1)

?y ? f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ? A?x ? 0 ? ?x ? ,
145

其中 A 是与 ?x 无关的常数,用 ?x 除上式等号两端,有
?y 0??x ? ? A? . ?x ?x ?y 0??x ? ? A ? lim ? A, 于是, lim ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x

所以,函数 y ? f ?x ?在 x0 可导,且

f ?x ? ? A。
/ 0

(充分性)若函数 y ? f ?x ?在 x0 可导,即
/ ?y ? f ? x0 ? 存在, ?x ? 0 ? x 根据有极限函数与无穷小之间的关系,有 / ?y ? f ? x0 ? ? ? ? ?x ? , ( lim ? ? ?x ? ? 0). ?x ?0 ?x

lim

或 ?y ?

f ? x0 ? ?x ? ? ? ?x ? ?x ? A ? ?x ?? 0 ? ?x ? ,其中 A ? f ? ? x0 ? ,
/

?

是与 ?x 无关的函数; o??x ? ? ? ??x ??x 是关于 ?x 高阶无穷小. 注意: (1)由定理 1 的证明可见,当函数 y ? f ?x ?在 x0 处可微分时,
dy|
x ? x0

? f ? ? x0 ? ?x ;

(2)一元函数的可导性与可微性是等价的; (3)微分的几何解释(作图) :在 x0 的充分小的邻域内,可用 x0 处的一小 段切线段来近似替代 x0 处的一小段曲线段; (4)如果 y ? f ?x ?在区间 I 上每一点处都可微,则称 y ? f ?x ? 为区间 I 上 的可微函数, y ? f ?x ?在区间 I 上的微分记作: dy ? f ? ? x ? ?x ? y??x --------(2) (5) dy|
x ? x0

? f ? ? x0 ? ?x 在不至于引起混淆的情况下也可简为记 dy .

例 1. y ? x3 ? x ,计算在 x0 ? 2, ?x ? 0.01 时的 ?y, dy .

例 2. y ? x ,求 dy .

146

注意: (1)由例 2 可见,自变量的微分 dx 等于自变量的增量,即 dx ? ?x 。 (之 所以如此,是因为 y ? x 本身就是线性函数。 ) (2)故 dy ? y?dx . (3)由上式,两边同除以 dx 由可得到: y? ?
dy ,因此导数就是微分之商, dx dy 所以,前苏联的微积分教材中就称导数为“微商” 。在前面我们强调 作 dx

为导数的整体记号,其中的 dy 与 dx 不可拆开,那是因为当时还没有讲过 微分的概念, 不知拆开后的记号 dy 及是 dx 什么含义.现在可以明确告诉大
dy 中的 dy 与 dx 可以根据我们的兴趣随时拆开, 并且这其实 dx 也正是计算函数导数的一种常用方法.一会儿举一个这方面的例子.

家: 导数记号

(4)今后,在计算函数的微分时,为美观起见,建议大家用 dy ? y?dx 来表示. 例 3.求 y ? sin x2 的微分

例 5.求由方程 x2 ? 2xy ? y2 ? 2x ? 0 所确定的隐函数的导数

dy . dx

? x ? ln?t ? 1? dy 例 6 求? 所确定的 . dx ? y ? arctant

五.微分在近似计算中的应用 1.三个常用的近似计算公式 如果函数 y ? f ?x ?在 x0 处可微, | ?x | 很小,则 (1) ?y ? dy ?

f ? x ? ?x ;
/ 0

(2) f ? x0 ? ?x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ? ?x ;
147

(3) f ? x ? ? f ? x0 ? ? f ? ? x0 ?? x ? x0 ? 。 特别地,当 x0 ? 0, 且 | ?x | 很小时,上式就是

f ? x ? ? f ? 0? ? f ? ? 0? x.
注意: (1)当 f ?x ? 是超越函数时,当 x0 ? 0, 且 ?x 很小时,可用线性函数近似计 算它的函数值.例如:

(1). f ? x ? ? sin x,sin x ? x; (2). f ? x ? ? tan x, tan x ? x;
(3).ln ?1`? x ? ? x; (4) f ? x ? ? n 1 ? x ? 1 ? ; (5) f ? x ? ? ex , ex ? 1? x.
以上五公式要求会背会套用,. (2)不可误认为上述五公式就是前面第一章学过的等价无穷小公式. 例 11.求 3 131 的近似值
x n

例 12.求 cos 290 的近似值

解:设 f ?x ? ? cos x ,则

f ?x? ? ? sin x .
/

补充作业:求: tan1360 ,arcsin 0.5002 的近似值.

例 13.设已测得一根圆轴的直径为 43 cm ,并知在测量中的绝对误差不超过 0.2 cm .试求以此数据计算圆轴的横截面积时所引起的误差.

148

第七节函数的单调性与导数
复习 1:以前,我们用定义来判断函数的单调性. 对于任意的两个数 x1,x2∈I,且当 x1<x2 时,都有= 的 函数. 复习 2: C ' ?
(loga x)' ?

,那么函数 f(x)就是区间 I 上

( xn )' ? ;
; (e )' ?
x x

(sin x) ' ? ;

(cos x) ' ? ;

(ln x) ' ? ;



; (a )' ?



y
探究任务一:函数的导数与函数的单调性的关系: 问题:我们知道,曲线 y ? f ( x) 的切线的斜率就是函数 y ? f ( x) 的 导数.从函数 y ? x 2 ? 4 x ? 3 的图像来观察其关系: y=f(x)=x2-4x+3 (2,+∞) (-∞,2) 在区间 (2,? ? ) 内, 切线的斜率为 , 函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的增大而 时,函数 y ? f ( x) 在区间(2, ? ? )内为 函数; 在区间 ( ??, 2) 内, 切线的斜率为 , 函数 y ? f ( x) 的值随着 x 的增大而 ? 0 时,函数 y ? f ( x) 在区间( ? ? ,2)内为 函数. , 即 y? ? 0 , 即 y/ 切线的斜率 f′(x)
B O
1 2 3

f?x? = ?x2-4?x?+3

A

x

新知:一般地,设函数 y ? f ( x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间内的增函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y ? f ( x) 在这个区间 内的减函数. 试试: 判断下列函数的的单调性, 并求出单调区间: (1)f ( x) ? x3 ? 3x ; (2)f ( x) ? x2 ? 2 x ? 3 ; (3) f ( x) ? sin x ? x, x ? (0, ? ) ; (4) f ( x) ? 2 x3 ? 3x2 ? 24 x ? 1.

反思:用导数求函数单调区间的三个步骤: ①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递增区间. ③令 f ?( x) ? 0 解不等式,得 x 的范围就是递减区间. . 求证:函数 f ( x) ? 2 x3 ? 6 x2 ? 7 在 (0, 2) 内是减函数.

149

※ 知识拓展 一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大, 那么函数在这个范围内变化得快, 这时, 函数的图象就比较 “陡 峭” (向上或向下) ; 反之, 函数的图象就 “平缓” 一些. 如图, 函数 y ? f ( x) 在 (0, b) 或 (a, 0) 内的图象“陡峭” ,在 (b, ?? ) 或 (??, a) 内的图象“平缓”.
【练习】1. 若 f ( x) ? ax3 ? bx2 ? cx ? d (a ? 0) 为增函数,则一定有( A. b ? 4ac ? 0 B. b ? 3ac ? 0 2 C. b ? 4ac ? 0 D. b 2 ? 3ac ? 0 2. (2004 全国)函数 y ? x cos x ? sin x 在下面哪个区间内是增函数( ? 3? A. ( , ) B. (? , 2? ) 2 2 3? 5? C. ( , ) D. (2? ,3? ) 2 2 3. 若在区间 (a, b) 内有 f ?( x) ? 0 ,且 f (a) ? 0 ,则在 (a, b) 内有( ) A. f ( x ) ? 0 B. f ( x) ? 0 C. f ( x ) ? 0 D.不能确定
2 2





4.函数 f ( x) ? x3 ? x 的增区间是 5.已知 f ( x) ? x ? 2xf ?(1) ,则 f ?(0) 等于
2

,减区间是

课后作业
1. 判断下列函数的的单调性,并求出单调区间: (1) f ( x) ? x3 ? x 2 ? x ; (2) f ( x) ? 3x ? x3 ; (3) f ( x) ? x ? cos x, x ? (0, ) . 2

?

