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【步步高】2017版高考数学一轮复习 第三章 导数及其应用 3.2 导数的应用 课时2 导数与函数的极值、最值 文


课时 2
题型一 用导数解决函数极值问题 命题点 1 根据函数图象判断极值

导数与函数的极值、最值

例 1 设函数 f(x)在 R 上可导,其导函数为 f′(x),且函数 y=(1-x)f′(x)的图象如图所 示,则函数 f(x)的极大值、极小值分别是________.

答案 f(-2)、f(2) 解析

由题图可知,当 x<-2 时,f′(x)>0; 当-2<x<1 时,f′(x)<0; 当 1<x<2 时,f′(x)<0; 当 x>2 时,f′(x)>0. 由此可以得到函数 f(x)在 x=-2 处取得极大值,在 x=2 处取得极小值. 命题点 2 求函数的极值 3 3 2 例 2 (2015·青岛二模)已知函数 f(x)=ax -3x +1- (a∈R 且 a≠0), 求函数 f(x)的极大

a

值与极小值.

? 2? 2 解 由题设知 a≠0,f′(x)=3ax -6x=3ax?x- ?. ?
a?
2 令 f′(x)=0 得 x=0 或 .

a

当 a>0 时,随着 x 的变化,f′(x)与 f(x)的变化情况如下:

x f′(x) f(x)

(-∞,0) + ??↗

0 0 极大值

2 (0, )

2

a

a
0 极小值

2 ( ,+∞)

a

- ↘?

+ ?↗?

3 4 3 ?2? ∴f(x)极大值=f(0)=1- ,f(x)极小值=f? ?=- 2- +1.

a

?a?

a

a

当 a<0 时,随着 x 的变化,f′(x)与 f(x)的变化情况如下:

x f′(x)

2 (-∞, )

2

a

a
0

2 ( ,0)

a

0 0

(0,+∞) -





1

f(x) a

?↘

极小值

↗?

极大值

↘?

3 ∴f(x)极大值=f(0)=1- ,

f(x)极小值=f? ?=- 2- +1. a a ?a?
3 综上,f(x)极大值=f(0)=1- ,

?2?

4

3

a

f(x)极小值=f? ?=- 2- +1. a a ?a?
命题点 3 已知极值求参数 例 3 (1)已知 f(x)=x +3ax +bx+a 在 x=-1 时有极值 0,则 a-b=________.
3 2 2

?2?

4

3

x a 2 1 (2) 若函数 f(x) = - x + x + 1 在区间 ( , 3) 上有极值点,则实数 a 的取值范围是 3 2 2
____________. 10 答案 (1)-7 (2)(2, ) 3 解析 (1)由题意得 f′(x)=3x +6ax+b,则
? ?a +3a-b-1=0, ? ?b-6a+3=0, ?
2 2

3

解得?

? ?a=1, ?b=3 ?

或?

? ?a=2, ?b=9, ?

经检验当 a=1,b=3 时,函数 f(x)在 x=-1 处无法取得极值, 而 a=2,b=9 满足题意,故 a-b=-7. 1 (2)若函数 f(x)在区间( ,3)上无极值, 2 1 1 2 2 则当 x∈( ,3)时,f′(x)=x -ax+1≥0 恒成立或当 x∈( ,3)时,f′(x)=x -ax+1≤0 2 2 恒成立. 1 1 10 当 x∈( ,3)时,y=x+ 的值域是[2, ); 2 x 3 1 2 当 x∈( ,3)时,f′(x)=x -ax+1≥0, 2 1 即 a≤x+ 恒成立,a≤2;

x

1 2 当 x∈( ,3)时,f′(x)=x -ax+1≤0, 2 1 10 即 a≥x+ 恒成立,a≥ . x 3 1 因此要使函数 f(x)在( ,3)上有极值点, 2
2

10 实数 a 的取值范围是(2, ). 3 思维升华 (1)求函数 f(x)极值的步骤: ①确定函数的定义域; ②求导数 f′(x); ③解方程 f′(x)=0,求出函数定义域内的所有根; ④列表检验 f′(x)在 f′(x)=0 的根 x0 左右两侧值的符号,如果左正右负,那么 f(x)在 x0 处取极大值,如果左负右正,那么 f(x)在 x0 处取极小值. (2)若函数 y=f(x)在区间(a,b)内有极值,那么 y=f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在 某区间上单调函数没有极值. 1 (1)函数 y=2x- 2的极大值是________.

