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小学奥数40个解题方法精讲


第一讲

观察法

在解答数学题时,第一步是观察。观察是基础,是发现问题、解决问题的首 要步骤。小学数学教材,特别重视培养观察力,把培养观察力作为开发与培养学 生智力的第一步。 观察法, 是通过观察题目中数字的变化规律及位置特点,条件与结论之间的 关系,题目的结构特点及图形的特征,从而发现题目中的数量关系,把题目解答 出来的一种解题方法。 观察要有次序,要看得仔细、看得真切,在观察中要动脑,要想出道理、找 出规律。 *例 1(适于一年级程度)此题是九年义务教育六年制小学教科书数学

第二册,第 11 页中的一道思考题。书中除图 1-1 的图形外没有文字说明。 这道题旨在引导儿童观察、思考,初步培养他们的观察能力。这时儿童已经学过 20 以内的加减法,基于他们已有的知识,能够判断本题的意思是:在右边大正 方形内的小方格中填入数字后,使大正方形中的每一横行,每一竖列,以及两条 对角线上三个数字的和,都等于左边小正方形中的数字 18。实质上,这是一种 幻方,或者说是一种方阵。 解: 现在通过观察、 思考, 看小方格中应填入什么数字。 从横中行 10+6+□=18 会想到,18-10-6=2,在横中行右面的小方格中应填入 2(图 1-2)。 从竖右列 7+2+□=18(图 1-2)会想到,18-7-2=9,在竖右列下面的小方格 中应填入 9(图 1-3)。

从正方形对角线上的 9+6+□=18(图 1-3)会想到,18-9-6=3,在大正方形 左上角的小方格中应填入 3(图 1-4)。 从正方形对角线上的 7+6+□=18(图 1-3)会想到,18-7-6=5,在大正方形 左下角的小方格中应填入 5(图 1-4)。

从横上行 3+□+7=18(图 1-4)会想到,18-3-7=8,在横上行中间的小方格 中应填入 8(图 1-5)。 又从横下行 5+□+9=18(图 1-4)会想到,18-5-9=4,在横下行中间的小方 格中应填入 4(图 1-5)。 图 1-5 是填完数字后的幻方。 例 2 看每一行的前三个数,想一想接下去应该填什么数。(适于二年级程 度) 6、16、26、____、____、____、____。 9、18、27、____、____、____、____。 80、73、66、____、____、____、____。 解:观察 6、16、26 这三个数可发现,6、16、26 的排列规律是:16 比 6 大 10,26 比 16 大 10,即后面的每一个数都比它前面的那个数大 10。 观察 9、18、27 这三个数可发现,9、18、27 的排列规律是:18 比 9 大 9, 27 比 18 大 9,即后面的每一个数都比它前面的那个数大 9。 观察 80、73、66 这三个数可发现,80、73、66 的排列规律是:73 比 80 小 7,66 比 73 小 7,即后面的每一个数都比它前面的那个数小 7。 这样可得到本题的答案是: 6、16、26、36、46、56、66。 9、18、27、36、45、54、63。

80、73、66、59、52、45、38。 例 3 将 1~9 这九个数字填入图 1-6 的方框中, 使图中所有的不等号均成立。 (适于三年级程度) 解: 仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现:只有中心的那个方框中 的数小于周围的四个数,看来在中心的方框中应填入最小的数 1。再看它周围的 方框和不等号, 只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数,其它 方框中的数都是一个比一个大,而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。 所以,在左下角的那个方框中应填 9,在它右邻的方框中应填 2,在 2 右面 的方框中填 3,在 3 上面的方框中填 4,以后依次填 5、6、7、8。 图 1-7 是填完数字的图形。

例 4 从一个长方形上剪去一个角后,它还剩下几个角?(适于三年级程度) 解:此题不少学生不加思考就回答:“一个长方形有四个角,剪去一个角剩 下三个角。” 我们认真观察一下, 从一个长方形的纸上剪去一个角,都怎么剪?都是什么 情况? (1)从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角,剩下三个角(图 1-8)。 (2) 从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角, 剩下四个角 (图 1-9) 。 (3)从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角,

剩下五个角(图 1-10)。

例 5 甲、乙两个人面对面地坐着,两个人中间放着一个三位数。这个三位 数的每个数字都相同, 并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数 大一半,这个数是多少?(适于三年级程度) 解: 首先要确定这个三位数一定是用阿拉伯数字表示的, 不然就没法考虑了。 甲看到的数与乙看到的数不同, 这就是说, 这个三位数正看、 倒看都表示数。 在阿拉伯数字中,只有 0、1、6、8、9 这五个数字正看、倒看都表示数。 这个三位数在正看、 倒看时, 表示的数值不同, 显然这个三位数不能是 000, 也不能是 111 和 888,只可能是 666 或 999。 如果这个数是 666,当其中一个人看到的是 666 时,另一个人看到的一定是 999,999-666=333,333 正好是 666 的一半。所以这个数是 666,也可以是 999。 *例 6 1966、1976、1986、1996、2006 这五个数的总和是多少?(适于三年 级程度) 解:这道题可以有多种解法,把五个数直接相加,虽然可以求出正确答案, 但因数字大,计算起来容易出错。 如果仔细观察这五个数可发现,第一个数是 1966,第二个数比它大 10,第 三个数比它大 20,第四个数比它大 30,第五个数比它大 40。因此,这道题可以 用下面的方法计算: 1966+1976+1986+1996+2006 =1966×5+10×(1+2+3+4) =9830+100 =9930 这五个数还有另一个特点: 中间的数是 1986, 第一个数 1966 比中间的数 1986 小 20,最后一个数 2006 比中间的数 1986 大 20,1966 和 2006 这两个数的平均 数是 1986。1976 和 1996 的平均数也是 1986。这样,中间的数 1986 是这五个数 的平均数。所以,这道题还可以用下面的方法计算: 1966+1976+1986+1996+2006 =1986×5 =9930

例 7 你能从 400÷25=(400×4)÷(25×4)=400×4÷100=16 中得到启发, 很快算出(1)600÷25(2)900÷25(3)1400÷25(4)1800÷25(5)7250÷25 的得数吗?(适于四年级程度) 解:我们仔细观察一下算式: 400÷25=(400×4)÷(25×4)=400×4÷100=16 不难看出,原来的被除数和除数都乘以 4,目的是将除数变成 1 后面带有 0 的整百数。这样做的根据是“被除数和除数都乘以一个相同的数(零除外),商 不变”。 进行这种变化的好处就是当除数变成了 1 后面带有 0 的整百数以后, 就可以 很快求出商。按照这个规律,可迅速算出下列除法的商。 (1)600÷25 =(600×4)÷(25×4) =600×4÷100 =24 (3)1400÷25 =(1400×4)÷(25×4) =1400×4÷100 =56 (5)7250÷25 =(7250×4)÷(25×4) =29000÷100 =290 *例 8 把 1~1000 的数字如图 1-11 那样排列,再如图中那样用一个长方形 框框出六个数,这六个数的和是 87。如果用同样的方法(横着三个数,竖着两 个数)框出的六个数的和是 837,这六个数都是多少?(适于五年级程度) 解:(1)观察框内的六个数可知:第二个数比第一个数大 1,第三个数比 第一个数大 2,第四个数比第一个数大 7,第五个数比第一个数大 8,第六个数 比第一个数大 9。 (2)900÷25 =(900×4)÷(25×4) =900×4÷100 =36 (4)1800÷25 =(1800×4)÷(25×4) =1800×4÷100 =72

假定不知道这几个数,而知道上面观察的结果,以及框内六个数的和是 87, 要求出这几个数,就要先求出六个数中的第一个数:

(87-1-2-7-8-9)÷6 =60÷6 =10 求出第一个数是 10,往下的各数也就不难求了。 因为用同样的方法框出的六个数之和是 837,这六个数之中后面的五个数也 一定分别比第一个数大 1、2、7、8、9,所以,这六个数中的第一个数是: (837-1-2-7-8-9)÷6 =810÷6 =135 第二个数是:135+1=136 第三个数是:135+2=137 第四个数是:135+7=142 第五个数是:135+8=143 第六个数是:135+9=144 答略。 (2)观察框内的六个数可知:①上、下两数之差都是 7;②方框中间坚行 的 11 和 18,分别是上横行与下横行三个数的中间数。 11=(10+11+12)÷3 18=(17+18+19)÷3

所以上横行与下横行两个中间数的和是: 87÷3=29 由此可得, 和是 837 的六个数中, 横向排列的上、 下两行两个中间数的和是: 837÷3=279 因为上、下两个数之差是 7,所以假定上面的数是 x,则下面的数是 x+7。 x+(x+7)=279 2x+7=279 2x=279-7 =272 x=272÷2 =136 x+7=136+7 =143 因为上一横行中间的数是 136,所以,第一个数是:136-1=135 第三个数是:135+2=137 因为下一横行中间的数是 143,所以, 第四个数是:143-1=142 第六个数是:142+2=144 答略。 *例 9 有一个长方体木块,锯去一个顶点后还有几个顶点?(适于五年级程 度) 解:(1)锯去一个顶点(图 1-12),因为正方体原来有 8 个顶点,锯去一 个顶点后,增加了三个顶点,所以, 8-1+3=10

即锯去一个顶点后还有 10 个顶点。

(2) 如果锯开的截面通过长方体的一个顶点, 则剩下的顶点是 8-1+2=9 (个) (图 1-13)。 (3) 如果锯开的截面通过长方体的两个顶点, 则剩下的顶点是 8-1+1=8 (个) (图 1-14)。

(4)如果锯开的截面通过长方体的三个顶点,则剩下的顶点是 8-1=7(个) (图 1-15)。 例 10 将高都是 1 米,底面半径分别是 1.5 米、1 米和 0.5 米的三个圆柱组 成一个物体(图 1-16),求这个物体的表面积 S。(适于六年级程度) 解:我们知道,底面半径为 γ ,高为 h 的圆柱体的表面积是 2π γ +2π γ h。
2

本题的物体由三个圆柱组成。如果分别求出三个圆柱的表面积,再把三个圆 柱的表面积加在一起,然后减去重叠部分的面积,才能得到这个物体的表面积, 这种计算方法很麻烦。这是以一般的观察方法去解题。 如果我们改变观察的方法, 从这个物体的正上方向下俯视这个物体,会看到 这个物体上面的面积就像图 1-17 那样。这三个圆的面积,就是底面半径是 1.5 米的那个圆柱的底面积。所以,这个物体的表面积,就等于一个大圆柱的表面积 加上中、小圆柱的侧面积。 (2π ×1.5 +2π ×1.5×1)+(2π ×1×1)+(2π ×0.5×1)
2

=(4.5π +3π )+2π +π =7.5π +3π =10.5π =10.5×3.14 =32.97(平方米) 答略。 *例 11 如图 1-18 所示,某铸件的横截面是扇形,半径是 15 厘米,圆心角 是 72°,铸件长 20 厘米。求它的表面积和体积。(适于六年级程度)

解:遇到这样的题目,不但要注意计算的技巧,还要注意观察的全面性,不 可漏掉某一侧面。图 1-18 表面积中的一个长方形和一个扇形就容易被漏掉,因 而在解题时要仔细。 求表面积的方法 1:

=3.14×45×2+600+120×3.14 =3.14×90+3.14×120+600 =3.14×(90+120)+600 =659.4+600

=1259.4(平方厘米) 求表面积的方法 2:

=3.14×210+600 =659.4+600 =1259.4(平方厘米) 铸件的体积:

=3.14×225×4 =3.14×900 =2826(立方厘米) 答略。

第二讲

尝试法

解应用题时,按照自己认为可能的想法,通过尝试,探索规律,从而获得解 题方法,叫做尝试法。尝试法也叫“尝试探索法”。 一般来说,在尝试时可以提出假设、猜想,无论是假设或猜想,都要目的明 确, 尽可能恰当、 合理, 都要知道在假设、 猜想和尝试过程中得到的结果是什么, 从而减少尝试的次数,提高解题的效率。

例 1 把数字 3、4、6、7 填在图 2-1 的空格里,使图中横行、坚列三个数相 加都等于 14。(适于一年级程度)

解:七八岁的儿童,观察、总结、发现规律的能力薄弱,做这种填空练习, 一般都感到困难。 可先启发他们认识解此题的关键在于试填中间的一格。中间一 格的数确定后,下面一格的数便可由竖列三个数之和等于 14 来确定,剩下的两 个数自然应填入左右两格了。 中间一格应填什么数呢? 先看一个日常生活中的例子。 如果我们要从一种月刊全年的合订本中找到第 六期的第 23 页,我们一定要从合订本大约一半的地方打开。要是翻到第五期, 就要再往后翻;要是翻到第七期、第八期,就要往前翻。找到第六期后,再往接 近第 23 页的地方翻,?? 这样反复试探几次,步步逼近,最后就能找到这一页。 这就是在用“尝试法”解决问题。 本题的试数范围是 3、4、6、7 四个数,可由小至大,或由大至小依次填在 中间的格中,按“横行、竖列三个数相加都得 14”的要求来逐个尝试。

如果中间的格中填 3, 则竖列下面的一格应填多少呢?因为 14-5-3=6,所以 竖列下面的一格中应填 6(图 2-2)。 下面就要把剩下的 4、7,分别填入横行左右的两个格中(图 2-3)。把横行 格中的 4、3、7 三个数加起来,得 14,合乎题目要求。 如果中间一格填 4、或填 6、7 都不合乎题目的要求。 所以本题的答案是图 2-3 或图 2-4。 例 2 把 1、2、3??11 各数填在图 2-5 的方格里,使每一横行、每一竖行 的数相加都等于 18。(教科书第四册第 57 页的思考题,适于二年级程度)

解:图 2-5 中有 11 个格,正好每一格填写一个数。 图 2-6 中写有 A、B、C 的三个格中的三个数,既要参加横向的运算,又要参 加纵向的运算,就是说这三个数都要被用两次。因此,确定 A、B、C 这三个数是 解此题的关键。

因为 1~11 之中中间的三个数是 5、6、7,所以,我们以 A、B、C 分别为 5、 6、7 开始尝试(图 2-7)。 以 6 为中心尝试,看 6 上、下两个格中应填什么数。 因为 18-6=12,所以 6 上、下两格中数字的和应是 12。 考虑 6 已是 1~11 之中中间的数,那么 6 上、下两格中的数应是 1~11 之中 两头的数。再考虑 6 上面的数还要与 5 相加,6 下面的数还要与 7 相加,5 比 7 小,题中要求是三个数相加都等于 18,所以在 6 上面的格中填 11,在 6 下面的 格中填 1(图 2-8)。

6+11+1=18 看图 2-8。6 上面的数是 11,11 左邻的数是 5,18-11-5=2,所以 5 左邻的 数是 2(图 2-9)。

再看图 2-8。6 下面的数是 1,1 右邻的数是 7,18-1-7=10,所以 7 右邻的 数是 10(图 2-9)。 现在 1~11 之中只剩下 3、4、8、9 这四个数,图 2-9 中也只剩下四个空格。 在 5 的上、下,在 7 的上、下都应填什么数呢?

因为 18-5=13,所以 5 上、下两格中数字的和应是 13,3、4、8、9 这四个 数中,只有 4+9=13,所以在 5 的上、下两格中应填 9 与 4(图 2-10)。 看图 2-10。因为 6 左邻的数是 4,18-4-6=8,所以 6 右邻的数是 8。 因为 18-7-8=3,并且 1-11 的数中,只剩下 3 没有填上,所以在 7 下面的格 中应填上 3。 图 2-10 是填完数字的图形。 *例 3 在 9 只规格相同的手镯中混有 1 只较重的假手镯。在一架没有砝码的 天平上,最多只能称两次,你能把假手镯找出来吗?(适于三年级程度) 解:先把 9 只手镯分成 A、B、C 三组,每组 3 只。 ①把 A、B 两组放在天平左右两边的秤盘上,如果平衡,则假的 1 只在 C 组 里;若不平衡,则哪组较重,假的就在哪组里。 ②再把有假手镯的那组中的两只分别放在天平的左右秤盘上。如果平衡,余 下的 1 只是假的;若不平衡,较重的那只是假的。 *例 4 在下面的 15 个 8 之间的任何位置上,添上+、-、×、÷符号,使得 下面的算式成立。(适于三年级程度)8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8 8=1986 解:先找一个接近 1986 的数,如:8888÷8+888=1999。 1999 比 1986 大 13。往下要用剩下的 7 个 8 经过怎样的运算得出一个等于 13 的算式呢?88÷8=11,11 与 13 接近,只差 2。 往下就要看用剩下的 4 个 8 经过怎样的运算等于 2。8÷8+8÷8=2。 把上面的思路组合在一起,得到下面的算式:

8888÷8+888-88÷8-8÷8-8÷8=1986 例 5 三个连续自然数的积是 120,求这三个数。(适于四年级程度) 解:假设这三个数是 2、3、4,则: 2×3×4=24 24<120,这三个数不是 2、3、4; 假设这三个数是 3、4、5,则: 3×4×5=60 60<120,这三个数不是 3、4、5; 假设这三个数是 4、5、6,则: 4×5×6=120 4、5、6 的积正好是 120,这三个数是 4、5、6。例 6 在下面式子里的适当 位置上加上括号,使它们的得数分别是 47、75、23、35。(适于四年级程度) (1)7×9+12÷3-2=47 (2)7×9+12÷3-2=75 (3)7×9+12÷3-2=23 (4)7×9+12÷3-2=35 解:本题按原式的计算顺序是先做第二级运算,再做第一级运算,即先做乘 除法而后做加减法,结果是: 7×9+12÷3-2 =63+4-2 =65 “加上括号”的目的在于改变原来的计算顺序。 由于此题加中括号还是加小 括号均未限制, 因此解本题的关键在于加写括号的位置。可以从加写一个小括号 想起,然后再考虑加写中括号。如:

(1)7×7=49,再减 2 就是 47。这里的第一个数 7 是原算式中的 7,要减去 的 2 是原算式等号前的数, 所以下面应考虑能否把 9+12÷3 通过加括号后改成得 7 的算式。经过加括号,(9+12)÷3=7,因此: 7×[(9+12)÷3]-2=47 因为一个数乘以两个数的商,可以用这个数乘以被除数再除以除数,所以本 题也可以写成: 7×(9+12)÷3-2=47 (2)7×11=77,再减 2 就得 75。这里的 7 是原算式中的第一个数,要减去 的 2 是等号前面的数。下面要看 9+12÷3 能不能改写成得 11 的算式。经尝试 9+12÷3 不能改写成得 11 的算式,所以不能沿用上一道题的解法。7×9+12 得 75,这里的 7、9、12 就是原式中的前三个数,所以只要把 3-2 用小括号括起来, 使 7×9+12 之和除以 1,问题就可解决。由此得到: (7×9+12)÷(3-2)=75 因为(3-2)的差是 1,所以根据“两个数的和除以一个数,可以先把两个 加数分别除以这个数, 然后把两个商相加”这一运算规则,上面的算式又可以写 成: 7×9+12÷(3-2)=75 在上面的这个算式中,本应在 7×9 的后面写上“÷(3-2)”,因为任何数 除以 1 等于这个数本身, 为了适应题目的要求, 不在 7×9 的后写出“÷ (3-2) ”。 (3) 25-2=23, 这个算式中, 只有 2 是原算式等号前的数, 只要把 7×9+12÷3 改写成得 25 的算式,问题就可解决。又因为 7×9+12=75,75÷3=25,所以只要 把 7×9+12 用小括号括起来,就得到题中所求了。 (7×9+12)÷3-2=23 (4)7×5=35, 7 是原算式中的第一个数,原算式中的 9+12÷3-2 能否改 写成得 5 的算式呢?因为 7-2=5,要是 9+12÷3 能改写成得 7 的算式就好了。经 改写为(9+12)÷3=7,因此问题得到解决。题中要求的算式是: 7×[(9+12)÷3-2]=35 *例 7 王明和李平一起剪羊毛,王明剪的天数比李平少。王明每天剪 20 只 羊的羊毛,李平每天剪 12 只羊的羊毛。他俩共剪了 112 只羊的羊毛,两人平均 每天剪 14 只羊的羊毛。李平剪了几天羊毛?(适于四年级程度) 解:王明、李平合在一起,按平均每天剪 14 只羊的羊毛计算,一共剪的天 数是:

112÷14=8(天) 因为王明每天剪 20 只,李平每天剪 12 只,一共剪了 112 只,两人合起来共 剪了 8 天,并且李平剪的天数多,所以假定李平剪了 5 天。则: 12×5+20×(8-5)=120(只) 120>112,李平不是剪了 5 天,而是剪的天数多于 5 天。 假定李平剪了 6 天,则: 12×6+20×(8-6)=112(只) 所以按李平剪 6 天计算,正满足题中条件。 答:李平剪了 6 天。 *例 8 一名学生读一本书,用一天读 80 页的速度,需要 5 天读完,用一天 读 90 页的速度,需要 4 天读完。现在要使每天读的页数跟能读完这本书的天数 相等,每天应该读多少页?(适于五年级程度) 解: 解这道题的关键是要求出一本书的总页数。因为每天读的页数乘以读的 天数等于一本书的总页数, 又因为每天读的页数与读完此书的天数相等,所以知 道了总页数就可以解题了。 根据“用一天读 80 页的速度,需要 5 天读完”,是否能够认为总页数就是 80×5=400(页)呢?不能。 因为 5 天不一定每天都读 80 页,所以只能理解为:每天读 80 页,读了 4 天还有余下的, 留到第五天才读完。 这也就是说, 这本书超过了 80×4=320 (页) , 最多不会超过: 90×4=360(页) 根据以上分析,可知这本书的页数在 321~360 页之间。知道总页数在这个 范围之内,往下就不难想到什么数自身相乘,积在 321~360 之间。 因为 17×17=289,18×18=324,19×19=361,324 在 321~360 之间,所以 只有每天读 18 页才符合题意,18 天看完,全书 324 页。 答:每天应该读 18 页。 *例 9 一个数是 5 个 2,3 个 3,2 个 5,1 个 7 的连乘积。这个数有许多约 数是两位数。这些两位数的约数中,最大的是几?(适于六年级程度) 解:两位数按从大到小的顺序排列为:

99、98、97、96??11、10 以上两位数分解后,它的质因数只能是 2、3、5、7,并且在它的质因数分 解中 2 的个数不超过 5,3 的个数不超过 3,5 的个数不超过 2,7 的个数不超过 1。 经尝试,99 不符合要求,因为它有质因数 11;98 的分解式中有两个 7,也 不符合要求;质数 97 当然更不会符合要求。而, 96=2×2×2×2×2×3 所以在这些两位数的约数中,最大的是 96。 答略。 *例 10 从一个油罐里要称出 6 千克油来,但现在只有两个桶,一个能容 4 千克,另一个能容 9 千克。求怎样才能称出这 6 千克油?(适于六年级程度) 解:这道题单靠计算不行,我们尝试一些做法,看能不能把问题解决。 已知大桶可装 9 千克油,要称出 6 千克油,先把能容 9 千克油的桶倒满,再 设法倒出 9 千克油中的 3 千克, 为达到这一目的,我们应使小桶中正好有 1 千克 油。 怎样才能使小桶里装 1 千克油呢? (1)把能容 9 千克油的大桶倒满油。 (2)把大桶里的油往小桶里倒,倒满小桶,则大桶里剩 5 千克油,小桶里 有 4 千克油。 (3)把小桶中的 4 千克油倒回油罐。 (4)把大桶中剩下的油再往小桶里倒,倒满小桶,则大桶里剩下 1 千克油。 (5)把小桶中现存的 4 千克油倒回油罐。此时油罐外,只有大桶里有 1 千 克油。 (6)把大桶中的 1 千克油倒入小桶。 (7)往大桶倒满油。 (8)从大桶里往有 1 千克油的小桶里倒油,倒满。 (9)大桶里剩下 6 千克油。

