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2012年全国高考(湖南卷)理科数学试题及答案解析


?
2012 年普通高等学校招生全国统一考试(湖南卷) 数学(理工农医类) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.设集合 M={-1,0,1},N={x|x2≤x},则 M∩N= A.{0} B.{0,1} C.{-1,1} D.{-1,0,0} 【答案】B 【解析】? N ? ? 0,

1? M={-1,0,1} ? M∩N={0,1}. 【点评】本题考查了集合的基本运算,较简单,易得分. 先求出 N ? ? 0,1? ,再利用交集定义得出 M∩N. 2.命题“若α = A.若α ≠

?
4

,则 tanα =1”的逆否命题是 B. 若α =

?
4

,则 tanα ≠1

?
4

,则 tanα ≠1

C. 若 tanα ≠1,则α ≠ 【答案】C

?
4

D. 若 tanα ≠1,则α =

?
4

【解析】因为“若 p ,则 q ”的逆否命题为“若 ? p ,则 ? q ” ,所以 “若α = α =1”的逆否命题是 “若 tanα ≠1,则α ≠

?
4

,则 tan

”. 4 【点评】本题考查了“若 p,则 q”形式的命题的逆命题、否命题与逆否命题,考查分析问 题的能力. 3.某几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示,则该几何体的俯视图不可能是

?

【答案】D 【解析】本题是组合体的三视图问题,由几何体的正视图和侧视图均如图 1 所示知,原图下 面图为圆柱或直四棱柱,上面是圆柱或直四棱柱或下底是直角的三棱柱,A,B,C都可能 是该几何体的俯视图, D不可能是该几何体的俯视图, 因为它的正视图上面应为如图的矩形.

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?

【点评】本题主要考查空间几何体的三视图,考查空间想象能力.是近年高考中的热点题型. 4.设某大学的女生体重 y(单位:kg)与身高 x(单位:cm)具有线性相关关系,根据一组
y 样本数据(xi,yi) (i=1,2,?,n) ,用最小二乘法建立的回归方程为 ? =0.85x-85.71,则

下列结论中不正确的是 A.y 与 x 具有正的线性相关关系 B.回归直线过样本点的中心( x , y ) C.若该大学某女生身高增加 1cm,则其体重约增加 0.85kg D.若该大学某女生身高为 170cm,则可断定其体重比为 58.79kg 【答案】D
y 【解析】 【解析】由回归方程为 ? =0.85x-85.71 知 y 随 x 的增大而增大,所以 y 与 x 具有正

的 线 性 相 关 关 系 , 由 最 小 二 乘 法 建 立 的 回 归 方 程 得 过 程 知
? y ? bx ? a ? bx ? y ? bx ( a ? y ? bx ) ,所以回归直线过样本点的中心( x , y ) ,利用回归

方程可以预测估计总体,所以 D 不正确. 【点评】本题组要考查两个变量间的相关性、最小二乘法及正相关、负相关的概念,并且是 找不正确的答案,易错. 5. 已知双曲线 C : 为 A.
x
2

x a

2 2

-

y b

2 2

=1 的焦距为 10 ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,则 C 的方程

20

-

y

2

5

=1 B.

x

2

5

-

y

2

20

=1 C.

x

2

80 20

-

y

2

=1

D.

x

2

20 80

-

y

2

=1

[w~#ww.zz&st^ep.com@]

【答案】A 【解析】设双曲线 C :
x a
2 2

-

y b

2 2

=1 的半焦距为 c ,则 2 c ? 10, c ? 5 .
b a ?2 ,即 a ? 2 b .

又? C 的渐近线为 y ? ?

b a

x ,点 P (2,1)在 C 的渐近线上,? 1 ?
x
2

又 c ? a ? b ,? a ? 2 5,b ?
2 2 2

5 ,? C 的方程为

20

-

y

2

5

=1.

【点评】本题考查双曲线的方程、双曲线的渐近线方程等基础知识,考查了数形结合的思想 和基本运算能力,是近年来常考题型.
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?
6. 函数 f(x)=sinx-cos(x+

?
6

)的值域为
3 2 3 2

A. [ -2 ,2] 【答案】B

B.[- 3 , 3 ]

C.[-1,1 ]

D.[-

,

]

【 解 析 】 f ( x ) =sinx-cos(x+
? sin( x ?

?
6

) ? sin x ?

3 2

cos x ?

1 2

sin x ?

3 sin( x ?

?
6

) ,

?
6

) ? ? ? 1,1? ,? f ( x ) 值域为[- 3 , 3 ].

