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第22讲 几何证明选讲


专题九
第 22 讲

选考模块部分
[双面作业]

几何证明选讲

1.【2015 重庆卷,理 14】如题(14)图,圆 O 的弦 AB, CD 相交于点 E ,过点 A 作圆 O 的切线与 DC 的 延长线交于点 P ,若 PA ? 6, AE ? 9, PC ? 3, CE : ED ? 2 :

1 ,则 BE ? ______.

2. 【2015 广东卷, 理 15】 如图, 已知 AB 是圆 O 的直径,AB ? 4 ,EC 是圆 O 的切线, 切点为 C ,BC ? 1 。 过圆心 O 作 BC 的平行线分别交 EC 和 AC 于点 D 和点 P ,则 OD ? .

3.【2015 天津卷,理 5】如图,在圆 O 中, M , N 是弦 AB 的三等分点,弦 CD, CE 分别经过点 M , N 。 若 CM ? 2, MD ? 4, CN ? 3 ,在线段 NE 的长为 A.

8 3

B. 3 C.

10 3

D.

5 2

4.【 2015 湖北卷,理 15】如图, PA 是圆的切线, A 为切点, PBC 是圆的割线,且 BC ? 3PB ,则

AB ? AC

.

5. 【2014 陕西高考,理 15B】如图,在△ABC 中,BC=6,以 BC 为直径的半圆分别交 AB,AC 于点 E, F。若 AC=2AE,则 EF= 。

6. 【2014 全国课标高考卷Ⅰ,22 改编】如图,四边形 ABCD 是⊙O 的内接四边形,AB 的延长线与 DC 的延长线交于点 E,且 CB=CD,则∠D 与∠E 的大小关系是 。

1.【答案】 2
2 【解析】设 ED ? t ,则 PD ? 3 ? 3t ,由切割线定理 PA ? PC ? PD ,即 36 ? 3 ? (3 ? 3t ) ,解得 t ? 3 ,

所以 CE ? 2t ? 6 。由相交弦定理, AE ? EC ? AE ? ED ,即 9 EC ? 6 ? 3 ,所以 EC ? 2 2.【答案】 8 【解析】 因为 AB 为圆 O 的直径, 所以 BC ? AC , 所以 ?ABC 为直角三角形。 在 Rt?ABC 中,AC ? 15 ,

15 。 2 因 为 EC 是 圆 O 的 切 线 , 所 以 ?PCD ? ?ABC ( 弦 切 角 定 理 ) , 所 以 Rt?ABC ? Rt?DCP , 所 以 15 CD PC CD ? ,即 2 ? ,所以 CD ? 2 15 . 1 4 BC AB 因 为 EC 为 圆 O 的 切 线 , 所 以 O C? E C , 所 以 ?OCD 为 直 角 三 角 形 , 所 以
因为 BC ? AC , OD ∥ BC ,所以 OD ? AC ,所以 P 为 AC 中点,所以 CP ?

OD ? CD2 ? OC 2 ? 60 ? 4 ? 8 。
3.【答案】A 【解析】利用相交弦定理求出 AM 的长度,再使用相交弦定理求解 NE 。设 AM ? x ,则 MB ? 2 x ,根 据相交弦定理得 x ? 2 x ? 2 ? 4 ,解得 x ? 2 ,故 AN ? 4, NB ? 2 ,再根据相交弦定理得 4 ? 2 ? 3 ? NE ,得

NE ?

8 。 3 1 2
2 2

4.【答案】

【解析】由切割线定理, PA ? PB ? PA ? 4 PB ,所以 PA ? 2 PB 。 由弦切角定理,得 ?BAP ? ?PCA , ?P ? ?P ,所以 ?ABP ? ?CAP ,所以

