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绝对值三角不等式及其应用


绝对值不等式

复习回顾: 我们知道,一个实数 a 的绝对值的意义: ? a ( a ? 0) ? ⑴ a ? ? 0 ( a ? 0) ;(定义) ? ? a ( a ? 0) ?

关于绝对值还有什么性质呢?
①a ? a
2

a a ② ab ? a b , ? ,…… b b

绝对值三角不等式

根据绝对值的定义,实数a的绝对值|a| 有明确的几何意义:
实数a的绝对值|a|的几何意义是:表示数轴上 坐标为a的点A到原点的距离:
|a|
A O a

x

任意两个实数a,b在数轴上的对应点分别为A、B, 那么|a-b|的几何意义是: A、B两点间的距离即线段AB的长度。
|a-b|
A a B b

x

联系绝对值的几何意义,从“运算”的角度研 究|a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的关系:
分ab>0和ab<0两种情形讨论:

(1)当ab>0时,如下图可得|a+b|=|a|+|b|
x

O

a

b

a+b

a+b

b

a

O

x

(2)当ab<0时,也分为两种情况:如果a>0,b<0, 如下图可得:|a+b|<|a|+|b|
b a+b O a x

如果a<0, b>0,如下图可得:|a+b|<|a|+|b|

a

O

a+b

b

x

(3)如果ab=0,则a=0或b=0,易得: |a+b|=|a|+|b|

定理1

如果a, b是实数,则
|a+b|≤|a|+|b|

当且仅当ab≥0时,等号成立。
探究 如果把定理1中的实数a, b分别换成向 量a, b, 能得出什么结果?你能解释它的几何 意义吗?

x

如果把 a , b 换为向量 a , b ,根据向量加法的三 角形法则,易知 a ? b ≤ a ? b .(同向时取等号)

a?b
a?b a
b

a

b

这个不等式为绝对 值三角不等式。 由于定理1与三角形之间的这种关系,我们

称|a+b|≤|a|+|b|

为了更好地理解定理1,我们再 从代数推理的角度给出证明

定理1的代数证明:
已知 a , b 是实数,试证明: a ? b ≤ a ? b (当且仅当 ab ≥ 0 时,等号成立.)
证明: 10.当ab≥0时, 20. 当ab<0时, ab ? ? | ab |,
| a ? b |? (a ? b )2 ? a 2 ? 2ab ? b 2 ? | a |2 ?2 | ab | ? | b |2 ? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |)2

ab ?| ab |, | a ? b |? (a ? b ) ? a ? 2ab ? b
2 2

2

? | a |2 ?2 | a || b | ? | b |2 ? (| a | ? | b |)
2

?| a | ? | b | ?| a | ? | b | 综合10,20知定理成立.

探究 你能根据定理1的研究思路,探究一下 |a|,|b|,|a+b|,|a-b|等之间的其他关系吗?例如: |a|-|b|与|a+b|,|a|+|b|与|a-b|,|a|-|b|与 |a-b|等之间的关系。 |a|-|b|≤|a+b|, |a|+|b|≥|a-b|,

|a|-|b|≤|a-b|.

如果a, b是实数,那么

|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|
||a|-|b||≤|a+b|≤|a|+|b|

以上讨论了关于两个实数的绝对值不等式,这 是最基本、最重要的绝对值不等式。根据这样 的思想方法,我们可以讨论涉及多个实数的绝 对值不等式问题

定理2

如果a, b, c是实数,那么

|a-c|≤|a-b|+|b-c|
当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。 证明:根据绝对值三角不等式有 |a-c|=|(a-b)+(b-c)|≤|a-b|+|b-c| 当且仅当(a-b)(b-c)≥0时,等号成立。
例 : 若 x ? m ? ? , y ? m ? ? , 下列不等式中一定成立 的是( B ) A. x - y ? ? C . x ? y ? 2? B . x ? y ? 2? D. x ? y ? ?

绝对值三角不等式的应用

例1 已知ε> 0, |x - a|<ε, |y - b|<ε, 求 证: |2x + 3y - 2a - 3b|< 5ε
证明: |2x+3y-2a-3b|=|(2x-2a)+(3y-3b)| =|2(x-a)+3(y-b)|≤|2(x-a)|+|3(y-b)| =2|x-a|+3|y-b|<2ε +3ε=5ε. 所以 |2x+3y-2a-3b|<5ε .

例2 两个施工队分别被安排在公路沿线的两个 地点施工,这两个地点分别位于公路路碑的第 10km和第20km处。现要在公路沿线建两个施 工队的共同临时生活区,每个施工队每天在生 活区和施工地点之间往返一次。要使两个施工 队每天往返的路程之和最小,生活区应该建于 何处? · · ·
10 x 20

分析:假设生活区建在公路路碑的第xkm处,两 个施工队每天往返的路程之和为S(x)km,则有 S(x)=2(|x-10|+|x-20|),要求问题化归为求该函数 的最小值,可用绝对值三角不等式求解。


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