x

(2)(2015·陕西)函数 y=xe 在其极值点处的切线方程为________. 1 答案 (1)-3 (2)y=- e 2 解析 (1)y′=2+ 3,令 y′=0,得 x=-1.

x

x

当 x<-1 时,y′>0;当 x>-1 时,y′<0. ∴当 x=-1 时,y 取极大值-3. (2)设 y=f(x)=xe ,令 y′=e +xe =e (1+x)=0,得 x=-1.当 x<-1 时,y′<0;当
x x x x

x>-1 时,y′>0,故 x=-1 为函数 f(x)的极值点,切线斜率为 0,
1? 1 1 1 ? -1 又 f(-1)=-e =- ,故切点坐标为?-1,- ?,切线方程为 y+ =0(x+1),即 y=- . e? e e e ? 题型二 用导数求函数的最值 例 4 已知 a∈R,函数 f(x)= +ln x-1. (1)当 a=1 时,求曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程; (2)求 f(x)在区间(0,e]上的最小值. 1 解 (1)当 a=1 时,f(x)= +ln x-1,x∈(0,+∞),

a x

x

1 1 x-1 所以 f′(x)=- 2+ = 2 ,x∈(0,+∞).

x

x

x

1 1 因此 f′(2)= ,即曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为 . 4 4 1 又 f(2)=ln 2- , 2

3

1 1 所以曲线 y=f(x)在点(2,f(2))处的切线方程为 y-(ln 2- )= (x-2),即 x-4y+4ln 2 2 4 -4=0. (2)因为 f(x)= +ln x-1,

a x

a 1 x-a 所以 f′(x)=- 2+ = 2 . x x x
令 f′(x)=0,得 x=a. ①若 a≤0,则 f′(x)>0,f(x)在区间(0,e]上单调递增,此时函数 f(x)无最小值. ②若 0<a<e,当 x∈(0,a)时,f′(x)<0,函数 f(x)在区间(0,a)上单调递减,当 x∈(a,e] 时,f′(x)>0,函数 f(x)在区间(a,e]上单调递增, 所以当 x=a 时,函数 f(x)取得最小值 ln a. ③若 a≥e,则当 x∈(0,e]时,f′(x)≤0,函数 f(x)在区间(0,e]上单调递减, 所以当 x=e 时,函数 f(x)取得最小值 . e 综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)在区间(0,e]上无最小值; 当 0<a<e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 ln a; 当 a≥e 时,函数 f(x)在区间(0,e]上的最小值为 . e 思维升华 求函数 f(x)在[a,b]上的最大值和最小值的步骤 (1)求函数在(a,b)内的极值; (2)求函数在区间端点的函数值 f(a),f(b); (3)将函数 f(x)的极值与 f(a),f(b)比较,其中最大的一个为最大值,最小的一个为最小值. 1 已知 y=f(x)是奇函数,当 x∈(0,2)时,f(x)=ln x-ax (a> ),当 x∈(-2,0) 2 时,f(x)的最小值为 1,则 a 的值等于________. 答案 1 解析 由题意知,当 x∈(0,2)时,f(x)的最大值为-1. 1 1 令 f′(x)= -a=0,得 x= ,

a

a

x

a

1 当 0<x< 时,f′(x)>0;

a

1 当 x> 时,f′(x)<0.

a

?1? ∴f(x)max=f? ?=-ln a-1=-1,解得 a=1. a ? ?
题型三 函数极值和最值的综合问题
4

例 5 已知函数 f(x)=

ax2+bx+c
e
x

(a>0)的导函数 y=f′(x)的两个零点为-3 和 0.