AB BP BP 1 ? ? ? . AC AP 2 BP 2

5.【答案】3【解析】因为四边形 BCFE 内接于圆,所以∠AEF=∠ACB,又∠A 为公共角,所以△AEF∽ EF AE △ACB,所以BC =AC ,又 BC=6,AC=2AE,所以 EF=3。 6.【答案】∠D=∠E【解析】由 A,B,C,D 四点共圆,得∠D=∠CBE。由已知得∠CBE=∠E。所以∠D=∠ E。 [教师专属栏目] 知识必备 几 相 平行 等分线段 如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等, 那么在任一条 (与这组平行

何 证 明 选 讲

似 三 角 形

线 截割定理

判定定理 相似 三角 形 性质定理

圆中 的角 直 线 与 圆 的 位 置 关 系

圆周角 定理 弦切角 定理

线相交的)直线上截得的线段也相等. 两条直线与一组平行线相交,它们被这组平行线截得的对应线段成比例. 两角对应相等的两三角形相似。 推论:如果一条直线与一个三角形的 两边对应成比例且两夹角相等的两 一条边平行,且与三角形的另两边相 三角形相似。 交, 则截得的三角形与原三角形相似. 三边对应成比例的两三角形相似。 直角三角形射影定理: 直角三角形一条直角边的平方等于在 相似三角形的对应线段的比等于相 斜边上的射影与斜边的乘积,斜边上 似比,面积比等于相似比的平方. 的高等于两直角边在斜边上射影的乘 积. 推论 1:同弧(或等弧)上的圆周角相等.同圆或 等圆中,相等的圆周角所对的弧相等. 圆周角的度数等于其 ? 所对弧度数的一半. 推论 2: 半圆 (或直径) 上的圆周角等于 90 .反之,

90? 的圆周角所对的弦为直径。
弦切角的度数等于所 推论:同弧(或等弧)上的弦切角相等,同弧(或 夹弧度数的一半. 等弧)上的弦切角与圆周角相等. 过半径外端且与这条半径垂直的直线是圆的切 切线长定理:从圆外一点 线. 引圆的两条切线长相等. 圆的切线垂直于经过切点的半径. 圆的两条相交弦,被交点分成两段的积相等. 从圆外一点引圆的两条割线, 这点到每条割线与圆的交点的两条线段的积相 等. 从圆外一点引圆的一条割线和一条切线, 切线长是这点到割线与圆的两个交 点的线段的等比中项. 圆内接四边形对角互补. 如果四边形的对角互补,则此四边形内接与圆.

圆的 切线

判定 性质 相交弦 定理 割线 定理 切割线 定理 判定定理 性质定理

圆中 比例 线段

圆内 接四 边形

考点 1 相似三角形的判定及性质 考点 1 相似三角形的判定及性质 题型:、解答题 平行截割定理 →计算线段长度。 分值:10 ↓ 难度:中等。 三角形相似 →利用三角形相似证明比例线段以及相关计算。 热点:相似三角形的证明。 ↓ 直角三角形射影定理 →证明等量关系或者进行相关计算。 2011T22、2012T22、2013 全国新课标卷ⅡT22,2014 全国课标卷ⅠT22、卷ⅡT22、2015 全国课标卷ⅠT22、 卷ⅡT22 例 1. 【2015 云南省高三第一次统考,理 22】如图, 的平分线交 BC 于点 F, D 是 AF 的延长线与 的交点,AC 的延线与 的切线 DE 交于点 E。 (1)求证: (2)若 【解析】 求 BF 的值。

小结: :证明三角形相似的根据是三个判定定理。在解决三角形与圆综合的问题中要充分利用圆中的角和 比例线段达到证明三角形相似的目的。 【变式题】如图,PA,PB 是圆 O 的两条切线,A,B 是切点,C 是劣弧 AB(不包括端点)上一点,直线 PC 交圆 O 于另一点 D,Q 在弦 CD 上,且∠DAQ = ∠PBC。求证: BD BC ( 1) ; ? AD AC (2)ΔADQ ∽ ΔDBQ。