第八节 函数的极值与导数
复习 1:设函数 y=f(x) 在某个区间内有导数,如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在 这个区间内为 函数;如果在这个区间内 y ? ? 0 ,那么函数 y=f(x) 在为这个区间内的 函数. 复习 2:用导数求函数单调区间的步骤:①求函数 f(x)的导数 f ?( x) . ②令 解不 等式,得 x 的范围就是递增区间.③令 解不等式,得 x 的范围,就是递减区间 . 探究任务一: 问题 1:如下图,函数 y ? f ( x) 在 a, b, c, d , e, f , g , h 等点的函数值与这些点附近的函数值有什 么关系? y ? f ( x) 在这些点的导数值是多少?在这些点附近,y ? f ( x) 的导数的符号有什么 规律?

150

看出,函数 y ? f ( x) 在点 x ? a 的函数值 f (a) 比它在点 x ? a 附近其它点的函数值都 , f ?(a ) ? ;且在点 x ? a 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 类似地,函数 y ? f ( x) 在点 x ? b 的函数值 f (b) 比它在点 x ? b 附近其它点的函数值都 , f ?(b) ? ; 而且在点 x ? b 附近的左侧 f ?( x) 0,右侧 f ?( x) 0. 新知: 我们把点 a 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值点, f (a) 叫做函数 y ? f ( x) 的极小值;点 b 叫做函 数 y ? f ( x) 的极大值点, f (b) 叫做函数 y ? f ( x) 的极大值. 极大值点、极小值点统称为极值点,极大值、极小值统称为极值. 极值反映了函数在某一点附近的 , 刻画的是函数的 . 试试: (1)函数的极值 (填是,不是)唯一的. (2) 一个函数的极大值是否一定大于极小值. (3)函数的极值点一定出现在区间的 (内,外)部,区间的端点 极值点. 反思:极值点与导数为 0 的点的关系: 导数为 0 的点是否一定是极值点. 比如:函数 f ( x) ? x3 在 x=0 处的导数为 (是或不是)极值点. 即:导数为 0 是点为极值点的

(能,不能)成为

,但它 条件.

※ 典型例题
1 例 1 求函数 y ? x3 ? 4x ? 4 的极值. 3

y 变式 1: 已知函数 f ( x) ? ax ? bx ? cx 在点 x0 处取得极大 值 5,其导函数 y ? f ?( x) 的图象经过点 (1,0) , (2, 0) ,如
3 2

图所示,求 (1) x0 的值(2)a,b,c 的值.

o

1

2

x

小结:求可导函数 f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求导数 f′(x); (3)求方程 f′(x)=0 的根
王新敞
奎屯 新疆

151

(4)用函数的导数为 0 的点,顺次将函数的定义区间分成若干小开区间,并列成表格.检查 f′(x)在方程根左右的值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在这个根处取得极大值;如果左负 右正,那么 f(x)在这个根处取得极小值;如果左右不改变符号,那么 f(x)在这个根处无极值. 变式 2:已知函数 f ( x) ? x3 ? 3x2 ? 9x ? 11 . (1)写出函数的递减区间; (2)讨论函数的极大值和极小值,如有,试写出极值; (3)画出它的大致图象.

x 2 ? ax ? b , x ∈(0,+∞).是否存在实数 a、 b ,使 f ( x) 同时满足下列两 x 个条件: (1) f ( x) 在 (0,1) 上是减函数,在 [1, ??) 上是增函数; (2) f ( x) 的最小值是 1; 若存在,求出 a、 b ,若不存在,说明理由.
2 已知 f ( x) ? log 3

6 2 3 函数 f ( x) ? x3 ? ax2 ? b 在区间 [?1,1] 上的最大值为 1, 最小值为 ? , ? a ? 1, 2 3 2 求函数的解析式.

变式: 设

【练习】 1..在边长为 60 cm 的正方形铁片的四角切去边长都为 x 的小正 方形, 再把它的边沿虚线折起(如图), 做成一个无盖的方底箱子, 箱底的边长是多少时,箱底的容积最大?最大容积是多少?

x x 60 x x

60

152

2.班级举行活动,通常需要张贴海报进行宣传.现让你设计一张如图所示的竖向张贴的海报, 要求版心面积为 128dm 2 , 上、 下两边各空 2dm , 左、 右两边各空 1dm .如何设计海报的尺寸, 才能使四周 空白面积最小?

3.. 某制造商制造并出售球形瓶装的某种饮料.瓶子的制造成本是 0.8? r 2 分,其中 r 是瓶子的 半径,单位是厘米.已知每出售 1 mL 的饮料,制造商可获利 0.2 分,且制造商能制作的瓶子 的最大半径为 6 cm .问(1)瓶子半径多大时,能使每瓶饮料的利润最大?(2)瓶子半径多 大时,每瓶饮料的利润最小?

4..在半径为 r 的半圆内作一内接梯形,使其下底为直径,其他三边为圆的弦,求梯形面积最 大时,梯形的上底长为多少?

3 2 5.设函数 f ? x ? ? x ? bx ? cx( x ? R) ,已知 g ( x) ? f ( x) ? f ?( x) 是奇函数。

(Ⅰ)求 b 、 c 的值。 (Ⅱ)求 g ( x) 的单调区间与极值。 设 a 为实数,函数 f ( x) (Ⅰ)求 f ( x) 的极值.

? x 3 ? x 2 ? x ? a.

(Ⅱ)当 a 在什么范围内取值时,曲线 y ? f ( x)与x 轴仅有一个交点.

153

6.已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) (1)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x) 在[-2,2] 上的最大值和最小值; (2)若 f ( x) 在(—∞,—2]和[2,+∞)上都是递增的,求 a 的取值范围.

7.已知 a≥ 0 ,函数 f(x) = ( x -2ax) e (1) 当 x 为何值时,f(x)取得最小值?证明你的结论; (2)设 f(x)在[ -1,1]上是单调函数,求 a 的取值范围.

2

x

154

8. 已 知 函 数 f ( x) ? x ? b 的 图 象 与 函 数 g ( x) ? x 2 ? 3x ? 2 的 图 象 相 切 , 记 F ( x) ? f ( x) g ( x) . (Ⅰ)求实数 b 的值及函数 F ( x) 的极值; (Ⅱ)若关于 x 的方程 F ( x) ? k 恰有三个不等的实数根,求实数 k 的取值范围.

9.已知函数 f ( x) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 的图象为曲线 E. (Ⅰ) 若曲线 E 上存在点 P,使曲线 E 在 P 点处的切线与 x 轴平行,求 a,b 的关系; (Ⅱ) 说明函数 f ( x) 可以在 x ? ?1 和 x ? 3 时取得极值,并求此时 a,b 的值; (Ⅲ) 在满足(2)的条件下, f ( x) ? 2c 在 x ?[?2 , 6] 恒成立,求 c 的取值范围.

155

定积分及其应用
学习目标
理解定积分的概念,掌握定积分的基本性质. 掌握变上限定积分的导数的计算方法. 熟练应用牛顿-莱布尼兹公式计算定积分,熟练掌握定积分的换元积分法和分部积分法. 了解定积分在经济管理中的应用,会利用定积分计算平面图形的面积.

定积分和不定积分是积分学中密切相关的两个基本概念,定积分在自然科学和实际问题 中有着广泛的应用.本章将从实例出发介绍定积分的概念、 性质和微积分基本定理,最后讨论 定积分在几何、物理上的一些简单应用.

5.1

定积分的概念与性质

定积分无论在理论上还是实际应用上, 都有着十分重要的意义, 它是整个高等数学最重 要的内容之一.