【点评】利用三角恒等变换把 f ( x ) 化成 A sin(? x ? ? ) 的形式,利用 sin(? x ? ? ) ? ? ? 1,1? , 求得 f ( x ) 的值域.
??? ??? ? ? 7. 在△ABC 中,AB=2,AC=3, AB ?BC = 1 则 BC ? ___ .

[中&%国教*^育出版~网]

A. 3

B. 7

C. 2 2

D. 23

【答案】A
??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? 【解析】由下图知 AB ?BC = AB BC cos(? ? B ) ? 2 ? BC ? ( ? cos B ) ? 1 .
1 ? 2 BC

? cos B ?

.又由余弦定理知 cos B ?

AB ? BC ? AC
2 2

2

2 AB ? BC

,解得 BC ?

3.

A

B

C

【点评】本题考查平面向量的数量积运算、余弦定理等知识.考查运算能力,考查数形结合 ??? ??? ? ? 思想、等价转化思想等数学思想方法.需要注意 AB , BC 的夹角为 ? B 的外角.

8.已知两条直线 l1 :y=m 和 l 2 : y=

8 2m ? 1

(m>0),l1 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右

相交于点 A,B , l 2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长度分别为 a ,b ,当 m 变化时, A. 16 2 B. 8 2 C. 8 4 D. 4 4
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b a

的最小值为

[来源%&:中国~*教 育#出 版网]

?
【答案】B 【解析】在同一坐标系中作出 y=m,y=
8 2m ? 1

(m>0), y ? log 2 x 图像如下图,
8 2m ? 1
m

?m m 由 log 2 x = m,得 x1 ? 2 , x 2 ? 2 , log 2 x =

,得 x 3 ? 2
8

?

8 2 m ?1

8

, x4 ? 2

2 m ?1

.

依照题意得 a ? 2

?m

?2

?

8 2 m ?1

8

2 ?2 , b a ? 2
?m

2 m ?1
8

,b ? 2 ? 2
m

2 m ?1

?2

?

8 2 m ?1

?2 2
m

2 m ?1

?2

m?

8 2 m ?1

.

?m?

8 2m ? 1

?m?

1 2

?

4 m? 1 2

?

1 2

? 4?

1 2

?3

1

b ,? ( ) min ? 8 2 . a 2

y ? log 2 x
C
D
y? 8 2m ? 1

A
1

B

y?m

O

x

(m>0), y ? log 2 x 图像,结合图像可解得. 2m ? 1 二 、填空题: 本大题共 8 小题,考生作答 7 小题,每小题 5 分 ,共 35 分,把答案填在答 【点评】在同一坐标系中作出 y=m,y= 题卡中对应题号后的横线上. (一)选做题(请考生在第 9、10、 11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分 )
? x ? t ? 1, ? x ? a sin ? , 9. 在直角坐标系 xOy 中,已知曲线 C 1 : ? (t 为参数)与曲线 C 2 : ? ? y ? 1 ? 2t ? y ? 3 cos ?

8

( ? 为参数, a ? 0 ) 有一个公共点在 X 轴上,则 a ? __ . 【答案】
3 2
? x ? t ? 1, 3 【解析】曲线 C 1 : ? 直角坐标方程为 y ? 3 ? 2 x ,与 x 轴交点为 ( , 0) ; 2 ? y ? 1 ? 2t
2 2 ? x ? a sin ? , x y ? 1 ,其与 x 轴交点为 ( ? a , 0), ( a , 0) , 曲线 C 2 : ? 直角坐标方程为 2 ? a 9 ? y ? 3 cos ?

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?
由 a ? 0 ,曲线 C 1 与曲线 C 2 有一个公共点在 X 轴上,知 a ?
3 2

.

【点评】本题考查直线的参数方程、椭圆的参数方程,考查等价转化的思想方法等.曲线 C 1 与曲线 C 2 的参数方程分别等价转化为直角坐标方程,找出与 x 轴交点,即可求得. 10.不等式|2x+1|-2|x-1|>0 的解集为_______.
? 1? 【答案】 ? x x ? ? 4? ?

1 ? ? 3, ( x ? ? ) ? 2 ? 1 ? 【解析】令 f ( x ) ? 2 x ? 1 ? 2 x ? 1 ,则由 f ( x ) ? ? 4 x ? 1, ( ? ? x ? 1) 得 f ( x ) ? 0 的解集 2 ? 3, ( x ? 1) ? ? ?
? 1? 为?x x ? ? . 4? ?

【点评】绝对值不等式解法的关键步骤是去绝对值,转化为代数不等式(组). 11.如图 2,过点 P 的直线与圆 O 相交于 A,B 两点.若 PA=1,AB=2,PO=3,则圆 O 的半径 等于_______.

