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高中数学知识竞赛参考题


第一章

高中数学知识竞赛参考题 必修 1 集合与函数概念

一、集合 1、集合的含义是什么? 答:集合为一些确定的、 不同的东西的全体, 人们能意识到这些东 并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素,把一些元素组成的总体叫集合,简称为集。 2、集合中元素的三个要素及各表示是什么? 答:(1)元素的确定性:集合确定,

则一元素是否属于这个集合是确定的: 属于或不属于。 (2)元素的互异性:一个给定集合中的元素是唯一的,不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的,并且改变位置不影响集合 3、集合经常用的表示方法是什么? 答:列举法与描述法。 a、列举法:将集合中的元素一一列举出来. {a,b,c……} b、描述法:将集合中元素的公共属性描述出来,写在大括号内表示集合。 {x?R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 4、集合的分类哪几种? 答:(1)有限集:含有有限个元素的集合 (2)无限集:含有无限个元素的集合 (3)空集:不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系是什么? 答:(1)元素在集合里,则元素属于集合,即:a?A (2)元素不在集合里,则元素不属于集合,即:a ? A 6、常用数集哪几种?如何记法? 答:非负整数集(即自然数集) 记作:N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z ;有理数集 Q ;实数集 R 7、集合间的基本关系是什么? 答: (1) “包含”关系; (2) “相等”关系;(3) “运算”关系 8、 集合间的“包含”关系有哪些? 答:(1)子集; (2)真子集 9、什么叫子集? 如何表示呢? 答:如果集合 A 的任何一个元素都是集合 B 的元素,我们说这两个集合 有包含关系,称集合 A 是集合 B 的子集。记作: A ? B (或 B ? A) 10、若 A 是 B 的子集( A ? B ),则几种可能性? 答:(1)A 是 B 的一部分;(2)A 与 B 是同一集合。 11、子集有哪些性质? 答: ① 任何一个集合是它本身的子集 A?A ②如果 A?B, B?C ,那么 A?C ③空集是任何集合的子集 ? ?

西,

A。

12、什么叫真子集?如何表示呢? 答: 对于两个集合 A 、 B ,如果 A ? B ,且 A ? B 就集合 A 是集合 B 的真子集。 记作 A B(或 B A),读作 A 真含与 B 13、真子集有哪些性质?
1

答: ①如果 A

B且B

C,那么 A

C A。

②空集是任何非空集合的真子集Φ 14、如何计算集合的元素个数?

答:如果一个集合中含有 n 个元素,那么它的子集个数为 2 n 个;真子集个 数为 2 一 1 个;非空子集个数为 2 一 1 个;非空真子集个数为 2 一 2 个。 15、什么叫“相等”关系? 答: 对于两个集合 A 、 B ,如果 A ?
n n

n

B ,且 B ? A ,那么就说集合 A 和集合

B 相等,记作 A ? B 。
16、什么叫“空集”? 空集有什么规定? 答:不含任何元素的集合叫做空集,记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集, 空集是任何非空集合的真子集。 17、 集合间的“运算”关系有哪些? 答: (1)交集; (2)并集;(3) 补集;(4) 全集. 18、什么叫“交集”? 答:由属于集合 A 且属于集合 B 的所有元素所组成的集合,记作 A∩B,即 A∩B ={x|x?A 且 x?B}; 19、“交集”有哪些运算性质? 答: ① A ? B ? B ? A, A ? A ? A, ③ A? B ?

A ?? ? ?

② A? B ?

A, A? B ? B ,

A ? A? B。

20、什么叫“并集”? 答:由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合,称为集 合 A 和集合 B 的并集,记作 A∪B ,即 A∪B={x|x?A 或 x?B}. 21、“并集”有哪些运算性质? 答: ① A ? B ? B ? A , A ? A ? ③ A? B ?

A, A? ? ? A ;

② A? B

? A, A? B ? B ;

A ? B ? A。

22、什么叫“全集”? 答:如果集合 S 含有所研究的各个集合的全部元素,这个集合就可以看作 一个全集,全集通常用 U 表示。 23、什么叫“补集”? 答:设 S 是一个集合,A 是 S 的一个子集(即 A ?
2

CU ( A ? B) ? CU A ? CU B
S ),由 S 中所有不属于

A 的元素组成的集合。记作: CsA 即 CsA ={x ??S 且 x?A} 24、 “补集”有哪些运算性质? 答: (CuA)∩(CuB)= Cu(AUB);(CuA) U (CuB)= Cu(A∩B); AU(CuA)=U; A∩(CuA)=Φ;

CU (CU A) ? A .