第三讲

列举法

解应用题时,为了解题的方便,把问题分为不重复、不遗漏的有限情况,一一列 举出来加以分析、解决,最终达到解决整个问题的目的。这种分析、解决问题的 方法叫做列举法。列举法也叫枚举法或穷举法。 用列举法解应用题时, 往往把题中的条件以列表的形式排列起来,有时也要 画图。 例 1 一本书共 100 页,在排页码时要用多少个数字是 6 的铅字?(适于三 年级程度) 解:把个位是 6 和十位是 6 的数一个一个地列举出来,数一数。 个位是 6 的数字有:6、16、26、36、46、56、66、76、86、96,共 10 个。 十位是 6 的数字有:60、61、62、63、64、65、66、67、68、69,共 10 个。 10+10=20(个) 答:在排页码时要用 20 个数字是 6 的铅字。 *例 2 从 A 市到 B 市有 3 条路,从 B 市到 C 市有两条路。从 A 市经过 B 市到 C 市有几种走法?(适于三年级程度) 解:作图 3-1,然后把每一种走法一一列举出来。

第一种走法:A ① B ④ C 第二种走法:A ① B ⑤ C 第三种走法:A ② B ④ C 第四种走法:A ② B ⑤ C 第五种走法:A ③ B ④ C 第六种走法:A ③ B ⑤ C 答:从 A 市经过 B 市到 C 市共有 6 种走法。*例 3 9○13○7=100

14○2○5=□ 把+、-、×、÷四种运算符号分别填在适当的圆圈中(每种运算符号只能用 一次),并在长方形中填上适当的整数,使上面的两个等式都成立。这时长方形 中的数是几?(适于四年级程度) 解:把+、-、×、÷四种运算符号填在四个圆圈里,有许多不同的填法,要 是逐一讨论怎样填会特别麻烦。如果用些简单的推理,排除不可能的填法,就能 使问题得到简捷的解答。 先看第一个式子:9○13○7=100 如果在两个圆圈内填上“÷”号,等式右端就要出现小于 100 的分数;如果 在两个圆圈内仅填“+”、“-”号,等式右端得出的数也小于 100,所以在两个 圆圈内不能同时填“÷”号,也不能同时填“+”、“-”号。 要是在等式的一个圆圈中填入“×”号, 另一个圆圈中填入适当的符号就容 易使等式右端得出 100。9×13-7=117-7=110,未凑出 100。如果在两个圈中分别 填入“+”和“×”号,就会凑出 100 了。 9+13×7=100 再看第二个式子:14○2○5=□ 上面已经用过四个运算符号中的两个,只剩下“÷”号和“-”号了。如果 在第一个圆圈内填上“÷”号, 14÷2 得到整数,所以: 14÷2-5=2 即长方形中的数是 2。 *例 4 印刷工人在排印一本书的页码时共用 1890 个数码,这本书有多少 页?(适于四年级程度) 解:(1)数码一共有 10 个:0、1、2??8、9。0 不能用于表示页码,所 以页码是一位数的页有 9 页,用数码 9 个。 (2)页码是两位数的从第 10 页到第 99 页。因为 99-9=90,所以,页码是 两位数的页有 90 页,用数码: 2×90=180(个) (3)还剩下的数码: 1890-9-180=1701(个)

(4) 因为页码是三位数的页, 每页用 3 个数码, 页到 999 页, 100 999-99=900, 而剩下的 1701 个数码除以 3 时,商不足 600,即商小于 900。所以页码最高是 3 位数,不必考虑是 4 位数了。往下要看 1701 个数码可以排多少页。 1701÷3=567(页) (5)这本书的页数: 9+90+567=666(页) 答略。 *例 5 用一根 80 厘米长的铁丝围成一个长方形,长和宽都要是 5 的倍数。 哪一种方法围成的长方形面积最大?(适于四年级程度) 解: 要知道哪种方法所围成的面积最大, 应将符合条件的围法一一列举出来, 然后加以比较。因为长方形的周长是 80 厘米,所以长与宽的和是 40 厘米。列表 3-1: 表 3-1

表 3-1 中,长、宽的数字都是 5 的倍数。因为题目要求的是哪一种围法的长 方形面积最大,第四种围法围出的是正方形,所以第四种围法应舍去。 前三种围法的长方形面积 分别是: 35×5=175(平方厘米) 30×10=300(平方厘米) 25×15=375(平方厘米) 答:当长方形的长是 25 厘米,宽是 15 厘米时,长方形的面积最大。 例 6 如图 3-2,有三张卡片,每一张上写有一个数字 1、2、3,从中抽出一 张、两张、三张,按任意次序排列起来,可以得到不同的一位数、两位数、三位 数。请将其中的质数都写出来。(适于五年级程度)

解:任意抽一张,可得到三个一位数:1、2、3,其中 2 和 3 是质数; 任意抽两张排列,一共可得到六个不同的两位数:12、13、21、23、31、32, 其中 13、23 和 31 是质数; 三张卡片可排列成六个不同的三位数,但每个三位数数码的和都是 1+2+3=6,即它们都是 3 的倍数,所以都不是质数。 综上所说,所能得到的质数是 2、3、13、23、31,共五个。 *例 7 在一条笔直的公路上,每隔 10 千米建有一个粮站。一号粮站存有 10 吨粮食,2 号粮站存有 20 吨粮食,3 号粮站存有 30 吨粮食,4 号粮站是空的,5 号粮站存有 40 吨粮食。现在要把全部粮食集中放在一个粮站里,如果每吨 1 千 米的运费是 0.5 元, 那么粮食集中到第几号粮站所用的运费最少 (图 3-3) (适 ? 于五年级程度)

解:看图 3-3,可以断定粮食不能集中在 1 号和 2 号粮站。 下面将运到 3 号、4 号、5 号粮站时所用的运费一一列举,并比较。 (1)如果运到 3 号粮站,所用运费是: 0.5×10×(10+10)+0.5×20×10+0.5×40×(10+10) =100+100+400 =600(元) (2)如果运到 4 号粮站,所用运费是: 0.5×10×(10+10+10)+0.5×20×(10+10)+0.5×30×10+0.5×40×10 =150+200+150+200 =700(元) (3)如果运到 5 号粮站,所用费用是:

0.5×10×(10+10+10+10)+0.5×20×(10+10+10)+0.5×30×(10+10) =200+300+300 =800(元) 800>700>600 答:集中到第三号粮站所用运费最少。 *例 8 小明有 10 个 1 分硬币,5 个 2 分硬币,2 个 5 分硬币。要拿出 1 角钱 买 1 支铅笔,问可以有几种拿法?用算式表达出来。(适于五年级程度) 解:(1)只拿出一种硬币的方法: ①全拿 1 分的: 1+1+1+1+1+1+1+1+1+1=1(角) ②全拿 2 分的: 2+2+2+2+2=1(角) ③全拿 5 分的: 5+5=1(角) 只拿出一种硬币,有 3 种方法。 (2)只拿两种硬币的方法: ①拿 8 枚 1 分的,1 枚 2 分的: 1+1+1+1+1+1+1+1+2=1(角) ②拿 6 枚 1 分的,2 枚 2 分的: 1+1+1+1+1+1+2+2=1(角) ③拿 4 枚 1 分的,3 枚 2 分的: 1+1+1+1+2+2+2=1(角) ④拿 2 枚 1 分的,4 枚 2 分的: 1+1+2+2+2+2=1(角)

⑤拿 5 枚 1 分的,1 枚 5 分的: 1+1+1+1+1+5=1(角) 只拿出两种硬币,有 5 种方法。 (3)拿三种硬币的方法: ①拿 3 枚 1 分,1 枚 2 分,1 枚 5 分的: 1+1+1+2+5=1(角) ②拿 1 枚 1 分,2 枚 2 分,1 枚 5 分的: 1+2+2+5=1(角) 拿出三种硬币,有 2 种方法。 共有: 3+5+2=10(种) 答:共有 10 种拿法。 *例 9 甲、乙、丙、丁与小强五位同学一起比赛象棋,每两人都要比赛一盘。 到现在为止,甲赛了 4 盘,乙赛了 3 盘,丙赛了 2 盘,丁赛了 1 盘。问小强赛了 几盘?(适于五年级程度) 解:作表 3-2。 表 3-2

甲已经赛了 4 盘,就是甲与乙、丙、丁、小强各赛了一盘,在甲与乙、丙、 丁、小强相交的那些格里都打上√;乙赛的盘数,就是除了与甲赛的那一盘,又 与丙和小强各赛一盘, 在乙与丙、 小强相交的那两个格中都打上√; 丙赛了两盘, 就是丙与甲、乙各赛一盘,打上√;丁与甲赛的那一盘也打上√。 丁未与乙、丙、小强赛过,在丁与乙、丙与小强相交的格中都画上圈。

根据条件分析,填完表格以后,可明显地看出,小强与甲、乙各赛一盘,未 与丙、丁赛,共赛 2 盘。 答:小强赛了 2 盘。 *例 10 商店出售饼干,现存 10 箱 5 千克重的,4 箱 2 千克重的,8 箱 1 千 克重的,一位顾客要买 9 千克饼干,为了便于携带要求不开箱。营业员有多少种 发货方式?(适于五年级程度) 解:作表 3-3 列举发货方式。 表 3-3

答:不开箱有 7 种发货方式。 *例 11 运输队有 30 辆汽车,按 1~30 的编号顺序横排停在院子里。第一次 陆续开走的全部是单号车,以后几次都由余下的第一辆车开始隔一辆开走一辆。 到第几次时汽车全部开走?最后开走的是第几号车?(适于五年级程度) 解:按题意画出表 3-4 列举各次哪些车开走。 表 3-4

从表 3-4 中看得出,第三次开走后剩下的是第 8 号、16 号、24 号车。按题 意,第四次 8 号、24 号车开走。到第五次时汽车全部开走,最后开走的是第 16 号车。 答:到第五次时汽车全部开走,最后开走的是第 16 号车。 *例 12 在甲、乙两个仓库存放大米,甲仓存 90 袋,乙仓存 50 袋,甲仓每 次运出 12 袋,乙仓每次运出 4 袋。运出几次后,两仓库剩下大米的袋数相等? (适于五年级程度) 解:根据题意列表 3-5。 表 3-5

从表 3-5 可以看出,原来甲乙两仓库所存大米相差 40 袋;第一次运走后, 两仓剩下的大米相差 78-46=32(袋);第二次运走后,两仓剩下的大米相差 66-42=24(袋);第三次运走后,两仓剩下的大米相差 54-38=16(袋);第四 次运走后,两仓剩下的大米相差 42-34=8(袋);第五次运走后,两仓剩下的大 米袋数相等。 40-32=8 32-24=8 24-16=8 ?? 从这里可以看出,每运走一次,两仓库剩下大米袋数的相差数就减少 8 袋。 由此可以看出, 两仓库原存大米袋数的差,除以每次运出的袋数差就得出运几次 后两个仓库剩下大米的袋数相等。 (90-50)÷(12-4)=5(次) 答:运出 5 次后两个仓库剩下大米的袋数相等。

*例 13 有三组小朋友共 72 人,第一次从第一组里把与第二组同样多的人数 并入第二组; 第二次从第二组里把与第三组同样多的人数并入第三组;第三次从 第三组里把与第一组同样多的人数并入第一组。这时,三组的人数一样多。问原 来各组有多少个小朋友?(适于五年级程度) 解: 三个小组共 72 人, 第三次并入后三个小组人数相等, 都是 72÷3=24 人) ( 。 在这以前,即第三组未把与第一组同样多的人数并入第一组时,第一组应是 24÷2=12(人),第三组应是(24+12)=36(人),第二组人数仍为 24 人;在 第二次第二组未把与第三组同样多的人数并入第三组之前,第三组应为 36÷2=18(人),第二组应为(24+18)=42(人),第一组人数仍是 12 人;在 第一次第一组未把与第二组同样多的人数并入第二组之前,第二组的人数应为 42÷2=21(人),第一组人数应为 12+21=33(人),第三组应为 18 人。 这 33 人、21 人、18 人分别为第一、二、三组原有的人数,列表 3-6。 表 3-6

答:第一、二、三组原有小朋友分别是 33 人、21 人、 18 人

第四讲

综合法

从已知数量与已知数量的关系入手,逐步分析已知数量与未知数量的关系, 一直到求出未知数量的解题方法叫做综合法。 以综合法解应用题时, 先选择两个已知数量,并通过这两个已知数量解出一 个问题,然后将这个解出的问题作为一个新的已知条件,与其它已知条件配合, 再解出一个问题??一直到解出应用题所求解的未知数量。 运用综合法解应用题时, 应明确通过两个已知条件可以解决什么问题,然后 才能从已知逐步推到未知, 使问题得到解决。这种思考方法适用于已知条件比较 少,数量关系比较简单的应用题。

例 1 甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300 米的水渠,4 天完成任务。甲 队每天挖 40 米,乙队每天挖多少米?(适于三年级程度) 解:根据“甲、乙两个土建工程队共同挖一条长 300 米的水渠”和“4 天完 成任务”这两个已知条件,可以求出甲乙两队每天共挖水渠多少米(图 4-1)。 300÷4=75(米) 根据“甲、乙两队每天共挖水渠 75 米”和“甲队每天挖 40 米”这两个条件, 可以求出乙队每天挖多少米(图 4-1)。 75-40=35(米) 综合算式: 300÷4-40 =75-40 =35(米) 答:乙队每天挖 35 米。

例 2 两个工人排一本 39500 字的书稿。甲每小时排 3500 字,乙每小时排 3 000 字,两人合排 5 小时后,还有多少字没有排?(适于四年级程度) 解:根据甲每小时排 3500 字,乙每小时排 3000 字,可求出两人每小时排多 少字(图 4-2)。

3500+3000=6500(字) 根据两个人每小时排 6500 字,两人合排 5 小时,可求出两人 5 小时已排多 少字(图 4-2)。 6500×5=32500(字) 根据书稿是 39500 字,两人已排 32500 字,可求出还有多少字没有排(图 4 -2)。 39500-32500=7000(字) 综合算式: 39500-(3500+3000)×5 =39500-6500×5 =39500-32500 =7000(字) 答略。 例 3 客车、货车同时由甲、乙两地出发,相向而行。客车每小时行 60 千米, 货车每小时行 40 千米,5 小时后客车和货车相遇。求甲、乙两地之间的路程。 (适于四年级程度) 解:根据“客车每小时行 60 千米”和“货车每小时行 40 千米”这两个条件, 可求出两车一小时共行多少千米(图 4-3)。

60+40=100(千米) 根据“两车一小时共行 100 千米”和两车 5 小时后相遇,便可求出甲、乙两 地间的路程是多少千米(图 4-3)。 100×5=500(千米) 综合算式: (60+40)×5 =100×5 =500(千米) 答:甲、乙两地间的路程是 500 千米。 例 4 一个服装厂计划做 660 套衣服,已经做了 5 天,平均每天做 75 套。剩 下的要 3 天做完,问平均每天要做多少套?(适于四年级程度) 解:根据“已经做了 5 天,平均每天做 75 套”这两个条件可求出已做了多 少套(图 4-4)。

75×5=375(套) 根据“计划做 660 套”和“已经做了 375 套”这两个条件,可以求出还剩下 多少套(图 4-4)。

660-375=285(套) 再根据“剩下 285 套”和“剩下的要 3 天做完”,便可求出平均每天要做多 少套(图 4-4)。 285÷3=95(套) 综合算式: (660-75×5)÷3 =285÷3 =95(套) 答略。 例 5 某装配车间,甲班有 20 人,平均每人每天可做 72 个零件;乙班有 24 人,平均每人每天可做 68 个零件。如果装一台机器需要 12 个零件,那么甲、乙 两班每天生产的零件可以装多少台机器?(适于四年级程度) 解:根据“甲班有 20 人,平均每人每天可做 72 个零件”这两个条件可求出 甲班一天生产多少个零件(图 4-5)。

72×20=1440(个) 根据“乙班有 24 人,平均每天每人可做 68 个零件”这两个条件可求出乙班 一天生产多少个零件(图 4-5)。 68×24=1632(个) 根据甲、乙两个班每天分别生产 1440 个、1632 个零件,可以求出甲、乙两 个班一天共生产多少个零件(图 4-5)。 1440+1632=3072(个)

再根据两个班一天共做零件 3072 个和装一台机器需要 12 个零件这两条件, 可求出两个班一天生产的零件可以装多少台机器。 3072÷12=256(台) 综合算式: (72×20+68×24)÷12 =(1440+1632)÷12 =3072÷12 =256(台) 答略。 例 6 一个服装厂计划加工 2480 套服装,每天加工 100 套,工作 20 天后, 每天多加工 20 套。提高工作效率后,还要加工多少天才能完成任务?(适于四 年级程度) 解:根据每天加工 100 套,加工 20 天,可求出已经加工多少套(图 4-6)。 100×20=2000(套) 根据计划加工 2480 套和加工了 2000 套, 可求出还要加工多少套 (图 4-6) 。

2480-2000=480(套) 根据原来每天加工 100 套,现在每天多加工 20 套,可求出现在每天加工多 少套(图 4-6)。 100+20=120(套) 根据还要加工 480 套,现在每天加工 120 套,可求出还要加工多少天(图 4 -6)。

48O÷120=4(天) 综合算式: (2480-100×20)÷(100+20) =480÷120 =4(天) 答略。 刚开始学习以综合法解应用题时,一定要画思路图,当对综合法的解题方法 已经很熟悉时,就可以不再画思路图,而直接解答应用题了。

解:此题先后出现了两个标准量:“第一桶的重量”和“第二桶的重量”。

=49.5(千克) 答略。

解:此题先后出现两个标准量:“甲块地产高粱的重量”和“乙块地产高粱 的重量”。 将题中已知条件的顺序变更一下:丙块地产高粱 450 千克,丙块地比乙

条件,可求出乙块地产高粱是:

(这里乙块地的产量是标准量 1)

(这里甲块地的产量是标准量 1) 综合算式:

=546(千克) 答略。

第五讲

分析法

从求解的问题出发,正确选择所需要的两个条件,依次推导,一直到问题得 到解决的解题方法叫分析法。 用分析法解应用题时,如果解题所需要的两个条件,(或其中的一个条件) 是未知的,就要分别求解找出这两个(或一个)条件,一直到所需要的条件都是 已知的为止。 分析法适于解答数量关系比较复杂的应用题。 例 1 玩具厂计划每天生产 200 件玩具,已经生产了 6 天,共生产 1260 件。 问平均每天超过计划多少件?(适于三年级程度) 解:这道题是求平均每天超过计划多少件。要求平均每天超过计划多少件, 必须具备两个条件(图 5-1):①实际每天生产多少件;②计划每天生产多少件。

计划每天生产 200 件是已知条件。 实际每天生产多少件, 题中没有直接告诉, 需要求出来。 要求实际每天生产多少件,必须具备两个条件(图 5-1):①一共生产了多 少件;②已经生产了多少天。这两个条件都是已知的:①一共生产了 1260 件; ②已经生产了 6 天。 分析到这里,问题就得到解决了。 此题分步列式计算就是: (1)实际每天生产多少件? 1260÷6=210(件) (2)平均每天超过计划多少件? 210-200=10(件) 综合算式: 1260÷6-200

=210-200 =10(件)例 2 四月上旬,甲车间制造了 257 个机器零件,乙车间制造的机 器零件是甲车间的 2 倍。 四月上旬两个车间共制造多少个机器零件?(适于三年 级程度) 解:要求两个车间共制造多少个机器零件,必须具备两个条件(图 5-2): ①甲车间制造多少个零件;②乙车间制造多少个零件。已知甲车间制造 257 个零 件,乙车间制造多少个零件未知。 下面需要把“乙车间制造多少个零件”作为一个问题, 并找出解答这个问题 所需要的两个条件。 这两个条件(图 5-2)是:①甲车间制造多少个零件;②乙车间制造的零件 是甲车间的几倍。这两个条件都是已知的:①甲车间制造 257 个,乙车间制造的 零件数是甲车间的 2 倍。 分析到此,问题就得到解决了。

此题分步列式计算就是: (1)乙车间制造零件多少个? 257×2=514(个) (2)两个车间共制造零件多少个? 257+514=771(个) 综合算式: 257+257×2 =257+514 =771(个)

答略。 例 3 某车间要生产 180 个机器零件, 已经工作了 3 天, 平均每天生产 20 个。 剩下的如果每天生产 30 个,还需要几天才能完成?(适于四年级程度) 解:要求还需要几天才能完成,必须具备两个条件(图 5-3):①还剩下多 少个零件;②每天生产多少个零件。在这两个条件中,每天生产 30 个零件是已 知条件,还剩多少个零件未知。

先把“还剩多少个零件”作为一个问题, 并找出解答这个问题所需要的两个 条件。 要算出还剩下多少个零件,必须具备的两个条件(图 5-3)是:①要生产多 少个零件;②已经生产了多少个零件。要生产 180 个零件是已知条件,已经生产 多少个零件未知。 然后把“已经生产多少个零件”作为一个问题, 并找出解答这个问题所需要 的两个条件。 要算出已生产多少个零件,必须知道的两个条件(图 5-3)是:①每天生产 多少个零件;②生产了几天。这两个条件题中都已经给出:每天生产 20 个零件, 生产了 3 天。 分析到此,问题就得到解决。 上面的思考过程,分步列式计算就是: (1)已经生产了多少个零件? 20×3=60(个) (2)剩下多少个零件? 180-60=120(个) (3)还要几天才能完成?