5.1.1 实例分析
1.曲边梯形的面积 在初等数学中,我们已经学会计算多边形和圆的面积 ,至于任意曲边所围成的平面图形 的面积,只有依赖于曲边梯形并利用极限的方法才能得到比较完满的解决. 所谓曲边梯形 ,就是在直角坐标系中 , 由直线 x ? a, x ? b, y ? 0 及曲线 y ? f ( x) 所围 成的图形,如图 5.1(a),(b),(c)都是曲边梯形. y

y

y b

a

o (a)

b

x

a

o (b) 图 5.1

b x

a

o (c)

x

现在求 f ( x) ? 0 时,在连续区间 [ a, b] 上围成的曲边梯形的面积 A(如图 5.1(a),(b) 所示) ,用以往的知识没有办法解决.为了求得它的面积,我们按下述步骤来计算: (1)分割——将曲边梯形分割成小曲边梯形 在区间 [ a, b] 内任意插入 n ? 1 个分点:a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn?1 ? xn ? b ,把区间
156

[a, b] 分成 n 个小区间: [ x0 , x1 ],[ x1 , x2 ],?[ xi ?1, xi ],?,[ xn?1 , xn ] ,第 i 个小区间的长度为

?xi ? xi ? xi ?1 (i ? 1,? ? ?, n) ,过每个分点作垂直于 x 轴的直线段,它们把曲边梯形分成 n 个
小曲边梯形(图 5.2) ,小曲边梯形的面积记为 ?Ai (i ? 1,2,? ? ?n) . y

a ? x0 x1 x2

o

?i xi ?1 xi

xn?1 xn ? b

x

图 5.2 (2)近似——用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积 在小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ? i (i ? 1,2,? ? ?, n) , 作以 [ xi ?1 , xi ] 为底, f (? i ) 为高的小矩 形,用小矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积,则

?Ai ? f (? i )?xi (i ? 1,2,? ? ?, n) .
(3)求和——求 n 个小矩形面积之和 n 个小矩形面积之和近似等于曲边梯形之和 A ,即

A ? ?A1 ? ?A2 ? ? ? ? ? ?An ? f (?1 )?x1 ? f (? 2 )?x2 ? ? ? ? ? f (? n )?xn
? ? f (? i )?xi .
i ?1 n

(4)取极限 令 ? ? max ??xi ?,当分点 n 无限增多且 ? ? 0 时,和式
1? i ? n

? f (? )?x 的极限便是曲边
i ?1 i i

n

梯形的面积 A,即

A ? lim ? f (? i )?xi .
? ?0
i ?1

n

2.变速直线运动的路程 设一物体作变速直线运动, 其速度是时间 t 的连续函数 v ? v(t ) , 求物体在时刻 t ? T1 到

t ? T2 间所经过的路程 S .
我们知道,匀速直线运动的路程公式是:S ? vt ,现设物体运动的速度 v 是随时间的变 化而连续变化的,不能直接用此公式计算路程,而采用以下方法计算: (1)分割——把整个运动时间分成 n 个时间段
157

在时间间隔 [T1 , T2 ] 内任意插入 n ? 1 个分点: T1 ? t 0 ? t1 ? ? ? ? ? t n?1 ? t n ? T2 ,把

[T1 , T2 ] 分成 n 个小区间: [t 0 , t1 ],[t1 , t 2 ],? ? ?[t i ?1, ti ],? ? ?,[t n?1 , t n ] ,第 i 个小区间的长度为
?ti ? ti ? ti ?1 (i ? 1,2,? ? ?n), 第 i 个时间段内对应的路程记作 ?S i (i ? 1,2,? ? ?n) .
(2)近似——在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代替变速直线运动的路程 在 小 区 间 [t i ?1 , t i ] 上 任 取 一 点 ? i (i ? 1,2,? ? ?n) , 用 速 度 v(? i ) 近 似 代 替 物 体 在 时 间

[t i ?1 , t i ] 上各个时刻的速度,则有 ?Si ? v(? i )?ti (i ? 1,2,? ? ?, n) .
(3)求和——求 n 个小时间段路程之和 将所有这些近似值求和,得到总路程的近似值,即

S ? ?S1 ? ?S 2 ? ? ? ? ? ?S n ? v(?1 )?t1 ? v(? 2 )?t 2 ? ? ? ? ? v(? i )?t n
? ? v(? i )?t i .
i ?1 n

(4)取极限 令 ? ? max ??t i ?,当分点的个数 n 无限增多且 ? ? 0 时,和式
1?i ? n

? v(? )?t 的极限便是
i ?1 i i

n

所求的路程 S .即

S ? lim ? v(? i )?t i
? ?0
i ?1

n

从上面两个实例可以看出, 虽然二者的实际意义不同, 但是解决问题的方法却是相同的, 即采用“分割-近似-求和-取极限”的方法,最后都归结为同一种结构的和式极限问题.类似 这样的实际问题还有很多, 我们抛开实际问题的具体意义, 抓住它们在数量关系上共同的本 质特征,从数学的结构加以研究,就引出了定积分的概念.

5.1.2 定积分的概念
定义 5.1 设函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上有定义,任取分点 a ? x0 ? x1 ? x2 ? ? ? ? ? xn?1 ? xn ? b 把区间 [a, b] 任意分割成 n 个小区间 [ xi ?1 , xi ] ,第 i 个小区间的长度为 ?xi ? xi ? xi?1 (i ? 1,? ? ?, n) , 记 ? ? max ??xi ?.在每个小区间 [ xi ?1 , xi ] 上任取一点 ? i (i ? 1,2,? ? ?, n) 作和式
1? i ? n

? f (? )?x ,
i ?1 i i

n

当 ? ? 0 时,若极限 lim
? ?0

? f (? )?x 存在(这个极限值与区间 [a, b] 的分法及点 ? 的取法无
i ?1 i i

n

i

158

关) ,则称函数 f ( x) 在 [ a, b] 上可积,并称这个极限为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分, 记作

?

b a

f ( x)dx ,即

?

b a

f ( x)dx ? lim ? f (? i )?xi .
? ?0
i ?1

n

其中, “ f ( x) ”称为被积函数, “ f ( x)dx ”称为被积表达式, x 称为积分变量, a 称为积 分下限, b 称为积分上限, [a, b] 称为积分区间. 根据定积分的定义,前面所讨论的两个实例可分别叙述为: ①曲边梯形的面积 A 是曲线 y ? f ( x) 在区间 [a, b] 上的定积分.

A ? ? f ( x)dx ( f ( x) ? 0 ).
a

b

②变速直线运动的物体所走过的路程 S 等于速度函数 v ? v(t ) 在时间间隔 [T1 , T2 ] 上的 定积分.

S ? ? v(t )dt .
T1

T2

关于定积分的定义作以下几点说明: ⑴闭区间上的连续函数是可积的;闭区间上只有有限个间断点的有界函数也是可积的. ⑵定积分是一个确定的常数,它取决于被积函数 f ( x) 和积分区间 [a, b] ,而与积分变量 使用的字母的选取无关,即有

?

b a

f ( x)dx ? ? f (t )dt .
a a b

b

⑶在定积分的定义中,有 a ? b ,为了今后计算方便,我们规定:

?
容易得到

f ( x)dx ? ?? f ( x)dx .
a

b

?

a a

f ( x)dx ? 0 .

5.1.3 定积分的几何意义
设 f ( x) 是 ?a, b? 上的连续函数,由曲线 y ? f ( x) 及直线 x ? a, x ? b, y ? 0 所围成的 曲边梯形的面积记为 A .由定积分的定义及 5.1.1 实例 1, 容易知道定积分有如下几何意义: (1)当 f ( x) ? 0 时, (2)当 f ( x) ? 0 时,

? ?

b a b a

f ( x)dx ? A f ( x)dx ? ? A

(3)如果 f ( x) 在 ?a, b? 上有时取正值,有时取负值时,那么以 ?a, b? 为底边,以曲线 使得每一部分都位于 x 轴的上方或下方.这时 y ? f ( x) 为曲边的曲边梯形可分成几个部分,
159

定积分在几何上表示上述这些部分曲边梯形面积的代数和,如图 5.3 所示,有

?

b a

f ( x)dx ? A1 ? A2 ? A3

其中 A1 , A2 , A3 分别是图 5.3 中三部分曲边梯形的面积,它们都是正数.