二、函数的概念 25、函数的概念是什么? 答:设 A、B 是非空的数集,如果按照某个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意一个数 x,在 集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它对应, 那么就称 f: A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数. 记 作: y=f(x),x∈A. (1)其中,x 叫做自变量,x 的取值范围 A 叫做函数的定义域; (2)与 x 的值相对应的 y 值叫做函数值,函数值的集合{f(x)| x∈A }叫 做函数的值域. 26、函数的三要素是什么? 答:定义域、值域、对应法则 27、如何比较两个函数是否相同? 答:只有定义域相同,且对应法则(表达式)也相同的两个函数才是同一 (相同)函数. 28、求函数的定义域有哪些常见类型? 答:①如果 ②如果

f ( x) 为整式,其定义域为实数集 R;

f ( x) 为分式,其定义域是使分母不为 0 的实数集合;

③如果 f ( x ) 是二次根式(偶次根式),其定义域使根号内的式子不小于 0 的实数集合; ④如果

f ( x) 是由以上几个部分的数学式子构成的,其定义域是使各部分式

子都有意义的实数集合; ⑤ f ( x) ? x 0 的定义域是 {x ? R | x ? 0}. ⑥如果是实际问题,除应考虑解析式本身有意义外,还应考虑使实际问 题有意义; ⑦对数的真数大于零; ⑧指数,对数函数的底数大于零且不等于 1; ⑨

? y ? tan x 中, x ? k? ? (k ? Z )
2

29、求函数的定义域有哪些常见类型? 答:(1)观察法:直接观察函数的图像或函数的解析式来求函数的值域;
3

(2)反表示法:针对分式的类型,把 Y 关于 X 的函数关系式化成 X 于 Y 的函数关系式,由 X 的范围类似求 Y 的范围。 (3)配方法:针对二次函数的类型,根据二次函数图像的性质来确定函 数的值域,注意定义域的范围。 (4)代换法(换元法):作变量代换,针对根式的题型,转化成二次函数 的类型。 30、符号 y ?

f ( x) 的含义是什么? f ( x) 与 f (a) 的区别与联系? y 答: y ? f ( x) 是“ 是 x 的函数”的数学表示形式,是表示函数的数学符
号,

f ( x) 是自变量 x 的函数,不是“ y 等于 f 与 x 的积”; f ( x) 与 f (a) 的含义不同, f (a) 表示自变量 x ? a 时所得的函数值,它是一个

常量. 31、函数的表示方法有哪些? 答:表示函数的方法,常用的有解析法、列表法、图象法三种. 解析法:就是用数学表达式表示两个变量之间的对应关系. 列表法:就是列出表格来表示两个变量之间的对应关系. 图象法:就是用图象表示两个变量之间的对应关系. 32、求反函数的步骤掌握了吗? 答:①反解 x;②互换 x、y;③注明定义域 33、 反函数的性质有哪些? 答: ①互为反函数的图象关于直线 y=x 对称; ②保存了原来函数的单调性、奇函数性; 34、区间的分类有哪些? 答:开区间、闭区间、半开半闭区间、无穷区间 35、如何理解区间的概念及表示法? 答:设 a, b 是两个实数,且 a ? b ,满足 a ? 区间, 记做 满足

x ? b 的实数 x 的集合叫做闭

a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做开区间,记做 (a, b) ; [a ,b ;满足 ]

a ? x ? b 或 a ? x ? b 的实数 x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做

[a ,b ) , (a, b] ;满足 x ? a, x ? a, x ? b, x ? b 的实数 x 的集合分别记做

[a ,? ? ) ,a( ?, ? ) ? , (? b , ] ?,? b ( . , )
36、映射的概念: 答:一般地,设 A、B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应法则 f,使对于集合 A 中的任意一 个元素 x,在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之对应,那么就称对应 f:A ? B 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f(对应关系):A(原象) ?B(象)” 37、对于映射 f:A→B 来说,则应满足什么? 答:(1)集合 A 中的每一个元素,在集合 B 中都有象,并且象是唯一的; (2)集合 A 中不同的元素,在集合 B 中对应的象可以是同一个;
4

