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初高中衔接资料


第一讲:几类基本不等式的解法:
一、绝对值不等式:|x|?a,|x|?a(a?0)的解法 例 1、解不等式: (1)|2x--1|?3。 (2)|3x—5|?2

三、一元高次不等式的解法: 一般分析:

例 3、解不等式: (1) (x+2) (2x-1) (x+3) (x--2)?0; (2) ( x ? 2)(x ? 1)

≤0
( x ? 1)(x ? 2)

练习:解不等式: (1)|2x--3|?3。 (2)|x—2|?1

2 练习:解不等式: (1) x ? 4 x ? 3 ≥0(2) ( x ? 3) 4 ( x ? 1)(x ? 1)(2 x ? 3) ?0

x 2 ? 5x ? 6

二、一元二次不等式:ax2+bx+c>0 的解法: (图象法) 一般步骤:①看 a 的符号 ②计算△(求根) ④定解集

③ 画示意图

例 2、解不等式: (1)x2—3x+2≥0; (2)-- 3x2+6x?2; (3)4x2--4x+1?0

四、a? f ( x ) ?b 形的不等式的解法:
g ( x)

一般分析:

例 4、解不等式:--1?x2+2x--1≤2

练习:解不等式: (1)3x2—7x+2?0;

(2)x2+10≥6x +1; 作业:解下列不等式:1、|2x+3|?3 ; 2、|3x--2|?10 ;

(3)--x2+2x--3?0

3、x(x--1) (x+2) (x--3)? 0

4、--10≤x2+6x--5?11

1

第二讲:与一元二次不等式相关的问题
例 1、解不等式: (1)2x+ x ?3; (2)5|x|+24? x2

练习:已知不等式:ax2+bx+1≥0 的解为:--5≤x≤1,求 a、b 的值;

例 4、若 1? x ≤2 时,x2+2ax+a? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围;

例 2、a 为何值时,不等式: (a 2 ? 3a ? 2) x 2 ? (a ? 1) x ? 2 ?0 的解为全体实数?

练习:对于任意实数 x,一元二次不等式(2m--1)x2+(m+1)x+(m--4)?0 恒成立,求实数 m 的取值范围。

作业:1、解不等式:x2—4|x|+3?0

2、若--2 ≤x?--1 时,x2+2ax+a? 0 恒成立, 求实数 a 的取值范围;

3、 若不等式:ax2+bx+c ?0 的解为:2? x? 3,解不等式 cx2+bx+a?0

例 3、 (1)已知不等式 x2--mx+n≤0 的解为:--5≤x≤1,求 m、n 的值; (2)若不等式:ax2+bx+c?0 的解为α ? x?β (0?α ?β ) ,解不等式:cx2+bx+a?0 4、 若关于 x 的不等式: (a--2)x2+2(a-2)x--4? 0 的解为全体实数,求实数 a 的取值范围。

2

第三讲:与函数的定义域有关的问题
一、回忆与思考:求下列函数的定义域: 1、f(x)= (5 ? 2 x) 0 + 5 ? 2 x ; 2、 y ?

1 2、已知函数 y=f(x)的定义域为 x∈[--1,4],求函数 y=f( ? 2 )的定义域; x

1 ? x2 ?1 2? | x |

二、例题与练习:
5

例 3、已知函数 y=f(2x--1)的定义域为 x∈[0,1],求函数 y=f(1—3x)的定义域;

例 1、若函数 f(x)=

ax ? 1

ax ? 4 ax ? a ? 3
2

的定义域为 R,求实数 a 的取值范围;

例 4、已知函数 y=f(x)的定义域为 x∈[0,1],求函数 y=f(x+a)+f(x—a) (a?0) 的定义域;

练习:已知函数 y= mx2 ? 6mx ? m ? 8 的定义域为 R,求实数 m 的取值范围;

例 2、已知函数 y=f(x)的定义域为 x∈[1,4],求函数 y=f(x2)的定义域;

作业:1、已知函数 y=f(x)的定义域为 x∈[--3,2],求函数 y=f( 1 )的定义域;
2x ? 1

2、已知函数 y= (a 2 ? 1) x 2 ? (a ? 1) x ? 2 的定义域为 R,求实数 a 的取值范围; a ?1 练习:1、已知函数 y=f(x)的定义域为 x∈[--1,3],求函数 y=f(--x)及 y=f(--x)+ f (x)的定义域;
2 3、求函数 y= 3x ? x 的定义域; | x ? 1 | ?1

3

第四讲:与函数的值域有关的问题
一、内容提要:求函数的值域的方法是比较多的,目前主要有:分析观察法;数形结合
法;解不等式法;换元法;判别式法等。

(四)换元法: 例 4、 (1)求函数 y=5—x+ 3x ? 1 的值域;

二、例题与练习:
(一)分析观察法:
2 例 1、求函数 y= 1 ? 3 x 及 y= x ? 4 x ? 3 的值域。

x ?1

x2 ? x ? 6

(2)已知函数 f(x)的值域是[ ,

3 4 ],试求函数 g(x)=f(x)+ 1 ? 2 f ( x) 的值域; 8 9

2 练习:求函数 y= x ? 5 x ? 6 的值域。

x2 ? x ? 6

练习:求函数 y= x -- 4 2 ? x 的值域; (二)图象法: 例 2、求函数 y=2-- 4x ? x 2 及 y= x ? 1 ? x 的值域。 (五)判别式法: 例 5、求函数 y=