O

P
B A

【答案】 6 【解析】设 PO 交圆 O 于 C,D,如图,设圆的半径为 R,由割线定理知
PA ? PB ? PC ? PD , 即1 ? (1 ? 2) ? (3 - r )(3 ? r ),? r ?
D

6.

?
O
B

C P
A

【点评】 本题考查切割线定理, 考查数形结合思想, 由切割线定理知 PA ? PB ? PC ? PD ,
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?
从而求得圆的半径. (二)必做题(12~16 题) 12.已知复数 z ? (3 ? i ) 【答案】10
2 2 【解析】 z ? (3 ? i ) = 9 ? 6 i ? i ? 8 ? 6 i , z ?

2

(i 为虚数单位),则|z|=_____.

8 ? 6 ? 10 .
2 2

【点评】本题考查复数的运算、复数的模.把复数化成标准的 a ? bi ( a , b ? R ) 形式,利用
z ? a ? b 求得.
2 2

13.( 2 x -

1 x

)6 的二项展开式中的常数项为

.(用数字作答)

【答案】-160 【解析】( 2 x 1 x

)6 的展开式项公式是 Tr ?1 ? C 6 (2 x )
r

6? r

(?

1 x

) ? C6 2
r r

6? r

(? 1) x
r

3? r

.

由题意知 3 ? r ? 0, r ? 3 ,所以二项展开式中的常数项为 T4 ? C 6 2 ( ? 1) ? ? 160 .
3 3 3

【点评】 本题主要考察二项式定理, 写出二项展开式的通项公式是解决这类问题的常规办法. 14.如果执行如图 3 所示的程序框图,输入 x ? ? 1 ,n=3,则输出的数 S= .

【答案】 ? 4 【 解 析 】 输 入 x ? ? 1 ,n=3, , 执 行 过 程 如 下 : i ? 2 : S ? ? 6 ? 2 ? 3 ? ? 3 ;
i ? 1 : S ? ? 3( ? 1) ? 1 ? 1 ? 5 ; i ? 0 : S ? 5( ? 1) ? 0 ? 1 ? ? 4 ,所以输出的是 ? 4 .

【点评】本题考查算法流程图,要明白循环结构中的内容,一般解法是逐步执行,一步步将
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?
执行结果写出,特别是程序框图的执行次数不能出错. 15.函数 f(x)=sin ( ? x ? ? )的导函数 y ? f ?( x ) 的部分图像如图 4 所示,其中,P 为图像与 y 轴的交点,A,C 为图像与 x 轴的两个交点,B 为图像的最低点. (1)若 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 2

) ,则 ? ?

;

ABC 与 x 轴所围成的区域内随机取一点,则该点在△ABC 内的概率 (2)若在曲线段 ?



.

【答案】 (1)3; (2)

?
4

【解析】 (1) y ? f ?( x ) ? ? cos(? x ? ? ) ,当 ? ?

?
6

,点 P 的坐标为(0,

3 3 2

)时

? cos

?
6

?

3 3 2

,? ? ? 3 ;

2?

(2)由图知 AC ? 设 曲 线 段
S ?

T

? 1 ? ? ? ? , S ? ABC ? AC ? ? ? ,设 A , B 的横坐标分别为 a , b . 2 2 ? 2 2

b a

? ABC

x

轴 所 围 成 的 区 域 的 面 积 为

S



?

b a

f ?( x )dx ? f ( x )

? sin(? a ? ? ) ? sin(? b ? ? ) ? 2 ,由几何概型知该点在△ABC

? ? ? 2 ? . S 2 4 【点评】本题考查三角函数的图像与性质、几何概型等, (1)利用点 P 在图像上求 ? ,
内的概率为 P ?
S ? ABC

(2)几何概型,求出三角形面积及曲边形面积,代入公式即得.

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?
16.设 N=2n(n∈N*,n≥2) ,将 N 个数 x1,x2,?,xN 依次放入编号为 1,2,?,N 的 N 个位 置,得到排列 P0=x1x2?xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并按原顺序依次 N N 放入对应的前 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3?xN-1x2x4?xN,将此操作称为 C 变换, 2 2 N 将 P1 分成两段,每段 个数,并对每段作 C 变换,得到 p 2 ;当 2≤i≤n-2 时,将 Pi 分成 2 N 2i 段,每段 i 个数,并对每段 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时,P2=x1x5x3x7x2x6x4x8, 2 此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第___个位置; (2)当 N=2n(n≥8)时,x173 位于 P4 中的第___个位置. 【答案】 (1)6; (2) 3 ? 2 【解析】 (1)当 N=16 时,
P0 ? x1 x 2 x3 x 4 x5 x 6 ? x16 ,可设为 (1, 2, 3, 4, 5, 6, ? ,16) ,
P1 ? x1 x3 x5 x7 ? x15 x 2 x 4 x6 ? x16 ,即为 (1, 3, 5, 7, 9, ? 2, 4, 6, 8, ? ,16) , P2 ? x1 x5 x9 x13 x3 x 7 x11 x15 x 2 x 6 ? x16 ,即 (1, 5, 9,13, 3, 7,11,15, 2, 6, ? ,16) , x7 位于 P2 中的第 6
n?4

? 11

个位置,; (2)方法同(1),归纳推理知 x173 位于 P4 中的第 3 ? 2
n?4

? 11 个位置.