(3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 注意:映射是针对自然界中的所有事物而言的,而函数仅仅是针对数字来说的。所以函数是映射,而 映射不一定的函数 38、映射与函数有什么联系与区别? 答:①函数一定是映射,但映射不一定是函数。 ②在函数中,A,B 是两个数集,即 A,B 中的元素都是实数。但在映射中, A,B 中的元素不一定是实数。 39、什么叫分段函数? 答:在函数 y ?

f ( x) 的定义域中,对于自变量 x 的不同取值范围,有着不同

的对应关系,这羊的函数通常称为分段函数。 40、分段函数的特点是什么? 答:(1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况. (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集,值域是各段值域的并集. (4)常用的分段函数有取整函数、符号函数、含绝对值的函数 41、什么叫函数解析式子? 答:函数的解析式是函数的一种表示方法,要求两个变量之间的函数关系时,一是要求出它们之间的 对应法则,二是要求出函数的定义域. 42、求函数的解析式的主要方法是什么? 答:1)代入法: 2)待定系数法:3)换元法:4)拼凑法: 43、什么叫增函数? 答:设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 x1 , x2 ,当

x1 < x2 时,都有 f( x1 )<f( x2 ),那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间.
44、什么叫减函数? 答:如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 ,当 x1 < x2 时,都 有 f( x1 )>f( x2 ),那么就说 f(x)在这个区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 45、函数图象的特点是什么? 答:如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性,在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的,减函数的图象从左到右是下降的. 46、函数单调区间与单调性的判定方法是什么? 答:(A) 定义法: ○ 1 任取 x1 , x2 ∈D,且 x1 < x2 ; ○ 2 作差 f( x1 )-f( x2 ); ○ 3 变形(通常是因式分解和配方); ○ 4 定号(即判断差 f( x1 )-f( x2 )的正负); ○ 5 下结论(指出函数 f(x)在给定的区间 D 上的单调性). (B)图象法(从图象上看升降) 47、什么叫偶函数?
5

答:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=f(x),那么 f(x)就叫做偶函数. 48、什么叫奇函数? 答:一般地,对于函数 f(x)的定义域内的任意一个 x,都有 f(-x)=—f(x),那么 f(x)就叫做奇函数. 49、奇偶性的函数的图象有什么特征? 答:偶函数的图象关于 y 轴对称;奇函数的图象关于原点对称. 50、利用定义判断函数奇偶性的步骤是什么? 答:a、 首先确定函数的定义域, 并判断其是否关于原点对称;若是不对称,则是非奇非偶的函数; 若对称,则进行下面判断; b、确定 f(-x)与 f(x)的关系; c、作出相应结论:若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0,则 f(x) 是偶函数;若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0,则 f(x)是奇函数. 51、如何利用奇偶函数的四则运算判断奇偶性? 答: 在公共定义域内,偶函数的加减乘除仍为偶函数; 奇函数的加减仍为奇函数; 奇数个奇函数的乘除认为奇函数; 偶数个奇函数的乘除为偶函数; 一奇一偶的乘积是奇函数; 及设 f ( x) , g ( x ) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上:奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶 +偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 第二章 基本初等函数 一、指数与指数函数 52、什么叫根式? 答:如果 当

xn ? a, a ? R, x ? R, n ? 1 ,且 n ? N?

,那么 x 叫做 a 的

n 次方根.
n

n 是奇数时, a

n 的 n 次方根用符号 a 表示;

n a a n n 当 是偶数时,正数 的正的 次方根用符号 示;0 的 n 次方根是 0;负数 a 没有 n 次方根.

表示,负的 n 次方根用符号 ?

a



式子

n

a 叫做根式,这里 n 叫做根指数, a 叫做被开方数.

当 为奇数时, 为任意实数;当 53、根式的性质有那些?

n

a

n 为偶数时, a ? 0 .
n

答: ;当 n 为奇数时, a ? a ;当 n 为偶数时, 54、正数的正分数指数幂的意义是什么?
n n

( a) ? a
n n

?a (a ? 0) a n ?| a |? ? ??a (a ? 0) .

答:

a ? n am (a ? 0, m, n ? N? , 且 n ? 1) ;0 的正分数指数幂等于 0.

m n

55、正数的负分数指数幂的意义是什么?