(1)求 f(x)的单调区间; (2)若 f(x)的极小值为-e ,求 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值. ?2ax+b?e -?ax +bx+c?e 解 (1)f′(x)= x 2 ?e ? -ax +?2a-b?x+b-c = . x e 令 g(x)=-ax +(2a-b)x+b-c, 因为 e >0,所以 y=f′(x)的零点就是 g(x)=-ax +(2a-b)x+b-c 的零点,且 f′(x)与
x
2 2 2 3

x

2

x

g(x)符号相同.
又因为 a>0,所以-3<x<0 时,g(x)>0,即 f′(x)>0, 当 x<-3 或 x>0 时,g(x)<0,即 f′(x)<0, 所以 f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞). (2)由(1)知,x=-3 是 f(x)的极小值点, 9a-3b+c ? ? e =-e , 所以有? g?0?=b-c=0, ? ?g?-3?=-9a-3?2a-b?+b-c=0,
3 -3

解得 a=1,b=5,c=5, 所以 f(x)=

x2+5x+5
e
x

.

因为 f(x)的单调递增区间是(-3,0),单调递减区间是(-∞,-3),(0,+∞), 所以 f(0)=5 为函数 f(x)的极大值, 故 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值取 f(-5)和 f(0)中的最大者, 5 5 而 f(-5)= -5=5e >5=f(0), e 所以函数 f(x)在区间[-5,+∞)上的最大值是 5e . 思维升华 求函数在无穷区间(或开区间)上的最值,不仅要研究其极值情况,还要研究其单 调性,并通过单调性和极值情况,画出函数的大致图象,然后借助图象观察得到函数的最值. 设函数 f(x)=ax -3x+1 (x∈R), 若对于任意 x∈[-1,1], 都有 f(x)≥0 成立, 则实数 a 的值为________. 答案 4 解析 若 x=0,则不论 a 取何值,f(x)≥0 显然成立; 3 1 3 当 x>0 时,即 x∈(0,1]时,f(x)=ax -3x+1≥0 可化为 a≥ 2- 3.
3 5

x

x

5

3 1 3?1-2x? 设 g(x)= 2- 3,则 g′(x)= , 4

x

x

x

? 1? ?1 ? 所以 g(x)在区间?0, ?上单调递增,在区间? ,1?上单调递减, 2 ? ? ?2 ? ?1? 因此 g(x)max=g? ?=4,从而 a≥4. ?2?
3 1 当 x<0 时,即 x∈[-1,0)时,同理 a≤ 2- 3.

x

x

g(x)在区间[-1,0)上单调递增,
∴g(x)min=g(-1)=4, 从而 a≤4,综上可知 a=4.

3.利用导数求函数的最值问题

典例 (14 分)已知函数 f(x)=ln x-ax (a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; (2)当 a>0 时,求函数 f(x)在[1,2]上的最小值. 思维点拨 (1)已知函数解析式求单调区间,实质上是求 f′(x)>0,f′(x)<0 的解区间,并 注意定义域.(2)先研究 f(x)在[1,2]上的单调性,再确定最值是端点值还是极值.(3)两小 问中,由于解析式中含有参数 a,要对参数 a 进行分类讨论. 规范解答 1 解 (1)f′(x)= -a (x>0),

x

1 ①当 a≤0 时,f′(x)= -a>0,即函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞).[2 分]

x

1 1 ②当 a>0 时,令 f′(x)= -a=0,可得 x= ,

x

a

1 1-ax 当 0<x< 时,f′(x)= >0;

a

x

1 1-ax 当 x> 时,f′(x)= <0,

a

x

? 1? 故函数 f(x)的单调递增区间为?0, ?, ?
a?

?1 ? 单调递减区间为? ,+∞?.[4 分] ?a ?
综上可知,当 a≤0 时,函数 f(x)的单调递增区间为(0,+∞);

6

? 1? ?1 ? 当 a>0 时,函数 f(x)的单调递增区间为?0, ?,单调递减区间为? ,+∞?.[5 分] ?
a?

?a

?