【解析】 (1)连结 AB .因为△ PBC ∽△ PDB ,所以 同理

BD PD ? . BC PB

AD PD ? . AC PA BD AD BD BC ? ? ,即 . BC AC AD AC

又因为 PA ? PB ,所以

A

O D Q B C

P

(2)因为 ?BAC ? ?PBC ? ?DAQ , ?ABC ? ?ADQ , 所以△ ABC ∽△ ADQ ,即

BC DQ BD DQ ,故 。 ? ? AC AQ AD AQ

考点 2 直线与圆的位置关系 圆中的角→圆周角定理、圆心角、弦切角定理的应用。 题型:、解答题 ↓ 分值:10 难度:中等。 圆的切线→圆的切线的判断和性质。 热点:圆的切线的判断和圆幂定理的应用。 ↓ 圆幂定理→圆幂定理的应用。 2013 全国新课标卷ⅠT22,2014 全国课标卷ⅠT22、卷ⅡT22.、 2016 全国课标卷ⅠT22、卷ⅡT22. 例 2.【2015 全国卷Ⅰ,理 22】如图, AB 是 ? O 的直径, AC 是 ? O 的切线, BC 交 ? O 于点 E 。 (1)若 D 为 AC 的中点,证明: DE 是 ? O 的切线; (2)若 OA ? 3CE ,求 ?ACB 大大小。

【解析】 :(1)证明:连接 AE,由已知得,AE⊥BC,AC⊥AB. 在 Rt△AEC 中,由已知得,DE=DC,故∠DEC=∠DCE. 连接 OE,则∠OBE=∠OEB. 又∠ACB+∠ABC=90° ,所以∠DEC+∠OEB=90° ,故∠OED=90° ,即 DE 是⊙O 的切线. 2 (2)设 CE=1,AE=x,由已知得 AB=2 3,BE= 12-x . 由射影定理可得,AE2=CE· BE,所以 x2= 12-x2,即 x4+x2-12=0, 可得 x= 3,所以∠ACB=60° .

小结:圆的问题中核心是“三个角(圆周角、圆心角、弦切角)”和“三个定理(割线定理、切割线定理、相 交弦定理”,在解决圆的问题时要充分注意三角三定理的应用。 【变式题】 【2015 东北三省三校二模,理 22】 如图,已知点 C 在圆 O 直径 BE 的延长线上,CA 切圆 O 于点 A,CD 是 ? ACB 的平分线,交 AE 于点 F,交 AB 于点 D. (1)求证:CE ?AB=AE ?AC; (2)若 AD:DB=1:2,求证:CF=DF.

【解析】 (1)由 ?ACE ∽ ?BCA ,得

CE AE ? , CE ? AB ? AE ? AC AC AB

A
C

D
O

E

F

B

(2)? CD 平分 ?ACB , ??ACF ? ?BCD ? AC 为圆的切线,??CAE ? ?CBD ??ACF ? ?CAE ? ?BCD ? ?CBD ,即 ?AFD ? ?ADF ,所以 AF =AD ? ?ACF ∽ ?BCD

?

CF AF AD 1 ? ? ? ,? CF ? DF CD BD BD 2

考点 3 圆内接四边行的性质和判定定理的应用 圆内接四边形的性质→利用性质判断角的相等 ↓ 圆内接四边形的判定→利用四边形的对角和判断其是否为圆内接四边形。 2011T22、2013 全国新课标卷ⅡT22、2014 全国新课标卷ⅡT22。 例 3. 【2015 河南省高考适应性测试,理 22】如图, ?ABC 是直角三角形, ?ACB ? 90? ,以 AC 为直 径的圆 O 交 AB 于 F ,点 D 是 BC 的中点,连结 O 交圆 O 于点 E 。 (1)求证: O, C , D, F 四点共圆;
2 (2)求证: 2 DF ? DE ? AB ? DE ? AC 。

题型:、解答题 分值:10 难度:中等。 热点:圆内接四边形的判定和性质的应用。

【解析】 (1)连接 CF , OF ,因为 AC 为直径,则 CF ? AB , 因为 O, D 分别为 AC , BC 的中点,所以 OD ∥ AB ,所以 CF ? OD .