120÷30=4(天) 综合算式: (180-20×3)÷30 =(180-60)÷30 =120÷30 =4(天) 答略。 例 4 王明买了 24 本笔记本和 6 支铅笔,共花了 9.60 元钱。已知每支铅笔 0.08 元,每本笔记本多少钱?(适于五年级程度) 解:要算出每本笔记本多少钱,必须具备两个条件(图 5-4):①买笔记本 用了多少钱;②买了多少本笔记本。从题中已知买了 24 本笔记本,买笔记本用 的钱数未知。 先把买笔记本用的钱数作为一个问题, 并找出解答这个问题所需要的两个条 件。 要算出买笔记本用多少钱,必须知道的两个条件(图 5-4)是:①买笔记本、 铅笔共用多少钱;②买铅笔用多少钱。已知买笔记本、铅笔共用 9.60 元,买铅 笔用去多少钱未知。 然后找出“买铅笔用多少钱”所需要的两个条件。 要算出买铅笔用多少钱,必须知道的两个条件(图 5-4)是:①买多少支铅 笔;②每支铅笔多少钱。这两个条件在题中都是已知的:买 6 支铅笔,每支 0.08 元。

分析到此,问题就得到解决。

此题分步列式计算就是: (1)买铅笔用去多少元? 0.08×6=0.48(元) (2)买笔记本用去多少元? 9.60-0.48=9.12(元) (3)每本笔记本多少元? 9.12÷24=0.38(元) 列综合算式计算: (9.60-0.08×6)÷24 =(9.60-0.48)÷24 =9.12÷24 =0.38(元) 答:每本笔记本 0.38 元。 例 5 仓库里共有化肥 2520 袋,两辆车同时往外运,共运 30 次,每次甲车 运 51 袋。每次甲车比乙车多运多少袋?(适于五年级程度) 解:求每次甲车比乙车多运多少袋,必须具备两个条件(图 5-5):①甲车 每次运多少袋;②乙车每次运多少袋。甲车每次运 51 袋已知,乙车每次运多少 袋未知。

先找出解答“乙车每次运多少袋”所需要的两个条件。

要算出乙车每次运多少袋,必须具备两个条件(图 5-5):①两车一次共运 多少袋;②甲车一次运多少袋。甲车一次运 51 袋已知;两车一次共运多少袋是 未知条件。 然后把“两车一次共运多少袋”作为一个问题, 并找出解答这个问题所需要 的两个条件。 要算出两车一次共运多少袋,必须具备两个条件(图 5-5):①一共有多少 袋化肥;②两车共运多少次。这两个条件都是已知的:共有 2520 袋化肥,两车 共运 30 次。 分析到此,问题就得到解决。 此题分步列式计算就是: ①两车一次共运多少袋? 2520÷30=84(袋) ②乙车每次运多少袋? 84-51=33(袋) ③每次甲车比乙车多运多少袋? 51-33=18(袋) 综合算式: 51-(2520÷30-51) =51-33 =18(袋) 答略。 *例 6 把 627.5 千克梨装在纸箱中,先装 7 箱,每箱装梨 20 千克,其余的 梨每箱装 37.5 千克。这些梨共装多少箱?(适于五年级程度) 解:要算出共装多少箱,必须具备两个条件(图 5-6):①先装多少箱。② 后装多少箱。先装 7 箱已知,后装多少箱未知。 先把“后装多少箱”作为一个问题,并找出解答这个问题所需要的两个条 件。

要算出后装多少箱,必须具备两个条件(图 5-6):①后来一共要装多少千 克;②后来每箱装多少千克。后来每箱装 37.5 千克已知,后来一共装多少千克 未知。

要把“后来一共要装多少千克”作为一个问题提出, 并找出回答这一问题所 需要的两个条件。要求后来一共要装多少千克,必须具备两个条件(图 5-6): ①梨的总重量;②先装了多少千克。梨的总重量是 627.5 千克已知的;先装了多 少千克是未知的, 要把它作为一个问题提出来,并找出回答这个问题所需要的两 个条件。 这两个条件(图 5-6)是:①先装的每箱装梨多少千克;②装了多少箱。这 两个条件都是已知的:先装的每箱装梨 20 千克,装了 7 箱。 分析到此,问题就得到解决了。 此题分步列式计算就是: ①先装多少千克? 20×7=140(千克) ②后来共装多少千克? 627.5-140=487.5(千克) ③后来装了多少箱? 487.5÷37.5=13(箱) ④共装多少箱? 7+13=20(箱) 综合算式:

7+(627.5-20×7)÷37.5 =7+(627.5-140)÷37.5 =7+487.5÷37.5 =7+13 =20(箱) 答略。 注意:开始学习用分析法解应用题时,一定要画思路图,当对分析法的解题 方法已经很熟悉时,可不再画思路图,而直接分析解答应用题了。

节约了 15%。问六月份比四月份少用煤多少吨?(适于六年级程度) 解:此题中出现两个标准量:“四月份的用煤量”和“五月份的用煤量”。 四月份的用煤量和六月份的用煤量都与五月份的用煤量有直接联系。 要算出六月份比四月份少用煤多少吨,必须知道六月份、四月份各用煤多少 吨。 要算出六月份用煤多少吨,必须知道两个条件:①五月份用煤多少吨;②六 月份比五月份节约多少。这两个条件都是已知的。六月份用煤的吨数是: 3200×(1-15%)=2720(吨) 要算出四月份用煤多少吨,必须知道两个条件:①五月份用煤多少吨;②五 月份比四月份节约多少。这两个条件都是已知的。四月份用煤的吨数是:

知道了六月份、 四月份用煤的吨数,就可以求出六月份比四月份少用煤多少 吨。 3600-2720=880(吨) 综合算式:

=3600-2720 =880(吨) 答略。

答略。

第六讲

分析-综合法

综合法和分析法是解应用题时常用的两种基本方法。在解比较复杂的应用题时, 由于单纯用综合法或分析法时, 思维会出现障碍,所以要把综合法和分析法结合 起来使用。我们把分析法和综合法结合起来解应用题的方法叫做分析-综合法。 *例 1 运输队要把 600 吨化肥运到外地, 计划每天运 22 吨。 运了 15 天以后, 剩下的化肥要在 10 天内运完。这样每天要比原计划多运多少吨?(适于五年级 程度) 解:解此题要运用分析法和综合法去思考。 先用综合法思考。根据“原计划每天运 22 吨”和“运了 15 天”这两个条件, 可以求出已经运出的吨数(图 6-1)。

根据要 “运 600 吨” 和已经运出的吨数, 可以求出剩下化肥的吨数 (图 6-1) 。 接下去要用哪两个数量求出什么数量呢?不好思考了。 所以用综合法分析到 这儿,接着要用分析法思考了。 要求“每天比原计划多运多少吨”,必须知道“后来每天运多少吨”和“原 计划每天运多少吨”。“原计划每天运 22 吨”是已知条件,“后来每天运多少 吨”不知道,这是此题的中间问题(图 6-2)。

要知道“后来每天运多少吨”,必须知道“剩下多少吨”和“要在多少天内 运完”。这两个条件中,第二个条件是已知的,“要在 10 天内运完”,“剩下 多少吨”是未知的中间问题。 我们在前面用综合法分析这道题时,已经得到求剩下吨数的方法了。 所以本题分析到这里就可以解答了。 此题分步列式解答时, 要从图 6-1 的上面往下看,接着从图 6-2 的下面往上 看。 (1)已经运多少吨? 22×15=330(吨) (2)剩下多少吨? 600-330=270(吨) (3)后来每天运多少吨? 270÷10=27 吨) (4)每天比原计划多运多少吨? 27-22=5(吨) 综合算式: (600-22×15)÷10-22 =(600-330)÷10-22 =270÷10-22 =27-22 =5(吨)

答略。 *例 2 某鞋厂原计划 30 天做皮鞋 13500 双, 实际上每天比原计划多做 50 双。 问这个鞋厂提前几天完成原计划的任务?(适于五年级程度) 解:解答此题一般要运用分析法和综合法去思考。 先用分析法思考。要算出提前几天完成计划,必须知道“原计划天数”和 “实际做鞋数”(图 6-3)。“原计划天数”是 30

天,已经知道;“实际做鞋天数”不知道,是中间问题。 要知道“实际做鞋天数”必须知道“皮鞋总数”和“实际每天做的皮鞋 数”(图 6-3)。 到此可以往下思考, 要算出实际每天做的皮鞋数,必须具备哪两个条件?但 有的人觉得这样思考时不顺当, 思路会“卡壳”, 这时就要换用综合法进行思考。 由“原计划 30 天做皮鞋 13500 双”, 可求出“原计划每天做的皮鞋数” (图 6-4)。

由“原计划每天做的皮鞋数”和“实际每天比原计划多做 50 双”,可用加 法算出“实际每天做的皮鞋数”(图 6-4)。 分析到此,这道题的问题就得到解决了。此题用分步列式的方法计算时,得 从图 6-4 的上面往下面推想,然后从图 6-3 的后面(下面)往前推想。 (1)看图 6-4 的思路图。通过把原计划做的 13500 双除以计划做的 30 天, 可以得到原计划每天做多少双皮鞋。

13500÷30=450(双) (2)在计划每天做的 450 双皮鞋上,加上实际每天多做的 50 双,得到实际 每天做的皮鞋数。 450+50=500(双) (3)接着看图 6-3 的思路图。从思路图的下面往上推想,皮鞋总数除以实 际每天做的皮鞋数 500 双,得到实际制做的天数。 13500÷500=27(天) (4)接着往上看,从原计划做的 30 天,减去实际做的天数 27 天,就得到 提前完成计划的天数。 30-27=3(天) 把上面分步计算的算式综合为一个算式是: 30-13500÷(13500÷30+50) =30-13500÷500 =30-27 =3(天) 答略。 *例 3 甲、乙两队同时开凿一条 2160 米长的隧道,甲队从一端起,每天开凿 20 米,乙队从另一端起,每天比甲队多开凿 5 米。两队在离中点多远的地方会 合?(适于五年级程度) 解:看图 6-5。要求两队在离中点多远的地方会合,需要知道隧道的中点及 会合点离一端的距离(分析法)。 每天 20 米每天比甲队多 5 米

隧道全长 2160 米,中点到一端的距离可以通过 2160÷2 求得(综合法)。

要求出会合点(在甲队的一侧)距离甲队开凿点的距离,实际就是求甲队开 凿的米数。要求甲队开凿的米数,就要知道甲队(或乙队)每天开凿的米数(已 知)和开凿的天数(分析法)。甲队每天开凿 20 米已知,开凿的天数不知道。 要求出开凿的天数,需要知道隧道的全长(已知)和两队每天共开凿多少米 (分析法)。 已知甲队每天开凿 20 米,乙队每天比甲队多开凿 5 米,这样可以求出乙队 每天开凿多少米,从而求出甲、乙两队一天共开凿多少米(综合法)。 分析到此,这道题的问题就得到解决了。 此题用分步列式的方法计算时,还得从上面分析过程的后面往前推理。 (1)乙队每天开凿多少米? 20+5=25(米) (2)甲乙两队一天共开凿多少米? 20+25=45(米) (3)甲乙两队共同开凿这个隧道用多少天? 2160÷45=48(天) (4)甲队开凿了多少米?(会合点与甲队开凿点的距离) 20×48=960(米) (5)甲队到中点的距离是多少米? 2160÷2=1080(米) (6)会合点与中点间的距离是多少米? 1080-960=120(米) 综合算式: 2160÷2-20×[2160÷(20+20+5)] =1080-20×48 =1080-960

=120(米) 答略。 *例 4 某中队三个小队的少先队员采集树种。第一小队 8 名队员共采集 11.6 千克,第二小队 6 名队员比第一小队少采集 2.8 千克,第三小队 10 名

克?(适于五年级程度) 解:如果先用综合法分析,虽然已知数量间存在着一定的关系,但不容易选 择出与所求数量有直接联系的数量关系。而用分析法分析,能立即找到与所求数 量有直接联系的数量关系,找到解题所需要的数量后,再用综合法分析。 要求出三个小队平均每名队员采集多少千克, 必需知道“三个小队共采集树 种多少千克”和“全体队员的人数”(图 6-6)。 要求“三个小队共采集多少千克”,必须知道一、二、三这三个小队各采集 多少千克;要求“全体队员人数”必须知道各小队的人数(图 6-6)。 三个小队的人数都已经知道,第一小队采集 11.6 千克也已知,只是第二、 三小队各采集多少还不知道。 往下可用综合法得出二、三小队各采集多少千克(图 6-6)。

由“第一小队共采集 11.6 千克”和“第二小队比第一小队少采集 2.8 千 克”,可求出第二小队采集多少千克;由“第二小队采集的重量”和“第

往下可由三个小队各采集多少千克之和,求出三个小队共采集多少千克;也 可以由各小队的人数之和求出“全体队员的人数”。 到此本题就可以解出来了。 本题分步列式解答的方法是: (1)第二小队采集多少千克? 11.6-2.8=8.8(千克) (2)第三小队采集多少千克?

(3)三个小队共采集多少千克? 11.6+8.8+13.2=33.6(千克) (4)三个小队有多少队员? 8+6+10=24(人) (5)平均每人采集多少千克? 33.6÷24=1.4(千克) 综合算式:

=33.6÷24 =1.4(千克)

答略。 *例 5 甲、 乙两城之间的路程是 210 千米,慢车以每小时 40 千米的速度由甲 城开往乙城,行车 15 分钟后,快车由乙城开往甲城,经过 2 小时两车相遇。这 时快车开到甲城还需要多少小时?(适于六年级程度) 解:运用分析法和综合法,分析此题的思路是: 先用分析法来思考。 要求出“快车开到甲城还需要多少小时”,必须知道两 个条件(图 6-7):①相遇地点到甲城的距离;②快车每小时行多少千米。这两 个条件题目中都没给出,应把它们分别作为中间问题。

接着思考, 要求相遇地点到甲城的路程必须具备哪两个条件?要求快车每小 时行多少千米必须具备哪两个条件???如果思路不“卡壳”,就一直思考下 去,直到解答出所求问题。如果思路“卡壳”了,就改用综合法思考。另画一个 思路图(图 6-8)。

图 6-8 中慢车已行的路程,就是快车从相遇点到甲城的路程。这段路程是:

快车已行的路程是: 210-90=120(千米) 快车每小时所行的路程是:

120÷2=60(千米) 到此, 我们可以把慢车走过的路程除以快车的速度,得到快车开到甲城还需 要的时间是: 90÷60=1.5(小时) 综合算式:

答略。

第七讲

归一法

先求出单位数量(如单价、工效、单位面积的产量等),再以单位数量为标准, 计算出所求数量的解题方法叫做归一法。 归一法分为一次直进归一法、一次逆反归一法、二次直进归一法、二次逆反 归一法。 用归一法一般是解答整数、小数应用题,但也可以解答分数应用题。有些应 用题用其它方法解答比较麻烦,不易懂,用归一法解则简单,容易懂。 (一)一次直进归一法 通过一步运算求出单位数量之后, 再求出若干个单位数量和的解题方法叫做 一次直进归一法。 1.解整数、小数应用题 例 1 某零件加工小组,5 天加工零件 1500 个。照这样计算,14 天加工零件 多少个?(适于三年级程度) 解:(1)一天加工零件多少个? 1500÷5=300(个) (2)14 天加工零件多少个? 300×14=4200(个) 综合算式:

1500÷5×14=4200(个) 答略。 此类型题是适宜用一次直进归一法解的基本题型, 下面的题都在此类型题的 基础上有所扩展。 例 2 用一台大型抽水机浇地,5 小时浇了 15 公顷。照这样计算,再浇 3 小 时,这台抽水机比原来多浇多少公顷地?(适于三年级程度) 解:(1)一小时浇地多少公顷? 15÷5=3(公顷) (2)3 小时浇地多少公顷? 3×3=9(公顷) 综合算式: 15÷5×3=9(公顷) 答略。例 3 一辆汽车 3 小时行驶了 123.6 千米。照这样的速度,再行驶 4 小时,这辆汽车一共行驶了多少千米?(适于五年级程度) 解:(1)一小时行驶多少千米? 123.6÷3=41.2(千米) (2)前后共行驶多少小时? 3+4=7(小时) (3)一共行驶多少千米? 41.2×7=288.4(千米) 综合算式: 123.6÷3×(3+4) =41.2×7 =288.4(千米) 答略。

2.解分数应用题

经行驶了 4 份,还剩下全路程的 7-4=3(份)。还可知,行驶 4 份用的时间 是 8 小时。 (1)行驶 1 份用的时间是: 8÷4=2(小时) (2)行驶剩下的 3 份用的时间是: 2×3=6(小时) 答略。

数量是单位“1”。把六月份的伐木数量平均分成 6 份,五月份的伐木数量 就相当于六月份伐木数量的 5 份。 (1)一份木材是多少立方米? 240÷5=48(立方米) (2)因为六月份比五月份多伐一份,所以六月份的伐木数量是: 240+48=288(立方米) 答略。

兔, 其余的是灰兔。已知黑兔比白兔多 21 只。求灰免有多少只?(适于六年级程度)

12 份,白兔占 5 份,则灰兔占 20-12-5=3(份)。 (1)黑兔比白兔多 21 只,这 21 只所对应的份数是: 12-5=7(份) (2)每一份的只数是: 21÷7=3(只) (3)灰兔的只数是: 3×3=9(只) 答略。

程度)

运进一些红糖后,把两种糖的总重量平均分成 10 份,红糖占 3 份,白糖占 7 份。把上面的数量用表 7-1 表示。 表 7-1

(1)白糖的重量是: 63O÷5×4=504(千克) (2)运来红糖后两种糖的总重量是: 504÷7×10=720(千克) (3)运来的红糖是: 720-630=90(千克) 答略。 (二)一次逆转归一法 通过一步计算求出单位数量,再求总数量里包含多少个单位数量的解题方 法,叫做一次逆转归一法。 例 1 一列火车 6 小时行驶 390 千米。照这样的速度,要行驶 1300 千米的路 程,需要多少小时?(适于三年级程度) 解:(1)一小时行驶多少千米? 390÷6=65(千米) (2)行驶 1300 千米需要多少小时? 1300÷65=20(小时) 综合算式: 1300÷(390÷6) =1300÷65 =20(小时) 答略。 此题是一次逆转归一的基本题,下面的题都在此题的基础上有所扩展。 例 2 某人骑自行车从甲地到乙地,2 小时行了 26 千米,剩下的路程是 52 千 米。按照这样的速度,此人从甲地到乙地要行几小时?(适于四年级程度) 解:(1)一小时行多少千米?

26÷2=13(千米) (2)行驶 52 千米用几小时? 52÷13=4(小时) (3)从甲地到乙地要行几小时? 2+4=6(小时) 综合算式: 2+52÷(26÷2) =2+52÷13 =2+4 =6(小时) 答略。 例 3 学校买来 135 米塑料绳,先剪下 9 米做了 5 根跳绳。照这样计算,剩 下的塑料绳可以做多少根跳绳?(适于五年级程度) 解:(1)一根跳绳有多少米? 9÷5=1.8(米) (2)剩下的塑料绳有多少米? 135-9=126(米) (3)剩下的绳子可以做多少根跳绳? 126÷1.8=70(根) 综合算式: (135-9)÷(9÷5) =126÷1.8 =70(根) 答略。

(三)二次直进归一法 通过两步计算求出单位数量, 再求若干个单位数量和的解题方法叫做二次直 进归一法。 *例 1 4 辆同样的卡车 7 次运货物 224 吨。照这样计算,9 辆同样的卡车 10 次可以运货物多少吨?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中的条件,排列成表 7-2。 (1)4 辆卡车一次运货多少吨? 224÷7=32(吨) (2)一辆卡车一次运货多少吨? 32÷4=8(吨) (3)9 辆卡车一次运货多少吨? 8×9=72(吨) 表 7-2

(4)9 辆卡车 10 次运货多少吨? 72×10=720(吨) 综合算式: 224÷7÷4×9×10 =8×9×10 =720(吨) 答略。 此题是二次直进归一的基本题,下面的题在此基础上都有所变化。

*例 2 某水库上游有农田需抽水浇地,抽水站七月上旬用一台柴油机从

农田用水量要增加, 这个抽水站准备同时用 4 台柴油机抽水。这个抽水站最 少还应准备多少千克柴油?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-3。

分成 5 份中的 4 份,所以 5 份中的 1 份是: 200÷4=50(千克) 表 7-3

(2)一台柴油机一天用油多少千克? 50÷10=5(千克) (3)4 台柴油机 21 天用油多少千克? 5×4×21=420(千克) (4)还应准备柴油多少千克? 420-200=220(千克) 综合算式: 200÷4÷10×4×21-200 =5×4×21-200 =420-200 =220(千克)

答略。 *例 3 冬天,有 12 头牛 3 天吃干草 720 千克。牵走 3 头牛后,有 720 千克 干草要给剩下的牛吃 4 天,干草是不是够用?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-4。 (1)1 头牛 1 天吃干草多少千克? 720÷12÷3=20(千克) (2)牵走 3 头牛后,剩下几头牛? 12-3=9(头) 表 7-4

(3)9 头牛 4 天吃干草多少千克? 20×9×4=720(千克) 综合算式: 720÷12÷3×(12-3)×4 =20×9×4 =720(千克) 答:720 千克干草正好够用。 *例 4 用手工剪羊毛,第一天 4 人 6 小时剪羊毛 120 千克。第二天增加了同 样能干的 3 个人,还是工作 6 小时。问两天一共剪羊毛多少千克?(适于五年级 程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-5。 (1)1 人 1 小时剪羊毛多少千克? 120÷4÷6=5(千克)

(2)增加 3 个人后共有多少个人? 4+3=7(人) 表 7-5

(3)7 个人 6 小时剪多少千克羊毛? 5×7×6=210(千克) (4)两天一共剪多少千克羊毛? 120+210=330(千克) 综合算式: 120+120÷4÷6×(4+3)×6 =120+5×7×6 =120+210 =330(千克) 答略。 (四)二次逆转归一法 通过两步计算, 求出单位数量之后,再求出总数量里包含多少个单位数量的 解题方法,叫做二次逆转归一法。 *例 1 3 台拖拉机 8 小时耕地 4.8 公顷。照这样计算,9 公顷地,用 5 台拖 拉机耕,需要多少小时?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-6。 (1)1 台拖拉机 1 小时耕地多少公顷? 4.8÷3÷8=0.2(公顷)

(2)5 台拖拉机耕 9 公顷土地用多少小时? 表 7-6

9÷5÷0.2=9(小时) 综合算式: 9÷5÷(4.8÷3÷8) =9÷5÷0.2 =9(小时) 答略。 此题是适于用二次逆转归一法解的基本题,下面的题在此基础上都有所扩 展。 *例 2 7 名工人 10 小时生产机器零件 420 个。在缺席 2 名工人的情况下,要 生产 330 个机器零件,要用多少小时?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列出表 7-7。 (1)1 名工人 1 小时生产多少个机器零件? 表 7-7

420÷7÷10=6(个) (2)缺席 2 名工人,剩下多少名工人? 7-2=5(名)

(3)5 名工人生产 330 个机器零件要用多少小时? 330÷5÷6=11(小时) 综合算式: 330÷(7-2)÷(420÷7÷10) =330÷5÷6 =11(小时) 答略。 *例 3 有 900 立方米的土,需要 25 人 12 天挖完。如果增加 5 人,可以提前 几天挖完?(适于五年级程度) 解:摘录整理题中条件,排列成表 7-8。 设提前 x 天挖完,则实际完成的天数是(12-x)天。 表 7-8

(1)原来 1 人 1 天挖土多少立方米? 900÷12÷25=3(立方米) (2)增加 5 人后共有多少人? 25+5=30(人) (3)30 人多少天挖完? 900÷30÷3=10(天) (4)可以提前几天挖完? 12-10=2(天) 综合算式:

12-9000÷(25+5)÷(900÷25÷12) =12-900÷30÷3 =12-10 =2(天) 答略。

第八讲

归总法

已知单位数量和单位数量的个数,先求出总数量,再按另一个单位数量或单位数 量的个数求未知数量的解题方法叫做归总法。 解答这类问题的基本方法是: 总数量=单位数量×单位数量的个数; 另一单位数量(或个数)=总数量÷单位数量的个数(或单位数量)。 例 1 李明从学校步行回家,每小时走 4 千米,5 小时到家。如果他每小时走 5 千米,几小时到家?(适于三年级程度) 解:要求每小时走 5 千米,几小时到家,要先求出学校到家有多远,再求几 小时到家。因此, 4×5÷5 =20÷5 =4(小时) 答:如果他每小时走 5 千米,4 小时到家。 例 2 王明看一本故事书,计划每天看 15 页,20 天看完。如果要在 12 天看 完,平均每天要看多少页?(适于三年级程度) 解:要求 12 天看完,平均每天看多少页,必须先求出这本故事书一共有多 少页,再求平均每天看多少页。因此, 15×20÷12 =300÷12

=25(页) 答:如果要在 12 天看完,平均每天要看 25 页。例 3 某工厂制造一批手扶 拖拉机,原计划每天制造 6 台,30 天完成。实际上只用了一半的时间就完成了 任务。实际每天制造多少台?(适于四年级程度) 解:原来时间的一半就是 30 天的一半。 6×30÷(30÷2) =180÷15 =12(台) 答:实际每天制造 12 台。 例 4 永丰化肥厂要生产一批化肥, 计划每天生产 45 吨, 天可以完成任务。 24 由于改进生产技术,提高了工作效率,平均每天比原计划多生产 15 吨。实际几 天完成任务?(适于四年级程度) 解:计划生产的这批化肥是: 45×24=1080(吨) 改进生产技术后每天生产: 45+15=60(吨) 实际完成任务的天数是: 1080÷60=18(天) 综合算式: 45×24÷(45+15) =45×24÷60 =1080÷60 =18(天) 答:实际 18 天完成任务。 例 5 有一批化肥,用每辆载重 6 吨的汽车 4 辆运送 25 次可以运完。如果改 用每辆载重 8 吨的汽车 5 辆,几次能够运完这批化肥?(适于五年级程度)

解:这批化肥的重量是: 6×4×25=600(吨) 5 辆载重 8 吨的汽车一次运: 8×5=40(吨) 能够运完的次数是: 600÷40=15(次) 综合算式: 6×4×25÷(8×5) =600÷40 =15(次) 答:15 次能够运完。 例 6 一项工程,20 人每天工作 8 小时,30 天可以完成。现在改用 40 人, 每天工作 10 小时,现在几天可以完成?(适于五年级程度) 解:完成这项工程共用工时: 8×20×30=4800(个) 现在每天完成工时: 10×40=400(个) 可以完成的天数是: 4800÷400=12(天) 综合算式: 8×20×30÷(10×40) =4800÷400 =12(天) 答略。

