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直线和圆的三种位置关系知识点


(1) 直线和圆的三种位置关系: ①相离:一条直线和圆没有公共点. ②相切:一条直线和圆只有一个公共点,叫做这条直线和圆相切,这条直线叫圆的切线,唯一的公共点叫切点. ③相交:一条直线和圆有两个公共点,此时叫做这条直线和圆相交,这条直线叫圆的割线. (2)判断直线和圆的位置关系:设⊙O 的半径为 r,圆心 O 到直线 l 的距离为 d. ①直线 l 和⊙O 相交?d<r ②直线 l 和⊙O 相切?d=r ③直线 l 和⊙O 相离?d>r. (2) (1)切线的性质 ①圆的切线垂直于经过切点的半径. ②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点. ③经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心. (2)切线的性质可总结如下: 如果一条直线符合下列三个条件中的任意两个,那么它一定满足第三个条件,这三个条件是:①直线过圆心; ②直线过切点;③直线与圆的切线垂直. (3)切线性质的运用 由定理可知,若出现圆的切线,必连过切点的半径,构造定理图,得出垂直关系.简记作:见切点,连半径, 见垂直. (3) (1)切线的判定定理:经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线. (2)在应用判定定理时注意: ①切线必须满足两个条件:a、经过半径的外端;b、垂直于这条半径,否则就不是圆的切线. ②切线的判定定理实际上是从”圆心到直线的距离等于半径时,直线和圆相切“这个结论直接得出来的. ③在判定一条直线为圆的切线时,当已知条件中未明确指出直线和圆是否有公共点时,常过圆心作该直线的垂 线段,证明该线段的长等于半径,可简单的说成“无交点,作垂线段,证半径”;当已知条件中明确指出直线与 圆有公共点时,常连接过该公共点的半径,证明该半径垂直于这条直线,可简单地说成“有交点,作半径,证垂 直”. (4) (1)内切圆的有关概念: 与三角形各边都相切的圆叫三角形的内切圆,三角形的内切圆的圆心叫做三角形的内心,这个三角形叫做圆的 外切三角形.三角形的内心就是三角形三个内角角平分线的交点. (2)任何一个三角形有且仅有一个内切圆,而任一个圆都有无数个外切三角形. (3)三角形内心的性质: 三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角. (5) (1)圆与圆的五种位置关系:①外离;②外切;③相交;④内切;⑤内含. 如果两个圆没有公共点,叫两圆相离.当每个圆上的点在另一个圆的外部时,叫两个圆外离,当一个圆上的点 都在另一圆的内部时,叫两个圆内含,两圆同心是内含的一个特例;如果两个圆有一个公共点,叫两个圆相切, 相切分为内切、外切两种;如果两个圆有两个公共点叫两个圆相交. (2)圆和圆的位置与两圆的圆心距、半径的数量之间的关系:①两圆外离?d>R+r; ②两圆外切?d=R+r; ③两圆相交?R-r<d<R+r(R≥r) ; ④两圆内切?d=R-r(R>r) ; ⑤两圆内含?d<R-r(R>r) .


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