因为 OF ? OC ,则 ?EOF ? ?EOC ,且 OD ? OD , ? 则 ?OCD ? ?OFD ,所以 ?OCD ? ?OFD ? 90 , 所以 O, C , D, F 四点共圆. (2)设圆的半径为 r ,因为 OF ? FD ,所以 FD 是圆的切线. 2 所以 DF ? DE ? ( DE ? 2r ) ? DE ? ( DO ? r )

1 1 ? DE ? DO ? DE ? r ? DE ? AB ? DE ? AC 2 2 2 故 2 DF ? DE ? AB ? DE ? AC 。
小结:四点共圆的判定根据的是圆内接四边形的判定定理,证明四点共圆后,再根据圆内接四边形的性质 定理、圆幂定理等得到需要的结论。 【变式题】 【2015 河北唐山一模,理 22】如图,圆周角 ???C 的平分线与圆交于点 D ,过点 D 的切线 与弦 ? C 的延长线交于点 ? , ?D 交 ? C 于点 F . (1)求证: ?C//D? ;

?C ? ? ?C ,求 ???C . (2)若 D , ? , C , F 四点共圆,且 ?

【解析】 (1)证明:因为∠EDC=∠DAC,∠DAC=∠DAB,∠DAB=∠DCB, 所以∠EDC=∠DCB, 所以 BC∥DE.
E C D F A B

(2)解:因为 D,E,C,F 四点共圆,所以∠CFA=∠CED 由(1)知∠ACF=∠CED,所以∠CFA=∠ACF. 设∠DAC=∠DAB=x, ⌒ =BC ⌒ ,所以∠CBA=∠BAC=2x, 因为AC 所以∠CFA=∠FBA+∠FAB=3x, 在等腰△ACF 中,π=∠CFA+∠ACF+∠CAF=7x,则 x= 2π 所以∠BAC=2x= 7 . 教师备用例题 例 1.【配例 1 使用,重点为三角形相似的证明方法】如图,D,E 分别为 ?ABC 边 AB ,AC 的中点,直 线 DE 交于 ?ABC 的外接圆于 F,G 两点,若 BC=2EF,证明: (1) CF ∥ AB ; (2) ?BCD ∽ ?GBD π , 7

例 2.【配例 2 使用,重点是如何证明直线为圆的切线】

【解析】(1)连接 AC , OC , AB 是直径,则 BC ? AC , 由 BC ∥ OD ,得 OD ? AC , ∴ OD 是 AC 的中垂线, ∴ ?OCA ? ?OAC , ?DCA ? ?DAC , ∴ ?OCD ? ?OCA ? ?DCA ? ?OAC ? ?DAC ? 90 , ∴ OC ? DE ,所以 DE 是圆 O 的切线. . ( 2 ) ∵ BC ∥ OD , ∴ ?CBA ? ?DOA , E ?BCA ? ?DAO , BC AB ∴ ?ABC ∽ ?DOA ,∵ , ? OA OD
?

D

C

B

O

A

∴ BC ? ∴

OA ? AB 1? 2 2 5 , ? ? OD 5 5

BE BC 2 ? ? , OE OD 5 2 BE 2 ∴ ? , ∴ BE ? . OB 3 3 例 3.【配例 3 使用,重点是证明四点共圆的方法】已知, AB 为圆 O 的直径, CD 为垂直 AB 的一条弦, 垂足为 E ,弦 AG 交 CD 于 F (1)求证: E、F、G、B 四点共圆; (2)若 GF ? 2 FA ? 4 ,求线段 AC 的长.

【解析】 (1)如图,连结 GB ,由 AB 为圆 O 的直径可知 ?AGB ? 90? 又 CD ? AB ,所以 ?AGB ? ?BEF ? 90? , 因此 E、F、G、B 四点共圆。

C F A E D O

G

B

(2)连结 BC ,由 E、F、G、B 四点共圆得 AF ? AG ? AE ? AB 又 AF ? 2, AG ? 6 ,所以 AE ? AB ? 12 因为在 Rt ?ABC 中, AC 2 ? AE ? AB 所以 AC ? 2 3 。 专题训练【第 22 讲 几何证明选讲】 1.【2015 江西省八所重点中学高三联考, 理 22】 如图, 直线 PQ 与⊙O 相切于点 A, AB 是⊙O 的弦, ?PAB 的平分线 AC 交⊙O 于点 C,连结 CB,并延长与直线 PQ 相交于 Q 点, (1)求证: QC ? BC ? QC 2 ? QA2 ; (2)若 AQ=6,AC=5.求弦 AB 的长.