例 7 印一本书,原计划印 270 页,每页排 24 行,每行排 30 个字。因为要 节约用纸,现在改为每页排 30 行,每行排 36 个字。这本书要印多少页?(适于 五年级程度) 解:原计划要印的总字数: 30×24×270=194400(个) 改排后每页排字: 36×30=1080(个) 这本书要印的页数是: 194400÷1080=180(页) 综合算式: 30×24×270÷(36×30) =194400÷1080 =180(页) 答:这本书要印 180 页。 *例 8 服装厂加工一批童装,原计划每天加工 210 套,7 天完成。实际

任务?(适于六年级程度) 解:实际上每天加工童装:

这批童装的总套数是: 210×7=1470(套) 实际需要天数是:

1470÷294=5(天) 综合算式:

=1470÷294 =5(天) 答 略。 例 9 工厂有一批煤,原计划每天烧 6 吨,可以烧 70 天,技术革新后,每 天节约 1.8 吨。照这样计算,这批煤可以多烧多少天?(适于五年级程度) 解:这批煤的总吨数是: 6×70=420(吨) 现在每天烧的吨数是: 6-1.8=4.2(吨) 现在能烧的天数是: 420÷4.2=100(天) 可多烧的天数是: 100-70=30(天) 综合算式: 6×70÷(6-1.8)-70 =420÷4.2-70 =100-70 =30(天) 答略。

例 10 挖一条水渠,原计划每天挖土 135 立方米,20 天挖完。实际上每天 多挖了 45 立方米。这样可以提前几天完成任务?(适于五年级程度) 解:挖土的总任务是: 135×20=2700(立方米) 实际上每天的挖土量是: 135+45=180(立方米) 实际上只需要的天数是: 2700÷180=15(天) 提前完成任务的天数是: 20-15=5(天) 综合算式: 20-[135×20÷(135+45)] =20-[2700÷180] =20-15 =5(天) 答略。 *例 11 一堆煤,原计划每天运 75 吨,20 天可以运完。运了 2 天后,

程度) 解:这批煤总吨数是: 75×20=1500(吨) 运 2 天后,剩下的吨数是: 1500-75×2=1350(吨)

现在每天运的吨数是:

还需要运的天数是: 1350÷100=13.5(天) 提前完成任务的天数是: 20-2-13.5=4.5(天) 综合算式:

=18-1350÷100 =18-13.5 =4.5(天) 答略。

第九讲

分解法

修理工人要掌握一台机器的构造和性能,有一个好办法:把机器拆开,对一个一 个零件进行研究,然后再装配起来。经过这样拆拆装装,就能够熟悉机器的构造 和性能了,这是日常生活中常见的现象。我们可以从中发现“由整体到部分,由 部分到整体”的认识事物的规律。分析应用题也要用到这种方法。 一道多步复杂的应用题是由几道一步的基本应用题组成的。在分析应用题 时,可把一道复杂的应用题先拆成几道基本应用题,从中找到解题的线索。我们 把这种解题的思考方法称为分解法。

例 1 工厂运来一批煤,原计划每天烧 5 吨,可以烧 12 天。现在改进烧煤技 术后,每天比原计划节约 1 吨。现在这批煤可以烧几天?(适于四年级程度) 解:这道题看上去很复杂,可以把它拆成三道一步计算的应用题。

(1) 工厂运来一批煤, 原计划每天烧 5 吨, 可以烧 12 天, 这批煤有多少吨? (60 吨) (2)原计划每天烧 5 吨,现在改进烧煤技术后,每天比原计划节约 1 吨。 现在每天烧煤多少吨?(4 吨) (3)工厂运来一批煤重 60 吨,现在改进烧煤技术每天烧 4 吨,现在这批煤 可以烧多少天? 以上三道一步计算的应用题拼起来就是例 1。经过这样拆拆拼拼,这道复杂 应用题的来龙去脉就弄清楚了。 根据这三道一步应用题的解题线索,问题便可得 到解决。 分步列式计算: (1)这批煤的重量是: 5×12=60(吨) (2)现在每天烧煤的吨数是: 5-1=4(吨) (3)现在这批煤可以烧的天数是: 60÷4=15(天) 综合算式: 5×12÷(5-1) =60÷4 =15(天) 答略。 例 2 胜利小学要挖一个长方形的沙坑,长 4 米、宽 2 米、深 0.45 米,按 每人每小时挖土 0.2 方计算, 应组织多少人才能用 1 小时完成任务?(适于五年 级程度) 解:这道题是由两道小题组成,一道是已知长、宽、深,求长方体沙坑的体 积,一道是已知总共要挖的土方和每人每小时可挖的土方,求人数。把它分解成 两道题来算,就不难了。 要挖土方:

4×2×0.45=3.6(方) 所需人数: 3.6÷0.2=18(人) 综合算式: 4×2×0.45÷0.2 =3.6÷0.2 =18(人) 答:需要组织 18 人。 *例 3 东山村播种 1600 亩小麦,原计划用 5 台播种机,每台播种机每天播 种 20 亩。实际播种时调来 8 台播种机。这样比原计划提前几天完成?(适于五 年级程度) 解:把此题拆成四道基本应用题。 (1)原计划每天每台播种 20 亩,5 台播种机一天播种多少亩? 20×5=100(亩) (2)每天播种 100 亩,播种 1600 亩要多少天? 1600÷100=16(天) (3)每天每台播种 20 亩,8 台播种机播种 1600 亩需要多少天? 1600÷(20×8)=10(天) (4)比原计划提前几天完成? 16-10=6(天) 综合算式: 1600÷(20×5)-16000÷(20×8) =1600÷100-1600÷160 =16-10

=6(天) 答略。 *例 4 一辆汽车从甲城经过乙城到达丙城,共用了 36 小时。已知甲城到乙 城的路程是 640 千米,汽车以每小时 32 千米的速度行驶。其余路程汽车以每小 时 27 千米的速度行驶。求甲城到丙城的路程是多少千米?(适于五年级程度) 解:可以把这道题分解成四道基本应用题。 (1)甲城到乙城的路程是 640 千米,这辆汽车以每小时 32 千米的速度行 驶,要行驶多少小时? 640÷32=20(小时) (2)从甲城经过乙城到达丙城行驶 36 小时,从甲城到乙城行驶 20 小时, 乙城到丙城需要行驶多少小时? 36-20=16(小时) (3)从乙城到丙城以每小时 27 千米的速度行驶,用了 16 小时,所行的路 程是多少千米? 27×16=432(千米) (4)甲城到乙城的路程是 640 千米,乙城到丙城的路程是 432 千米,甲城 到丙城的路程有多少千米? 640+432=1072(千米) 综合算式: 640+27×(36-640÷32) =640+27×16 =640+432 =1072(千米) 答略。 *例 5 16 人 3 天平整土地 67.2 亩。如果每人每天工作效率提高 25%,20 人平整 280 亩土地需要多少天?(适于六年级程度) 解:(1)16 人 3 天平整土地 67.2 亩,每人每天平均平整土地多少亩?

67.2÷16+3=1.4(亩) (2)每人每天平整土地 1.4 亩,工作效率提高 25%后,每人每天平整土地 多少亩? 1.4×(1+25%)=1.75(亩) (3)工作效率提高后,每人每天平整土地 1.75 亩,20 人每天平整土地多 少亩? 1.75×20=35(亩) (4)20 人每天平整土地 35 亩,280 亩土地需要平整多少天? 280÷35=8(天) 综合算式: 280÷[67.2÷16÷3×(1+25%)×20)] =280÷[1.4×1.25×20] =280÷35 =8(天) 答略。

10 天完成。每天必须比以前多加工多少个零件?(适于六年级程度) 解:把这道题拆成下面的五道基本应用题:

(2) 9 天加工了 450 个零件,平均每天加工多少个? 450÷9=50(个) (3)要加工 1200 个零件,已经加工了 450 个,还剩多少个?

1200-450=750(个) (4)要在 10 天内加工剩下的 750 个零件,每天平均加工多少个? 750÷10=75(个) (5)现在平均每天加工 75 个,以前平均每天加工 50 个,现在比以前平均 每天多加工多少个? 75-50=25(个) 综合算式:

=750÷10-450÷9 =75-50 =25(个) 答:现在比以前平均每天多加工 25 个。 *例 7 快、中、慢三辆车从同一地点出发,沿着同一条公路追赶前面的一个 骑车人。这三辆车分别用 6 分钟、10 分钟、12 分钟追上骑车人。现在知道快车 每小时行驶 24 千米,中车每小时行驶 20 千米。慢车每小时行驶多少千米?(适 于六年级程度) 解:已知慢车 12 分钟追上骑车人,先求出三辆车出发时与骑车人的距离和 骑车人的速度,便可按追及问题来解题。因此,这个问题分解成下面的六道比较 简单的应用题来解(图 9-1)。

(1)已知快车、中车每小时分别行驶 24 千米、20 千米,它们 6 分钟各行 驶多少千米? 快车行驶:

(2)快车在距出发点 2.4 千米的 B 处追上了骑车人,中车已行驶到了距出 发点 2 千米的 A 处,这时中车与骑车人相距多少千米? 2.4-2=0.4(千米) (3)中车 10 分钟追上骑车人,中车到 A 处已走了 6 分钟,还需几分钟才能 追上骑车人? 10-6=4(分钟) (4)中车与骑车人相距 0.4 千米,中车每小时行驶 20 千米,同时出发,中 车 4 分钟追上骑车人,骑车人每小时行多少千米? 因为在追及问题中,速度差×时间=距离,设骑车人的速度是每小时行 v 千 米,则得:

(5)快车与骑车人同时出发,快车与骑车人每小时分别行 24 千米、14 千 米,骑车人在前,快车在后,6 分钟快车追上骑车人,出发时快车与骑车人相距 多少千米?

(6)慢车与骑车人相距 1 千米,它们同时出发,向同一个方向行驶,骑车 人每小时行 14 千米,慢车 12 分钟追上骑车人,慢车每小时行驶多少千米? 因为在追及问题中,速度差×时间=距离,设慢车每小时行 v 千米,则得,
1

=5+14 =19(千米) (此题列综合算式很复杂,这里不再列出。) 答略。

第十讲

分组法

在日常生活和生产中, 有些事物的数量是按照一定的规律,一组一组有秩序地出 现的。 只要能看出哪些数量是同一组的,并计算出总数量中包含有多少个这样的 同一组的数量, 就便于计算出这一组数量中的每一种物品各是多少个,从而解答 出应用题。这种解答应用题的方法叫做分组法。 例 1 某汽车制造厂,计划在本月装配 98 辆汽车。当第一车间每装配 5 辆吉 普车时, 第二车间则装配 2 辆大卡车。 求本月该厂装配吉普车、 大卡车各多少辆? (适于五年级程度) 解:因为当第一车间每装配 5 辆吉普车时,第二车间装配 2 辆大卡车,所以 在这同一时间内两个车间一共装配汽车: 5+2=7(辆) 把 7 辆汽车看作一组,看 98 辆汽车要分成多少组: 98÷7=14(组) 因为在一组中有 5 辆吉普车、2 辆大卡车,所以本月装配吉普车: 5×14=70(辆) 本月装配大卡车: 2×14=28(辆) 答略。

例 2 80 名小学生正好做了 80 朵小红花,每名女学生做 3 朵小红花,每 3 名男学生做 1 朵小红花。求这 80 名小学生中有男、女生各多少名?(适于五年 级程度) 解:因为每名女学生做 3 朵小红花,每 3 名男学生做 1 朵小红花,所以每名 女学生和每 3 名男学生共做小红花: 3+1=4(朵) 把 4 朵小红花看作一组,看 80 朵小红花中有多少组: 80÷4=20(组) 因为做每一组花时有 1 名女生、3 名男生。所以女生人数是: 1×20=20(名) 男生人数是: 3×20=60(名) 答略。例 3 用 1000 个黑珠、白珠串成一串。珠子的排列顺序是:一个白 珠、一个黑珠、两个白珠。问这一串珠子中有多少个白珠?最后一个珠子是黑色 的还是白色的?(适于五年级程度) 解:这一串珠子的排列顺序是:一白、一黑、两白,不断出现,也就是“三 个白珠”与“一个黑珠”为一组。 这 1000 个珠子可以分为多少组: 1000÷(1+3)=250(组) 因为每一组中有 3 个白珠,所以白珠的总数是: 3×250=750(个) 因为每一组最后的那个珠子是白色的,所以第 250 组最后的一个,也就是第 1000 个珠子,一定是白色的。 答略。 例 4 院子里有一群鸡和一群兔子,共有 100 条腿。已知兔子比鸡多一只, 求有多少只鸡,多少只兔子?(适于五年级程度)

解:因为兔子比鸡多一只,所以去掉这一只兔子后,鸡兔共有腿: 100-4=96(条) 因为去掉一只兔后, 鸡兔的只数一样多,所以可以把一只鸡和一只兔作为一 组,每一组鸡、兔共有腿: 4+2=6(条) 一共有多少组鸡、兔,也就是有多少只鸡; 96÷6=16(组) 一共有兔: 16+1=17(只) 答:有 16 只鸡,17 只兔。 例 5 有一摞扑克牌共 60 张,都是按红桃 2 张、梅花 1 张、方片 3 张的次序 摞起来的。求这一摞扑克有红桃、梅花、方片各多少张?(适于五年级程度) 解:因为都是按红桃 2 张、梅花 1 张、方片 3 张的次序摞起的,所以可把 2 张红桃、1 张梅花、3 张方片看作是一组,这一组共有扑克牌: 2+1+3=6(张) 60 张扑克可分为: 60÷6=10(组) 60 张牌中有红桃: 2×10=20(张) 有梅花: 1×10=10(张) 有方片: 3×10=30(张) 答略。

*例 6 某工厂召开职工代表大会,把会议室的桌凳组合起来使用。3 个人坐 一条凳子,2 个人用 1 张桌子,132 名代表正好坐满。求有桌子多少张,凳子多 少条?(适于五年级程度) 解:因为 3 个人坐一条凳子,2 个人用一张桌子,所以 2 条凳子、3 张桌子 组合为一组比较适当,这一组的人数是(图 10-1):

3+3=6(人) 或 2×3=6(人)

132 名代表可分成多少组: 132÷6=22(组) 因为每一组中有 3 张桌子,所以 22 组共有桌子: 3×22=66(张) 因为每一组中有 2 条凳子,所以 22 组共有凳子: 2×22=44(条) 答略。 *例 7 蜘蛛、蝴蝶共有腿 506 条,蜘蛛的只数是蝴蝶只数的 2 倍。已知蜘蛛 有 8 条腿,蝴蝶有 6 条腿。求蜘蛛、蝴蝶各有多少只?(适于五年级程度) 解:一只蜘蛛有 8 条腿,2 只蜘蛛有腿: 8×2=16(条) 把 2 只蜘蛛和 1 只蝴蝶作为一组,它们共有腿: 16+6=22(条) 506 条腿可分成的组数: 506÷22=23(组)

因为每一组中有 2 只蜘蛛,所以 23 组中有蜘蛛: 2×23=46(只) 因为每一组中有一只蝴蝶,所以 23 组中有蝴蝶 23 只。 答略。 *例 8 三年级的小朋友用 90 张红、绿、黄三色的彩色纸做纸花。每 2 朵花 用红纸 3 张,每 3 朵花用绿纸 2 张,每 6 朵花用黄纸 5 张。最后,三色彩纸都用 完。求 90 张纸中有红、绿、黄纸各多少张?(适于六年级程度)解:一朵花用 红纸:

一朵花用绿纸:

一朵花用黄纸:

一朵花共用红、绿、黄三色纸:

90 张纸可做多少朵花: 90÷3=30(朵) 30 朵花用红纸:

30 朵花用绿纸:

30 朵花用黄纸:

答:90 张纸中有红纸 45 张,绿纸 20 张,黄纸 25 张。

第十一讲

份数法

————————————————姚老师数学乐园 广安岳池 姚文国

把应用题中的数量关系转化为份数关系,并确定某一个已知数或未知数为 1 份数,然后先求出这个 1 份数,再以 1 份数为基础,求出所要求的未知数的解题 方法,叫做份数法。 (一)以份数法解和倍应用题 已知两个数的和及两个数的倍数关系,求这两个数的应用题叫做和倍应用 题。 例 1 某林厂有杨树和槐树共 320 棵,其中杨树的棵数是槐树棵数的 3 倍。求 杨树、槐树各有多少棵?(适于四年级程度) 解:把槐树的棵数看作 1 份数,则杨树的棵数就是 3 份数,320 棵树就是(3 +1)份数。 因此,得: 320÷(3+1)=80(棵)???????槐树 80×3=240(棵)???????杨树 答略。

例 2 甲、乙两个煤场共存煤 490 吨,已知甲煤场存煤数量比乙煤场存煤数 量的 4 倍少 10 吨。甲、乙两个煤场各存煤多少吨?(适于四年级程度) 解: 题中已经给出两个未知数之间的倍数关系:甲煤场存煤数量比乙煤场存 煤数量的 4 倍少 10 吨。因此可将乙煤场的存煤数量看作 1 份数,甲煤场的存煤 数量就相当于乙煤场存煤数量的 4 倍(份)数少 10 吨,两个煤场所存的煤 490 吨就是(1+4)份数少 10 吨,(490+10)吨就正好是(1+4)份数。 所以乙场存煤: (490+10)÷(1+4) =500÷5 =100(吨) 甲场存煤: 490-100=390(吨) 答略。 例 3 妈妈给了李平 10.80 元钱,正好可买 4 瓶啤酒,3 瓶香槟酒。李平错买 成 3 瓶啤酒,4 瓶香槟酒,剩下 0.60 元。求每瓶啤酒、香槟酒各是多少钱?(适 于五年级程度) 解:因为李平用买一瓶啤酒的钱买了一瓶香槟酒,结果剩下 0.60 元,这说 明每瓶啤酒比每瓶香槟酒贵 0.60 元。把每瓶香槟酒的价钱看作 1 份数,则 4 瓶 啤酒、3 瓶香槟酒的 10.80 元钱就是(4+3)份数多(0.60×4)元,(10.80-0. 60×4)元就正好是(4+3)份数。 每瓶香槟酒的价钱是: (10.80-0.60×4)÷(4+3) =8.4÷7 =1.2(元) 每瓶啤酒的价钱是: 1.2+0.60=1.80(元) 答略。 (二)以份数法解差倍应用题

已知两个数的差及两个数的倍数关系,求这两个数的应用题叫做差倍应用 题。 例 1 三湾村原有的水田比旱田多 230 亩,今年把 35 亩旱田改为水田,这样 今年水田的亩数正好是旱田的 3 倍。该村原有旱田多少亩?(适于五年级程度) 解:该村原有的水田比旱田多 230 亩(图 11-1),今年把 35 亩旱田改为水 田,则今年水田比旱田多出 230+35×2= 300(亩)。根据今年水田的亩数正好 是旱田的 3 倍, 以今年旱田的亩数为 1 份数,则水田比旱田多出的 300 亩就正好 是 2 份数(图 11-2)。

今年旱田的亩数是: (230+35×2)÷ 2 =300÷2 =150(亩) 原来旱田的亩数是: 150+35=185(亩) 综合算式: (230+35×2)÷2+35 =300÷2+35 =150+35 =185(亩) 答略。

*例 2 和平小学师生步行去春游。队伍走出 10.5 千米后,王东骑自行车去 追赶,经过 1.5 小时追上。已知王东骑自行车的速度是师生步行速度的 2.4 倍。 王东和师生每小时各行多少千米?(适于五年级程度) 解:根据“追及距离÷追及时间=速度差”,可求出王东骑自行车和师生步 行的速度差是 10.5÷1.5=7 (千米/小时) 已知骑自行车的速度是步行速度的 2. 。 4 倍,可把步行速度看作是 1 份数,骑自行车的速度就是 2.4 份数,比步行速度 多 2.4-1=1.4(份)。以速度差除以份数差,便可求出 1 份数。 10.5÷1.5÷(2.4-1) =7÷1.4 =5(千米/小时)??????????步行的速度 5×2.4=12(千米/小时)????????????骑自行车的速度 答略。 (三)以份数法解变倍应用题 已知两个数量原来的倍数关系和两个数量变化后的倍数关系, 求这两个数量 的应用题叫做变倍应用题。 变倍应用题是小学数学应用题中的难点。 解答这类题的关键是要找出倍数的 变化及相应数量的变化,从而计算出“ 1”份(倍)数是多少。 *例 1 大、小两辆卡车同时载货从甲站出发,大卡车载货的重量是小卡车的 3 倍。两车行至乙站时,大卡车增加了 1400 千克货物,小卡车增加了 1300 千克 货物,这时,大卡车的载货量变成小卡车的 2 倍。求两车出发时各载货物多少千 克?(适于五年级程度) 解:出发时,大卡车载货量是小卡车的 3 倍;到乙站时,小卡车增加了 130 0 千克货物,要保持大卡车的载货重量仍然是小卡车的 3 倍,大卡车就应增加 1 300×3 千克。 把小卡车增加 1300 千克货物后的重量看作 1 份数,大卡车增加 1300×3 千 克货物后的重量就是 3 份数。而大卡车增加了 1400 千克货物后的载货量是 2 份 数,这说明 3 份数与 2 份数之间相差(1300×3-1400)千克,这是 1 份数,即小 卡车增加 1300 千克货物后的载货量。 1300×3-1400 =3900-1400 =2500(千克)

出发时,小卡车的载货量是: 2500-1300=1200(千克) 出发时,大卡车的载货量是: 1200×3=3600(千克) 答略。 *例 2 甲、乙两个班组织体育活动,选出 15 名女生参加跳绳比赛,男生人数 是剩下女生人数的 2 倍;又选出 45 名男生参加长跑比赛,最后剩下的女生人数 是剩下男生人数的 5 倍。这两个班原有女生多少人?(适于五年级程度) 解:把最后剩下的男生人数看作 1 份数,根据“最后剩下的女生人数是男生 人数的 5 倍”可知,剩下的女生人数为 5 份数。 根据 45 名男生未参加长跑比赛前“男生人数是剩下女生人数的 2 倍”,而 最后剩下的女生人数是 5 份数,可以算出参加长跑前男生人数的份数: 5×2=10(份) 因为最后剩下的男生人数是 1 份数,所以参加长跑的 45 名男生是: 10-1=9(份) 每 1 份的人数是: 45÷9=5(人) 因为最后剩下的女生人数是 5 份数,所以最后剩下的女生人数是: 5×5=25(人) 原有女生的人数是: 25+15=40(人) 综合算式: 45÷(5×2-1)×5+15 =45÷9×5+15 =25+15

=40(人) 答略。 (四)以份数法解按比例分配的应用题 把一个数量按一定的比例分成几个部分数量的应用题, 叫做按比例分配的应 用题。 例 1 一个工程队分为甲、乙、丙三个组,三个组的人数分别是 24 人、21 人、 18 人。现在要挖 2331 米长的水渠,若按人数的比例把任务分配给三个组,每一 组应挖多少米?(适于六年级程度) 解:甲、乙、丙三个组应挖的任务分别是 24 份数、21 份数、18 份数,求出 1 份数后,用乘法便可求出各组应挖的任务。 2331÷(24+21+18)=37(米) 37×24=888(米)???????甲组任务 37×21=777(米)???????乙组任务 37×18=666(米)???????丙组任务 答略。 例 2 生产同一种零件,甲要 8 分钟,乙要 6 分钟。甲乙两人在相同的时间内 共同生产 539 个零件。每人各生产多少个零件?(适于六年级程度) 解:由题意可知,在相同的时间内,甲、乙生产零件的个数与他们生产一个 零件所需时间成反比例。 把甲生产零件的个数看作 1 份数,那么,乙生产零件的个数就是:

生产零件的总数 539 个就是:

甲生产的个数:

乙生产的个数:

答略。 (五)以份数法解正比例应用题 成正比例的量有这样的性质:如果两种量成正比例,那么一种量的任意两个 数值的比等于另一种量的两个对应的数值的比。 含有成正比例关系的量,并根据正比例关系的性质列出比例式来解的应用 题,叫做正比例应用题。 这里是指以份数法解正比例应用题。 例 1 某化肥厂 4 天生产化肥 32 吨。照这样计算,生产 256 吨化肥要用多少 天?(适于六年级程度) 解:此题是工作效率一定的问题,工作量与工作时间成正比例。 以 4 天生产的 32 吨为 1 份数, 吨里含有多少个 32 吨, 256 就有多少个 4 天。 4×(256÷32) =4×8 =32(天) 答略。 例 2 每 400 粒大豆重 80 克,24000 粒大豆重多少克?(适于六年级程度) 解:每 400 粒大豆重 80 克,这一数量是一定的,因此大豆的粒数与重量成 正比例。如把 400 粒大豆重 80 克看作 1 份数,则 24000 粒大豆中包含多少个 40 0 粒,24000 粒大豆中就有多少个 80 克。 24000÷400=60(个) 24000 粒大豆的重量是: 80×60=4800(克) 综合算式:

80×(24000÷400)=4800(克) 答略。 (六)以份数法解反比例应用题 成反比例的量有这样的性质:如果两种量成反比例,那么一种量的任意两个 数值的比,等于另一种量的两个对应数值的比的反比。 含有成反比例关系的量,并根据反比例关系的性质列出比例式来解的应用 题,叫做反比例应用题。 这里是指以份数法解反比例应用题。 例 1 有一批水果,每箱装 36 千克,可装 40 箱。如果每箱多装 4 千克,需要 装多少箱?(适于六年级程度) 解:题中水果的总重量不变,每箱装的多,则装的箱数就少,即每箱装的重 量与装的箱数成反比例。 如果把原来要装的 40 箱看做 1 份数,那么现在需要装的箱数就是原来要装 箱数的:

现在需要装的箱数是:

答略。

天的用煤量看做 1 份数,那么改进炉灶后每天的用煤量是原来每天用煤量 的:

用煤天数与每天用煤量成反比例,原来要用 24 天的煤,现在可以用的天数 是:

答略。 (七)以份数法解分数应用题 分数应用题就是指分数的三类应用题,即求一个数的几分之几是多少;求一 个数是另一个数的几分之几;已知一个数的几分之几是多少,求这个数。 例 1 长征毛巾厂男职工人数比女职工人数少 1/3,求女职工人数比男职工人 数多百分之几?(适于六年级程度) 解:从题中条件可知,男职工人数相当于女职工人数的:

如果把女职工人数看作 3 份,那么男职工人数就相当于其中的 2 份。 所以,女职工人数比男职工人数多: (3-2)÷2=50% 答略。

那么黄旗占:

如果把 21 面黄旗看作 1 份数,总数量“1”中包含有多少个 7/45,旗的总 面数就是 21 的多少倍。

答略。

棉花谷多少包?(适于六年级程度) 解:由题意可知,甲、乙两个仓库各运走了一些棉花之后,甲仓库剩下

成 8 份时,甲仓库剩下的是 2 份;把乙仓库的棉花分成 5 份时,乙仓库剩下 的也是 2 份。 但是,乙仓库剩下的 2 份比甲仓库剩下的 2 份多 130 包。可以看出,乙仓库 的 1 份比甲仓库的 1 份多出: 130÷2=65(包) 如果把乙仓库原有的棉花减少 5 个 65 包,再把剩下的棉花平均分成 5 份, 这时乙仓库的每一份棉花就与甲仓库的每一份同样多了。 这样, 从两仓库棉花的总数 2600 包中减去 5 个 65 包,再把剩下的棉花平均 分成 13 份(其中甲仓库 8 份,乙仓库 5 份),其中的 8 份就是甲仓库原有的包 数。 (2600-65×5)÷(8+5)×8 =2275÷13×8 =1400(包)???????????甲仓库原有的包数 2600-1400=1200(包)?????乙仓库原有的包数 答略。 (八)以份数法解工程问题

工程问题就是研究工作量、 工作时间及工作效率之间相互关系的问题,这种 问题的工作量常用整体“1”表示。 例 1 一辆快车和一辆慢车同时从甲、乙两站相对开出,经 12 小时相遇。相 遇后,快车又行 8 小时到达乙站。相遇后慢车还要行几小时才能到达甲站?(适 于六年级程度) 解:由“相遇后快车又行 8 小时到达乙站”可知,慢车行 12 小时的路程快 车只需行 8 小时。 把快车行这段路程所需的 8 小时看作 1 份数,则慢车所需的份数是:

答略。 *例 2 加工一批零件,甲单独完成需要 30 天,乙单独完成的时间比甲少

解:由题意可知,甲单独完成需要 30 天,乙单独完成所需天数是:

如果把乙工作的 6 天看作 1 份数,那么甲完成相同的工作量所需时间就

答略。 (九)以份数法解几何题

*例 1 一个正方形被分成了大小、 形状完全一样的三个长方形 (如图 11-3) 。 每个小长方形的周长都是 16 厘米。这个正方形的周长是多少?(适于五年级程 度)

解:在每个长方形中,长都是宽的 3 倍。换句话说,如果宽是 1 份,则长为 3 份,每个长方形的周长一共可分为: 3×2+1×2=8(份) 因为每个长方形的周长为 16 厘米,所以每份的长是: 16÷8=2(厘米) 长方形的长,也就是正方形的边长是: 2×3=6(厘米) 正方形的周长是: 6×4=24(厘米) 答略。 *例 2 长方形长宽的比是 7∶3。如果把长减少 12 厘米,把宽增加 16 厘米, 那么这个长方形就变成了一个正方形。求原来这个长方形的面积。 (适于六年级 程度) 解:根据题意,假设原来长方形的长为 7 份,则宽就是 3 分,长与宽之间相 差: 7-3=4(份) 由于长方形的长要减少 12 厘米,宽增加 16 厘米,长方形才能变成正方形, 因此原长方形长、宽之差为: 12+16=28(厘米) 看得出,4 份与 28 厘米是相对应的,每一份的长度是: 28÷4=7(厘米)

原来长方形的长是: 7×7=49(厘米) 原来长方形的宽是: 7×3=21(厘米) 原来长方形的面积是: 49×21=1029(平方厘米) 答略。

第十二讲

消元法

在数学中,“元”就是方程中的未知数。“消元法”是指借助消去未知数去解应 用题的方法。 当题中有两个或两个以上的未知数时, 要同时求出它们是做不到的。 这时要先消去一些未知数,使未知数减少到一个,才便于找到解题的途径。这种 通过消去未知数的个数, 使题中的数量关系达到单一化, 从而先求出一个未知数, 然后再将所求结果代入原题,逐步求出其他未知数的解题方法叫做消元法。 (一)以同类数量相减的方法消元 例 买 1 张办公桌和 2 把椅子共用 336 元;买 1 张办公桌和 5 把椅子共用 54 0 元。求买 1 张办公桌和 1 把椅子各用多少钱?(适于四年级程度) 解: 这道题有两类数量: 一类是办公桌的张数、 椅子的把数, 另一类是钱数。 先把题中的数量按“同事横对、同名竖对”的原则排列成表 12-1。这就是说, 同一件事中的数量横向对齐,单位名称相同的数量上下对齐。 表 12-1

从表 12-1 第②组的数量减去第①组对应的数量, 有关办公桌的数量便消去, 只剩下有关椅子的数量: 5-2=3(把) 3 把椅子的钱数是:

540-336=204(元) 买 1 把椅子用钱: 204÷3=68(元) 把买 1 把椅子用 68 元这个数量代入原题,就可以求出买 1 张办公桌用的钱 数是: 336-68×2 =336-136 =200(元) 答略。(二)以和、积、商、差代换某数的方法消元 解题时,可用题中某两个数的和,或某两个数的积、商、差代换题中的某个 数,以达到消元的目的。 1.以两个数的和代换某数 *例 甲、乙两个书架上共有 584 本书,甲书架上的书比乙书架上的书少 88 本。两个书架上各有多少本书?(适于四年级程度) 解:题中的数量关系可用下面等式表示: 甲+乙=584 甲+88=乙 ① ②

把②式代入①式(以甲与 88 的和代换乙),得: 甲+甲+88=584 甲×2+88=584 2 甲=584-88 =496 甲=496÷2 =248(本) 乙=248+88

=336(本) 答略。 2.以两个数的积代换某数 *例 3 双皮鞋和 7 双布鞋共值 242 元,一双皮鞋的钱数与 5 双布鞋的钱数相 同。求每双皮鞋、布鞋各值多少钱?(适于四年级程度) 解:因为 1 双皮鞋与 5 双布鞋的钱数相同,所以 3 双皮鞋的钱数与 5×3=15 (双)布鞋的钱数一样多。 这样可以认为 242 元可以买布鞋: 15+7=22(双) 每双布鞋的钱数是: 242÷22=11(元) 每双皮鞋的钱数是: 11×5=55(元) 答略。 3.以两个数的商代换某数 *例 5 支钢笔和 12 支圆珠笔共值 48 元,一支钢笔的钱数与 4 支圆珠笔的钱 数一样多。每支钢笔、圆珠笔各值多少钱?(适于五年级程度) 解: 根据“一支钢笔的钱数与 4 支圆珠笔的钱数一样多”, 可用 12÷4=3 支) ( 的商把 12 支圆珠笔换为 3 支钢笔。 现在可以认为,用 48 元可以买钢笔: 5+3=8(支) 每支钢笔值钱: 48÷8=6(元) 每支圆珠笔值钱: 6÷4=1.5(元)

答略。 4.以两个数的差代换某数 *例 甲、乙、丙三个人共有 235 元钱,甲比乙多 80 元,比丙多 90 元。三个 人各有多少钱?(适于五年级程度) 解:题中三个人的钱数有下面关系: 甲+乙+丙=235 甲-乙=80 甲-丙=90 由②、③得: 乙=甲-80 丙=甲-90 用④、⑤分别代替①中的乙、丙,得: 甲+(甲-80)+(甲-90)=235 甲×3-170=235 甲×3=235+170 =405 甲=405÷3 =135(元) 乙=135-80 =55(元) 丙=135-90 =45(元) 答略。 (三)以较小数代换较大数的方法消元 ④ ⑤ ① ② ③

在用较小数量代换较大数量时,要把较小数量比较大数量少的数量加上,做 到等量代换。 *例 18 名男学生和 14 名女学生共采集松树籽 78 千克,每一名男学生比每 一名女学生少采集 1 千克。每一名男、女学生各采集松树籽多少千克?(适于五 年级程度) 解:题中说“每一名男学生比每一名女学生少采集 1 千克”,则 18 名男生 比女生少采集 1×18=18(千克)。假设这 18 名男生也是女生(以小代大),就 应在 78 千克上加上 18 名男生少采集的 18 千克松树籽。 这样他们共采集松树籽: 78+18=96(千克) 因为已把 18 名男学生代换为女学生,所以可认为共有女学生: 14+18=32(名) 每一名女学生采集松树籽: 96÷32=3(千克) 每一名男学生采集松树籽: 3-1=2(千克) 答略。 (四)以较大数代换较小数的方法消元 在用较大数量代换较小数量时,要把较大数量比较小数量多的数量减去,做 到等量代换。 *例 胜利小学买来 9 个同样的篮球和 5 个同样的足球,共付款 432 元。已知 每个足球比每个篮球贵 8 元, 篮球、 足球的单价各是多少元? (适于五年级程度) 解:假设把 5 个足球换为 5 个篮球,就可少用钱: 8×5=40(元) 这时可认为一共买来篮球: 9+5=14(个) 买 14 个篮球共用钱:

432-40=392(元) 篮球的单价是: 392÷14=28(元) 足球的单价是: 28+8=36(元) 答略。 (五)通过把某一组数乘以一个数消元 当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类数量时, 应通过把某一组数 量乘以一个数,而使同一类数量中有两个数值相等的数量,然后再消元。 *例 2 匹马、3 只羊每天共吃草 38 千克;8 匹马、9 只羊每天共吃草 134 千 克。求一匹马和一只羊每天各吃草多少千克?(适于五年级程度) 解:把题中条件摘录下来,排列成表 12-2。 表 12-2

把第①组中的数量乘以 3 得表 12-3。 表 12-3

第③组的数量中,羊的只数是 9 只;第②组的数量中,羊的只数也是 9 只。 这样便可以从第②组的数量减去第③组的数量,从而消去羊的只数,得到 2 匹马 吃草 20 千克。 一匹马吃草: 20÷2=10(千克)

一只羊吃草: (38-10×2)÷3 =18÷3 =6(千克) 答略。 (六)通过把两组数乘以两个不同的数消元 当应用题的两组数量中没有数值相等的两个同类的数量, 并且不能通过把某 一组数量乘以一个数, 而使同一类的数量中有两个数值相等的数,而达到消元的 目的时, 应当通过把两组数量分别乘以两个不同的数,而使同一类的数量中有两 个数值相等的数,然后再消元。 *例 1 买 3 块橡皮和 6 支铅笔用 1.68 元钱,买 4 块橡皮和 7 支铅笔用 2 元 钱。求一块橡皮和一支铅笔的价格各是多少钱?(适于五年级程度) 解:把题中条件摘录下来排列成表 12-4。 表 12-4

要消去一个未知数, 只把某一组数乘以一个数不行,要把两组数分别乘以两 个不同的数,从而使两组数中有对应相等的两个同一类的数。因此,把第①组中 的各数都乘以 4,把第②组中的各数都乘以 3,得表 12-5。 表 12-5

③-④得:3 支铅笔用钱 0.72 元,一支铅笔的价格是: 0.72÷3=0.24(元)

一块橡皮的价格是: (1.68-0.24×6)÷3 =(1.68-1.44)÷3 =0.24÷3 =0.08(元) 答略。 *例 2 有大杯和小杯若干个,它们的容量相同。现在往 5 个大杯和 3 个小杯 里面放满砂糖,共 420 克;又往 3 个大杯和 5 个小杯里面放满砂糖,共 380 克。 求一个大杯和一个小杯分别可以放入砂糖多少克?(适于五年级程度) 解:摘录题中条件排列成表 12-6。 表 12-6

把表 12-6 中①组各数都乘以 5,②组各数都乘以 3,得表 12-7。 表 12-7

③-④得:16 大杯放砂糖 960 克,所以, 一个大杯里面可以放入砂糖: 960÷16=60(克) 一个小杯里面可以放入砂糖: (420-60×5)÷3

=(420-300)÷3 =40(克) 答略。

第十三讲

比较法

通过对应用题条件之间的比较, 或难解题与易解题的比较,找出它们的联系与区 别,研究产生联系与区别的原因,从而发现解题思路的解题方法叫做比较法。 在用比较法解应用题时,有些条件可直接比较,有些条件不能直接比较。在 条件不能直接比较时,可借助画图、列表等方法比较,也可适当变换题目的陈述 方式及数量的大小,创造条件比较。 (一)在同一道题内比较 在同一道题内比较, 就是在同一道题的条件与条件、 数量与数量之间的比较, 不涉及其他题目。 1.直接比较 例 1 五年级甲班要种一些树。如果每人种 5 棵,则剩下 75 棵;如果每人种 7 棵,则缺 15 棵。问这个班有多少人?这批树苗有多少棵?(适于四年级程度) 解:将两种分配方案进行比较,就会发现,第二次比第一次每人多种: 7-5=2(棵) 第二次比第一次多种: 75+15=90(棵) 90 棵中含有多少个 2 棵就是全班的人数: 90÷2=45(人) 这批树苗的棵数是: 5×45+75=300(棵) 或 7×45-15=300(棵) 答略。

*例 2 四季茶庄购进两批茶叶,第一批有 35 箱绿茶和 15 箱红茶,共重 292 5 千克。第二批有 35 箱绿茶和 28 箱红茶,共重 3640 千克。两种茶叶每箱各重 多少千克?(适于五年级程度) 解:将前后两批茶叶的箱数与箱数、重量与重量分别比较,可发现,第二批 红茶箱数比第一批红茶箱数多: 28-15=13(箱) 第二批红茶比第一批红茶多: 3640-2925=715(千克) 因此,可得每一箱红茶重量: 715÷13=55(千克) 每一箱绿茶重量: (2925-55×15)÷35 =(2925-825)÷35 =2100÷35 =60(千克) 答略。 2.画图比较 有些应用题由于数量关系复杂、抽象,不便于通过直接推理、比较看出数量 关系,可借助画图作比较,就容易看出数量关系。

解:作图 13-1,比较已修过米数与未修过米数的关系。

可看出,这段公路一共分为(7+2)份。

答略。 3.列表比较 有些应用题适于借助列表的方法比较条件。在用列表的方法比较条件时,要 把题中的条件摘录下来,尽量按“同事横对,同名竖对”的格式排列成表。这就 是说,要尽量使同一件事情的数量横着对齐,使单位名称相同的数量竖着对齐。 例 赵明准备买 2 千克苹果和 3 千克梨,共带 6.8 元钱。到水果店后,他买 了 3 千克苹果和 2 千克梨,结果缺了 0.4 元钱。求每千克苹果、梨各多少元钱? (适于五年级程度) 解:摘录已知条件排列成表 13-1。 表 13-1

比较①、②两组数量会看出:由于多买了 1 千克苹果,少买了 1 千克梨,才 缺了 0.4 元。 可见 1 千克苹果比 1 千克梨贵 0.4 元。 从买 2 千克苹果、3 千克梨的 6.8 元中去掉买 2 千克苹果多用的钱,便可以 把买 2 千克苹果当成买 2 千克梨,则一共买梨(2+3)千克,用钱: 6.8-0.4×2=6(元) 每千克梨的价钱是:

6÷(2+3)=1.2(元) 每千克苹果的价钱是: 1.2+0.4=1.6(元) 答略。(二)和容易解的题比较 当一道应用题比较复杂时, 可先回忆过去是不是学过类似的、 较容易解的题, 回忆起来后,可进行比较,找出联系,从而找到解题途径。 1.与常见题比较 例 4 名骑兵轮流骑 3 匹马,行 8 千米远的路程,每人骑马行的路程相等。 求每人骑马行的路程是多少?(适于四年级程度) 小学生对这类题不易理解,如与下面的常见题作比较就容易理解了。 有 3 篮苹果,每篮 8 个,平均分给 4 人,每人得几个? 把这两道题中的条件都摘录下来,一一对应地排列起来: 3 匹马?????????3 篮苹果 每匹马都行 8 千米????每篮都装 8 个苹果 4 人骑马行的路程相等??4 人得到的苹果一样多 解答“苹果”这道题的方法是: 8×3÷4 通过这样的比较,自然会想出解题的方法。 解:8×3÷4=6(千米) 答:每人骑马行的路程是 6 千米。 2.与基本题比较 例 甲、乙两地相距 10.5 千米,某人从甲地到乙地每小时走 5 千米,从乙地 到甲地每小时走 3 千米。 求他往返于甲、 乙两地的平均速度。 (适于五年级程度) 在解答此题时,有的同学可能这样解: (5+3)÷2=4(千米)。这是错误的。 把上题与下面的题作比较,就会发现问题。

甲、乙两地相距 12 千米,某人从甲地到乙地走了 4 小时,他每小时平均走 多少千米? 解此题的方法是:12÷4=3(千米)。这是总路程÷总的时间=平均速度。 前面的解法不符合“总路程÷总时间=平均速度”这个公式, 所以是错误的。 解:本题的总路程是: 10.5×2 总时间是: 10.5÷5+10.5÷3 所以他往返的平均速度是: 10.5×2÷(10.5÷5+10.5÷3)=3.75(千米/小时) 答略。 3.把逆向题与顺向题比较 例 王明与李平共有糖若干块。王明的糖比李平的糖多

题,不易找出解题方法。 把这道题与类似的一道顺向思维的题比较一下,就可得出解题方法。

答略。 (三)创造条件比较 对那些不能以题中现有条件与相关条件进行比较的应用题,应适当变换条 件,创造可以比较的条件,再进行比较。 *例 1 学校食堂第一次买来 2 袋大米和 3 袋面粉,共 275 千克;第二次买来 5 袋大米和 4 袋面粉,共 600 千克。求 1 袋大米和 1 袋面粉各重多少千克?(适 于五年级程度)解:摘录题中条件,列成表 13-2。 表 13-2

从表 13-2 中的条件看,题中条件不能直接比较。此时要创造条件比较。 因为大米袋数 2 和 5 的最小公倍数是 10, 所以把第一次买来的袋数 2 乘以 5 (把面粉的袋数 3,重量 275 也要乘以 5),把第二次买来的袋数乘以 2(把面 粉的袋数 4,重量 600 也要乘以 2),得表 13-3。 此时题中条件便可以比较了。 表 13-3

看表 13-3,把两次买来粮食的数量比较一下,大米的袋数相同,面粉第一 次比第二次多买: 15-8=7(袋) 因此,第一次买的粮食比第二次多: 1375-1200=175(千克) 每袋面粉重:

175÷7=25(千克) 每袋大米重: (275-25×3)÷2 =(275-75)÷2 =100(千克) 答略。 *例 2 1 支铅笔、2 块橡皮、3 把卷笔刀共值 2.35 元;2 支铅笔、3 块橡皮、 4 把卷笔刀共值 3.30 元;3 支铅笔、3 块橡皮、5 把卷笔刀共值 4.05 元。求 1 支铅笔、1 块橡皮、1 把卷笔刀各值多少钱?(适于五年级程度) 解:摘录题中条件排列成表 13-4。 表 13-4

从表 13-4 看,题中条件不能直接比较。因此,要创造条件比较。 因为橡皮的块数 2、3、3 的最小公倍数是 6,所以①×3,②×2,③×2, 得表 13-5。此时题中条件便可以比较了。 表 13-5

⑥-⑤,得: 2 支铅笔价钱+2 把卷笔刀价钱=1.5(元),即, 1 支铅笔价钱+1 把卷笔刀价钱=0.75(元)??????????⑦

⑥-④,得: 3 支铅笔价钱+1 把卷笔刀价钱=1.05(元)??????????⑧ ⑧-⑦,得: 2 支铅笔价钱=0.30(元) 1 支铅笔价钱=0.15(元) 把 1 支铅笔价钱 0.15 元代入⑦,得出 1 把卷笔刀的价钱是: 0.75-0.15=0.60(元) 根据①可求出一块橡皮的价钱数: (2.35-0.15-0.6×3)÷2 =0.4÷2 =0.2(元) 答略。 *例 3 甲、乙两人共需做 140 个零件,甲做了自己任务的 80%,乙做了自己 任务的 75%,这时甲、乙共剩下 32 个零件未完成。求甲、乙两人各需做多少个 零件?(适于六年级程度) 解:已知“甲做了自己任务的 80%,乙做了自己任务的 75%”后共剩下 32 个零件,甲、乙两人所做零件个数不相等,因此,甲所做零件的 80%与乙所做 零件的 75%不可直接比较。此时就要创造条件比较了。 已知甲做自己任务的 80%,假设乙也做自己任务的 80%,那么甲乙就共剩 下零件: 140×(1-80%)=28(个) 这比原来已知的“甲、乙共剩下 32 个零件”少: 32-28=4(个) 这 4 个所对应的分率是: 80%-75%=5% 所以,乙需做的零件是:

4÷5%=80(个) 甲需做的零件是: 140-80=60(个) 答略。

第十四讲

演示法

对于那些不容易理解和分析数量关系的应用题,利用身边现成的东西,如铅 笔、橡皮、小刀、文具盒等,进行演示,使应用题的内容形象化,数量关系具体 化,这种解题的方法叫做演示法。 例 1 一根绳子正好围成一个边长为 5 分米的正方形。如果用它围成长是 8 分米的长方形,问其宽应当是多少分米?(适于三年级程度) 解:对这道题一般同学都会用这样的方法解答: 5×4÷2-8=2(分米) 然而这并不是最简捷的解法,要用更简捷的解法,我们可以做下面的试验:

(1)用一根细铁丝围成一个边长是 5 分米的正方形(图 14-1)。 (2)把正方形的细铁丝从 C 点断开。 这时 ABC 部分、CDA 部分都是正方形边长的 2 倍。 (3)把 ABC 那部分(或 CDA 部分)拉直,折出 8 分米长的一段与另一段成 90° 的角(图 14-2)。此时会看到 8 分米长的这一段是长方形的长,与 8 分米 长的边成直角的那一段是长方形的宽。

到此,很容易得出,求长方形的宽也可以用下面的方法: 5×2-8=2(分米) 答略。 *例 2 有一列火车,长 120 米,以每小时 18 千米的速度通过一座长 150 米 的隧道。 求从火车头进隧道到火车尾部离开隧道共需要多长时间?(适于五年级 程度) 解: 求火车过隧道的时间, 必须知道过隧道的速度和所行的路程。 速度已知, 因此,解此题的关键是求出火车头从进隧道到火车尾部离开隧道所行的路程。 为弄清这个问题,我们做下面的演示。 用文具盒当隧道,用铅笔当火车。

用图 14-3 表示火车刚刚要进隧道时的情景, 用图 14-4 表示火车车尾正好离 开隧道时的情景。 从图 14-4 可看出:火车从车头进隧道,到车尾离开隧

道,所行的路程等于隧道长与车身长之和。 到此,便可求出火车头从进隧道到车尾离开隧道所用的时间。

分步列式计算: (1)火车每秒行: 1000×18÷3600=5(米) (2)火车通过隧道共行的米数: 150+120=270(米) (3)火车通过隧道需时间是: 270÷5=54(秒) 综合算式: (150+120)÷(1000×18÷3600) =270÷5 =54(秒) 答略。 *例 3 兄弟二人早晨五点钟各推一车菜,同时从家里出发去集市。哥哥每分 钟走 100 米,弟弟每分钟走 60 米。哥哥到达集市后 5 分钟卸完菜,立即返回, 途中遇到弟弟,这时是 5 点 55 分。问集市离他们家有多远?(适于五年级程度) 解:本题可用橡皮、瓶盖分别代表“家”与“集市”,放在桌面的两端,用 两支铅笔代表兄弟二人实际走一走。如(图 14-5)。

图 14-5 实线表示弟弟走的路程,虚线表示哥哥走的路程。从演示中可以看 出兄弟二人共走的路程是从家到集市路程的 2 倍。 因此,只要求出兄弟二人共走了多少路,就可求出家到集市的路程。 [60×55+100×(55-5)]÷2 =[3300+5000]÷2

=4150(米) 答略。 *例 4 一个 5 分米高的圆柱体,它的侧面积是 62.8 平方分米,求圆柱体的 体积。(适于六年级程度) 解:要求圆柱体的体积就要知道圆柱底面圆的半径是多少。从表面看,题中 没有告诉圆柱底面圆的半径是多少,这可怎么办呢?做了下面的演示,问题就得 到解决了。 用一张长方形的纸卷成一个圆柱形,再把圆柱形展开,展开后看到圆柱形的 侧面是个长方形。 长方形的宽就是圆柱的高, 长方形的长就是圆柱底面圆的周长。 知道了圆柱底面圆的周长,就能算出圆柱体底面圆的半径。 (1)圆柱体底面圆的周长是: 62.8÷5=12.56(分米) (2)圆柱体底面圆的半径是: 12.56÷3.14÷2=2(分米) (3)圆柱体的体积是: 3.14×2×2×5=62.8(立方分米) 答略。 *例 5 从三点钟到四点钟之间,钟面上时针和分针什么时刻会重合?什么时 刻成一直线?(适于高年级程度) 解: 此题很抽象, 可用有活动指针的时钟教具做演示来理解题中的数量关系。

看图 14-6,因为钟的指针是顺时针方向转动的,所以在 3 点钟时,时针在 分针前面。要使两针重合,分针就要追上时针。 我们把分针转动一圈,即分针走 60 小格,时针才走 5 个小格,因此,在

分针要与时针成一条直线,分针不仅要追上时针 15 格的距离,还要超过 30 格的距离,总计要“追”(15+30)格的距离。“追”(15+30)格的路程要用多 长时间呢?

