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对数函数的图像与性质


对数函数的图像和性质课件 对数函数及其性质 对数函数的定义 对数函数图像作法 对数函数性质 指数函数, 指数函数,对数函数 性质比较

对数函数及其性质

对数函数的概念与图象
秦皇岛市职业技术学校 李天乐

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?清晰展示教

学内容。

?欢迎试用!

新课讲解: (一)对数函数的定义: 函数 y ? loga x (a ? 0且a ? 1) 叫做对数函数; 其中x是自变量,函数的定义域是(0,+∞).

注意: 1、对数函数的定义与指数函数类似,都是形式定义,
2、对数函数对底数的限制:

(a ? 0



a ? 1)

判断是不是对数函数

x (×) (1) y ? log 5 5 (2) y ? log2 ( x ? 2) (×) (×) (3) y ? 2 log5 x (4) y ? log2 x x (×)

哈哈 ,我们都不是对数函数 你答对了吗???

(5) y ? log?5 x 1 (6) y ? log5 x (7) y ? logx 5

(×) (×) (×)

我们是对数型函数 请认清我们哈

例1 已知函数f(x)为对数函数,且图象过点(4, 2),求f(1),f(8)

解: ? f ( x)为对数函数 (a ? 0且a ? 1)

? 设f ( x) ? loga x 又 ? f ( x)过(4, 2) ? 2 ? loga 4 ? a2 ? 4 ? a ? 2(a ? ?2舍) ? f ( x) ? log2 x ? f (1) ? log2 1 ? 0 f (8) ? log2 8 ? log2 23 ? 3

讲解范例 例2:求下列函数的定义域: ①y=logax2 ②y=loga(4-x)

解: ①要使函数有意义,则

x ?0 ?x ? 0
2

∴函数的定义域是{x|x≠0} ② 要使函数有意义,则

4? x ? 0 ?x ? 4
∴函数的定义域是{x |x<4 }

? 学习函数的一般模式(方法): 解析式(定义) 图像
数形结合

①定义域 ②值域

性质 应用

③单调性 ④最值

⑤奇偶性

探究:对数函数:
y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

在同一坐标系中用描点法画出对数函数

y ? log2 x和y ? log1 x 的图象。

作图步骤:

2

①列表, ②描点, ③用平滑曲线连接。

探究:对数函数:
作y=log2x图象

y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质
1/4 1/2 1 2 4 …

列 表

X

y=log2x

-2

-1

0

1

2



描 点
连 线

y 2
1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 探索发现:认真观察 y 2 函数y=log2x 11 4 的图象填写下表 x 0 1 2 3 4 -1 -2
1 2

图象特征

代数表述

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

与轴交点(1,0)
图象向上、向下无限延伸 自左向右看图象逐渐上升

定点(1,0)
值 域 :

R

在(0,+∞)上是: 增函数

探究:对数函数:y

= loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

列 表 描 点 连 线

x



1/4 1/2
2 1

1
0

2 4
-1



y ? log1 x …

y 2 1
0

2

-2 …

11 42

1

2 3

4

x

-1 -2

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质 y 2 发现:认真观察函数

y ? log1
2

x

1 11
42

的图象填写下表
图象特征

0 -1 -2

1 2 3 4
代数表述

x

图象位于y轴右方

定义域 : ( 0,+∞)

与轴交点(1,0)
图象向上、向下无限延伸

定点(1,0)
值 域 :

R

自左向右看图象逐渐下降 在(0,+∞)上是: 减函数

2.对数函数的图象和性质
a>1
y
x =1
y ? loga x (a ? 1)

0<a<1
y
X
x =1

我很重要





(1,0)
O
(0,+?) R 过点(1,0)

O
定义域 值域

(1,0)

y ? loga x (0 ? a ? 1)

X

(0,+?) R 过点(1,0) 在(0,+?)上是增函数



特殊点

单调性
奇偶性

在(0,+?)上是减函数

非奇非偶函数 无最值

非奇非偶函数 无最值
当x>1时,y<0; 当0<x<1时,y>0.



最值

当x>1时,y>0; 当0<x<1时,y<0.

例2 比较下列各组数中两个值的大小:

⑴ log 23.4 , log 28.5 ⑵ log 0.31.8 , log 0.32.7 ⑶ log a5.1 , log a5.9 ( a>0 , a≠1 )

两个同底对数比 较大小,构造一 个对数函数,然 后用单调性比较 解:⑴∵对数函数y = log 2x 在(0,+∞)上是增函数 且 3.4<8.5 ∴ log 23.4<log 28.5 ⑵∵对数函数 y = log 0.3 在(0,+∞)上是减函数, x, 且1.8<2.7

∴log 0.31.8>log 0.32.7 (3)当a>1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是增函数,于是 log a5.1<log a5.9 当0<a<1时,函数y=log ax在(0,+∞)上是减函数,于是 log a5.1>log a5.9

你能口答吗?
1 、 log0.5
6

变一变还能口答吗?
3、 若 log3 m ? log3 n,则m___n; <

4 < ______ log0.5

2、 log

1.6 1.5

1.4 > ______log1.5

4、 若 log0.7 ? log0.7 , 则m___n. >

m

n

练习1:比较大小 ① log76

< >
1

1

② log0.53

<

1

③ log67

④ log0.60.1

>1 <0 >
0

⑤ log35.1

>0 <
0

⑥ log0.12

⑦ log20.8

⑧ log0.20.6

例.比较大小
(1) log35

10

> log 3
5

(2) log32

> log 0.8
2

解:
① 因为log35 > log33 =1 ② 因为log 32

log53 < log55 =1
得:log 35

>

log 53

> 0 log 20.8 < 0 得:log 32 > log 20.8

方 法

当底数不相同,真数也不相同时,
常需引入中间值 或 (各种变形式).