【解析】 (1)∵PQ 与⊙O 相切于点 A,∴ ?PAC ? ?CBA ∵ ?PAC ? ?BAC ∴ ?BAC ? ?CBA ∴AC=BC=5 由切割线定理得:

QA2 ? QB ? QC ? ?QC ? BC ?QC

∴ QC ? BC ? QC 2 ? QA2 (2) 由 AC=BC=5,AQ=6 及(1) , 知 QC=9 由 ?QAB ? ?ACQ 知 ?QAB ∽ ?QCA ∴

AB QA ? AC QC



AB ?

10 . 3

2. 【2015 新疆乌鲁木齐三诊,理 22】

【解析】 (1)如图,依题意知, BC 为半圆 O 的直径, A 为半圆 O 上一点,∴ ?BAC ? 90? ,又 AD ? BC , ∴ ?BAD ? ?ACD ,又 PA 为半圆 O 的切线, ∴ ?PAB ? ?ACD ,∴ ?PAB ? ?BAD , 即 AB 平分 ? PA D ;

(2)连结 AC ,∵ ?PAB ? ?PCA , ? P ∴

? P ,∴ ?PA B ∽ ?PCA ,

PA PB AB ? ? ,在 Rt D BA C 中, A D ^ CD 于点 D , PC PA AC AB AD BD PA AD PB BD ? ? ? , ? ∴ ,∴ , AC CD AD PC CD PA AD PC PA PB PA PB PC PB BD ? , ? ? ? ∴ ,故 ,即 . DC AD BD AD BD CD PC CD
3. 【2015 江西九江三模,理 22】

【解析】 (1)连结 OE ,? PE 切圆 O 于点 E ,

? OE ? PE ??PEF ? ?FEO ? 900 0 又? AB ? CD ??B ? ?BFM ? 90 又? ?B ? ?FEO , ? ?BFM ? ?PEF … (2)? ?EFP ? ?BFM ,? ?EFP ? ?PEF ,? PE ? PF 2 2 又? PE ? PD ? PC ,? PF ? PD ? PC …
A E O C M F B D P

4. 【2015 云南昆明质检二,理】

【答案】

5. 【2015 山西名校联盟考前检测,理 22】

【解析】

6. 【2015 河北石家庄一模,理 22】如图,已知 ? O 和 ? M 相交于 A、B 两点,AD 为 ? M 的直径,

延长 DB 交 ? O 于 C,点 G 为弧 BD 中点,连结 AG 分别交 ? O、BD 于点 E、F,连结 CE. (1)求证: AG ? EF ? CD ? GD GF EF 2 ? (2)求证: AG CE 2 【解析】 (1)连结 AB , AC , ∵ AD 为 ? M 的直径,∴ ?ABD ? 900 , ∴ AC 为 ? O 的直径 , ∴ ?CEF ? ?AGD=900 , ∵ ?DFG ? ?CFE ,∴ ?ECF ? ?GDF , ∵ G 为弧 BD 中点,∴ ?DAG ? ?GDF , ∴ ?DAG ? ?ECF , ?ADG ? ?CFE CE AG ? ∴ ?CEF ∽ ?AGD ,∴ , ∴ AG ? EF ? CE ? GD 。 EF GD

A M E O B C F G D

(2)由(1)知 ?DAG ? ?GDF , ?G ? ?G ,∴ ?DFG ∽ ?AGD , ∴ DG 2 ? AG ? GF , 由(1)知

EF 2 GD 2 GF EF 2 ? ? ,∴ . CE 2 AG 2 AG CE 2


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