6

a
答:

?

m n

1 m 1 ? ( ) n ? n ( )m (a ? 0, m, n ? N? , n ? 1) ;0 的负分数指数幂没有意义. a a 且

56、分数指数幂的运算性质有哪些?
r s r ?s a ? a ? a (a ? 0, r, s ? R) 答:①



(ar )s ? ars (a ? 0, r, s ? R)

③ 57、什么叫指数函数? x 答:函数 y ? a (a ? 0 且 a ? 1) 叫做指数函数,其中 x 是自变量,函数的定义域 为 R. 58、指数函数的性质有哪些? 答:①定义域: R ②值域:

(ab)r ? ar br (a ? 0, b ? 0, r ? R)

(0, ??)

③过定点:图象过定点 ④奇偶性:非奇非偶

(0,1) ,即当 x ? 0 时, y ? 1 .

⑤单调性:当 a ? 1 时,在 二、对数函数 59、什么叫对数?

R 上是增函数;当 0 ? a ? 1时,在 R 上是减函数。

答: 其中 a 叫做底数, N 叫做真数. ②负数和零没有对数. 60、如何互化对数式与指数式?

x a ? N (a ? 0, 且a ? 1) ,则 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x ? log a N , ①若

x x ? log N ? a ? N (a ? 0, a ? 1, N ? 0) a 答:

61、重要的对数恒等式有哪些? 答: , , 62、两个重要对数是那些?

log a 1 ? 0 log a a ? 1 loga ab ? b



答:○ 1 常用对数:以 10 为底的对数 lg N ; 2 自然对数:以无理数 e ? 2.71828 ? 为底的对数的对数 ln N . ○ 常用对数:

lg N ,即 log10 N ;自然对数: ln N ,即 loge N (其中 e ? 2.71828 ?).

63、对数的运算性质有哪些? 答:如果 a ? 0, a ? 1, M ? 0, N ? 0 ,那么 ② 法:

loga M ? loga N ? loga (MN )
M N
7

②减法:

log a M ? log a N ? log a

③数乘:

n loga M ? loga M n (n ? R)
log Mn ? ab n b lo M a g b? ( n 0 ? , R )

log a N a ?N ④



log a N ?
⑥换底公式: 64、什么叫对数函数? 答:函数
y ? log a x(a ? 0

logb N (b ? 0, 且b ? 1) logb a

且 a ? 1) 叫做对数函数.

65、对数函数有那些性质? 答:①定义域:

(0, ??)

②值域: R

③过定点:图象过定点

(1,0) ,即当 x ? 1 时, y ? 0 .

④奇偶性:非奇非偶 ;⑤单调性:当 在 (0, ??) 上是减函数。

a ? 1 时,在 (0, ??) 上是增函数。当 0 ? a ? 1

时,

三、幂函数 66、什么叫幂函数? ? 答:一般地,形如 y ? x (a ? R) 的函数称为幂函数,其中 ? 为常数. 67、幂函数有那些性质? 答:(1)所有的幂函数在(0,+∞)都有定义并且图象都过点(1,1); (2) ? ? 0 时,幂函数的图象通过原点,并且在区间 [0,??) 上是增函数.特别 地,当 ? ? 1 时,幂函数的图象下凸;当 0 ? ? ? 1时,幂函数的图象上凸; (3) ? ? 0 时,幂函数的图象在区间 (0,??) 上是减函数.在第一象限内,当

x

从右边趋向原点时,图象在 y 轴右方无限地逼近 y 轴正半轴,当 x 趋于 ? ? 时, 图象在 x 轴上方无限地逼近 x 轴正半轴. 第三章 函数的应用 方程的根与函数的零点 68、函数零点的概念是什么? 答:对于函数 y ? f ( x)( x ? D) ,把使 f ( x ) ? 0 成立的实数

x 叫做函数 y ? f ( x)(x ? D) 的零点。有时我

们把一个函数的图象与 x 轴的交点的横坐标,也叫做函数的零点。 69、函数零点的意义是什么? 答:函数的零点就是方程的实数根,亦即函数 的图象与 轴交点的横坐标。即:方程有实数根,函数 的图象与坐标轴有交点,函数有零点. 70、函数零点的有那些求法? 答:(1)(代数法)求方程 的实数根;
8