1 (2)①当 ≤1,即 a≥1 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是减函数,所以 f(x)的最小值是 f(2)=

a

ln 2-2a.[7 分] 1 1 ②当 ≥2,即 0<a≤ 时,函数 f(x)在区间[1,2]上是增函数,所以 f(x)的最小值是 f(1)=- a 2

a.[9 分]
1 1 ? 1? ?1 ? ③当 1< <2,即 <a<1 时,函数 f(x)在?1, ?上是增函数,在? ,2?上是减函数.又 f(2)- a 2 ? a? ?a ?

f(1)=ln 2-a,
1 所以当 <a<ln 2 时,最小值是 f(1)=-a; 2 当 ln 2≤a<1 时,最小值为 f(2)=ln 2-2a.[13 分] 综上可知, 当 0<a<ln 2 时,函数 f(x)的最小值是-a; 当 a≥ln 2 时,函数 f(x)的最小值是 ln 2-2a.[14 分]

用导数法求给定区间上的函数的最值问题一般可用以下几步答题 第一步:(求导数)求函数 f(x)的导数 f′(x); 第二步:(求极值)求 f(x)在给定区间上的单调性和极值; 第三步:(求端点值)求 f(x)在给定区间上的端点值; 第四步:(求最值)将 f(x)的各极值与 f(x)的端点值进行比较,确定 f(x)的最大值与最小值; 第五步:(反思)反思回顾,查看关键点,易错点和解题规范. 温馨提醒 (1)本题考查求函数的单调区间, 求函数在给定区间[1,2]上的最值, 属常规题型. (2)本题的难点是分类讨论.考生在分类时易出现不全面,不准确的情况. (3)思维不流畅,答题不规范,是解答中的突出问题.

[方法与技巧] 1.如果在区间[a,b]上函数 y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最 小值. 2.求闭区间上可导函数的最值时,对函数的极值是极大值还是极小值可不作判断,直接与端 点的函数值比较即可. 3.当连续函数的极值点只有一个时,相应的极值必为函数的最值.

7

4.求极值、最值时,要求步骤规范、表格齐全,含参数时,要讨论参数的大小. [失误与防范] 1.求函数单调区间与函数极值时要养成列表的习惯,可使问题直观且有条理,减少失分的可 能. 2.求函数最值时,不可想当然地认为极值点就是最值点,要通过认真比较才能下结论. 3.函数在给定闭区间上存在极值,一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值.

A 组 专项基础训练 (时间:40 分钟) 1.当函数 y=x·2 取极小值时,x=________. 1 答案 - ln 2 解析 令 y′=2 +x·2 ln 2=0,∴x=-
x x x

1 . ln 2

1 x 经验证,- 为函数 y=x·2 的极小值点. ln 2 2.函数 y=ln x-x 在 x∈(0,e]上的最大值为________. 答案 -1 解析 函数 y=ln x-x 的定义域为(0,+∞). 1 1-x 又 y′= -1= ,令 y′=0 得 x=1,

x

x

当 x∈(0,1)时,y′>0,函数单调递增; 当 x∈(1,e]时,y′<0,函数单调递减. 当 x=1 时,函数取得最大值-1. 3.函数 f(x)=x -3x-1,若对于区间[-3,2]上的任意 x1,x2,都有|f(x1)-f(x2)|≤t,则 实数 t 的最小值是________. 答案 20 解析 因为 f′(x)=3x -3=3(x-1)(x+1), 令 f′(x)=0,得 x=±1,所以-1,1 为函数的极值点. 又 f(-3)=-19,f(-1)=1,f(1)=-3,f(2)=1,所以在区间[-3,2]上,f(x)max=1,
2 3

f(x)min=-19.又由题设知在区间[-3,2]上 f(x)max-f(x)min≤t,从而 t≥20,所以 t 的最小
值是 20. 4.已知函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10,则 f(2)=________.
8
3 2 2

答案 18 解析 ∵函数 f(x)=x +ax +bx+a 在 x=1 处有极值 10,∴f(1)=10,且 f′(1)=0,
?1+a+b+a =10, ? 即? ? ?3+2a+b=0,
2 3 2 2

解得?

?a=-3, ? ? ?b=3

或?

?a=4, ? ? ?b=-11.

而当?

? ?a=-3, ?b=3 ?
3 2

时,函数在 x=1 处无极值,故舍去.