【点评】本题考查在新环境下的创新意识,考查运算能力,考查创造性解决问题的能力. 需要在学习中培养自己动脑的习惯,才可顺利解决此类问题. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17.(本小题满分 12 分) 某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示.
一次购物量 顾客数(人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x

y
2.5

结算时间(分钟/人) 1

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%. (Ⅰ)确定 x,y 的值,并求顾客一次购物的结算时间 X 的分布列与数学期望; (Ⅱ)若某顾客到达收银台时前面恰有 2 位顾客需结算,且各顾客的结算相互独立,求该顾 客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. ...
[&%中国教育出~版 网*#]

(注:将频率视为概率)

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【解析】 (1)由已知,得 25 ? y ? 10 ? 55, x ? y ? 35, 所以 x ? 15, y ? 20. 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所以收集的 100 位顾客一次购物的结算 时间可视为总体的一个容量随机样本,将频率视为概率得 15 3 30 3 25 1 p ( X ? 1 )? ? , p (X ? 1 . 5?) ? p, X( ? 2) ? ? , 100 20 100 10 100 4

第 8 页 共 18 页

?
p( X ? 2 . 5 ? )
X 的分布为

20 100

?

1 5

p X ? , (

3? )

10 100

?

1 10

.

X P X 的数学期望为
E ( X )? 1 ? 3 20 ? 1 ?5 .

1
3 20

1.5
3 10

2
1 4

2.5
1 5

3
1 10

1 ? ?2 ? 10 4

3

1 ? .5 ? 2 ? 5

1 3? 10

. 1.9 为该顾客前面

2 ) , 1 (Ⅱ)记 A 为事件“该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟” X i ( i ? ,

第 i 位顾客的结算时间,则
P ( A)? P ( X ? 且 1 1 X ? 1 ) P (1X ? 1 ? 且 2
2

X ? 1 . 5 ) P 1 X ?且 1 . 2 X .? ? ( 5

1)

由于顾客的结算相互独立,且 X 1 , X 2 的分布列都与 X 的分布列相同,所以
P ( A ) ? P ( X ? 1 ? (P 2X ? 1 ) P ( X ? 1? P 2 (X ? ) ? ) 1 1
? 3 20 ? 3 20 ? 3 20 ? 3 10 ? 3 10 ? 3 20 ? 9 80

1 . ? ) P1 X( ? 5

1?. 5P) X ? ( 2

1)

.
9

故该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率为

. 80 【点评】本题考查概率统计的基础知识,考查分布列及数学期望的计算,考查运算能力、分 析问题能力.第一问中根据统计表和 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 55%知
25 ? y ? 10 ? 100 ? 55%, x ? y ? 35, 从而解得 x , y ,计算每一个变量对应的概率,从而求

得分布列和期望;第二问,通过设事件,判断事件之间互斥关系,从而求得 该顾客结算前的等候时间不超过 2.5 分钟的概率. ... 18.(本小题满分 12 分) 如图 5,在四棱锥 P-ABCD 中,PA⊥平面 ABCD,AB=4,BC=3,AD=5,∠DAB=∠ ABC=90°,E 是 CD 的中点. (Ⅰ)证明:CD⊥平面 PAE; (Ⅱ) 若直线 PB 与平面 PAE 所成的角和 PB 与平面 ABCD 所成的角相等, 求四棱锥 P-ABCD 的体积.
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?

【解析】 解法 1(Ⅰ如图(1),连接 AC,由 AB=4, BC ? 3 , ? ABC ? 90 ,得 AC ? 5. )
?

又 AD ? 5, E是CD的中点,所以 CD ? AE . ? PA ? 平 面 ABCD , CD ? 平 面 ABCD , 所以 PA ? CD .

而 PA, AE是 平 面 PAE 内的两条相交直线,所以 CD⊥平面 PAE. (Ⅱ)过点B作 BG ? ? CD , 分 别 与 AE , AD 相 交 于 F , G , 连 接 PF . 由(Ⅰ)CD⊥平面 PAE 知,BG⊥平面 PAE.于是 ? BPF 为直线PB与平面 PAE 所成的角,且 BG ? AE . 由 PA ? 平 面 ABCD 知, ? PBA 为直线 PB 与平面 ABCD 所成的角.

AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 由题意,知 ? PBA ? ? BPF ,

因为 sin ? PBA ?

PA PB

, sin ? BPF ?
?

BF PB

, 所以 PA ? BF .

由 ? DAB ? ? ABC ? 90 知 , AD / / BC , 又 BG / / CD , 所以四边形 BCDG 是平行四边形, 故 GD ? BC ? 3. 于是 AG ? 2. 在 RtΔBAG 中, AB ? 4, AG ? 2, BG ? AF , 所以
AB
2

BG ?

AB ? AG ? 2 5 , BF ?
2 2

BG

?

16 2 5

?

8 5 5

.

于是 PA ? BF ?

8 5 5

.

第 10 页 共 18 页

?
又梯形 ABCD 的面积为 S ?
1 3

1 2

? (5 ? 3) ? 4 ? 16, 所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为
1 3 8 5 5 128 5 15

V ?

? S ? PA ?

? 16 ?

?

.

解法 2:如图(2) ,以 A 为坐标原点, AB , AD , AP 所在直线分别为 x轴 , y 轴 , z 轴 建立 空间直角坐标系.设 PA ? h , 则相关的各点坐标为:
A (4, 0, 0), B (4, 0, 0), C (4, 3, 0), D (0, 5, 0), E (2, 4, 0), P (0, 0, h ).

??? ? ??? ? ??? ? (Ⅰ)易知 CD ? ( ? 4, 2, 0), AE ? (2, 4, 0), AP ? (0, 0, h ). 因为 ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? CD ? AE ? ? 8 ? 8 ? 0 ? 0, CD ? AP ? 0, 所以 CD ? AE , CD ? AP . 而 AP , AE 是平面 PAE

内的两条相交直线,所以 CD ? 平 面 PAE .
??? ??? ? ? (Ⅱ)由题设和(Ⅰ)知, CD , AP 分别是 平 面 PAE , 平 面 ABCD 的法向量,而 PB 与
平 面 PAE 所成的角和 PB 与 平 面 ABCD 所成的角相等,所以

???? ??? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ??? ??? ? ? C D ? PB PA ? PB cos ? C D , PB ? ? cos ? PA , PB ? ,即 ???? ??? ? ??? ??? . ? ? ? C D ? PB PA ? PB

??? ? ??? ? ??? ? 由(Ⅰ)知, CD ? ( ? 4, 2, 0), AP ? (0, 0, ? h ), 由 PB ? (4, 0, ? h ), 故
? 16 ? 0 ? 0 2 5 ? 16 ? h
2

?

0?0?h

2 2

h ? 16 ? h

.

解得 h ?

8 5 5

.
第 11 页 共 18 页

?
又梯形 ABCD 的面积为 S ?
1 3

1 2

? (5 ? 3) ? 4 ? 16 ,所以四棱锥 P ? ABCD 的体积为
128 15 5

V ?

? S ? PA ?

1 8 5 ? 16 ? ? 3 5

.

【点评】本题考查空间线面垂直关系的证明,考查空间角的应用,及几何体体积计算.第一 1 问只要证明 PA ? CD 即可,第二问算出梯形的面积和棱锥的高,由 V ? ? S ? PA 算得体 3 积,或者建立空间直角坐标系,求得高几体积. 19.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的各项均为正数,记 A(n)=a1+a2+??+an,B(n)=a2+a3+??+an+1,C(n) =a3+a4+??+an+2,n=1,2,?? [来^&源:中教网@~%] (1) 若 a1=1,a2=5,且对任意 n∈N﹡,三个数 A(n) ,B(n) ,C(n)组成等差数列, 求数列{ an }的通项公式. (2) 证明:数列{ an }是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n ? N ,三个数 A(n) ,B(n) ,C(n)组成公比为 q 的等比数列. 【解析】 解(1)对任意 n ? N ,三个数 A ( n ), B ( n ), C ( n ) 是等差数列,所以
B ( n ) ? A ( n ) ? C ( n ) ? B ( n ),
? ?

即 a n ?1 ? a1 ? a n ? 2 , 亦即 a n ? 2 ? a n ?1 ? a 2 ? a1 ? 4. 故数列 ? a n ? 是首项为1,公差为4的等差数列.于是 a n ? 1 ? ( n ? 1) ? 4 ? 4 n ? 3. (Ⅱ) (1)必要性:若数列 ? a n ? 是公比为q的等比数列,则对任意 n ? N ,有
?

a n ?1 ? a nq . 由 a n ? 0 知, A ( n ), B ( n ), C ( n ) 均大于0,于是
B (n) A(n ) C (n) B (n) ? a 2 ? a 3 ? ... ? a n ?1 a1 ? a 2 ? ... ? a n a 3 ? a 4 ? ... ? a n ? 2 a 2 ? a 3 ? ... ? a n ?1 ? q ( a1 ? a 2 ? ... ? a n ) a1 ? a 2 ? ... ? a n ? q,

?

