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高中三角函数练习题(高考)


1 . 已 知 向 量 a =( cos ? x,sin ? x ), b =( cos?x ,

?

?

3 cos?x ), 其 中 ( 0 ? ? ? 2 ). 函 数

f ( x) ? a ? b ?

1 ? ,其图象的一条对称轴为 x ? . 2 6

(I)求函数 f ( x ) 的表达式及单调递增区间; (Ⅱ)在△ABC 中,a、b、c 分别为角 A、B、C 的对边,S 为其面积,若 f ( ) =1,b=l,S△ABC=

A 2

3 ,求 a 的值.

2(山东省莱芜市莱芜二中 2013 届高三 4 月模拟考试数学(理)试题)

已知向量 m ? ( 3 sin

??

? ?? ? x x x ,1), n ? (cos , cos 2 ). 记 f ( x) ? m ? n . 4 4 4

(Ⅰ)若 f (? ) ?

3 2? ? ? ) 的值; ,求 cos( 2 3

(Ⅱ)在△ABC 中,角 A、B、C 的对边分别是 a 、 b 、 c ,且满足 (2a ? c) cos B ? b cos C , 若 f ( A) ?

1? 3 ,试判断△ABC 的形状. 2

3.(山东省济宁邹城市 2013 届高三上学期期中考试数学(理)试题)

在△ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,己知 (I)求

cos A ? 2 cos C 2c ? a ? . cos B b

sin C 的值; sin A 1 (II)若 cosB= , b ? 2, 求△ABC 的面积 S. 4

4.(山东省德州市乐陵一中 2013 届高三十月月考数学(理)试题) 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对的边为 a , b, c 已知 sin (Ⅰ)求 cos C 的值; (Ⅱ)若 ?ABC 的面积为

C 10 ? . 2 4

13 2 3 15 2 2 sin C ,求 a, b, c 的值. ,且 sin A ? sin B ? 16 4

5. 已知

, 表示为 的函数 分别为 ,并求

,且 的单调增区间;

.

(1)将

(2) 已 知

的三个内角

对应的边长,若

,且

,

,求

的面积.

6.(10 分)(2015·茂名一模)设锐角三角形 ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 a=2bsin A. (1)求角 B 的大小; (2)若 a=3 3,c=5,求△ABC 的面积及 b. 解析:(1)∵a=2bsin A,由正弦定理得 sin A=2sin Bsin A,由于 sin A≠0, 1 故有 sin B= ,又∵B 是锐角, 2 ∴B=30°. 1 1 1 15 3 (2)依题意得:S△ABC= acsin 30°= ×3 3×5× = , 2 2 2 4 ∴由余弦定理 b2=a2+c2-2accos B 可得 b2=(3 3)2+52-2×3 3×5×cos 30° =27+25-45=7, ∴b= 7. (sin x-cos x)sin 2x 7.(12 分)已知函数 f(x)= . sin x (1)求 f(x)的定义域及最小正周期; (2)求 f(x)的单调递增区间. (sin x-cos x)sin 2x 解析:f(x)= = sin x (sin x-cos x)2sin xcos x = 2(sin x - cos x)cos x = sin 2x - 1 - cos 2x = 2 sin x

π? ? sin?2x- ?-1,{x|x≠kπ ,k∈Z} 4? ? (1)原函数的定义域为{x|x≠kπ ,k∈Z},最小正周期为π . 3π ? π ? ? ? (2)原函数的单调递增区间为?- +kπ ,kπ ?,?kπ , +kπ ?(k∈Z). 8 ? 8 ? ? ? ωx 8.(12 分)函数 f(x)=6cos2 + 3cos ω x-3(ω >0)在一个周期内的图象如图所示,A 2 为图象的最高点,B,C 为图象与 x 轴的交点,且△ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及函数 f(x)的值域; 8 3 ? 10 2? (2)若 f(x0)= ,且 x0∈?- , ?,求 f(x0+1)的值. 5 ? 3 3?

解析:(1)由已知可得: f(x)=6cos2 π? ? sin?ω x+ ?(ω >0). 3? ?

ωx + 3cos ω x-3=3cos ω x+ 2

3sin ω x=2 3

又由于正三角形 ABC 的高为 2 3,则 BC=4, 所以,函数 f(x)的周期 T=4×2=8, 2π π 即 =8,得ω = . ω 4 所以,函数 f(x)的值域为[-2 3,2 3]. 8 3 (2)因为 f(x0)= ,由(1)有 5 ?π x0+π ?=8 3, f(x0)=2 3sin? 3? ? 4 ? 5 ?π x0+π ?=4. 即 sin? 3? ? 4 ? 5 ? 10 2? ?π x0+π ?∈?-π ,π ?, 由 x0∈?- , ?,得? ? ? 3? ? 3 3? ? 4 ? ? 2 2?