例 5.1.1 利用定积分的几何意义,证明 证

?

1 ?1

1 ? x 2 dx ?

?
2

.

令 y ? 1 ? x 2 , x ? [?1,1] ,显然 y ? 0 ,

则由 y ? 1 ? x 2 和直线 x ? ?1, x ? 1, y ? 0 所围成的曲边梯形是单位圆位于 x 轴上方的半圆. 如图 5.4 所示.因为单位圆的面积 A ? ? , 所以 半圆的面积为

? . 2

由定积分的几何意义知:

?

1 ?1

1 ? x 2 dx ?

?
2

.

5.1.4 定积分的性质
由定积分的定义,直接求定积分的值,往往比较复杂,但易推证定积分具有下述性质, 其中所涉及的函数在讨论的区间上都是可积的. 性质 5.1.1 被积表达式中的常数因子可以提到积分号前,即

?

b a

kf ( x)dx ? k ? f ( x)dx .
a b a

b

性质 5.1.2 两个函数代数和的定积分等于各函数定积分的代数和,即

? ? f ( x) ? g ( x)?dx ? ?
b a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx .
a

b

这一结论可以推广到任意有限多个函数代数和的情形. 性质 5.1.3(积分的可加性)对任意的点 c ,有

?
注意

b a

f ( x)dx ? ? f ( x)dx ? ? f ( x)dx .
a c

c

b

c 的任意性意味着不论 c 是在 [a, b] 之内,还是 c 在 [a, b] 之外,这一性质均成立.
160

性质 5.1.4 如果被积函数 f ( x) ? c, (c 为常数),则

?

b a

cdx ? c(b ? a) .

特别地,当 c ? 1 时,有

?

b a

dx ? b ? a .
b

性质 5.1.5(积分的保序性)如果在区间 [a, b] 上,恒有 f ( x) ? g ( x) ,则

?

b a

f ( x)dx ? ? g ( x)dx .
a

性质 5.1.6(积分估值定理)如果函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上有最大值 M 和最小值 m ,则

m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a).
a

b

性质 5.1.7 (积分中值定理) 如果函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上连续,则在 ( a, b) 内至少有一 点 ? ,使得

?
证 由性质 5.1.6 知: 从而有 这就说:

b a

f ( x)dx ? f (? )(b ? a) ? ? (a, b) .

因 f ( x) 在 [a, b] 内连续,所以 f ( x) 在 [a, b] 内有最大值 M 和最小值 m ,

m(b ? a) ? ? f ( x)dx ? M (b ? a).
a

b

m?

b 1 f ( x)dx ? M . b ? a ?a

b 1 f ( x)dx 是介于 m 与 M 之间的一个实数. ? b?a a b 1 f ( x)dx ? f (? ) . ? b?a a

由连续函数的介值定理 1.10 知:至少存在一点 ? ? (a, b) ,使得 即

?

b a

f ( x)dx ? f (? )(b ? a)

? ? (a, b) .
y

注 性质 5.1.7 的几何意义是:由曲线

y ? f ( x) ,直线 x ? a, x ? b 和 x 轴所围成
曲边梯形的面积等于区间 [a, b] 上某个矩形 的面积,这个矩形的底是区间 [a, b] ,矩形的 高为区间 [a, b] 内某一点 ? 处的函数值 f (? ) , 如图 5.5 所示. 显然, 由性质 5.1.7 可得 f (? ) ? o a

y ? f ( x)

f (? )

?
图 5.5

b

x

b 1 f ( x)dx , f (? ) 称为函数 f ( x) 在区间 [a, b] 上 b ? a ?a

的平均值.这是求有限个数的平均值的拓广.

161

性质 5.1.8(对称区间上奇偶函数的积分性质) 设 f ( x) 在对称区间 [?a, a] 上连续,则有 ①如果 f ( x) 为奇函数,则 ②如果 f ( x) 为偶函数,则 例 5.1.2 估计定积分 解
2

? ?

a ?a a ?a
2

f ( x)dx ? 0 ; f ( x)dx ? 2? f ( x)dx .
0 a

?

1

?1

e ? x dx 的值.
2

设 f ( x) ? e ? x , f ' ( x) ? ?2xe? x ,令 f ' ( x) ? 0 ,得驻点 x ? 0 ,比较 x ? 0 及区

间端点 x ? ?1 的函数值,有

1 f (0) ? e 0 ? 1 , f (?1) ? e ?1 ? . e
显然 f ( x) ? e ? x 在区间 [ ?1,1] 上连续 ,则 f ( x) 在 [ ?1,1] 上的最小值为 m ? 为 M ? 1 ,由定积分的估值性质,得
1 2 2 ? ? e ? x dx ? 2 . ? 1 e
2

1 ,最大值 e

例 5.1.3 比较定积分 解

?
1

1 0

x 2 dx 与 ? x 3 dx 的大小.
0

1

因为在区间 [0,1] 上,有 x 2 ? x 3 ,由定积分保序性质,得

?

0

x 2 dx ? ? x 3 dx .
0

1

习题 5.1 1.用定积分表示由曲线 y ? x 2 ? 2 x ? 3 与直线 x ? 1, x ? 4 及 x 轴所围成的曲边梯形的 面积. 2.利用定积分的几何意义,作图证明: (1)

? ? ? ?
?

1 0

2 xdx ? 1 xdx , ? x 2 dx
0 1

(2)

?

R 0

R2 ? x2 ?
1

?
4

R2

3.不计算定积分,比较下列各组积分值的大小. (1)
1 0

(2)

?

1 0

e x dx , ? e ? x dx
2

0

(3)

4 3

ln xdx, ? ln 2 xdx
3

4

(4)

?

?
4 0

cos xdx ,

?

?
4 0

sin xdx

4.利用定积分估值性质,估计下列积分值所在的范围. (1) (3)
1 0
2 1

e x dx
x dx x ?1
2

(2)

?

2 0

x( x ? 2)dx

(4)

?

5? x dx 0 9 ? x2
2

162

5.试用积分中值定理证明 lim

n ? ??

?

n ?1 n

sin x dx ? 0 . x

5.2

定积分的基本公式

定积分就是一种特定形式的极限, 直接利用定义计算定积分是十分繁杂的, 有时甚至无 法计算.本节将介绍定积分计算的有力工具——牛顿—莱布尼兹公式.

5.2.1 变上限定积分
定义 5.2 设函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续, 对于任意 x ? [a, b] ,f ( x) 在区间 [ a, x ] 上 也连续,所以函数 f ( x) 在 [ a, x ] 上也可积.显然对于 [ a, b] 上的每一个 x 的取值,都有唯一 对应的定积分

?

x a

f (t )dt 和 x 对应,因此 ? f (t )dt 是定义在 [a, b] 上的函数.记为
a

x

?( x) ? ? f (t )dt , x ? [a, b] .
a

x

称 ? ( x ) 叫做变上限定积分,有时又称为变上限积分函数. 变上限积分函数的几何意义是: 如果 f ( x) ? 0 ,对 ?a, b? 上任意 x,都 对应唯一一个曲边梯形的面积 ? ( x ) , 如图 5.6 中的阴影部分.因此变上限 积分函数有时又称为面积函数. 函数 ? ( x ) 具有如下重要性质. y

y ? f ( x)

? ( x)
o a x 图 5.6 b x

定理 5.1 如果函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续,则 ?( x) ? 且 ? ?( x) ?

?

x a

f (t )dt 在 [a, b] 上可导,

d x f (t )dt ? f ( x) dx ? a

( a ? x ? b) .



给定函数 ? ( x ) 的自变量 x 的改变量 ?x ,函数 ? ( x ) 有相应的改变量 ?? .则

?? ? ?( x ? ?x) ? ?( x) ? ?

x ? ?x a

f (t )dt ? ? f (t )dt ? ?
a

x

x ? ?x x

f (t )dt .