?

q ( a 2 ? a 3 ? ... ? a n ?1) a 2 ? a 3 ? ... ? a n ?1

? q,



B (n) A(n )



C (n) B (n)

= q ,所以三个数 A ( n ), B ( n ), C ( n ) 组成公比为 q 的等比数列.

(2)充分性:若对于任意 n ? N ,三个数 A ( n ), B ( n ), C ( n ) 组成公比为 q 的等比数列, 则
B ( n) ? q A n , ? ( n) ( ) C q ( , B n )

?

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?
于是 C ( n ) ? B ( n ) ? q ? B ( n ) ? A ( n ) ? , 得 a n ? 2 ? a 2 ? q ( a n ?1 ? a1 ), 即
a n ? 2 ? qa n ? 1? a ? a . 2
1

由 n ? 1 有 B (1) ? qA (1), 即 a 2 ? qa1 ,从而 a n ? 2 ? qa n ?1 ? 0 . 因为 a n ? 0 ,所以
an? 2 a n ?1 ? a2 a1 ? q ,故数列 ? a n ? 是首项为 a1 ,公比为 q 的等比数列,

综上所述,数列 ? a n ? 是公比为 q 的等比数列的充分必要条件是:对任意 n∈N﹡,三个数
A ( n ), B ( n ), C ( n ) 组成公比为 q 的等比数列.

【点评】本题考查等差数列、等比数列的定义、性质及充要条件的证明.第一问由等差数列 定义可得;第二问要从充分性、必要性两方面来证明,利用等比数列的定义及性质易得证. 20.(本小题满分 13 分) 某企业接到生产 3000 台某产品的 A,B,C三种部件的订单,每台产品需要这三种部件的 数量分别为2,2,1(单位:件).已知每个工人每天可生产A部件6件,或B部件3件,或 C部件2件.该企业计划安排200名工人分成三组分别生产这三种部件,生产B部件的人 数与生产A部件的人数成正比,比例系数为 k(k 为正整数). (1)设生产A部件的人数为x,分别写出完成A,B,C三种部件生产需要的时间; (2) 假设这三种部件的生产同时开工, 试确定正整数 k 的值, 使完成订单任务的时间最短, 并给出时间最短时具体的人数分组方案. 【解析】 解: (Ⅰ)设完成 A,B,C 三种部件的生产任务需要的时间(单位:天)分别为
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T1 ( x ), T2 ( x ), T3 ( x ), 由题设有
T1 ( x ) ? 2? 3 0 0 0 ? 6x 1000 , T ( x )? 2 x 2000 ,T (x ?) 3 kx 200 ? 1500 ? 1 k )x (

,

期中 x , kx , 200 ? (1 ? k ) x 均为 1 到 200 之间的正整数. (Ⅱ)完成订单任务的时间为 f ( x ) ? max ?T1 ( x ), T2 ( x ), T3 ( x )? , 其定义域为
? 200 ?? , x ? N ? . 易知, T1 ( x ), T2 ( x ) 为减函数, T3 ( x ) 为增函数.注意到 ?x 0 ? x ? 1? k ? ?

T2 ( x ) ?

2 k

T1 ( x ), 于是

(1)当 k ? 2 时, T1 ( x ) ? T2 ( x ), 此时

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?
1500 ? ? 1000 f ( x ) ? max ?T1 ( x ), T3 ( x )? ? max ? , ?, 200 ? 3 x ? ? x

由函数 T1 ( x ), T3 ( x ) 的单调性知,当
x? 400

1000 x

?

1500 200 ? 3 x

时 f ( x ) 取得最小值,解得

.由于 9 400 250 300 44 ? ? 45, 而 f (44) ? T1 (44) ? , f (45) ? T3 (45) ? , f (44) ? f (45) . 9 11 13 250 故当 x ? 44 时完成订单任务的时间最短,且最短时间为 f (44) ? . 11 ( 2 ) 当 k ? 2 时 , T1 ( x ) ? T2 ( x ),
T ( x) ? 375 50 ? x

由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?3 , 此 时

, ? ( x ) ? max ?T1 ( x ), T ( x )? 易知 T ( x ) 为增函数,则

f ( x ) ? max ?T1 ( x ), T3 ( x )? ? max ?T1 ( x ), T ( x )?
? 1000 375 ? ? ? ( x ) ? max ? , ?. 50 ? x ? ? x

由函数 T1 ( x ), T ( x ) 的单调性知,当
36 ? 400 11

1000 x 250

? 37, 而 ? (36) ? T1 (36) ?