∴f(x)=x +4x -11x+16, ∴f(2)=18. 5 .已知函数 f(x) = x + ax + (a + 6)x + 1 有极大值和极小值,则实数 a 的取值范围是 __________. 答案 (-∞,-3)∪(6,+∞) 解析 ∵f′(x)=3x +2ax+(a+6), 由已知可得 f′(x)=0 有两个不相等的实根. ∴Δ =4a -4×3(a+6)>0,即 a -3a-18>0. ∴a>6 或 a<-3. 6.函数 f(x)= +x -3x-4 在[0,2]上的最小值是________. 3 17 答案 - 3 解析 f′(x)=x +2x-3,f′(x)=0,x∈[0,2], 17 得 x=1.比较 f(0)=-4,f(1)=- , 3
2 2 2 2 3 2

x3

2

f(2)=- ,可知最小值为- .
7.设 a∈R,若函数 y=e +ax 有大于零的极值点,则实数 a 的取值范围是________. 答案 (-∞,-1) 解析 ∵y=e +ax,∴y′=e +a. ∵函数 y=e +ax 有大于零的极值点, 则方程 y′=e +a=0 有大于零的解, ∵x>0 时,-e <-1,∴a=-e <-1. 8. 函数 f(x)=x -3a x+a(a>0)的极大值是正数, 极小值是负数, 则 a 的取值范围是________. 答案 ( 2 ,+∞) 2
2 2 3 2

10 3

17 3

x

x

x

x

x

x

x

解析 f′(x)=3x -3a =3(x+a)(x-a), 由 f′(x)=0 得 x=±a,

9

当-a<x<a 时,f′(x)<0,函数递减; 当 x>a 或 x<-a 时,f′(x)>0,函数递增. ∴f(-a)=-a +3a +a>0 且 f(a)=a -3a +a<0, 解得 a> 2 . 2 2 ,+∞). 2
2 3 3 3 3

∴a 的取值范围是(

9.设 f(x)=a(x-5) +6ln x,其中 a∈R,曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线与 y 轴相 交于点(0,6). (1)确定 a 的值; (2)求函数 f(x)的单调区间与极值. 解 (1)因为 f(x)=a(x-5) +6ln x, 6 所以 f′(x)=2a(x-5)+ .
2

x

令 x=1,得 f(1)=16a,f′(1)=6-8a, 所以曲线 y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为

y-16a=(6-8a)(x-1),
1 由点(0,6)在切线上,可得 6-16a=8a-6,故 a= . 2 1 2 (2)由(1)知,f(x)= (x-5) +6ln x(x>0), 2

f′(x)=x-5+ = x

6 ?x-2??x-3? .

x

令 f′(x)=0,解得 x=2 或 3. 当 0<x<2 或 x>3 时,f′(x)>0, 故 f(x)在(0,2),(3,+∞)上为增函数; 当 2<x<3 时,f′(x)<0,故 f(x)在(2,3)上为减函数. 9 由此可知 f(x)在 x=2 处取得极大值 f(2)= +6ln 2, 在 x=3 处取得极小值 f(3)=2+6ln 3. 2 9 综上,f(x)的单调增区间为(0,2),(3,+∞),单调减区间为(2,3),f(x)的极大值为 +6ln 2 2,极小值为 2+6ln 3. 10.已知函数 f(x)=(x-k)e . (1)求 f(x)的单调区间; (2)求 f(x)在区间[0,1]上的最小值. 解 (1)由题意知 f′(x)=(x-k+1)e .
10
x x

令 f′(x)=0,得 x=k-1.

f(x)与 f′(x)随 x 的变化情况如下表: x f′(x) f(x)
(-∞,k-1) - ?↘

k-1
0 -e
k-1

(k-1,+∞) + ?↗

所以,f(x)的单调递减区间是(-∞,k-1);单调递增区间是(k-1,+∞). (2)当 k-1≤0,即 k≤1 时,f(x)在[0,1]上单调递增, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 0<k-1<1,即 1<k<2 时,

f(x)在[0,k-1]上单调递减,在[k-1,1]上单调递增,
所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(k-1)=-e
k-1



当 k-1≥1,即 k≥2 时,f(x)在[0,1]上单调递减, 所以 f(x)在区间[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. 综上,当 k≤1 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(0)=-k; 当 1<k<2 时,f(x)在[0,1]上的最小值为

f(k-1)=-ek-1;
当 k≥2 时,f(x)在[0,1]上的最小值为 f(1)=(1-k)e. B 组 专项能力提升 (时间:20 分钟) 11.定义域为 R 的可导函数 y=f(x)的导函数为 f′(x),满足 f(x)>f′(x),且 f(0)=1, 则不等式

f?x?
e
x

<1 的解集为__________.