由定积分的中值定理,存在 ? ? ( x, x ? ?x)或( x ? ?x, x) ,使 所以 ? ?( x) ? lim

?

x ? ?x x

f (t )dt ? f (? )?x 成立.

f ( x ) 连续 ?? f (? )?x ? lim ? lim f (? ) ? lim f (? ) f ( x) . ?x ?0 ?x ?x ?0 ?x ?0 ? ?x ?x

163

由定理 5.1 可知,如果函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续,则函数 ?( x) ?

?

x a

f (t )dt 就是

f ( x) 在区间 [a, b] 上的一个原函数.由定理 5.1 我们有下面的结论.
定理 5.2 (原函数存在定理) 如果 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续, 则它的原函数一定存在, 且其中的一个原函数为

?( x) ? ? f (t )dt .
a

x



这个定理一方面肯定了闭区间 [ a, b] 上连续函数 f ( x) 的一定有原函数(解决了第

四章第一节留下的原函数存在问题) ,另一方面初步地揭示积分学中的定积分与原函数之间 的联系.为下一步研究微积分基本公式奠定基础. 例 5.2.1 计算 解

d x ?t e sin tdt . dx ? 0

x d x ?t e sin tdt = [? e ?t sin tdt]? = e ? x sin x . ? 0 0 dx 1 x 例 5.2.2 求 lim 2 ? ln(1 ? t ) dt . 0 x ?0 x 0 解 当 x ? 0 时,此极限为 型不定式,两次利用洛必塔法则有 0

lim
x ?0

1 x2

?

x 0

? ln(1 ? t )dt = lim
x ?0

x 0

ln(1 ? t )dt x
2

= lim
x ?0

ln(1 ? x ) 2x

1 1 = lim 1 ? x = x ?0 2 2
例 5.2.3 求 解

d x2 2 (t ? 1) dt . dx ?1

2 注意,此处的变上限积分的上限是 x 2 ,若记 u ? x ,则函数

?

x2

1

(t 2 ? 1)dt 可以看

成是由 y ?

?

u

1

(t 2 ? 1)dt 与 u ? x 2 复合而成,根据复合函数的求导法则得

d x2 2 d u du (t ? 1) dt = [ ? (t 2 ? 1)dt ] = (u 2 ? 1)2 x ? dx 1 du 1 dx
5 = ( x 4 ? 1)2 x = 2 x ? 2 x .

一般地有,如果 g ( x) 可导,则
g ( x) d g ( x) [? f (t )dt ] ? [ ? f (t )dt ]?x ? f [ g ( x)] g ?( x) . a dx a

上式可作为公式直接使用.

164

例 5.2.4 求极限 lim
x ?0

?

x2 0

sin tdt x4
.
0 0 所以这个极限是 型的未定式, sin tdt ? ? sin tdt ? 0 , 0 0



因为 lim x ? 0 , lim
4 x ?0

x?0

?

x2 0

利用洛必塔法则得

lim
x ?0

?

x2 0

sin tdt x4

= lim

sin x 2 ? 2 x sin x 2 lim = x ?0 x ?0 2 x 2 4x3

1 sin x 2 1 = lim = . 2 2 x ?0 x 2

5.2.2 微积分基本公式
定理 5.3 如果函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续, 且 F ( x) 是 f ( x) 的任意一个原函数, 那 么

?


b a

f ( x)dx ? F (b) ? F (a) .

由定理 5.2 知, ?( x) ?

?

x a

f (t )dt 是 f ( x) 在区间 [a, b] 的一个原函数,则

? ( x ) 与 F ( x) 相差一个常数 C,即

?
又因为 0 ?

x a

f (t )dt ? F ( x) ? C .

?

a a

f (t )dt ? F (a) ? C ,所以 C ? ? F (a) .于是有

?
所以

x a b a

f (t )dt ? F ( x) ? F (a) . f ( x)dx ? F (b) ? F (a) 成立.
b

? ?

为方便起见,通常把 F (b) ? F (a) 简记为 F ( x ) a 或 [ F ( x)]b a ,所以公式可改写为
b a

f ( x)dx ? F ( x) b a ? F (b) ? F (a)

上述公式称为牛顿—莱布尼兹(Newton-Leibniz)公式,又称为微积分基本公式. 定理 5.3 揭示了定积分与被积函数的原函数之间的内在联系, 它把求定积分的问题转化 为求原函数的问题.确切地说, 要求连续函数 f ( x) 在 [ a, b] 上的定积分, 只需要求出 f ( x) 在 区间 [ a, b] 上的一个原函数 F ( x) ,然后计算 F (b) ? F (a) 就可以了. 例 5.2.5 计算

?

1 0

x 2 dx .

165



2 因为 x dx ?

?

1 3 x ? C ,所以 3
1

1 3 1 3 1 3 1 ?0 x dx = 3 x 0 = 3 ? 1 ? 3 ? 0 = 3 .
1 2

例 5.2.6 求

ex ??1 1 ? e x dx .
1



x 1 d (e ? 1) ex x 1 ln( 1 ? e ) dx = = ??1 1 ? e x ??1 1 ? e x ?1 1

= ln( 1 ? e) ? ln(1 ? e ?1 ) = 1 . 例 5.2.7 求 解

?

3

?1

2 ? x dx .
2 3 2 3

根据定积分性质 5.1.3,得

?

3

?1

2 ? x dx = ? | 2 ? x | dx ? ? | 2 ? x | dx ?? (2 ? x)dx ? ? ( x ? 2)dx
?1 2 ?1 2

9 1 1 1 = (2 x ? x 2 ) ? ( x 2 ? 2 x) = ? = 5 . 2 2 2 2 ?1 2
例 5.2.8 求极限 lim 解

2

3

(1 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ) . n ?? n4
1

根据定积分定义,得
n 1 (1 ? 2 3 ? 33 ? ? ? n 3 ) 1 i 3 1 lim ? lim ( ) ? ? x 3 dx ? x 4 ? 4 0 n ?? n ?? 4 n i ?1 n n

0

1 ? . 4

习题 5.2 1.求下列函数的导数: (1) F ( x) ?

?

x 0 1 x

t 2 ? 1dt t 2 e ?t dt

(2) F ( x ) ?

?

x2 a

sin t dt t

(3) F ( x) ?

?

(4) F ( x) ?

?

x2

?x

cos2tdt

2.求下列函数的极限:

? (1) lim
x ?0

x 0

cos2 tdt x

? (2) lim
x ?1

x 1

t (t ? 1)dt

( x ? 1) 2
x 0

? (3) lim
x ?0

x 0

arctantdt x2
x 0

? (4) lim
x ?0

( 1 ? t ? 1 ? t )dt x2

3.求函数 F ( x) ?

?

t (t ? 2)dt 在区间 [?1,3] 上的最大值和最小值.
166

4.求由曲线 y ? ? x 2 ? 2 x 与直线 x ? 0, x ? 2 及 x 轴所围成的曲边梯形的面积. 5.求下列定积分的值: (1)

?
?

2

1
2

( x 2 ? x ? 1)dx

(2)

?
?

1 0
2

(2 x ? x 2 )dx

(3)

x dx 01? x2
?
0

(4)

1 x

1

dx

(5)

?

cos x dx

(6)

?

2 0

e dx

x 2

5.3

定积分的积分法

在第四章我们学习了用换元积分法和分部积分法求已知函数的原函数.把它们稍微改动 就是定积分的换元积分法和分部积分法.但最终的计算总是离不开牛顿-莱布尼兹公式. 5.3.1 定积分的换元积分法 定理 5.4 设函数 f ( x) 在区间 [ a, b] 上连续,并且满足下列条件: (1) x ? ? (t ) ,且 a ? ? (? ) , b ? ? ( ? ) ; (2) ? (t ) 在区间 [? , ? ] 上单调且有连续的导数 ? ?(t ) ; (3)当 t 从 ? 变到 ? 时, ? (t ) 从 a 单调地变到 b . 则有

?

b a

f ( x)dx ? ? f [? (t )]? ?(t )dt
?

?