8 的值域; x ? 4x ? 5
2

(三)解不等式法: 例 3、求函数 y=

1? x2 5x ? 1 (x∈[--3,--1])及 y= 的值域。 4x ? 2 1? x2
作业:求下列函数的值域: 1、y= 5 x ? 1 (x∈[1,3])
4x ? 2

2、y=x+ 2 x ? 1

练习:求函数 y= x ? 1

x?2

(x≥0)的值域。

2 3、y= x ? x ? 2 2

x ? 2x ? 3

4、y=

5 2x ? 4x ? 3
2

4

第五讲:正弦定理与余弦定理
一、三角形的面积公式与正弦定理: 1、三角形的面积公式的两种不同形式: 1 1 1 a、S△= a ? ha ? b ? hb ? c ? hc ; 2 2 2

一、

余弦定理及其证明:

a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2bc cos A
1、余弦定理: b ? a ? c ? 2ac cos B
2 2 2

cos A ?
或:

1 1 1 b、S△= a ? b sin C ? b ? c sin A ? a ? c sin B 2 2 2

c 2 ? a 2 ? b 2 ? 2ab cosC
2、证明:

b2 ? c2 ? a2 2bc 2 a ? c2 ? b2 cos B ? 2ac a2 ? b2 ? c2 cosC ? 2ab

2、正弦定理及其证明: 正弦定理:

a b c ? ? ? 2 R (其中 R 为△ABC 的外接圆的半径) sin A sin B sin C

或:a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC 3、例题与练习: 例 2、 (1)在△ABC 中,若(a+b+c) (b+c--a)=3bc,求 A 3、例题与练习: 例 1、 (1)在△ABC 中,B=45°,C=60°,a=2( 3 ? 1 ) ,求 S△ (2)在△ABC 中,A=60°,b=16,S△=220 3 ,求 a。 (3)设锐角三角形 ABC 的三边分别为 2,3,x,求 x 的取值范围。

(2)如图:AB⊥BC,CD=33,∠ACB=30°,∠BCD=75°,∠BDC=45°,求 AB 的长。 D A

B

C

练习:1、在△ABC 中,a、b 是方程:x2--2 3 x+2=0 的两实根,且 C=120°,求 c 及 S△。

练习:在△ABC 中,B=60°,b=7 6 ,a=14,求 A。 1、 在△ABC 中,若 sinA∶sinB∶sinC=( 3 +1)∶( 3 --1)∶ 10 ,求最大角。

5

第六讲:三角形的四心及圆的有关性质
一、三角形的四心:
(一)三角形的重心 1、定义:三角形 ABC 三边上的三条中线的交点 G,称为△ABC 的重心。 B 2、性质:三条中线交于一点 G,且 AG∶GD=BG∶GE=CG∶GF=2∶1
F G D O A F I D A E C C A A E C -

问题二: (重心性质的应用)已知 G 是△ABC 的重心,P 是以 AB、AC 为邻边的平行四边形 A 的第四个顶点,则 AP∶AG=( ) A、2:1 B、1.5:1 C、 3: D、6:1
B P

·

G

C

(二)三角形的外心: 1、定义:三角形 ABC 三边的三条中垂线的交点 O,称为△ABC 的外心。 B 2、性质:三条边的中垂线交于一点 O,且 AO =BO =CO
-

(三)三角形的内心: 1、定义:三角形 ABC 的三内角平分线的交点 I,称为△ABC 的内心。 B 2、性质:三角形的三内角平分线交于一点 I(如图) ,且 AB∶AC=BD∶DC 或:AI∶ID=BA∶BD 等。 (四)三角形的垂心: 1、定义:三角形 ABC 的三条高线的交点 H,称为△ABC 的垂心。 2、性质:三角形的三内角平分线交于一点 H。

问题三、已知三角形三边的长如何求其内切圆的半径? 1、 直角三角形的情形:设 a、b、c 分别为直角三角形 ABC 的两直角边和斜边的长,求证: a?b?c 三角形 ABC 内切圆的半径为 r= ;又若已知三角形 ABC 的三边长分别为 3、4、 2 5,则其内切圆的半径为( ) 。

H B A C B C M

二、圆的有关性质:
1、相交弦定理: (如图)AM·MB=CM·MD 2、垂径定理:垂直于弦的直径必平分弦;平分弦的直径必垂直于弦。 2、 切线长的关系式:PA=PB= PO2 ? OA2 (O 为圆心) 3、 圆与圆的位置关系: (1)|O1O2|>r1+ r2; (2)两圆外切:|O1O2|=r1+ r2; (3)两圆相交:r1-- r2<|O1O2|<r1+ r2; (4)两圆内切:|O1O2|=r1-- r2; (5)两圆内含:|O1O2|<r1-- r2; (O1、O2 为两圆心;r1、r2 为两圆的半径)
D

2、 一般三角形的情形: 可用面积等积变形来解决;如已知三角形的三边长分别为 4、 8、10, 求其内切圆的半径 r 的长。

三、问题与思考:
问题一:你能否用三角形的面积公式来证明三角形内角平分线的性质? 问题四:直线与圆的位置关系有几种情形?如何判别?

6


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