(2)(几何法)对于不能用求根公式的方程,可以将它与函数的图象联系起来,并利用函数的性质 找出零点. 71、函数零点的判断方法是什么? 答:如果函数 y ? f ( x ) 在区间 ?a, b? 上的图象不间断,并且在它的两个断点处的函数值异号,即

f ?a ? f ?b? ? 0 ,则这两个函数在区间 ?a, b ? 上至少有一个零点。
72、什么叫二分法? 答: 对于在区间[ , ]上连续不断且满足 的零点所在的 二分法。 · <0 的函数 , 通过不断地把函数

区间一分为二,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做

73、用二分法求函数 答:给定精确度 (1)确定区间 (2)求区间 (3)计算 ①若 ②若 ③若 , , : = ,则 · ·

零点近似值 零点近似值的步骤如下: <0,给定精确度 ;

,用二分法求函数 ,验证 的中点 ; ·

就是函数的零点; (此时零点 (此时零点 ); );

<0,则令 = <0,则令 =

(4)判断是否达到精确度 ;即若 74、如何判断二次函数的零点? 答:二次函数

< ,则得到零点近似值 (或 );否则重复步骤2-4.

y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0)

(1)△>0,方程 有两不等实根,二次函数的图象与 轴有两个交点,二次函数有两个零点. (2)△=0,方程 有两相等实根(二重根),二次函数的图象与 轴有一个交点,二次函数有一个二 重零点或二阶零点. (3)△<0,方程 无实根,二次函数的图象与 轴无交点,二次函数无零点. 必修 4 第一章 三角函数 75、什么叫做任意角?

?正角:按逆时针方向旋转形成的角 ? 1 、任意角 ?负角:按顺时针方向旋转形成的角 答: ?零角:不作任何旋转形成的角 ?
76、什么叫做角?
9

答:平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图 形。射线的端点叫做叫的顶点,旋转开始时的射线叫做角的始边,旋转终 止 时的射线叫做角的终边。 77、什么叫做象限角? 答:角 ? 的顶点与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合,终 边落在第几象限,则称 ? 为第几象限角.如果角的终边在坐标轴上,就认 为这个角不属于任一象限。 78、几种常用角的表示: 答:第一象限角的集合为 ? k ? 360? ? ? ? k ? 360? ? 90? , k ? ? 第二象限角的集合为 ? k ? 360? ? 90? ? k ? 360? ? 180? , k ? ?
? ? ? ?

?

?

? ? 第三象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 180 ? ? ? k ? 360 ? 270 , k ? ?? 第四象限角的集合为 ?? k ? 360 ? 270 ? ? ? k ? 360 ? 360 , k ? ??
? ? ? ?

终边在 x 轴上的角的集合为

?? ? ? k ?180 , k ? ??
?

终边在 y 轴上的角的集合为 ? ? ? k ?180? ? 90? , k ? ? 终边在坐标轴上的角的集合为 ? ? ? k ? 90? , k ? ? 终边在 y=x 轴上的角的集合:

?

?
?

?? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z ? ? | ? ? k ?180 ? 45 , k ? Z ? 终边在 y ? ?x 轴上的角的集合: ? 与角 ? 终边相同的角的集合为 ?? ? ? k ? 360 ? ? , k ? ??
?

?

?

?

?

?

79、什么叫做角度制? 1 答:周角的 为 1 度的角。 360 80、什么叫做弧度制? 答: 长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度. 81、弧度制与角度制的换算公式是什么? 答:正角的弧度数为正数,负角的弧度数为负数,零角的弧度数为零. 弧度与角度互换公式:360° =2 ? ; 180° =? ; 1rad=

180

?

°≈57.30°=57°18

1°=

?
180

≈0.01745(rad)

82、弧长与扇形公式是什么? 答:若扇形的圆心角为 ?

??为弧度制? ,半径为 r ,弧长为 l ,周长为 C ,
10

面积为 S ,则 l

?r?

,? ?

l r

C ? 2r ? l , S

?