上述公式称为定积分的换元积分公式.在应用该公式计算定积分时需要注意以下两点: ①从左到右应用公式,相当于不定积分的第二换元法.计算时,用 x ? ? (t ) 把原积分变 量 x 换成新变量 ? (t ) , 积分限也必须由原来的积分限 a 和 b 相应地换为新变量 t 的积分限 ? 和 ? ,而不必代回原来的变量 x ,这与不定积分的第二换元法是完全不同的. ②从右到左应用公式,相当于不定积分的第一换元法(即凑微分法).一般不用设出新
167

的积分变量,这时,原积分的上、下限不需改变,只要求出被积函数的一个原函数,就可以 直接应用牛顿—莱布尼兹公式求出定积分的值. 例 5.3.1 求

?

3 0

x 1? x

dx .

解 于是

令 1? x ? t , 则 x ? t 2 ? 1 ,dx ? 2tdt , 当 x ? 0 时,t ? 1 , 当 x ? 3 时,t ? 2 ,

?

3 0

x 1? x

dx = ?

2 1

2 t 2 ?1 ? 2tdt = 2? (t 2 ? 1)dt 1 t

3 2 = 2[ t ? t ]1 =

1 3

8 3

例 5.3.2 求 解法一

?

?
2 0

cos3 x sin xdx .

设 t ? cos x ,则 dt ? ? sin xdx , 当 x ? 0 时, t ? 1 ;当 x ?

?
2

时, t ? 0 ,于是

?
解法二

?
2 0

0 1 1 1 cos3 x sin xdx = ? t 3 ? (?dt) = ? t 3 dt = [ t 4 ]1 . 0= 1 0 4 4

?

?
2 0

1 1 2 cos3 x sin xdx = ? ? 2 cos3 xd cos x = [? cos4 x]0 = . 0 4 4

?

?

解法一是变量替换法,上下限要改变;解法二是凑微分法,上下限不改变. 例 5.3.3 求 解

?

ln 2 0

e x ? 1dx .
2t dt , 当 x ? 0 时,t ? 0 ; 当 x ? ln 2 1? t2

x 令 e ?1 ? t , 则x?l n( 1 ? t 2 ) ,dx ?

时, t ? 1 ,于是

?

ln 2 0

e x ? 1dx = ? 0 t ?

1

2 1 2t 1 2t 1 dt )dt dt = 2? (1 ? = 2 2 ? 0 01? t 1? t 1? t2

= 2[t ? arctant ]1 0=2 ?

?
2

.

例 5.3.4 设 f ( x) 在区间 [?a, a] 上连续,证明: (1)如果 f ( x) 为奇函数,则 (2)如果 f ( x) 为偶函数,则

? ?

a ?a a ?a

f ( x)dx ? 0 ; f ( x)dx ? 2? f ( x)dx .
0 a

这结论是定积分的性质 5.1.8,下面我们给出严格的证明.
168



由定积分的可加性知

? ?
所以

a

?a

f ( x)d x ? ? f ( x)d x ? ? f ( x)d x ,
?a 0

0

a

对于定积分
0 ?a a

?

0 ?a

f ( x)dx ,作代换 x ? ?t ,得
0 a a a 0 0

f ( x)dx = ? ? f (?t )dt = ? f (?t )dt = ? f (? x)dx , f ( x)dx ? ? f (? x)dx ? ? f ( x)dx
0 0 a a

?

?a

=

? [ f ( x) ? f (?x)]dx
0

a

(1) 如果 f ( x) 为奇函数, 即 f ( ? x) ? ? f ( x) , 则 f ( x) ? f (? x) ? f ( x) ? f ( x) ? 0 , 于是

?

a

?a

f ( x)dx ? 0 .

(2)如果 f ( x) 为偶函数,即 f (? x) ? f ( x) ,则

f ( x ) ? f ( ? x ) ? f ( x) ? f ( x ) ? 2 f ( x ) ,
于是

?
?
3 ? 3

a

?a

f ( x)dx ? 2? f ( x)dx .
0

a

例 5.3.5 求下列定积分: (1)

x 2 sin x dx 1? x4

(2)

?

2

?2

x 2 4 ? x 2 dx

解 (1) 因为被积函数 f ( x) ? 所以

x 2 sin x 是奇函数, 且积分区间 [? 3, 3] 是对称区间, 1? x4

?

3 ?

x 2 sin x dx = 0 . 3 1? x4

(2)被积函数 f ( x) ? x 2 4 ? x 2 是偶函数,积分区间 [?2,2] 是对称区间,所以

?

2

?2

x 2 4 ? x 2 dx = 2? x 2 4 ? x 2 dx ,
0

2

2 令 x ? 2 sin t ,则 dx ? 2 cos tdt , 4 ? x ? 2 cost ,

当 x ? 0 时, t ? 0 ;当 x ? 2 时, t ?

?
2

,于是
?

?

2

?2

x

2

4 ? x dx = 2 ? 16sin t cos tdt = 8? 02 sin 2 2tdt
2

?

2 0

2

2

169

=4 2.分部积分法

?

?
2 0

2 = 2? . (1 ? cos 4t )dt = (4t ? sin 4t ) 0

?

定理 5.5 设函数 u ? u ( x) 和 v ? v( x) 在区间 [ a, b] 上有连续的导数,则有

?
完全一样.

b a

u( x)dv( x) ? [u( x)v( x)]b a ? ? v( x)du( x) .
a

b

上述公式称为定积分的分部积分公式.选取 u ( x) 的方式、方法与不定积分的分部积分法

例 5.3.6 求

?

2

1

x ln xdx .
2



?

2

1

1 2 1 1 2 x ln xdx = ?1 ln xd ( x 2 ) = x 2 ln x ? ? x 2 d (ln x) 2 2 2 1 1

1 2 1 2 3 = 2 ln 2 ? ? xdx = 2 ln 2 ? x = 2 ln 2 ? . 1 4 1 2 4
例 5.3.7 求 解

2

?

?
0

x sin xdx .
?
? ?
0 0

?

?
0

x sin xdx = ? ? xd cos x = ? x cos x 0 ? ? cos xdx
= ? ? sin x 0 = ? .
?

例 5.3.8 求 解 于是

?

1 0

e x dx .

2 令 x ? t ,则 x ? t , dx ? 2tdt ,当 x ? 0 时, t ? 0 ;当 x ? 1 时, t ? 1 .

?

1 0

e x dx = 2? te t dt = 2? tdet = 2te t
0 0

1

1

1 0

? 2? e t dt
0

1

= 2e ? 2e

t 1 0

= 2e ? 2e ? 2 = 2 .

此题先利用换元积分法,然后应用分部积分法.

习题 5.3 1.求下列定积分的值: (1)

?

e 1

1 ? ln x dx x

(2)

?

1 0

x 1 ? x 2 dx
3 0

(3)

?

2 1

1 x e dx x2
170

1

(4)

?

dx

1? x ?1

(5)

?

64 1

dx x ?3 x

(6)

?

10 1

x ?1 dx x

(7)

? ? ?

2 0

x 2 e 2 x dx ln(x ? 1)dx

(8)

?

1 0

arctanxdx
?

(9)

e?1 0

(10)

?

2 0

e 2 x cos xdx

2.求下列定积分: (1)
1

?1

( x ? 3x ? sin x cos x)dx
2 2

x 3 sin 2 x dx (2) ? ?1 x 4 ? 2 x 2 ? 1
1

(3)

?

a ?a

x2 x2 ? a2

dx

(4)

?

1 ?1

1 ? sin x 1? x2

dx

5.4

定积分的应用

由于定积分的概念和理论是在解决实际问题的过程中产生和发展起来的, 因而它的应用 非常广泛. 问题 1 在机械制造中,某凸轮横截面的轮廓线是由极坐标方程 r ? a(1 ? cos? )

(a ? 0) 确定的,要计算该凸轮的面积和体积.
问题 2 修建一道梯形闸门,它的两条底边各长 6m 和 4m,高为 6m,较长的底边与水面 平齐,要计算闸门一侧所受水的压力. 为了解决这些问题, 下面先介绍运用定积分解决实际问题的常用方法——微元法, 然后 讨论定积分在几何和物理上的一些简单应用.读者通过这部分内容的学习,不仅要掌握一些 具体应用的计算公式,而且还要学会用定积分解决实际问题的思想方法.