时针成一条直线。 答略。 *例 6 一列快车全长 151 米,每秒钟行 15 米,一列慢车全长 254 米,每秒 钟行 12 米。两车相对而行,从相遇到离开要用几秒钟?(适于五年级程度) 解: 要求两车从相遇到离开要用几秒钟,必须知道两车从相遇到离开走多长 的路程。 为弄清这个问题,我们做下面的演示: 用一支铅笔作慢车,用另一支铅笔作快车。先让它们相遇(图 14-7),再 让它们从相对运行到正好离开(图 14-8)。 看图 14-8 会想到:两车共行的路程是两个车身长的和。 到此,可算出:

(151+254)÷(15+12) =405÷27 =15(秒) 答:两车从相遇到离开需要 15 秒钟。

第十五讲

列表法

把应用题中的条件简要地摘录下来,列表分类整理、排列,并借助这个表格 分析、解答应用题的方法叫做列表法。 在用列表法解题时,要仔细判断题中哪些数量是同一件事中直接相关联的, 哪些数量是同一类的。排列数量时,要尽量做到“同事横对”,“同名竖对”。 这就是说,要使同一件事中直接相关联的数量横向排列,使同一类的、单位名称 相同的数量竖着排列,还要使它们的数位上、下对齐。 这样就可以在读题、列表的过程中正确识别数量,选择数量,理解数量之间 的联系、区别,理清思路,为下一步的分析、推理作好准备。 (一)通过列表突出题目的解法特点 有些应用题的解法具有一定的特点,如果把题中的条件按一定的格式排列, 整理成表,则表格会起到突出题目解法特点的作用。 例 1 桌子上放着黄、红、绿三种颜色的塑料碗。3 只黄碗里放着 51 个玻璃 球,5 只红碗里放着 75 个玻璃球,2 只绿碗里放着 24 个玻璃球。要使每只碗里 玻璃球的个数相同,每只碗里应放多少个玻璃球?(适于四年级程度) 解:摘录题中条件,排列成表 15-1。 表 15-1

求每只碗里应放多少个球, 要先求出一共有多少个碗,和在这些碗中一共放 了多少个球。由于表 15-1 中把碗的只数排列在前一竖行,把球的个数排列在另

一竖行,所以只要看着表 15-1 中竖着排列的碗的只数和球的个数,便可算出碗 的总数和玻璃球的总数,从而使问题得以解决。 (51+75+24)÷(3+5+2) =150÷10 =15(只) 答:平均每只碗里应放 15 个玻璃球。 例 2 荒地村砂场用 3 辆汽车往火车站运送砂子,5 天运了 180 吨。照这样计 算,用 4 辆同样的汽车 15 天可以运送多少吨砂子?(适于四年级程度) 解:摘录题中条件,排列成表 15-2。 表 15-2

解此题的要点是先求出单位数量。表 15-2 中,由于汽车的辆数、运送的天 数和吨数这三个直接相关联的数量排在同一横行,因此便于想到,180÷5 得到 3 辆车 1 天运多少吨,180÷5÷3 就得到一辆车一天运多少吨;接着便可想到求出 4 辆车 1 天运多少吨,15 天运多少吨。 求 4 辆车 15 天运送多少吨砂子的方法是: 180÷5÷3×4×15 =12×4×15 =720(吨) 答略。 例 3 甲校买 8 个排球,5 个篮球,共用 415 元,乙校买同样的 4 个排球、5 个篮球,共用 295 元。求买一个排球需要多少钱?(适于四年级程度) 解:摘录题中条件,排列成表 15-3。 表 15-3

从表 15-3 可以看出,甲、乙二校所买篮球的个数一样多,甲校比乙校多用 钱: 415-295=120(元) 甲校比乙校多买排球数是: 8-4=4(个) 所以,每个排球的卖价是: 120÷4=30(元) 答略。 例 4 要把卖 5 角钱 500 克的红辣椒和卖 3 角 5 分钱 500 克的青辣椒混合起 来,卖 4 角 1 分钱 500 克,应按怎样的比例混合,卖主和顾客才都不吃亏?(适 于六年级程度) 解:摘录题中条件,排列成表 15-4(为便于计算,表中钱数都以“分”为 单位)。 表 15-4

要使卖主与买主都不吃亏, 就要使红辣椒损失的钱数与青辣椒多收入的钱数 一样多。由表 15-4 可看出,当红辣椒损失 18 分,青辣椒多收入 18 分时,恰好 达到要求。 因为每 500 克红辣椒与青辣椒混合时,红辣椒要少卖 9 分钱,当损失 18 分 时,则有 500×2 克红辣椒;同理,青辣椒与红辣椒混合时,每 500 克青辣椒要 多卖 6 分钱,要多卖 18 分时,就要有 3 个 500 克才行,即 500×3 克青辣椒。 所以,红辣椒与青辣椒混合的比应是:

500×2∶500×3=2∶3 答略。 *例 5 甲种酒每 500 克卖 1 元 4 角 4 分,乙种酒每 500 克卖 1 元 2 角,丙种 酒每 500 克卖 9 角 6 分。现在要把三种酒混合成每 500 克卖 1 元 1 角 4 分的酒, 其中乙种酒与丙种酒的比是 3∶2。求混合酒中三种酒的重量比。(适于六年级 程度) 解:设混合酒中甲种酒占的份数是 x,为便于计算题中钱数都以“分”为单 位。摘录题中条件,排列成表 15-5。 表 15-5

从表 15-5 可以看出,当三种酒的混合比是 x∶3∶2,混合酒的价钱是 114 分时,混合酒中每 500 克甲种酒要损失(少卖)30 分钱,每 500 克乙种酒要损 失 6 分钱,而每 500 克丙种酒要收益(多卖)18 分钱。 当乙、丙两种酒的混合比是 3∶2 时,假设乙、丙两种酒分别是 1.5 千克、1 千克,则这两种酒的混合液可以多卖钱: 18×2-6×3=18(分) 当三种酒按 x∶3∶2 的比例混合时, 收益的 18 分钱应与甲种酒的损失抵消。 因为三种酒混合时, 500 克甲种酒损失 30 分,所以 18 分是 30 分的几分之几, 每 甲种酒在三种酒的混合液中就占 500 克的几分之几:

答:混合酒中三种酒的重量比是 3∶15∶10。 (二)通过列表暴露题目的中间问题

解答复合应用题的关键, 是找出解答最后问题所需要的中间问题 (隐藏量) , 应用题的步骤越多,需要找出的中间问题就越多,解答的过程就越复杂。 在用列表法解应用题时,由于题中数量是按“同事横对,同名竖对”的规律 排列在表中, 所以便于思考求最后的问题需要哪些数量,这些数量中哪些是已知 的、哪些是未知的中间问题。同时也便于思考怎样求出中间问题,并在必要时把 求中间问题的算式写在表中。这样,中间问题便暴露于表格中,和已知数处于平 等的地位,从而排除了思维道路上的障碍,减轻了解题的难度。 *例 1 张老师买了 2 千克苹果,3 千克梨,共用 5 元钱。王老师买的苹果是 张老师的 2 倍, 买的梨是张老师的 3 倍, 比张老师多用 6.8 元。 问每一千克苹果、 每一千克梨的价钱各是多少元?(适于五年级程度) 解:摘录题中条件,排列成表 15-6。 表 15-6 中,由于张老师买的苹果是 2 千克、梨是 3 千克,共用 5 元钱,都 已写在表中,因此很容易在表中写出王老师买的苹果是 2×2 千克,王老师买的 苹果恰好是张老师的 2 倍,也很容易写出王老师买的梨是 3×3 千克,王老师买 的梨比张老师的 2 倍多 3×(3-2)千克,即多 3 千克。 表 15-6

王老师共用钱(5+6.8)元,王老师买水果用的钱比张老师买水果用的钱的 2 倍多: (5+6.8)-5×2=1.8(元) 这 1.8 元就是买 3 千克梨用的钱,所以 1 千克梨的价钱是: 1.8÷3=0.6(元) 1 千克苹果的价钱是: (5-0.6×3)÷2 =(5-1.8)÷2 =1.6(元)

答略。 *例 2 有甲、乙、丙三桶油,先取出甲桶油的一半,平均倒在乙、丙两桶中; 再取出乙桶油的一半,平均倒在甲、丙两桶中;最后取出丙桶油的一半,平均倒 在甲、 乙两桶中。 这时 3 桶油正好都是 16 千克。 问原来每桶中各有油多少千克? (适于高年级程度) 解:此题的中间量比较多,需要从题中最后的结果逐步往前推理,把推出的 结果写在表中,就能求出原来每桶各有多少千克油。看表 15-7。 表 15-7

(1)由于最后取出丙桶油的一半,平均倒在甲、乙两桶中,3 桶油正好都 是 16 千克,因此在表 15-7 中,横向写上甲、乙、丙三桶油都是 16 千克。而在 丙桶未向甲、乙两桶倒油之前,丙桶中有油: 16×2=32(千克) 丙桶油的一半是 16 千克, 把这 16 千克平均倒在甲乙两桶中时,倒入每一桶 的油是: 16÷2=8(千克) 所以,在丙桶未向甲、乙两桶倒油时,即“再取出乙桶油的一半,平均倒在 甲、丙两桶中”后,甲、乙两桶中分别有油 8 千克。 在表 15-7 中,乙倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油 8 千 克、8 千克、32 千克。 (2)根据取出乙桶油的一半平均倒在甲、丙两桶中后,乙桶中还剩 8 千克 油, 甲桶中有油 8 千克, 丙桶中有油 32 千克, 可以推出原来乙桶中有油 16 千克, 乙桶油的一半是: 16÷2=8(千克) 8 千克的一半是 4 千克。所以,在乙桶未向甲、丙两桶倒油之前,即“取出 甲桶油的一半,平均倒在乙、丙两桶中”后,甲桶中有油:

8-4=4(千克) 丙桶中有油: 32-4=28(千克) 在表 15-7 中,甲倒完后一栏的后面横向写上甲、乙、丙三桶分别有油:4 千克、16 千克、28 千克。 (3)由“取出甲桶油的一半,平均倒在乙、丙两桶中”之后,甲桶中还剩 下 4 千克油,可以推出甲桶原来有油: 4×2=8(千克) 8 千克的一半是 4 千克,4 千克的一半是 2 千克。由甲桶向乙、丙两桶倒完 油后,乙、丙两桶分别有油 16 千克,28 千克,由此可推出乙、丙两桶原来分别 有油: 16-2=14(千克) 28-2=26(千克) 答略。

第十六讲

倍比法

解应用题时,先求出题中两个对应的同类数量的倍数,再通过“倍数”去求未知 数,这种解题的方法称为倍比法。 (一)用倍比法解归一问题 可以用倍比法解答的应用题一般都可以用归一法来解(除不尽时,可以用分 数、小数来表示),但用倍比法解答要比用归一法简便。实际上,倍比法是归一 法的特殊形式。为计算方便,在整数范围内,如果用归一法除不尽时,可以考虑 用倍比法来解。反之,运用倍比法除不尽时,也可以考虑改用归一法来解。要根 据题目中的具体条件,选择最佳解法。 例 1 一台拖拉机 3 天耕地 175 亩。照这样计算,这台拖拉机 15 天可以耕地 多少亩?(适于三年级程度) 解:这道题实质上是归一问题。要求 15 天耕地多少亩,只要先求出每天耕 地多少亩就行了。 175 不能被 3 整除,所以在整数范围内此题不便用归一法来 但 解。 因题目中的同一类数量 (两个天数) 之间成倍数关系 (15 天是 3 天的 5 倍) , 并且拖拉机的工作效率又相同,所以另一类量(两个耕地亩数)之间也必然有相 同的倍数关系(15 天耕地亩数也应是 3 天耕地亩数的 5 倍)。

先求 15 天是 3 天的几倍: 15÷3=5(倍) 再求 175 亩的 5 倍是多少亩: 175×5=875(亩) 综合算式: 175×(15÷3) =175×5 =875(亩) 答:15 天可以耕地 875 亩。 例 2 3 台拖拉机一天耕地 40 亩。要把 160 亩地在一天内耕完,需要多少台 同样的拖拉机?(适于三年级程度) 解:先求出 160 亩是 40 亩的几倍: 160÷40=4(倍) 再求耕 160 亩地需要多少台同样的拖拉机: 3×4=12(台) 综合算式: 3×(160÷40) =3×4 =12(台)例 3 工厂运来 52 吨煤,先用其中的 13 吨炼出 9750 千克焦炭。 照这样计算,剩下的煤可以炼出多少千克焦炭?(适于四年级程度) 用归一法解: 先求出每吨煤可炼出多少千克焦炭,再求出剩下的煤可以炼多 少千克焦炭: 9750÷13×(52-13) =750×39 =29250(千克)

用倍比法解:先求出 52 吨里有几个 13 吨,然后去掉已炼的一个 13 吨,得: 9750×(52÷13-1) =29250(千克) 答略。 例 4 某粮食加工厂,3 台磨粉机 6 小时磨小麦 1620 千克。照这样计算,5 台磨粉机 8 小时可以磨小麦多少千克?(适于五年级程度) 用归一法解: 1620÷3÷6×5×8 =540÷6×5×8 =90×5×8 =3600(千克) 用倍比法解:把一台磨粉机工作 1 小时看作一个新的量--1 台小时,3 台磨 粉机工作 6 小时, 就是 3×6 台小时, 台磨粉机工作 8 小时, 5 就是 5×8 台小时。 只要求出 5×8 台小时是 3×6 台小时的几倍, 那么 5 台磨粉机 8 小时磨的小麦就 是 1620 千克小麦的几倍。

答略。 例 5 甲、乙两辆车分别从东、西两城同时相对开出,4 小时后相遇,相遇后 甲车再经过 2 小时到达西城。 求乙车再经过几小时可以到达东城?(适于五年级 程度) 解:用图 16-1 表示题中的数量关系。

看图 16-1 中两车相遇点右侧的路程,甲、乙所走的路程一样长。但走这段 路,甲用了 2 小时,乙却用了 4 小时。就是说,走同样的路程时,乙用的时间是 甲的 4÷2=2 倍。再看相遇点左侧的路程,甲走这段路程用了 4 小时,因为走同 样长的路程时乙用的时间是甲的 2 倍,所以,乙由相遇点到达东城的时间是 4 小时的 2 倍。 4×(4÷2)=8(小时) 答:乙车再过 8 小时可以到达东城。 (二)用倍比法解工程问题 用倍比法解工程问题,不用设总工作量为“1”,学生较易理解,尤其是解 某些较复杂的工程问题,用倍比法解比较简捷。 例 1 一项工程,由甲工程队修建,需要 20 天完成;由乙工程队修建,需要 30 天完成。两队合修需要多少天完成?(适于六年级程度) 解:因为甲工程队修建 20 天的工作量相当于乙工程队修建 30 天的工作

在把乙队 30 天的工作量看作总工作量时,乙队一天修的工作量是 1,则

=12(天)

答略。 例 2 一件工作单独由一个人完成,甲要用 8 小时,乙要用 12 小时。若甲先 单独做 5 小时, 剩下的由乙单独做完, 则乙需要做多少小时? (适于六年级程度) 解:因为甲 8 小时的工作量相当于乙 12 小时的工作量,所以,甲 1 小时

作量,剩下的便是乙单独做完这项工作所需要的时间:

在把甲 8 小时的工作量看作工作总量时,甲 1 小时的工作量是 1,则乙

答略。 例 3 某工程由甲、乙两队合做 12 天完成,现在两队合做 4 天后,余下的再 由甲队单独做 10 天可以完成。问甲队单独完成这项工程需要多少天?(适于六 年级程度) 解: 乙两队合做 4 天后, 甲、 再共同完成剩下的工作量, 需要的天数是 12-4=8 (天)。这 8 天的工作量是甲、乙需合做 8 天才能完成的工作量。

这 8 天的工作量,甲单独做 10 天完成,就是说,甲、乙合做 1 天的工作

(天),再加上后来甲单独工作的 10 天,便可得到甲队单独完成这项工程 需要的天数:

答略。 例 4 一项工程,甲单独做 10 天完成,乙单独做 15 天完成。现在先由乙队 做若干天后,甲再参加,4 天就做完了。那么乙先单独做了多少天?(适于六年 级程度) 解: 因为这项工程, 甲单独做 10 天完成, 而甲只做了 4 天, 所以 10-4=6 天) ( , 这 6 天的工作量是由乙做的。而乙 1 天的工作量是甲 1 天工作量的

去掉乙后来与甲合做的 4 天,便得到乙先头单独做的天数:

答略。 *例 5 甲、乙两人同做一件工作,甲做 4 天的工作量,等于乙做 3 天的工作 量,若由甲单独做这项工作需要 12 天完成。现在甲、乙两人合做 4 天后,剩下 的工作由乙单独做需要几天完成?(适于六年级程度)

把甲单独做 12 天完成的工作量看作工作总量,从工作总量中减去甲、乙合 做的工作量,剩下的就是乙单独做的工作量。 再把剩下的工作量除以乙 1 天的工作量, 即得到剩下的工作由乙单独做需要 几天完成。

答略。

答略。

第十七讲

逆推法

小朋友在玩“迷宫”游戏时,在纵横交错的道路中常常找不到出口。有些聪明的 小朋友, 反其道而行之, 从出口倒回去找入口, 然后再沿着自己走过的路返回来。 由于从出口返回时, 途径单一, 很快就会找到入口, 然后再由原路退回, “迷 走出 宫”自然就不难了。 解应用题也是这样, 有些应用题用顺向推理的方法很难解答,如果从问题的 结果出发,从后往前逐步推理,问题就很容易得到解决了。 这种从条件或问题反过去想而寻求解题途径的方法,叫做逆推法。

用逆推法解应用题列算式时,经常要根据加减互逆,乘除互逆的关系,把原 题中的加用减算,减用加算;把原题中的乘用除算,除用乘算。 (一)从结果出发逐步逆推 例 1 一个数除以 4,再乘以 2,得 16,求这个数。(适于四年级程度) 解:由最后再乘以 2 得 16,可看出,在没乘以 2 之前的数是: 16÷2=8 在没除以 4 之前的数是: 8×4=32 答:这个数是 32。 *例 2 粮库存有一批大米,第一天运走 450 千克,第二天运进 720 千克,第 三天又运走 610 千克,粮库现有大米 1500 千克。问粮库原来有大米多少千克? (适于四年级程度) 解:由现有大米 1500 千克,第三天运走 610 千克,可以看出,在没运走 61 0 千克之前,粮库中有大米: 1500+610=2110(千克) 在没运进 720 千克之前,粮库里有大米: 2110-720=1390(千克) 在没运走 450 千克之前,粮库里有大米: 1390+450=1840(千克) 答:粮库里原来有大米 1840 千克。

*例 3 某数加上 9 后,再乘以 9,然后减去 9,最后再除以 9,得 9。问这个 数原来是多少?(适于四年级程度) 解:由最后除以 9,得 9,看得出在除以 9 之前的数是: 9×9=81 在减去 9 之前的数是:

81+9=90 在乘以 9 之前的数是: 90÷9=10 在加上 9 之前,原来的数是: 10-9=1 答:这个数原来是 1。 *例 4 解放军某部进行军事训练,计划行军 498 千米,头 4 天每天行 30 千 米,以后每天多行 12 千米。求还要行几天?(适于五年级程度) 解:从最后一个条件“以后每天多行 12 千米”可求出,以后每天行的路程 是: 30+12=42(千米) 从头 4 天每天行 30 千米,可求出已行的路程是: 30×4=120(千米) 行完 4 天后剩下的路程是: 498-120=378(千米) 还要行的天数是: 378÷42=9(天) 综合算式: (498-30×4)÷(30+12) =378÷42 =9(天) 答略。 *例 5 仓库里原有化肥若干吨。第一次取出全部化肥的一半多 30 吨,第二 次取出余下的一半少 100 吨,第三次取出 150 吨,最后剩下 70 吨。这批化肥原 来是多少吨?(适于五年级程度)

解:从“第三次取出 150 吨,最后剩下 70 吨”可看出,在第三次取出之前 仓库里有化肥: 70+150=220(吨) 假定第二次取出余下的一半,而不是少 100 吨,则第二次取出后,仓库剩下 化肥: 220-100=120(吨) 第二次取出之前,仓库中有化肥: 120×2=240(吨) 假定第一次正好取出一半,而不是多 30 吨,则第一次取出一半后,仓库里 剩下化肥: 240+30=270(吨) 仓库中原有化肥的吨数是: 270×2=540(吨) 综合算式: [(150+70-100)×2+30]×2 =[120×2+30]×2 =270×2 =540(吨) 答略。

共有多少本图书?有科普读物多少本?(适于六年级程度) 解:最后一个条件是“少儿读物是 630 本”,由于科普读物和文艺读物

所以,这个书架上共有书:

有科普读物:

答略。 (二)借助线段图逆推 *例 1 有一堆煤,第一次运走一半多 10 吨,第二次运走余下的一半少 3 吨, 还剩下 25 吨。问这堆煤原来是多少吨(适于五年级程度) 解:作图 17-1(见下页)。 从图 17-1 可看出,余下的一半是: 25-3=22 所以,余下的煤是: 22×2=44(吨) 全堆煤的一半是: 44+10=54(吨)

原来这堆煤是: 54×2=108(吨) 答略。 *例 2 服装厂第一车间的人数占全厂人数的 25%,第二车间的人数比第

个服装厂共有多少人?(适于六年级程度) 解:作图 17-2(见下页),用三条线段表示三个车间的人数。

第二车间人数是:

第一车间人数是:

全厂人数是: 150÷25%=600(人) 综合算式:

(三)借助思路图逆推 例 1 某工程队原计划 12 天修公路 2880 米,由于改进了工作方法,8 天就完 成了任务。问实际比原计划每天多修多少米?(适于四年级程度) 解:作思路图(图 17-3)。

求实际比原计划每天多修多少米, 必须知道实际每天修多少米和原计划每天 修多少米。 求实际每天修多少米,就要知道公路的长和实际修完的天数。 实际每天修的米数是: 2880÷8=360(米) 求原计划每天修多少米,就要知道公路的长和原计划要修的天数。 原计划每天修的米数是: 2880÷12=240(米) 实际比原计划每天多修的米数是:

360-240=120(米) 答略。 *例 2 某机床厂去年每月生产机床 5 台,每月用去钢材 4000 千克;今年每 月生产的机床台数是去年的 4 倍,平均每台机床比去年少用钢材 200 千克。今年 每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍?(适于五年级程度) 解:作思路图(图 17-4)。

从图 17-4 的下边开始看,逐步往上推理。 (1)去年每台用钢材多少? 4000÷5=800(千克) (2)今年每台用多少钢材? 800-200=600(千克) (3)今年每月生产多少台? 5×4=20(台) (4)今年每月用多少钢材? 600×20=12000(千克) (5)今年每月用的钢材是去年每月所用钢材的几倍? 12000÷4000=3(倍)

综合算式: (4000÷5-200)×(5×4)÷4000 =600×20÷4000 =3(倍) 答略。 (四)借助公式逆推 例 1 一个三角形的面积是 780 平方厘米,底是 52 厘米。问高是多少?(适 于五年级程度) 解:计算三角形面积的公式是:面积=底×高÷2,逆推这个公式得: 高=面积×2÷底 所以,这个三角形的高是: 780×2÷52=30(厘米) 答略。 例 2 求图 17-5 平行四边形中 CD 边的长。(单位:厘米)(适于五年级 程度)

解:因为平行四边形的面积是: BC×AE=6×3=18 平行四边形的面积也是: CD×AF=5CD 所以,5CD=18 CD=18÷5

=3.6(厘米) 答略。 例 3 一个圆锥体的体积是 84.78 立方厘米,底面的直径是 6 厘米。求它的 高是多少。(适于六年级程度) 解:底面圆的直径是 6 厘米,则半径就是 3 厘米。 由 V=1/3π R h 逆推得:
2

h=V×3÷π ÷R 因此,它的高是:

2

84.78×3÷3.14÷3 =254.34÷3.14÷3 =9(厘米) 答略。 (五)借助假设法逆推
2

2

解:假设取出存款后没有买书橱,则 150 元是取出的钱的:

取出的钱是: 150×3=450(元) 老张原有的存款是: 450×4=1800(元) 答略。

例 2 供销社分配给甲、乙、丙三个乡若干吨化肥。甲乡分得总数的一半少 2 吨,乙乡分得剩下的一半又多半吨,最后剩下的 8 吨分给丙乡。问原来共有化肥 多少吨?(适于六年级程度) 解: 假设乙乡分得剩下一半, 而不是又多半吨, 则乙乡分走后剩下的化肥是:

乙乡分走前的化肥是:

假设甲乡分得总数的一半,而不是少 2 吨,则甲乡分走化肥: 17-2=15(吨) 这 15 吨正好是原有化肥吨数的一半,所以原来共有化肥: 15×2=30(吨) 综合算式:

答略。 (六)借助对应法逆推

所以,食堂原来有大米:

综合算式:

答略。

所以,第一天耕地后余下的亩数是:

25+3=28(亩) 28 亩所对应的分率是:

综合算式:

答略。

第十八讲

图解法

图形是数学研究的对象,也是数学思维和表达的工具。 在解答应用题时, 如果用图形把题意表达出来,题中的数量关系就会具体而 形象。图形可起到启发思维、支持思维、唤起记忆的作用,有利于尽快找到解题 思路。有时,作出了图形,答案便在图形中。 (一)示意图 示意图是为了说明事物的原理或具体轮廓而绘成的略图。 小学数学中的示意图简单、直观、形象,使人容易理解图中的数量关系。 例 1 妈妈给兄弟二人每人 10 个苹果,哥哥吃了 8 个,弟弟吃了 5 个。谁剩 下的苹果多?多几个?(适于四年级程度) 解:作图 18-1。

哥哥吃了 8 个后,剩下苹果: 10-8=2(个) 弟弟吃了 5 个后,剩下苹果: 10-5=5(个) 弟弟剩下的苹果比哥哥的多: 5-2=3(个) 答:弟弟剩下的苹果多,比哥哥的多 3 个。 例 2 一桶煤油,倒出 40%,还剩 18 升。这桶煤油原来是多少升?(适于六 年级程度) 解:作图 18-2。

从图中可看出,倒出 40%后,还剩: 1-40%=60% 这 60%是 18 升所对应的百分率,所以这桶油原来的升数是: 18÷60%=30(升) 答略。 例 3 把 2 米长的竹竿直立在地面上,量得它的影长是 1.8 米,同时量得电 线杆的影长是 5.4 米。这根电线杆地面以上部分高多少米?(适于六年级程度) 解:根据题意画出如图 18-3(见下页)的示意图。 同一时间,杆长和影长成正比例。设电线杆地面以上部分的高是 x 米,得: 1.8∶5.4=2∶x

答略。 (二)线段图 线段图是以线段的长短表示数量的大小, 以线段间的关系反映数量间关系的 一种图形。在小学数学应用题教学中线段图是使用最多、最方便的一种图形。 例 1 王明有 15 块糖,李平的糖是王明的 3 倍。问李平的糖比王明的糖多多 少块?(适于三年级程度) 解:作图 18-4(见下页)。 从图 18-4 可看出, 把王明的 15 块糖看作 1 份数, 那么李平的糖就是 3 份数。 李平比王明多的份数是: 3-1=2(份) 李平的糖比王明的糖多: 15×2=30(块)

综合算式: 15×(3-1) =15×2

=30(块) 答略。 例 2 托尔斯泰是俄罗斯伟大作家,享年 82 岁。他在 19 世纪中度过的时间 比在 20 世纪中度过的时间多 62 年。 问托尔斯泰生于哪一年?去世于哪一年? (适 于四年级程度) 解:作图 18-5。

从图 18-5 可看出,他在 20 世纪度过的时间是: (82-62)÷2 =20÷2 =10(年) 由此看出,他死于 1910 年。他出生的时间是: 1910-82=1828(年) 答略。

解:作图 18-6。

综合算式:

答略。 (三)思路图 小学数学中的许多应用题, 需要用综合法或分析法分析解答。如果把思维的 过程用文字图形表示出来,就有助于正确选择已知数量,提出中间问题,理清数 量关系,从而顺利解题。这种表示思维过程的图形就是思路图。 例题参见前面的分析法和综合法。 (四)正方形图 借助正方形图解应用题,就是以正方形的边长、面积表示应用题中的数量, 使应用题数量之间的关系具体而明显地呈现出来,从而达到便于解题的目的。 例 1 农民张成良,把自己承包的土地的一半种了玉

承包了多少公顷土地?(适于四年级程度) 解:根据题意作图 18-7。

所以,他承包的土地是: 2×8=16(公顷) 答略。 例 2 有大小两个正方形,其中大正方形的边长比小正方形的边长多 4 厘米, 面积比小正方形的面积大 96 平方厘米。求大、小正方形的面积各是多少平方厘 米?(适于六年级程度) 解:求大、小正方形的面积,应知道大、小正方形的边长,但题中没有说, 也不好直接求出来。借助画图形的方法可轻易解决这个问题。 根据题意作图 18-8。

图中大正方形 ABCD 的面积比小正方形的面积大 96 平方厘米。这 96 平方厘 米的面积是由两个长方形 a 及比长方形还小的正方形 c 构成。从 96 平方厘米减 去正方形 c 的面积,再除以 2 就可求出长方形 a 的面积。 (96-4×4)÷2=40(平方厘米) 因为长方形 a 的宽是 4 厘米,所以长方形 a 的长是:

40÷4=10(厘米) 因为 10 厘米也是小正方形的边长,所以小正方形的面积是: 10×10=100(平方厘米) 大正方形的边长是: 4+10=14(厘米) 大正方形的面积是: 14×14=196(平方厘米) 答略。 (五)长方形图 借助长方形图解应用题, 是以长方形的长表示一种数量,以长方形的宽表示 另一种数量, 以长方形的面积表示这两种数量的积。它能把抽象的数量关系转化 为具体形象的面积来计算问题。 *例 1 甲、乙两名工人做机器零件,每天甲比乙多做 10 个。现在甲工作 15 天, 乙工作 12 天, 共做出 1500 个零件。 问甲、 乙两人每天各做多少个零件? (适 于五年级程度) 解:根据题意作图 18-9(见下页)。 图 18-9 中, 以左边长方形的长表示甲工作 15 天,以左边长方形的宽表示甲 每天做多少个;以右边长方形的长表示乙工作 12 天,以右边长方形的宽表示乙 每天做多少个。

图中右上角那个长方形的宽表示甲每天比乙多做 10 个,所以,乙在 12 天中 比甲少做零件: 10×12=120(个) 图中全部阴影部分的面积表示甲、乙共做的零件 1500 个。

从图 18-9 可以看出,整个大长方形面积所表示的零件的个数是: 1500+120=1620(个) 这个长方形的长表示甲、乙共同工作的天数: 15+12=27(天) 因为大长方形的宽表示甲每天做零件的个数,所以甲每天做零件的个数是: 1620÷27=60(个) 乙每天做零件的个数是: 60-10=50(个) 答略。 * 例 2 某商店卖出苹果、鸭梨和桔子共 25 筐,其中鸭梨的筐数是桔子筐数 的 2 倍。苹果每筐卖 90 元,鸭梨每筐卖 72 元,桔子每筐卖 60 元,共卖得 1854 元。问卖出苹果、鸭梨和桔子各多少筐?(适于六年级程度) 解:根据题意作图 18-10。

图 18-10 中阴影部分表示,如果 25 筐都是苹果,则所造成的差价是: 90×25-1854=396(元) 每卖出 1 筐桔子、2 筐鸭梨、3 筐苹果的差价是: (90-72)×2+(90-60) =36+30 =66(元) 因此,桔子的筐数是:

396÷66=6(筐) 鸭梨的筐数是: 6×2=12(筐) 苹果的筐数是: 25-6-12=7(筐) 答略。 (六)条形图 条形图是把长方形的长画得比较长,把长方形的宽画得比较短的一种图形。 条形图一般以长方形的长表示数量。条形图可以画成竖的,也可以画成横的。题 中不同的数量可用不同的阴影线或不同的颜色表示。题中的数量可写在长方形 内,也可写在长方形外面。 条形图比线段图更直观一些,在用来解某些应用题时效果要比线段图好。

吨后,两场所剩煤的数量相等。甲、乙两个煤场原来各存煤多少吨?(适于 六年级程度) 解:作图 18-11。

从图中可看出,从 875 吨中减去 75 吨后,甲煤场的煤就相当于乙煤场煤的 3 倍,两个煤场所存煤共分为 4 份。 其中一份是: (875-75)÷(3+1) =800÷4

=200(吨) 乙煤场原来的存煤吨数是: 200+75=275(吨) 甲煤场原来存煤的吨数是: 200×3=600(吨) 答略。

解:作图 18-12。

但是,实际上是运出 125 吨。这 140 吨比实际运出的多: 140-125=15(吨) 所以 15 吨所对应的分率是:

甲库原来的存粮吨数是: 420-180=240(吨) 答略。 *例 3 一组割草人要把大、小两块草地的草割掉,其中大块草地的面积是小 块草地面积的 2 倍。 全体组员用半天的时间割大块草地的草。下午一半的组员仍 停留在大块草地上割,另一半到小块草地上割。到傍晚时,大块草地的草全部割 完,而小块草地还剩下一小块。这剩下的一小块,第二天一个人用一天的时间就 割完了。这组割草的一共有多少人?(适于六年级程度)

全体组员割一个上午后, 一半的组员又割一个下午就把大块地的草割完,这 就是说,要是用一半的组员单独割大块草地的草,就要用 3 个半天,而在

这剩下的一小块是大块草地的:

这就是说,6 个人一天可以把大块草地割完,一个人一天割大块地的

答略。 (七)圆形图 借助圆形图解应用题,是以圆的面积或周长表示题中的数量,并在圆周内、 外标上数字、符号,从而达到便于分析数量关系的目的。 例 1 甲、乙两个学生同时从同一起点沿着一个环形跑道相背而跑。甲每秒 钟跑 8 米,乙每秒钟跑 7 米,经过 20 秒钟两人相遇。求环形跑道的周长。(适 于五年级程度) 解:作图 18-14。

从图中可看出,甲、乙两人跑的路程的总和就是圆的周长。根据“速度和× 相遇时间=相遇路程”,可求出环形跑道的周长: (7+8)×20=300(米) 答略。

问这块土地有多少公倾?(适于六年级程度) 解:作图 18-15。

从图中可看出,第二天耕完这块土地的:

例 3 有三堆棋子,这三堆棋子所含棋子的个数一样多,且都只有黑、白两 色棋子。第一堆里的黑子与第二堆的白子一样多,第

棋子的几分之几?(适于六年级程度) 解:作图 18-16。

从图中可看出, 把第一堆里的黑子与第二堆里的白子交换,则第一堆全是白 子,第二堆全是黑子。

因为第一堆与第二堆的棋子数相同,所以第一堆的白子数与第二堆的黑

所以,白子占全部棋子的:

*例 4 甲、乙两人同时从环形路的同一点出发,同向环行。甲每分钟走 70 米,乙每分钟走 46 米。环形路的长是 300 米。他们出发后,在 1 小时 20 分里相 会几次?到 1 小时 20 分时两人的最近距离是多少米?(适于五年级程度) 解:作图 18-17。

甲、乙二人 1 分钟的速度差是: 70-46=24(米)

由二人出发到第一次相会所需的时间是: 300÷24=12.5(分) 1 小时 20 分钟即为 80 分钟。80 分钟内包含几个 12.5 分钟,二人即相会几 次。80 分钟内包括 6 个 12.5 分钟,还多 5 分钟,即二人相会 6 次。 由于第六次相会后还走 5 分钟,所以甲乙之间相隔: 24×5=120(米) 此时,甲、乙之间还有一个距离是: 300-120=180(米) 180>120 米 答:在 1 小时 20 分钟里两人相会 6 次;到 1 小时 20 分钟时,两人的最近距 离是 120 米。 (八)染色图 在图中用不同的颜色表示不同的内容或不同的数量, 以利于解题的图形叫染 色图。染色图是解决数学题和智力题常用的一种图形。 *例 1 图 18-18 是某湖泊的平面图,图中的所有曲线都表示湖岸。某人从岸 边 A 点到 B 点至少要趟几次水?B 点是在水中还是在岸上?(适于高年级程度)

解: 这个问题好像很难解答。但我们按“图中所有曲线都是表示湖岸”的已 知条件,将湖面染上色,湖岸部分就显示出来了,答案也就一目了然了(图 18-19)。

答:他至少要趟 3 次水才能达到 B 处,B 点在湖岸上。 * 例 2 如图 18-20,某展览馆有 36 个展室,每两个相邻展室之间均有门相 通。问你能否从图中入口进去,不重复地参观完每个展室后,再从出口处出来? (适于高年级程度)

解:作图 18-21。把图中 36 个方格相间地染上黑色。因入口处是白格,参 观时若依顺序将展室编号,那么进入第奇数号展室时,应是白格位置;进第偶数 号展室应是黑格。即应按白→黑→白→黑→??顺序交替参观。

参观者最后离开的是第 36 号展室,它是偶数,按上面的分析它应是黑格, 但图中实际为白色方格。这说明题中要求的参观方式是不可能实现的。 答略。 *例 3 将图 18-22 矩形 ABCD 的一边 AD 分成 6 小段,其中线段 1+线段 3+线 段 5=线段 2+线段 4+线段 6。连结对角线 BD,用红(图中用横线表示)、蓝(图 中用坚线表示) 两色将图形分别染色。问图中染红色部分面积与染蓝色部分面积 哪个大?(适于高年级程度)

解:此题利用三角形、梯形面积公式可算出结果,但较麻烦。用染色的方法 解此题比较简捷。 先将图中 BD 线左下面的空白处染上黑色, S 、 、 分别表示染红、 用 S S 蓝、 黑三种颜色图形的面积(图 18-23)。
红 蓝 黑

从图 18-23 很容易看到:

另外,S +S 等于 3 个小矩形面积的和,而它恰好等于矩形 ABCD 面积的一 半,即:
蓝 黑

这就是说: S +S =S +S
红 黑 蓝 黑

从上面算式的两边同时减去 S ,得:


S =S




答:图中染红色部分的面积与染蓝色部分的面积一样大。 *例 4 图 18-24 的图形是从 4×4 的正方形纸上剪去两个 1×1 的小方纸片后 得到的。它们的面积都是 14。若把它们剪成 1×2 的小矩形,最多能剪几个?为 什么?(适于高年级程度)

解:图 18-24 的三个图形除了(1)可以剪出 7 个 1×2 的小矩形外, (2)、 (3)不管怎么剪,至多都只能剪出 6 个来。原因是: 分别用黑白两色对图形(1)、(2)、(3)相间地涂色(图 18-25)。从 它们上面剪下来的每一个小矩形都由两个相邻的小方格组成, 这两个小方格上涂 有不同的颜色,如图 18-25 中

(4)。既然每个 1×2 的小矩形都由一个白色格和一个黑色格组成(因为三 个图形的面积都是 14 个方格,把它们剪成 1×2 的小矩形,照面积来算,似乎都 应剪出 7 个来),要想剪出 7 个小矩形,当然得有 7 个白格和 7 个黑格,但在图 18-25 中,只有图形(1)是这样的,图形(2)、(3)都有 8 个白格和 6 个黑 格。故它们只能剪出 6 个小矩形。 答略。

=3.2(公顷) 答略。

第十九讲

对应法

解应用题时要找出题中数量间的对应关系。如解平均数应用题需找出“总数 量”所对应的“总份数”;解倍数应用题需找出具体数量和倍数的对应关系;解 分数应用题需找出数量与分率的对应关系。 因此, 找出题中 “对应” 的数量关系, 是解答应用题的基本方法之一。 用对应的观点, 发现应用题数量之间的对应关系,通过对应数量求未知数的 解题方法,称为对应法。 解答复杂的分数应用题,关键就在于找出具体数量与分率的对应关系。 (一)解平均数应用题 在应用题里,已知几个不相等的已知数及份数,要求出总平均的数值,称为 求平均数应用题。 解平均数应用题,要找准总数量与总份数的对应关系,然后再按照公式

例 1 同学们参加麦收劳动。第一天收麦 16 亩,第二天上午收麦 8 亩,下午 收麦 12 亩。平均每天收麦多少亩?(适于三年级程度) 解:本题的总份数是 2 天(注意:总份数不是 3 天),2 天所对应的总数量 是(16+8+12)亩。 所以,平均每天收麦亩数是: (16+8+12)÷2 =36÷2 =18(亩) 答略。例 2 服装厂一、二月份共生产 13356 套服装,三月份生产 12030 套 服装。第一季度平均每月生产多少套服装?(适于三年级程度) 解:本题的总份数是 3 个月(注意:不是 2 个月),与 3 相对应的总数是 (13356+12030)套。 所以,平均每个月生产服装的套数是: (13356+12030)÷3 =25386÷3

=8462(套) 答略。 例 3 河南乡有两块稻谷实验田。第一块 8 亩,平均亩产稻谷 550 千克;第 二块 6 亩,共产稻谷 2880 千克。这两块试验田平均亩产稻谷多少千克?(适于 四年级程度) 解:求平均亩产量,总份数就是总亩数(8+6)亩,和总份数对应的总数量 就是总产量(550×8+2880)千克。 所以,这两块试验田平均亩产稻谷的数量是: (550×8+2880)÷(8+6) =7280÷14 =520(千克) 答略。 例 4 甲、乙两地相距 10.5 千米。某人从甲地到乙地每小时走 5 千米,从乙 地返回甲地每小时走 3 千米。求他往返的平均速度。(适于五年级程度) 解:有的同学以(5+3)÷2=4(千米/小时)这种方法解答此题。这个算式 里没有某人走的总路程和与总路程所对应的时间,所以这种算法是错误的。 此题的总路程是 10.5×2 千米,与总路程相对应的总时间是 (10.5÷5+10.5+3)小时。 所以他往返的平均速度是: 10.5×2÷(10.5÷5+10.5÷3) =21÷5.6 =3.75(千米/小时) 答略。 (二)解倍数应用题 已知两个数的倍数关系以及它们的和,求这两个数的应用题,称为和倍应用 题;已知两个数的倍数关系以及它们的差,求这两个数的应用题,称为差倍应用 题。

总起来讲, 已知各数量之间的倍数关系和其他条件,求各个数量大小的这类 应用题,就叫做倍数应用题。 在解倍数应用题时,要找准具体数量和倍数的对应关系。然后,利用下面的 公式求出 1 倍数,使问题得到解决。

例 1 甲、乙两筐中有重量相同的苹果。由甲筐卖出 75 千克,由乙筐卖出 97 千克后, 甲筐剩下苹果的重量是乙筐剩下苹果重量的 3 倍。乙筐现在有苹果多少 千克?(适于四年级程度) 解:根据“由甲筐卖出 75 千克,由乙筐卖出 97 千克后,甲筐剩下苹果的重 量是乙筐剩下苹果重量的 3 倍”,可看出: 由甲筐卖出的少,由乙筐卖出的多,甲筐剩下的多,乙筐剩下的少;乙筐剩 下的苹果是 1 倍数,甲筐剩下的苹果是 3 倍数。 甲筐剩下的苹果比乙筐剩下的苹果多: 3-1=2(倍) 这 2 倍数所对应的数量是: 97-75=22(千克) 因为乙筐剩下的苹果是 1 倍数,所以乙筐现在有苹果: 22÷2=11(千克) 答略。 例 2 甲、乙两个粮库共存粮食 107 吨。甲库运出 23 吨粮食后,乙库所存粮 是甲库的 3 倍。甲粮库原来存粮多少吨?(适于五年级程度) 解: 由题意“甲库运出 23 吨粮食后,乙库所存粮食是甲库的 3 倍”可看出, 甲库运出 23 吨粮食后,甲、乙两库共剩粮食: 107-23=84(吨)

甲库存粮是 1 倍数,乙库存粮是 3 倍数,84 吨所对应的倍数是(1+3)倍。 所以,甲库现在存粮食: 84÷(1+3)=21(吨) 甲库原来存粮食: 21+23=44(吨) 答略。 例 3 春光农场两组工人收桔子。第一组收的桔子是第二组所收桔子的 3 倍 少 50 千克,比第二组多收 3150 千克。两组各收桔子多少千克?(适于五年级程 度) 解: 因为第一组收的桔子比第二组多 3150 千克, 是第二组的 3 倍少 50 千克, 所以,第二组收的是 1 倍数。如果在 3150 千克之上增加 50 千克,则第一组收的 就是第二组的 3 倍。 3150+50=3200(千克) 这 3200 千克所对应的倍数是: 3-1=2(倍) 第二组所收的桔子是: 3200÷2=1600(千克) 第一组所收的桔子是: 1600×3-50 =4800-50 =4750(千克) 答略。 (三)解行程应用题 在距离、速度、时间三个量中,已知其中两个量而求另一个量的应用题叫做 行程应用题。