此时完成订单任务的最短时间大于

9 250

50 ? x 250 375 250 ? , ? (37) ? T (37) ? ? , 11 13 11

?

375

时 ? ( x ) 取得最小值,解得 x ?

400 11

.由于

11

. 由 于 k 为 正 整 数 , 故 k ?1 , 此 时

( 3 ) 当 k ? 2 时 , T1 ( x ) ? T2 ( x ),

750 ? ? 2000 f ( x ) ? max ?T2 ( x ), T3 ( x )? ? max ? , ? . 由函数 T2 ( x ), T3 ( x ) 的单调性知, 100 ? x ? ? x



2000 x

?

750 100 ? x

时 f ( x ) 取得最小值,解得 x ?
250

800 11

.类似(1)的讨论.此时

完成订单任务的最短时间为

. 9 11 综上所述,当 k ? 2 时完成订单任务的时间最短,此时生产A,B,C三种部件的人数 分别为 44,88,68. 【点评】本题为函数的应用题,考查分段函数、函数单调性、最值等,考查运算能力及用数 学知识分析解决实际应用问题的能力.第一问建立函数模型;第二问利用单调性与最值来解 决,体现分类讨论思想.

,大于

250

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?
21.(本小题满分 13 分) 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的点均在 C2: (x-5)2+y2=9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ)求曲线 C1 的方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0)(y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别与曲线 C1 相交 于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积 为定值.
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【解析】 (Ⅰ)解法 1 :设 M 的坐标为 ( x , y ) ,由已知得
x?2 ? ( x ? 5) ? y ? 3 ,
2 2

易知圆 C 2 上的点位于直线 x ? ? 2 的右侧.于是 x ? 2 ? 0 ,所以
( x ? 5) ? y ? x ? 5 .
2 2

化简得曲线 C 1 的方程为 y ? 20 x .
2

解法 2 :由题设知,曲线 C 1 上任意一点 M 到圆心 C 2 (5, 0) 的距离等于它到直线 x ? ? 5 的 距离, 因此, 曲线 C 1 是以 (5, 0) 为焦点, 直线 x ? ? 5 为准线的抛物线, 故其方程为 y ? 20 x .
2

(Ⅱ)当点 P 在直线 x ? ? 4 上运动时,P 的坐标为 ( ? 4, y 0 ) ,又 y 0 ? ? 3 ,则过 P 且与圆
C 2 相切得直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两个交点,切线方程为 y ? y 0 ? k ( x ? 4), 即 kx-y+y 0 +4k=0 .于是
5k ? y0 ? 4 k k ?1
2

? 3.

整理得
72 k ? 18 y 0 k ? y 0 ? 9 ? 0.
2 2



设过 P 所作的两条切线 PA , PC 的斜率分别为 k1 , k 2 ,则 k1 , k 2 是方程①的两个实根,故
k1 ? k 2 ? ? 18 y 0 72 ?? y0 4 .



? k1 x ? y ? y 0 ? 4 k1 ? 0, 2 由? 得 k1 y ? 20 y ? 20( y 0 ? 4 k1 ) ? 0. 2 y ? 20 x , ?



设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1 , y 2 , y 3 , y 4 ,则是方程③的两个实根,所以

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?
y1 ? y 2 ? 20( y 0 ? 4 k1 ) k1 .



同理可得
y3 ? y 4 ? 20( y 0 ? 4 k 2 ) k2 .



于是由②,④,⑤三式得
y1 y 2 y 3 y 4 ? 400( y 0 ? 4 k1 )( y 0 ? 4 k 2 ) k1 k 2

?

2 400 ? y 0 ? 4( k1 ? k 2 ) y 0 ? 16 k1 k 2 ? ? ?

k1 k 2 ?
2 2 400 ? y 0 ? y 0 ? 16 k1 k 2 ? ? ?

k1 k 2

6400 .

所以,当 P 在直线 x ? ? 4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值 6400. 【点评】 本题考查曲线与方程、 直线与曲线的位置关系, 考查运算能力, 考查数形结合思想、 函数与方程思想等数学思想方法.第一问用直接法或定义法求出曲线的方程;第二问设出切 线方程,把直线与曲线方程联立,由一元二次方程根与系数的关系得到 A , B , C , D 四点纵坐 标之积为定值,体现“设而不求”思想.