5.4.1 定积分应用的微元法
为了说明定积分的微元法,我们先回顾求曲边梯形面积 A 的方法和步骤: (1)将区间 [ a, b] 分成 n 个小区间,相应得到 n 个小曲边梯形,小曲边梯形的面积记为

?Ai (i ? 1,2,? n) ; (2)计算 ?Ai 的近似值,即 ?Ai ? f (? i )?xi (其中 ?xi ? xi ? xi ?1 , ? i ? [ xi ?1 , xi ] ) ;
(3)求和得 A 的近似值,即 A ?

? f (? )?x ;
i ?1 i i

n

171

(4)对和取极限得 A ? lim
? ?0

? f (? )?x ? ?
i ?1 i i

n

b a

f ( x)dx .

下面对上述四个步骤进行具体分析: 第(1)步指明了所求量(面积 A )具有的特性:即 A 在区间 [ a, b] 上具有可分割性和可 加性. 第(2)步是关键, 这一步确定的 ?Ai ? f (? i )?xi 是被积表达式 f ( x)dx 的雏形.这可以从 以下过程来理解:由于分割的任意性,在实际应用中,为了简便起见,对 ?Ai ? f (? i )?xi 省 略下标,得 ?A ? f (? )?x ,用 [ x, x ? dx] 表示 [ a, b] 内的任一小区间,并取小区间的左端点

x 为 ? ,则 ? A 的近似值就是以 dx 为底,
f ( x) 为高的小矩形的面积(如图 5.7
阴影部分) ,即 y

y ? f ( x)

?A ? f ( x)dx .
通常称 f ( x)dx 为面积元素,记为

o a

x x ? dx

b

x

图 5.7 将 (3),(4) 两步合并,即将这些面积元素在 [ a, b] 上“无限累加” ,就得到面积 A . 即

dA ? f ( x)dx .

A ? ? f ( x)dx .
a

b

一般说来,用定积分解决实际问题时,通常按以下步骤来进行: (1)确定积分变量 x ,并求出相应的积分区间 [ a, b] ; (2)在区间 [ a, b] 上任取一个小区间 [ x, x ? dx] ,并在小区间上找出所求量 F 的微元

dF ? f ( x)dx ;
(3)写出所求量 F 的积分表达式 F ?

?

b a

f ( x)dx ,然后计算它的值.

利用定积分按上述步骤解决实际问题的方法叫做定积分的微元法. 注 能够用微元法求出结果的量 F 一般应满足以下两个条件: ① F 是与变量 x 的变化范围 [ a, b] 有关的量; ② F 对于 [ a, b] 具有可加性,即如果把区间 [ a, b] 分成若干个部分区间,则 F 相应地分 成若干个分量.

5.4.2 定积分求平面图形的面积
1.直角坐标系下面积的计算 (1) 由曲线 y ? f ( x) 和直线 x ? a, x ? b, y ? 0 所 围成曲边梯形的面积的求法前面已经介绍,此处不再叙 述. (2)求由两条曲线 y ? f ( x), y ? g ( x) , a o y

y ? f ( x)

x x ? dx
y ? g ( x)

b x

( f ( x) ? g ( x)) 及直线 x ? a, x ? b 所围成平面的面积
A (如图 5.8 所示).
下面用微元法求面积 A .
172

图 5.8

①取 x 为积分变量, x ? [a, b] . ②在区间 [ a, b] 上任取一小区间 [ x, x ? dx] ,该区间上小曲边梯形的面积 dA 可以用高

f ( x) ? g ( x) ,底边为 dx 的小矩形的面积近似代替,从而得面积元素 dA ? [ f ( x) ? g ( x)]dx .
③写出积分表达式,即

A ? ? [ f ( x) ? g ( x)]dx .
a

b

⑶求由两条曲线 x ? ? ( y), x ? ? ( y) , (? ( y ) ? ? ( y )) 及直线 y ? c, y ? d 所围成平 面图形(如图 5.9)的面积. 这里取 y 为积分变量, y ? [c, d ] , 用类似 (2)的方法可以推出: y d y+dy y

A ? ? [? ( y) ?? ( y)]dy .
c

d

例 5.4.1 求由曲线 y ? x 2 与 y ? 2 x ? x 2 所围图形的面积. 解 先画出所围的图形(如图 5.10) 由方程组 ?

x ? ? ( y)
c

o

x ? ? ( y)

x

图 5.9

?

y ? x2 ,得两条曲线的交点为 2 y ? 2 x ? x ?

O(0,0), A(1,1) ,取 x 为积分变量, x ? [0,1] .由公式得

A ? ? (2 x ? x 2 ? x 2 )dx ? [ x 2 ?
0

1

2 3 1 1 x ]0 ? . 3 3
B(8,4)

y

y?x
A (1,1)

2

y 4

y ? x?4

y ? 2x ? x 2
o 图 5.10 1 2 x

o -2

2 A(2,-2)

8

x

y 2 ? 2x

图 5.11

例 5.4.2 求曲线 y 2 ? 2 x 与 y ? x ? 4 所围图形的面积. 解 画出所围的图形(如图 5.11).

由方程组 ?

? y 2 ? 2x 得 两 条 曲 线 的 交 点 坐 标 为 A(2,?2), B(8,4) , 取 y 为 积 分 变 量 , ?y ? x ? 4
173

y ? [?2,4] .将两曲线方程分别改写为 x ?

1 2 y 及x ? y ? 4 得所求面积为 2

A ? ? (y ? 4 ?

1 2 y )dy ?2 2 1 1 ? ( y2 ? 4y ? y3 ) 4 ? 2 ? 18 . 2 6
4



本题若以 x 为积分变量,由于图形在 [0,2]和[2,8] 两个区间上的构成情况不同,因

此需要分成两部分来计算,其结果应为:

A ? 2?
?

2 0

2 xdx ? ? [ 2 x ? ( x ? 4)]dx
2
3 2 0

8

4 2 2 x 3

?[

2 2 2 1 2 x ? x ? 4 x] 8 2 ? 18 . 3 2

3

显然,对于例 5.4.2 选取 x 作为积分变量,不如选取 y 作为积分变量计算简便.可见适 当选取积分变量,可使计算简化. 例 5.4.3 求曲线 y ? cos x与y ? sin x 在区间 [0, ? ] 上所围平面图形的面积. 如图 5.12 所示,曲线 y ? cos x与y ? sin x 的交点坐标为 (



?
4

,

2 ) ,选取 x 作为 2

积分变量, x ? ?0, ? ? ,于是,所求面积为

A ? ? 4 (cosx ? sin x)dx ? ? ? (sin x ? cos x)dx
0 4

?

?

? (sin x ? cos x)

?
4 0

? (? cos x ? sin x)

? ?
4

?2 2.

y

y ? sin x

0

?
? 4
图 5.12

x

y ? cos x

3.定积分求体积 (1)旋转体的体积 旋转体是一个平面图形绕这平面内的一条直线旋转而成的立体 .这条直线叫 做旋转轴. 设旋转体是由连续曲线 y ? f ( x)( f ( x) ? 0) 和直线 x ? a, x ? b 及 x 轴所围成的
174

曲边梯形绕 x 轴旋转一周而成(如图 5.15). 取 x 为积分变量, 它的变化区间为 [a, b] , 在 [a, b] 上任取一小区间 [ x, x ? dx] , 相应薄片的体积近似于以 f ( x) 为底面圆半径, dx 为高的小圆柱体的体积,从而 得到体积元素为 dV ? ? [ f ( x)]2 dx ,于是,所求旋转体体积为
Vx ? ? ? [ f ( x)]2 dx .
a b

y

y ? f ( x)

o a

x x+dx

b x

y d y+dy y y o c

x ? ? ( y)

x

图 5.15

图 5.16

类似地,由曲线 x ? ? ( y ) 和直线 y ? c, y ? d 及 y 轴所围成的曲边梯形绕 y 轴 旋转一周而成(如图 5.16) ,所得旋转体的体积为
V y ? ? ? [? ( y)]2 dy .
c d

例 5.4.5

x2 y2 求由椭圆 2 ? 2 ? 1 绕 x 轴及 y 轴旋转而成的椭球体的体积. a b

解 (1) 绕 x 轴 旋 转 的 椭 球 体 如 图 5.17 所 示 , 它 可 看 作 上 半 椭 圆 b y? a2 ? x2 与 x 轴 围 成 的 平 面 图 形 绕 x 轴 旋 转 而 成 . 取 x 为 积 分 变 量 , a
x ? [?a, a] , 由公式所求椭球体的体

积为

?b 2 ? Vx ? ? ? ? a ? x 2 ? dx ?a a ? ?
a

2

?