?π x0+π ?= ?4? 3 1-? ? = . ? 3? ? 4 ?5? 5 π x0 π π ? + + ? 故 f(x0+1)=2 3sin? 4 3? ? 4 ? ??π x0+π ?+π ? =2 3sin?? ? 3? 4? ?? 4 ? ? ?π x0+π ?cos π +cos?π x0+π ?sin π ? =2 3?sin? ? 4 ? 3? 3? 4 4? ? ? ? ? ? 4 2 3 2? 7 6 ?4 =2 3? × + × ?= . ?5 2 5 2 ? 5
所以,即 cos?

2

→ → → → 9.(12 分)在△ABC 中,已知AB·AC=3BA·BC. (1)求证:tan B=3tan A; 5 (2)若 cos C= ,求 A 的值. 5 → → → → 解析:(1)∵AB·AC=3BA·BC,∴AB·AC·cos A=3BA·BC·cos B,即 AC·cos A=3BC·cos B. AC BC 由正弦定理,得 = , sin B sin A ∴sin B·cos A=3sin A·cos B. 又∵0<A+B<π ,∴cos A>0,cos B>0. sin B sin A ∴ =3· ,即 tan B=3tan A. cos B cos A (2)∵cos C= ∴sin C= 5 ,0<C<π , 5 1-?

? 5?2 2 5 ? = 5 . ?5?

∴tan C=2. ∴tan[π -(A+B)]=2,即 tan(A+B)=-2. tan A+tan B ∴ =-2. 1-tan A·tan B 4tan A 由 (1),得 =-2, 1-3tan2 A 1 解得 tan A=1 或 tan A=- . 3 π ∵cos A>0,∴tan A=1.∴A= . 4

? π ? 10.(12 分)已知函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?. ? 3 ? (1)求实数 a 的值; (2)求函数 f(x)的最小正周期与单调递增区间. ? π ? ? π? 解析:(1)因为函数 f(x)=sin x+acos x 的图象经过点?- ,0?,所以 f?- ?=0. ? 3 ? ? 3? π π ? ? ? ? 即 sin?- ?+acos?- ?=0. ? 3? ? 3?
即- 3 a + =0. 2 2

解得 a= 3. (2)由(1)得, 3 ?1 ? f(x)=sin x+ 3cos x=2? sin x+ cos x? 2 2 ? ? π π? ? =2?sin xcos +cos xsin ? 3 3? ? ? π? =2sin?x+ ?. 3? ? 所以函数 f(x)的最小正周期为 2π . π π 因为函数 y=sin x 的单调递增区间为[2kπ - ,2kπ + ](k∈Z), 2 2

π π π 所以当 2kπ - ≤x+ ≤2kπ + (k∈Z)时,函数 f(x)单调递增, 2 3 2 5π π 即 2kπ - ≤x≤2kπ + (k∈Z)时,函数 f(x)单调递增. 6 6 5π π? ? 所以函数 f(x)的单调递增区间为?2kπ - ,2kπ + ? 6 6? ? (k∈Z). x ? ? ? x ? 11.(12 分)已知向量 m=?2cos ,1?,n=?sin ,1?(x∈R),设函数 f(x)=m·n-1. 2 ? ? ? 2 ? (1)求函数 f(x)的值域; 5 3 (2)已知锐角三角形 ABC 的三个内角分别为 A,B,C,若 f(A)= ,f(B)= ,求 f(C)的值. 13 5 x x x x ? ? ? ? 解析:(1)f(x)=m·n-1=?2cos ,1?·?sin ,1?-1=2cos sin +1-1=sin x. 2 ? ? 2 ? 2 2 ? ∵x∈R, ∴函数 f(x)的值域为[-1,1]. 5 3 (2)∵f(A)= ,f(B)= , 13 5 5 3 ∴sin A= ,sin B= . 13 5 12 ∵A,B 都为锐角,∴cos A= 1-sin2 A= , 13 4 cos B= 1-sin2 B= . 5 5 4 12 ∴f(C)=sin C=sin[π -(A+B)]=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B= × + × 13 5 13 3 56 = . 5 65 56 ∴f(C)的值为 . 65


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