22.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) = ? e ax ? x ,其中 a≠0.
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(1) 若对一切 x∈R, f ( x ) ≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f ( x ) 的图像上取定两点 A ( x1 , f ( x1 )) , B ( x 2 , f ( x 2 )) ( x1 ? x 2 ) ,记直线 AB的斜率为K,问:是否存在x0∈(x1,x2) ,使 f ?( x 0 ) ? k 成立?若存在,求 x 0 的 取值范围;若不存在,请说明理由.
【解析】 (Ⅰ)若 a ? 0 ,则对一切 x ? 0 , f ( x ) ? e 故a ? 0 .
ax 而 f ?( x ) ? ae ? 1, 令 f ?( x ) ? 0, 得 x ?
ax

? x ? 1 ,这与题设矛盾,又 a ? 0 ,

1 a

ln

1 a

. 1 a 1 ln 1 a 1

当x ?

1 a

ln 1 a

1 a ln

时, f ?( x ) ? 0, f ( x ) 单调递减;当 x ?
1

时, f ?( x ) ? 0, f ( x ) 单调递增,

故当 x ?

1 1 1 时, f ( x ) 取最小值 f ( ln ) ? ? ln . a a a a a a

于是对一切 x ? R , f ( x ) ? 1 恒成立,当且仅当

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?
1 a ? 1 a ln 1 a ?1.



令 g (t ) ? t ? t ln t , 则 g ?( t ) ? ? ln t . 当 0 ? t ? 1 时, g ?( t ) ? 0, g ( t ) 单调递增;当 t ? 1 时, g ?( t ) ? 0, g ( t ) 单调递减. 故当 t ? 1 时, g ( t ) 取最大值 g (1) ? 1 .因此,当且仅当 综上所述, a 的取值集合为 ?1? . (Ⅱ)由题意知, k ?
f ( x 2 ) ? f ( x1 ) x 2 ? x1
ax

1 a

? 1 即 a ? 1 时,①式成立.

?

e

ax 2

?e

ax1

x 2 ? x1

? 1.

令 ? ( x ) ? f ?( x ) ? k ? ae

?

e

ax 2

?e

ax1

x 2 ? x1

,则

? ( x1 ) ? ?

? e a ( x 2 ? x1 ) ? a ( x 2 ? x1 ) ? 1? , ? x 2 ? x1 ? e
ax 2

e

ax1

? ( x2 ) ?

? e a ( x1 ? x2 ) ? a ( x1 ? x 2 ) ? 1? . ? x 2 ? x1 ?
t t

令 F (t ) ? e ? t ? 1 ,则 F ?( t ) ? e ? 1 . 当 t ? 0 时, F ?( t ) ? 0, F ( t ) 单调递减;当 t ? 0 时, F ?( t ) ? 0, F ( t ) 单调递增. 故当 t ? 0 , F ( t ) ? F (0) ? 0, 即 e ? t ? 1 ? 0.
t

从而 e

a ( x 2 ? x1 )

? a ( x 2 ? x1 ) ? 1 ? 0 , e

a ( x1 ? x 2 )

? a ( x1 ? x 2 ) ? 1 ? 0, 又

e

ax1

x 2 ? x1

? 0,

e

ax 2

x 2 ? x1

? 0,

所以 ? ( x1 ) ? 0, ? ( x 2 ) ? 0. 因为函数 y ? ? ( x ) 在区间 ? x1 , x 2 ? 上的图像是连续不断的一条曲线,所以存在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) 使 ? ( x 0 ) ? 0, ? ?( x ) ? a e
2 ax

? 0, ? ( x ) 单 调 递 增 , 故 这 样 的 c 是 唯 一 的 , 且
ax ax

c?

1 a

ln

1 e 2 ?e 1 , x 2 ) 时, f ?( x 0 ) ? k . .故当且仅当 x ? ( ln a ( x 2 ? x1 ) a a ( x 2 ? x1 ) e
ax 2 ax1

?e

综上所述,存在 x 0 ? ( x1 , x 2 ) 使 f ?( x 0 ) ? k 成立.且 x 0 的取值范围为
1 a e
ax 2

(

ln

?e

ax1

a ( x 2 ? x1 )

, x2 ) .

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?
【点评】 本题考查利用导函数研究函数单调性、 最值、 不等式恒成立问题等, 考查运算能力, 考查分类讨论思想、函数与方程思想,转化与划归思想等数学思想方法.第一问利用导函数 1 1 1 1 1 l n 对 一 切 x ∈ R , f(x) ? 1 恒 成 立 转 化 为 . 法 求 出 f ( x ) 取 最 小 值 f ( l n )? ? a a a a a
f ( x )m i n ? 1,从而得出 a 的取值集合;第二问在假设存在的情况下进行推理,通过构造函

数,研究这个函数的单调性及最值来进行分析判断.

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