2?b 2 a2

?

a 0

(a 2 ? x 2 )dx
a

2?b 2 ? 2 a
?

? 2 x3 ? a x ? ? ? 3 ?0 ?

4 ?ab 2 . 3
175

(2)绕 y 轴旋转的椭球体 , 可看作右半椭圆 x ?

a b 2 ? y 2 与 y 轴围成的平面 b

图形绕 y 轴旋转而成(如图 5.18 所示),取 y 为积分变量, y ? [?b, b] ,由公式所求 椭球体体积为

?a 2 ? Vy ? ? ? ? b ? y 2 ? dy ?b b ? ?
b

2

y

b

x?

a b2 ? y2 b
x

2?a 2 ? 2 b
2?a 2 ? 2 b
?

? (b
0

b

2

? y 2 )dy
b

o -b 图 5.18

? 2 y3 ? b y ? ? ? 3 ?0 ?

4 2 ?a b . 3

4 当 a ? b ? R 时,上述结果为 V ? ?R 3 ,这就是大家所熟悉的球体的体积公式. 3 (2)平行截面面积为已知的立体体积 设一物体被垂直于某直线的平面所截的面积可求, 则该物体可用定积分求其 体积.

不妨设直线为 x 轴,则在 x 处的截面面积 A( x) 是 x 的已知连续函数,求该物 体介于 x ? a 和 x ? b(a ? b) 之间的体积(如图 5.19). 取 x 为积分变量,它的变化区间为 [a, b] ,在微小区间 [ x, x ? dx] 上 A( x) 近似 不变,即把 [ x, x ? dx] 上的立体薄片近似看作
A( x) 为底, dx 为高的柱片,从而得 o
a x x+dx b x

到体积元素 dV ? A( x)dx . 于是该物体的体积为
V ? ? A( x)dx .
a b

图 5.19

例 5.4.6 一平面经过半径为 R 的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角α , 计算这平面截圆柱体所得立体的体积.(如图 5.20) 解 取这平面与圆柱体的底面交线为 x 轴 建立如图 5.20 的直角坐标系,则底面圆的
y

方程为 x ? y ? R .立体中过点 x 且垂直于
2 2 2

x 轴的截面是一个直角三角形.它的直角边分
别为 y, y tan ? ,即 R 2 ? x 2 , R 2 ? x 2 tan? .
176

A (x)

-R

o

x 图 5.20

R

x

因而截面面积为 1 A( x) ? ( R 2 ? x 2 ) tan ? . 2 故所求立体体积为

1 2 1 1 ? 2 ? V ?? ( R ? x 2 ) tan?dx ? tan? ? R 2 x ? x 3 ? ? R 3 tan? . ?R 2 2 3 ? ?R 3 ?
R

R

4.定积分在物理上的应用举例 (1)变力作功 由物理学知道 ,物体在常力 F 的作用下 ,沿力的方向作直线运动 ,当物体发生 了位移 S 时,力 F 对物体所作的功是 W ? FS . 但在实际问题中,物体在发生位移的过程中所受到的力常常是变化的,这就需 要考虑变力作功的问题. 由于所求的功是一个整体量,且对于区间具有可加性,所以可以用微元法来求 这个量. 设物体在变力 F ? f ( x) 的作用下,沿 x 轴由点 a 移动到点 b ,如图 5.21 所示,且 变力方向与 x 轴方向一致.取 x 为积分变量,
x ? [a, b] .在区间 [a, b] 上任取一小区
a x x+dx 图 5.21 b x F(x)

间 [ x, x ? dx] ,该区间上各点处的力可 以用点 x 处的力 F ( x) 近似代替.因此功的微元为
dW ? F ( x)dx ,

因此,从 a 到 b 这一段位移上变力 F ( x) 所作的功为
W ? ? F ( x)dx .
a b

例 5.4.7

弹簧在拉伸过程中,所需要的力与弹簧的伸长量成正比,即 F ? kx,

( k 为比例系数).已知弹簧拉长 0.01m 时,需力 10 N ,要使弹簧伸长 0.05m ,计算外力 所做的功. 解 由题设, x ? 0.01m 时, F ? 10 N .代入 F ? kx ,得 k ? 1000N m .从而变力为
F ? 1000 x ,由上述公式所求的功为

W ??

0.05 0

1000xdx ? 500 x 2

0.05 0

? 1.25( J ) .

(2)液体的压力 由物理学知道,在液面下深度为 h 处的压强为 p ? ?gh ,其中 ? 是液体的密度,
g 是重力加速度.如果有一面积为 A 的薄板水平地置于深度为 h 处,那么薄板一侧
177

所受的液体压力
F ? pA .

但在实际问题中,往往要计算薄板竖直放置在液体中(如前面问题 2 中的闸门) 时,其一侧所受到的压力.由于压强 p 随液体的深度而变化,所以薄板一侧所受的 液体压力就不能用上述方法计算,但可以用定积分的微元法来加以解决. 设薄板形状是曲边梯形,为了计算方便,建立如图 5.22 所示的坐标系,曲边方 程为 y ? f ( x) .取液体深度 x 为积分变量,
x ? [a, b] ,在 [a, b] 上取一小区间 [ x, x ? dx] ,
o a x x+dx b x 图 5.22 y

该区间上小曲边平板所受的压力可近似地看 作长为 y ,宽为 dx 的小矩形水平地放在距液 体表面深度为 x 的位置上时,一侧所受的压力. 因此所求的压力微元为:
dF ? ?ghf ( x)dx .

于是,整个平板一侧所受压力为
F ? ? ?ghf ( x)dx .
a b

下面我们来看本节前面问题 2 的答案.
例 5.4.8 修建一道梯形闸门,它的两条底边各长 6m 和 4m,高为 6m,较长的底边与水 面平齐,要计算闸门一侧所受水的压力.

解 根据题设条件.建立如图 5.23 所示的 1 坐标系, AB 的方程为 y ? ? x ? 3 .取 x 为 6 积分变量, x ? [0,6] ,在 x ? [0,6] 上任一小区 间 [ x, x ? dx] 的压力微元为
1 dF ? 2 ?gxydx ? 2 ? 9.8 ? 10 3 x(? x ? 3)dx , 6 从而所求的压力为 6 1 F ? ? 9.8 ? 10 3 (? x 2 ? 6 x)dx 0 3

? 1 ? ? 9.8 ? 10 ?? x 3 ? 3x 2 ? ? 9 ?0
3

6

? 8.23? 105 N .

5.定积分在经济中应用举例 在第 3 章我们研究了导数在经济问题的应用, 可以对经济函数进行边际分析
178

和弹性分析, 但在实际中往往还要涉及到已知边际函数或弹性函数,来求原函数 的问题,就需要利用定积分或不定积分来完成,根据导数与积分的关系有: (1)已知边际成本 MC(Q) ,求总成本 C (Q ) . 有 C(Q) ? ? MC( x)dx ? C(0) ,其中 C (0) 是固定成本,一般不为零.
0 Q

(2)已知边际收益 MR(Q) ,求总成本 R (Q ) . 有 R(Q) ? ? MR( x)dx ? R(0) ? ?

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