它可以分为一般行程应用题、相向运动应用题、同向运动应用题(追及应用 题)三类。 在解行程应用题时,要找准速度、时间和距离之间的对应关系,然后再按照 公式“速度×时间=距离”、 “速度和×相遇所需对间=原来相隔距离”、“速度 差×追及所需时间=追及距离”来计算。

=30(千米) 答略。 *例 2 一段路,客车行完要用 12 小时,货车行完要用 15 小时。现在两车同 时从两地相向而行,相遇时客车行了 150 千米。求货车行了多少千米。(适于六 年级程度) 解:作图 19-1。

货车行的路程是: 270-150=120(千米) 答略。 (四)解分数应用题 用分数计算来解答的应用题,叫做分数应用题。

解:已知整袋的白糖重量是 25 千克,要求最后剩下的白糖的重量,就要求 出最后剩下的白糖所对应的分率。

所以最后剩下的白糖是:

答略。

所以,两天一共修的米数是:

=135(米) 答略。 (五)解工程应用题 工程应用题,是叙述有关共同工作的问题。解答这类问题,是把全工程作为 “1”。用工作的时间去除全工程“1”,可求单位时间的工作量;用单位时间的 工作量去除全工程“1”,可求出完成工程所用的时间。 在解工程问题时,要找准工作效率、工作时间和工作量的对应关系,然后再 按照公式“工作效率×工作时间=工作量”及其变形公式计算。

例 1 甲、乙两人合做一批机器零件。甲单独做需要 10 小时完成,乙单独做 需要 15 小时完成。两人合做 5 小时后,这批零件还剩 30 只。这批零件一共是多 少只?(适于六年级程度) 解:把这批零件的只数看作单位“1”。甲单独做需要 10 小时完成,甲

剩余的工作量是:

答略。 例 2 一项工程,甲队单独做 12 天可以完成,甲队做了 8 天后,剩余的工程 由乙队做了 5 天完成。 问乙队单独做每天可以完成这项工程的几分之几?(适于 六年级程度)

剩余的工作量是:

答略。

第二十讲

集合法

我们在研究一些问题时,可以把某一确定范围内的事物的全体看作是一个集合。 例如,所有自然数就可以看作是一个集合。在小学一般用画图的方式表示集合, 这种图叫作韦恩图(韦恩是英国数学家)。运用集合的思想,利用韦恩图进行解 题的方法叫做集合法。 例 1 五年级一班有 48 人。在午后自习时,做完语文作业的有 37 人,做完 数学作业的有 42 人。语文、数学作业都做完的有多少人?(适于三年级程度) 解:由题意可知,做完语文作业的 37 人中有一部分只做完语文作业,另一 部分既做完语文作业又做完数学作业。做完数学作业的 42 人中也是有一部分只 做完数学作业,另一部分既做完数学作业又做完语文作业。 所以, 如果我们用 A 圆圈表示做完语文作业的人数,用 B 圆圈表示做完数学 作业的人数, 则两个圆圈相交的阴影部分就表示语文、 数学作业都做完的人数 (如 图 20-1)。

从图中可以看出,语文、数学作业都做完的人数等于 A 圆圈的人数加上 B 圆圈的人数减去全班的总人数。 37+42-48=31(人) 答:语文、数学作业都做完的有 31 人。 例 2 有 110 名学生参加书法和绘画比赛,参加书法比赛的有 72 人,既参加 书法比赛又参加绘画比赛的有 24 人。参加绘画比赛的有多少人?(适于三年级 程度)

解:可通过画如图 20-2 的韦恩图来分析题意。A 圆圈表示参加书法比赛的 人数,B 圆圈表示参加绘画比赛的人数,两圆圈相交的阴影部分表示既参加书法 比赛又参加绘画比赛的人数。 由图可知,参加绘画比赛的人数应等于总人数减去 只参加书法比赛的人数。 而只参加书法比赛的人数等于 A 圆圈的人数减去相交阴 影部分的人数。 只参加书法比赛的人数: 72-24=48(人) 参加绘画比赛的人数: 110-48=62(人) 答略。(适于六年级程度) 解:参加径赛的有:

根据题意作图 20-3

从图中可以看出,只参加田赛的人数是: 276-230=46(人) 两种活动都参加的人数是: 184-46=138(人) 答略。 *例 4 某班 45 名学生期末考试的成绩如下:语文 90 分以上的有 14 人,数 学 90 分以上的有 25 人,语文和数学都不足 90 分的有 17 人。求语文、数学都在 90 分以上的有多少人?(适于五年级程度)

解:作图 20-4。由图可看出,语文、数学一门或两门在 90 分以上的人数是:

45-17=28(人) 只语文在 90 分以上的人数是: 28-25=3(人) 只数学在 90 分以上的人数是: 28-14=14(人) 语文、数学都在 90 分以上的人数是: 28-(14+3)=11(人) 答略。*例 5 学校气象小组有 50 名成员,其中负责观测的有 19 人,负责记 录的有 15 人,既负责观测又负责记录的有 7 人。问:(1)只负责记录,不负责 观测的有多少人?(2)只负责观测,不负责记录的有多少人?(3)气象小组有 多少人负责其他工作?(适于高年级程度) 解:作图 20-5。用 A 圆圈表示负责观测的人数,用 B 圆圈表示负责记录的 人数,则两圆圈相交的阴影部分就表示既负责观测又负责记录的人数。

由图 20-5 可知,只负责记录,不负责观测的人数,等于负责记录的人数减 去既负责观测又负责记录的人数;只负责观测,不负责记录的人数,等于负责观 测的人数减去既负责观测又负责记录的人数;气象小组负责其他工作的人数,等 于总人数减去负责观测和负责记录的人数,再加上既负责观测又负责记录的人 数。

(1)只负责记录,不负责观测的人数: 15-7=8(人) (2)只负责观测,不负责记录的人数为: 19-7=12(人) (3)负责其他工作的人数为: 50-19-15+7=23(人) 答略。 *例 6 某班有 45 名学生。据统计,喜爱足球、篮球、排球这三项运动的各 有 26 人,喜爱其中两项运动的分别有 13、14、15 人。三项运动都喜爱的有多少 人?(适于高年级程度) 解:用 A 圆圈表示喜爱足球的人数,B 圆圈表示喜爱篮球的人数,C 圆圈表 示喜爱排球的人数。则 A、B 两圆圈相交的部分表示既喜爱足球又喜爱篮球的人 数;B、C 两圆圈相交的部分表示既喜爱篮球又喜爱排球的人数;A、C 两圆圈相 交的部分表示既喜爱足球又喜爱排球的人数;A、B、C 三个圆圈相交的部分表示 三项运动都喜爱的人数(图 20-6)。

由图 20-6 可知, 三项运动都喜爱的人数应等于班级的总人数减去喜爱足球、 篮球、排球的人数,再加上既喜爱足球又爱篮球、既喜爱篮球又喜爱排球、既喜 爱足球又喜爱排球的人数。 45-26×3+(13+14+15) =45-78+42 =45+42-78 =87-78 =9(人) 答:三项运动都喜爱的有 9 人。

*例 7 55 名学生中,有 18 人参加合唱队,25 人参加美术组,17 人参加运动 队,参加合唱队与美术组的共有 36 人,没有人既参加合唱队又参加运动队,什 么组都没有参加的有 5 人,请回答: (1)既参加合唱队又参加美术组的有多少人? (2)只参加合唱队的有多少人? (3)只参加美术组的有多少人? (4)只参加运动队的有多少人? (5)既参加运动队又参加美术组的有多少人?(适于高年级程度) 解:作图 20-7。

因为参加合唱队与美术组的共有 36 人,所以:(1)既参加合唱队又参加美 术组的人数是: 18+25-36=7(人) (2)只参加合唱队的人数是: 18-7=11(人) 现在还不能求出只参加美术组的人数, 先求出去掉既参加美术组又参加合唱 队的 7 人,美术组剩下的人数是: 25-7=18(人) 因为在 55 名学生中,参加美术组、运动队的总人数是 25+17=42(人),只 参加合唱队的有 11 人,什么组都没有参加的有 5 人,参加美术、体育两项活动 的实际人数是: 55-5-11=39(人) 所以: (5)既参加运动队又参加美术组的人数是:

42-39=3(人) (4)只参加运动队的人数是: 17-3=14(人) (3)只参加美术组的人数是: 18-3=15(人) 答略。

第二十一讲

守恒法

————————————————姚老师数学乐园 广安岳池 姚文国

应用题中的数量有的是变化的,有的是始终不变的。解应用题时,抓住始终 不变的数量,分析不变的数量与其他数量的关系,从而找到解题的突破口,把应 用题解答出来的解题方法,叫做守恒法,也叫抓不变量法。 (一)总数量守恒 有些应用题中不变的数量是总数量, 用守恒法解题时要抓住这个不变的总数 量。 例 1 晶晶要看一本书,计划每天看 15 页,24 天看完。如果要 12 天看完, 每天要看多少页?如果改为每天看 18 页,几天可以看完?(适于三年级程度) 解: 无论每天看多少页, 总是看这一本书, 只要抓住这本书的“总页数不变” 这个关键,问题就好办了。 这本书的总页数是: 15×24=360(页) 如果要 12 天看完,每天要看的页数是:

360÷12=30(页) 如果改为每天看 18 页,看完这本书的天数是: 360÷18=20(天) 答略。 此题由于第一步是用乘法求出总数,因此也叫做“归总”应用题。 *例 2 用一根铁丝围成一个长 26 厘米,宽 16 厘米的长方形。用同样长的铁 丝围成一个正方形,正方形所围成的面积是多少?(适于三年级程度) 解: 这根铁丝的长是不变的量,铁丝围成的长方形的周长和正方形的周长相 同。即: 26×2+16×2 =52+32 =84(厘米) 正方形的边长是: 84÷4=21(厘米) 正方形所围成的面积是: 21×21=441(平方厘米) 答略。

解:书架上书总的本数是不变的数量,设它为单位 1。从“上层书的本

书总的本数分成 5 份,上层的书占总本数的

因此,书总的本数是:

原来书架的上层有书:

原来书架的下层有书: 90-18=72(本) (二)部分数量守恒 当应用题中不变的数量是题中的一部分数量时, 要抓住这个不变的部分数量 解题。 例 1 一辆汽车,从甲站到乙站,要经过 20 千米的平路,45 千米的上坡路, 15 千米的下坡路。如果这辆汽车在平路上每小时行 40 千米,在上坡路上每小时 行 30 千米,在下坡路上每小时行 45 千米。照这样的速度行驶,这辆汽车在甲、 乙两站间往返一次需要多少时间?(适于五年级程度) 解:无论汽车行驶在平路上、上坡路上,还是在下坡路上,每一段路上的速 度是不变的。 这辆汽车往返一次共行:在平路(20+20)千米在上坡路(45+15)千米在下 坡路(15+45)千米这辆汽车往返一次需要的时间是:

答略。 例 2 有含盐 15%的盐水 20 千克, 要使盐水含盐 10%, 需要加水多少千克? (适于六年级程度)解:题中盐的重量是不变的数量,盐的重量是: 20×15%=3(千克) 在盐水含盐 10%时,盐的对应分率是 10%,因此盐水的重量是: 3÷10%=30(千克) 加入的水的重量是: 30-20=10(千克) 答略。

解:文艺书的本数是不变的数量。文艺书有:

=720(本) 从后来两种书总的本数中减去原来两种书总的本数,得到买进科技书的本 数: 720-630=90(本)

综合算式:

=720-630 =90(本) 答略。 (三)差数守恒 当应用题中两个数量的差是不变的数量时,要抓住这个差,分析数量关系解 题。 例 1 父亲今年 35 岁,儿子 5 岁。多少年后父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍? (适于四年级程度) 解:父子年龄的差是个不变的数量,始终是 35-5=30(岁) 在父亲年龄是儿子年龄的 3 倍时,父子年龄的差恰好是儿子年龄的 2 倍。 因此,这时儿子的年龄是: 30÷2=15(岁) 15-5=10(年) 答:10 年后父亲的年龄是儿子年龄的 3 倍。 *例 2 小明有 200 个枣,大平有 120 个枣。两人吃掉个数相同的枣后,小明 剩下的枣是大平剩下枣的 5 倍。 问两个人一共吃掉多少个枣。 (适于四年级程度) 解:两个人相差的枣的个数是不变的数量: 200-120=80(个) 两人吃掉个数相同的枣后, 小明剩下的枣是大平剩下枣的 5 倍。这就是说大 平剩下的枣是 1 份数, 小明剩下的枣比大平剩下的枣多 4 份数。因为两人吃掉的 枣的个数相同,所以相差数还是 80 个。这 80 个是 4 份数。 因此,大平剩下的枣是其中的一份数: 80÷4=20(个)

大平吃掉的枣是: 120-20=100(个) 因为两个人吃掉的枣一样多,所以一共吃掉枣: 100×2=200(个) 答略。 *例 3 有甲、乙两个车间,如果从甲车间调出 18 人给乙车间,甲车间就比 乙车间少 3 人;如果从两个车间各调出 18 人,乙车间剩下人数就是甲车间

解: 由“从甲车间调出 18 人给乙车间,甲车间就比乙车间少 3 人”可看出, 甲车间比乙车间多 2 个 18 人又少 3 人,即甲车间比乙车间多: 18×2-3=33(人) 由“从两个车间各调出 18 人,乙车间剩下的人数就是甲车间剩下人数的

甲车间原有的人数是: 88+18=106(人) 乙车间原有的人数是: 106-33=73(人) 答略。 *例 4 甲种布的长是乙种布长的 3 倍。两种布各用去 8 米时,甲种布剩下的 长是乙种布剩下长度的 4 倍。两种布原来各长多少米?(适于六年级程度)

解:甲、乙两种布的长度差是不变的数量,解题时要以这个不变的数量作为 标准量。 原来乙种布的长是标准量的:

乙种布先后两个分率的差是:

乙种布的长是:

甲种布的长是: 48+24=72(米)
答略。

第二十二讲

两差法

解应用题时, 首先确定一个标准数 (即 1 倍数) 再根据已知的两数差与倍数差, , 用除法求出 1 倍数,然后以此为基础,用乘法求出另一个数的解题方法,叫做两 差法。用两差法一般是解答差倍问题。 差倍问题的数量关系是: 两数差÷倍数差=1 倍数 1 倍数×倍数=几倍数

较小数+两数差=较大数 例 1 某厂女职工人数是男职工人数的 6 倍,男职工比女职工少 65 人。这个 厂男女职工共有多少人?(适于四年级程度) 解:根据“人数差÷倍数差=1 倍数”,有: 65÷(6-1)=13(人) 那么,这个厂男女职工共有的人数是: 13×(6+1)=91(人) 答略。 例 2 小李买 3 本日记本,小华买同样的 8 本日记本,比小李多用 2.75 元。 小李、小华两人分别用去多少钱?(适于五年级程度) 解:小华比小李多用 2.75 元(总价差),是因为小华比小李多买(8-3)本 (数量差)日记本,用这两个差求出每本日记本的价钱。

小李用的钱数是: 0.55×3=1.65(元) 小华的钱数是: 0.55×8=4.40(元) 答略。例 3 甲、乙两数的差是 28,甲数是乙数的 3 倍。问甲乙两数各是多 少?(适于四年级程度) 解: 甲-乙=28, 甲是乙的 3 倍, 那么乙就是 1 倍数, 所对应的倍数是 3-1=2 28 (倍),则乙数可以求出。解法是: 28÷(3-1)=14???????????乙数 14×3=42?????????????甲数 答:甲数是 42,乙数是 14。

例 4 一个植树小组植树。如果每人栽 5 棵,还剩 14 棵;如果每人栽 7 棵, 就缺 4 棵。这个植树小组有多少人?一共有多少棵树苗?(适于五年级程度) 解:把题中的条件简要摘录如下: 每人 5 棵 每人 7 棵 剩 14 棵 缺4棵

比较两次分配的情况可看出,由于第二次比第一次每人多栽(7-5)棵,一 共要多栽(14+4)棵树。根据两次每人栽的棵数差和所栽总棵数的差,可求出植 树小组的人数,然后再求出原有树苗的棵数。 (14+4)÷(7-5)=9(人)????????人数 5×9+14=59(棵)???????????棵数 答略。 例 5 用一个杯子向一个空瓶里倒水。如果倒进 3 杯水,连瓶共重 440 克; 如果倒进 5 杯水,连瓶共重 600 克。一杯水和一个空瓶各重多少克?(适于五年 级程度) 解:解这类题,要先找出“暗差”的等量关系,再找解题的最佳方法。 这道题的“暗差”有两个: 一个是 5-3=2 杯) 另一个是 600-440=160 克) ( , ( 。 这里两个暗差的等量关系是:2 杯水的重量=160 克。 这样就能很容易求出一杯水的重量: 160÷2=80(克) 一个空瓶的重量: 440-80×3=200(克) 答略。 *例 6 甲从西村到东村,每小时步行 4 千米。3.5 小时后,乙因有急事,从 西村出发骑自行车去追甲,每小时行 9 千米。问乙需要几小时才能追上甲?(适 于高年级程度) 解:乙出发时,甲已经行了(4×3.5)千米,乙每行 1 小时便可比甲每小时 多行(9-4)千米,那么(4×3.5)千米中含有几个(9-4)千米,乙追上甲就需 要多少个小时。所以:

答:乙需 2.8 小时才能追上甲。 例 6 是典型的“追及问题”。 由此可知, 追及问题也可以利用两差法来解答。 *例 7 某电风扇厂生产一批电风扇。原计划每天生产 120 台电风扇,实际每 天比原计划多生产 30 台, 结果提前 12 天完成任务。这批电风扇的生产任务是多 少台?(适于高年级程度) 解:在同样的时间(计划天数)里,实际比原计划多生产电风扇的台数是: (120+30)×12。因为实际每天比原计划多生产 30 台,因此:

计划完成任务的天数是 60 天,那么这批电风扇的生产任务就是: 120×60=7200(台) 答略。 *例 8 甲每小时走 5 千米,乙每小时走 4 千米,两人同走一段路,甲比乙少 用了 3 小时。问这段路长多少千米?(适于五年级程度) 解:解答这道题应从“差异”入手。因为凡是发生差异必定有它的道理。题 中的差异是“甲比乙少用了 3 小时”,抓住它作如下追问,即可发现解题途径。 为什么会“甲比乙少用了 3 小时”?因为甲比乙的速度快。 (1)在 3 个小时里甲比乙多走多少千米的路呢?在 3 小时里甲比乙正好多 走: 4×3=12(千米) (2)甲每小时可以追上乙多少千米呢? 5-4=1(千米) (3)走完这 12 千米的差数甲要走几小时呢? 12÷1=12(小时)

(4)这段路长多少千米? 5×12=60(千米) 综合算式: 5×[4×3÷(5-4)] =5×[12÷1] =5×12 =60(千米) 答略。

解:此题是“差倍”问题的变形。

答略。

两堆煤原来各有多少吨?(适于六年级程度) 解: 这里已知两堆煤的总数和运走的总数,不知道两堆煤在总数中占多大比 率,也无法把运走的煤分为甲堆运走的和乙堆运走的。虽然知道甲堆运

知道,无法发生联系,因此这两个分率无法参加运算。 本题的难点在于两堆煤运走的分率不同,若分率相同,分析就会有所进展。

然后再看假设引出了什么差异。已知条件告诉我们共运走 180 吨,与方才算 得的 162 吨相差 180-162=18(吨),为什么会产生这 18 吨的差异呢?

270-120=150(吨)????????甲堆 答略。 *例 11 祖父给兄弟二人同样数目的零花钱,祖母给了哥哥 1100 日元,给了 弟弟 550 日元,这样兄弟二人所得到的零花钱数的比为 7∶5。求祖父给兄弟二 人的钱数都是多少日元?(适于六年级程度) 解:因为祖父给兄弟二人的钱数相同,所以祖母给兄弟二人的钱数之差,就 是他们分别得到的所有零花钱钱数之差。 1100-550=550(日元) 由兄弟二人所得到的零花钱钱数的比为 7∶5 可知,把哥哥的钱看成是 7 份 的话,弟弟的钱数就是 5 份,它们相差: 7-5=2(份) 所以,每一份的钱数是: 550÷2=275(日元) 哥哥有零花钱: 275×7=1925(日元) 其中祖父给的是: 1925-1100=825(日元) 答:祖父给兄弟二人的钱都是 825 日元。 *例 12 一位牧羊人赶着一群羊走过来,小明问他:“你的羊群里有山羊、 绵羊各几只?”牧羊人说:“山羊的只数加上 99 只就是绵羊的只数,绵羊的只 数加上 99 只就是山羊的 3 倍,你去算吧。”请你帮助小明算一算。(适于五年 级程度)

解:由“山羊的只数加上 99 只就是绵羊的只数”知道,绵羊比山羊多 99 只。 由“绵羊的只数加上 99 只就是山羊的 3 倍”知道, 绵羊的只数加上 99 只后, 绵羊的只数比山羊多(99+99)只。此时,如果把山羊只数看作 1 倍,绵羊只数 就是 3 倍,比山羊多(3-1)倍,这(3-1)倍正好是(99+99)只(图 22-1)。 用除法可以求出 1 倍数(山羊只数),再用加法就可以求出绵羊只数。

(99+99)÷(3-1) =198÷2 =99(只)???????山羊只数 99+99=198(只)????绵羊只数 答略。 *例 13 某工厂有大、小两个车间。如果从小车间调 10 人到大车间,则大车 间的人数是小车间的 3 倍;如果从大车间调 30 人到小车间,则两个车间的人数 相等。求大、小两个车间各有多少人?(适于高年级程度) 解: 根据“如果从大车间调 30 人到小车间,则两个车间的人数相等”知道, 大车间比小车间多 30×2 人;根据“如果从小车间调 10 人到大车间,则大车间 的人数是小车间的 3 倍”知道,这样调动后,大车间比小车间多(30×2+10×2) 人。把调动后小车间的人数看作 1 倍数,则大车间的人数就是 3 倍数,比小车间 的人数多(3-1)倍数,这(3-1)倍数正好是(30×2+10×2)人。用除法可以 求出 1 倍数(调动后,小车间人数),加上 10 就得小车间原有人数。 (30×2+10×2)÷(3-1)+10 =80÷24+10 =50(人)??????(小车间原有人数) 50+30×2=110(人)?(大车间原有人数) 答略。 在差倍问题中,有一类比较特殊,这就是年龄问题。年龄问题一般用差倍问 题的解题思路、 计算公式来分析、 解答。 但要注意年龄问题所单独具有的“定差” 特点,即大、小两个年龄,相当于大、小两个数,无论现在、过去、将来,这两

个年龄的差不变。抓住这个特点,再利用差倍问题的数量关系和解题方法,便可 解答年龄问题。 *例 14 今年哥哥 18 岁, 弟弟 8 岁。 问几年前哥哥的年龄是弟弟的 3 倍? (适 于高年级程度) 解:作图 22-2。

哥哥和弟弟年龄之差 (18-8) 岁始终不变。 把几年前弟弟的年龄看作 1 倍数, 哥哥的年龄就是 3 倍数, 比弟弟多 (3-1) 倍数, (3-1) 这 倍数正好对应于 (18-8) 岁。用除法可以求出 1 倍数,就是几年前弟弟的年龄,再用减法便可求出几年前 哥哥的年龄是弟弟的 3 倍。 8-(18-8)÷(3-1)=3(年) 答略。 *例 15 今年父亲 40 岁, 儿子 4 岁。 问几年后父亲的年龄是儿子的 4 倍? (适 于高年级程度) 解:作图 22-3。

父子年龄之差(40-4)岁始终不变。把几年后儿子的年龄看作 1 倍数,父亲 的年龄就是 4 倍数,比儿子多(4-1)=3 倍数,这(4-1)倍数正好对应于(40-4) 岁。用除法可求出 1 倍数,即几年后儿子的年龄,再用减法便可求出几年后父亲 的年龄是

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