答案 (0,+∞) 解析 构造函数 g(x)=

f?x?
e
x

e ·f′?x?-e ·f?x? f′?x?-f?x? , 则 g′(x)= = . x 2 x ?e ? e

x

x

由题意得 g′(x)<0 恒成立,所以函数 g(x)= 所以

f?x?
e
x

在 R 上单调递减.又 g(0)=

f?0?
e
0

=1,

f?x?
e
x

<1,即 g(x)<1,所以 x>0,所以不等式的解集为(0,+∞).

12.若函数 y=f(x)的导函数 y=f′(x)的图象如图所示, 则 y=f(x)的图象可能为________.

答案 ③
11

解析 根据 f′(x)的符号,f(x)图象应该是先下降后上升,最后下降,排除①、④;从适合

f′(x)=0 的点可以排除②.
13.函数 f(x)=x -3ax+b(a>0)的极大值为 6,极小值为 2,则 f(x)的单调递减区间是 ________. 答案 (-1,1) 解析 令 f′(x)=3x -3a=0,得 x=± a, 则 f(x),f′(x)随 x 的变化情况如下表: (- (-∞,- ( a,+ ∞) + ↗?
2 3

x a) f′(x) f(x)
+ ?↗

- a

a, a)

a

0 极大值 解得?

- ?↘
? ?a=1, ?b=4. ?

0 极小值

??- a?3-3a?- a?+b=6, 从而? ?? a?3-3a a+b=2,
所以 f(x)的单调递减区间是(-1,1).

14.若函数 f(x)=x -3x 在(a,6-a )上有最小值,则实数 a 的取值范围是________. 答案 [-2,1) 解析 f′(x)=3x -3=0,得 x=±1,且 x=1 为函数的极小值点,x=-1 为函数的极大值 点. 函数 f(x)在区间(a,6-a )上有最小值,则函数 f(x)极小值点必在区间(a,6-a )内, 即实数 a 满足 a<1<6-a 且 f(a)=a -3a≥f(1)=-2. 解 a<1<6-a ,得- 5<a<1. 不等式 a -3a≥f(1)=-2, 即 a -3a+2≥0,即 a -1-3(a-1)≥0, 即(a-1)(a +a-2)≥0, 即(a-1) (a+2)≥0,即 a≥-2. 故实数 a 的取值范围是[-2,1). 15.已知函数 f(x)=(ax-2)e 在 x=1 处取得极值. (1)求 a 的值; (2)求函数 f(x)在[m,m+1]上的最小值; (3)求证:对任意 x1,x2∈[0,2],都有|f(x1)-f(x2)|≤e. (1)解 f′(x)=ae +(ax-2)e =(ax+a-2)e ,
x x x x
2 2 3 3 3 2 2 3 2 2 2

3

2

12

由已知得 f′(1)=0,即(2a-2)e=0,解得 a=1. (2)解 f(x)=(x-2)e ,
x

f′(x)=ex+(x-2)ex=(x-1)ex.
令 f′(x)>0,得 x>1,令 f′(x)<0,得 x<1. 所以函数 f(x)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增. ①当 m≥1 时,f(x)在[m,m+1]上单调递增,f(x)min=f(m)=(m-2)e ; ②当 0<m<1 时,m<1<m+1,f(x)在[m,1]上单调递减,在[1,m+1]上单调递增,f(x)min=f(1) =-e; ③当 m≤0 时,m+1≤1,f(x)在[m,m+1]上单调递减,f(x)min=f(m+1)=(m-1)e 综上,f(x)在[m,m+1]上的最小值 ?m-2?e , m≥1, ? ? f(x)min=?-e, 0<m<1, ? ??m-1?em+1, m≤0. (3)证明 由(2)知 f(x)=(x-2)e ,f′(x)=(x-1)e . 令 f′(x)=0,得 x=1.因为 f(0)=-2,f(1)=-e,f(2)=0,所以 x∈[0,2]时,f(x)max =0,f(x)min=-e. 所以对任意 x1,x2∈[0,2],都有 |f(x1)-f(x2)|≤f(x)max-f(x)min=e.
x x m m+1 m

.

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