1 1 lr ? ? r2 . 2 2

83、什么叫做单位圆的? 答:在直角坐标系中,我们称以圆点为圆心,以单位长度为半径的圆。 84、三角函数的定义是怎样的? 答: 设

P( x, y ) 是角 ? 终边上的任意一点,且 PO ? r (r ? 0) ,则有:

x r csc ? ? r x y y cot ? ? s e c ? ? cos ? ? sin ? ? tan ? ? y; y. x; r; r; x;
85、三角函数的在各象限内的符号是怎样的? 答:第一象限全为正,第二象限正弦为正,第三象限正切为正, 第四象限余弦为正.

86、同角三角函数的基本关系式有哪些? 答:(1)平方关系: sin
2

? ? cos 2 ? ? 1 ; 1 ? tan 2 ? ? sec 2 ? ; 1 ? cot 2 ? ? csc 2 ?

sin ? cos ? ? tan ? ? cot ? (2)商数关系: cos ? ; sin ?
(3)倒数关系: tan ? ? cot ? ? 1 ; sin ? 87、诱导公式有哪些,有何记忆规律? 答:诱导公式是指角

? csc ? ? 1 ; cos ? ? sec ? ? 1

? 的三角函数与诸如 ? ? , 1800 ? ? , 900 ? ? ,

0 270 0 ? ? , 360 0 ? ? , k ? 360 ? ? 等同角三角函数的关系.

记忆规律是:“奇变偶不变,符号看象限”,其中奇变偶不变中的奇、

?
偶分别是指 2 的奇数倍和偶数倍. 88、利用诱导公式把任意角的三角函数转化为锐角三角函数的基本步骤 是什么? 答: ? 任意角的三角 ? 正角的三角

0 到 2? 的三角 ? 函数
(3)正切函数的图象:

锐角三角函数

89、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象如何?

函数

函数

答:(1)正弦函数的图象:(2)余弦函数图象

11

90、正弦函数、余弦函数和正切函数的性质有哪些? 答:(1)定义域: R ; (2)值域: ? ?1,1? ; (3)最值:① 当 x ? 2k? ② ③
R;

? ? ? ? x x ? k? ? , k ? ? ? 2 ? ?
R。

? ?1,1? ;

y ? sin x 当 x ? 2k? ?

?
2

? k ? ? ? 时, ymax ? 1;

?

?
2

? k ? ? ? 时, ymin ? ?1 ;

y ? cos x 当 x ? 2k? ? k ? ?? 时, ymax ? 1;当 x ? 2k? ? ? ? k ? ?? 时, ymin ? ?1 ;
y ? tan x 既无最大值也无最小值。

(4)周期性:

2?



2?



?

(5)奇偶性:奇函数;偶函数;奇函数。 (6)单调性: ①
? ? ? ? k ? ? ? 上是增函数; y ?sin x 在? ? 2 k? ? , 2 k? ? ?
? 2 2?

? 3? ? ? 在 ? 2 k? ? , 2 k? ? ? k ? ? ? 上是减函数。 2 2 ? ? ?
② 在 ③

y ? cos x 在 ?2k? ? ? ,2k? ?? k ??? 上是增函数;

?2k? , 2k? ? ? ? ? k ? ? ? 上是减函数。
? ?? y ? tan x 在 ? ? k? ? , k? ? ? ? k ? ? ? 上是增函数.
? 2 2?

(7)对称性:①

y ? sin x 对称中心 ? k? ,0?? k ??? ,对称轴 x ? k? ? ? k ? ? ?
2
? 2 ?

?



? ? y ? cos x 对称中心 ? ? k? ? , 0 ? ? k ? ? ? ,对称轴 x ? k? ? k ?? ? 。

12



y ? tan x 对称中心 ? ?

k? ? , 0 ? ? k ? ? ? ,无对称轴。 ? 2 ?

91、函数

y ? ? sin ??x ? ? ?? ? ? 0, ? ? 0? 的有关概念是什么?
2?

答: ①振幅: ? ;②周期: ? ? ④相位: ? x ? ? ;⑤初相 92、函数 y ? ? sin

?

;③频率: f ?

1 ? ? ; ? 2?

?.

??x ? ? ?? ? ? 0,? ? 0? 的性质有哪些? 答:(1)定义域: R ;(2)值域: ?? A, A? ;
(3)最值:函数 y ? ? sin ?? x ? ? ? ? ? ,当 当x

x ? x1 时,取得最小值为 ymin
2



? x2 时,取得最大值为 ymax ,则 ? ? 1 ? ymax ? ymin ? , ? ? 1 ? ymax ? ymin ? ,
2

? ? x2 ? x1 ? x1 ? x2 ? . 2

(4)周期性: ? ? (5)奇偶性:当 ? 为偶函数. (6)单调性: 在 ? 2 k? ?