0 1



比较大小:

11

1) log64

<
1 log 4 6

log74

方法
当底数不相
同,真数相 同时,写成 倒数形式比 较大小

解: ? log 6 4 ?

1 log 7 4 ? log 4 7
? 0 ? log 4 1 ? log 4 6 ? log 4 7 1 1 ? ? log 4 6 log 4 7 ? log 6 4 ? log 7 4

小结: 1.正确理解对数函数的定义; 2.掌握对数函数的图象和性质; 3.能利用对数函数的性质解决有关问题.

作业:P73

2 3.(2),(3)

探究:对数函数:y = loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性

作y=log2x图象

列 表

X

1/4

1/2

1

2

4



y=log2x

-2

-1

0

1

2



描 点
连 线

y 2
1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1 -2

探究:对数函数:y

= loga x (a>0,且a≠ 1) 图象与性质

列 y ? log2 x … -2 表 y ? log x
1 2

x



1/4 1/2
-1 1

1
0 0

2 4
1 -1



2 … -2 …



2

描 点 连 线

y 2 1
0
11 42

1 2 3

4

x

-1

-2

这两个函 数的图象 有什么关 系呢?

关于x轴对称

猜猜: 对数函数 y 2 1
0

y ? l og3 x和y ? l og1 x的图象。
y?3 log2 x

y ? log3 x
11 42

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

y ? loga x与y ? log1 x关于轴对称
a

(a ? 0且a ? 1)

y 2 1
0
11 42

y ? log2 x

y ? log3 x

1 2 3

4

x
y ? log1 x
y ? l og1 x
2

-1 -2

3

对数函数在第一象限越靠近y轴底数越大

由下面对数函数的图像判断底数a,b,c,d的大小
y

logc x logd x
1

loga x logb x

o

C

d 1

a

b

x

0< c< d < 1< a < b


解:

比较大小:

11

1) log53

<

log43

方法
当底数不相
同,真数相 同时,利用 图象判断大 y1=log4x 小. y2=log5x
x

利用对数函数图象 得到 log53 < log43
y

o

1

3

知识应用 ----定点问题

例1、求下列函数所过的定点坐标。
(1)y ? ln(4 ? x) ? 7

(2)y ? e ? loga (7x ? 2)(a ? 0, a ? 1)
总结:求对数函数的定点坐标方法是__?

令真数为1,求出X值即为定点的横坐标, 求出Y值即为定点的纵坐标. 联想:求指数函数的定点坐标方法是__?

例4.

log 1 (2 x ? 1) ? ?1
2

练习2. 不等式log2(4x+8)>log22x 的解集为


A



A.

x>0

B.

x> -4

C.

x > -2 D. x> 4

解:由对数函数的性质及定义域要求,得 4x+8>0 x > -2 2x>0 ∴ x>0 X>0 x> -4 4x+8>2x
解对数不等式时 , 注意真数大于零.

对数函数y=logax (a>0且a≠1)的图象与性质 a>1
y
x =1
y ? loga x (a ? 1)

0<a<1
y
X
x =1

图 象 性

O

(1,0)

(1,0)
O

y ? loga x (0 ? a ? 1)

X

定义域 : ( 0,+∞) 值 域 : R

质 定 点: (1 ,0), 即当x =1时,y=0
增函数 在(0,+∞)上是 减函数 在(0,+∞)上是:

回顾指数函数的图像及其性质

a>1
y

0<a<1
y=ax
(a>1)

图 象 性 质

y=ax
(0<a<1)

y
(0,1)

y=1
(0,1)

y=1 x

0

x

0

定义域: R 值 域 : (0 , + ∞) 定 点: ( 0 , 1 ) ,即 x = 0 时, y = 1 . x>0,y>1 x<0, 0<y<1 x>0,0<y<1 ; x<0,y>1; 在 R 上是 增函数 减函数
在 R 上是

类比可得对数函数的图象及性质

深入探究:函数 y=2 X与 y=log 2x的图象关系
观察(1):
x y=2x

从下表中你能发现两个函数变量间的什么关系
… … -2 -1 0 1 2 4 … …

1/4

1/2

1

2

4

16

x y=log2x

… …

1/4

1/2

1

2 1 1

4

16

… …

-2

-1

0

2

4

关系:二者的变量x,y的值互换,即:---

深入探究:函数 y=2 X与 y=log 2x 的图象关系
观察(2):

从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系
y=2 X y=x y=log 2 x



y 2
B 1●
0

A●
11 42

A*

1 2 3
B*

4

x

-1 -2

结论(1):图象关于直线y=x对称。

1 x 深入探究: y ? log1 x和y ? ( ) 图像的关系 2 2
观察(2):
从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系 y=x y 阅读教材P73—反函数 2
B 1●
0
11 42

1 2 3
B*



4

x

-1 -2

结论:图象关于直线y=x对称。

结论(2):函数 y=a X 与 y=log ax 互为反函数。

深入探究:函数 y=2 X与 y=log 2x 的图象关系
观察(2):

从图象中你能发现两个函数的图象间有什么关系
y=2 X y=x

y 2
B 1●
0

阅读教材P73—反函数
A●
11 42



y=log 2 x
A*

1 2 3
B*

4

x

-1 -2

结论(1):图象关于直线y=x对称。

结论(2):函数 y=a X 与 y=log ax 互为反函数。

作业: P74.习题2.2
A组 7 B组 2


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