2?

?



? k? ?k ? z ? 时,为奇函数;当 ? ? k? ? ?k ? z ? 时,
2

?

? ?? ? y ? ? sin ?? x ? ? ? 在 ? 2k? ? , 2k? ? ? ? k ? ? ? 上是增函数; 2 2? ?
3? ? ? k ? ? ? 上是减函数。 2 ? ?

? ?

?
2

, 2 k? ?

(7)对称性: y ? ? sin ?? x ? ? ? 对称中心 ? k? , 0?? k ? ? ? ,对称轴

?x ? ? ? k? ?

? ?k ? z ? 2

92、如何用变换作图法作出

y ? A sin(?x ? ? ) ?
y ? sin x 上的各点的纵坐标

答:(1)振幅变换: y ? sin x ? y ? A sin x ,将 变为原来的 A 倍(横坐标不变); (2)相位变换:

y ? A sin x ? y ? A sin(x ? ? ) ,将 y ? A sin x 图象上的所
13

有点向左 (? ? 0) 或向右 (? ? 0) 平移 ? 个单位; (3)周期变换:

y ? A sin(x ? ? ) ? y ? A sin(?x ? ? ) ,将 y ? A sin(x ? ? ) 图
1

象上各点的横坐标变为原来的 ? 倍(纵坐标不变). (4)由

y ? sin x 的图象变换到 y ? A sin(?x ? ? ) 的图象,一般先作相位

变换,后作周期变换,即 ? y ? sin(x ? ? ) ? y ? sin(?x ? ? ) . 第二 章 三角恒等变换 94、两角和与差的正弦、余弦和正切公式是有那些? 答: ⑴ sin ?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;

y ? sin x

?? ? ? ? ? sin ? cos ? ? cos? sin ? ; ⑶ cos ?? ? ? ? ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ⑷ cos ?? ? ? ? ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;
⑵ sin (5) tan ?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1 ? tan ? tan ? ?

(6) tan

?? ? ? ? ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?

tan ? ? tan ? ? tan ?? ? ? ??1? tan ? tan ? ?
95、二倍角的正弦、余弦和正切公式是有那些? 答:⑴ sin 2? (2)

? 2 sin ? cos ?



cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ?
2

( cos

??

cos 2? ? 1 , sin 2 ? 2

?

1 ? cos 2? ) . 2

⑶ tan 2? ?

2 tan ? . 1 ? tan 2 ?
? 2 ? ?2 sin ?? ? ? ? ,其中 tan ?

96、和差角公式的逆用及辅助角公式是有那些? 答: ? sin ? ? ? cos ? ?

?

? . ?

97、半角的正弦、余弦和正切公式是有那些? 答: sin

?
2

??

? 1 ? cos? ?? ; cos 2 2
14

1 ? cos? 2

tan

?
2

?

sin ? 1 ? cos ? 。 ? 1 ? cos ? sin ?

98、和差化积公式有那些? 答: sin ? ? sin ? ? 2 sin
? ??
2 cos

? ??
2

sin ? ? sin ? ? 2 cos

? ??
2

sin

? ??
2

cos ? ? cos ? ? 2 cos

? ??
2

cos

? ??
2

cos ? ? cos ? ? ?2 sin

? ??
2

sin

? ??
2

99、积化和差公式有那些? 答: sin ? cos ? ?

1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? ; cos ? sin ? ? 1 ?sin ?? ? ? ? ? sin ?? ? ? ?? 2 2

cos ? cos ? ?

1 1 ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? ; sin ? sin ? ? ? ?cos ?? ? ? ? ? cos ?? ? ? ?? 2 2

100、在三角的恒等变形中,如何变换角的形式? 答: ? ? 2 ?

?
2

? ? (? ? ? ) ? ? , ? ? (? ? ? ) ? ? ,

???
2

? ? ?? ? ? ? ?? ? ??? ??? 2? ?2 ? ?

101、特殊角的三角函数值有那些?

sin 15? ? cos75? ?
答: sin 75? ? cos15? ?

6? 2 , 4 6? 2 , 4

sin 18? ?

5 ?1 4

15


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