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数学奥林匹克高中训练题(58)


卜等数。亨

数学巍赫蠖炎商ljl圳菰翘(5s)
(B)lj;K+I!+n

第一试
一、选择题(每小题6分,共36分)
I空I'nj rI n(n≥3)个平碰,其叶?任直三个f而无


(C)K>r,+k+¨

(D)不能确定,Lj士之方体的棱K矗关 二、填

亭题t每小地9分.j0 54分1

公垂面.耶么.F述心个结沦


1已知罢1~罢=‘唑罢=々则^的取仇范I憎为

11没有任何两个平面互捌平行; 2等差数列:“。}的首项“.=8,只存在’睢~的^
t平面糟

121没有任何j个平面相交十~条直线; (3)乎而问的fE意两条文线都不平行; f4j平面问的每一条交线均与n一2


列共有…个

使得点(^,n。)许盼}x2 4-,=l矿I。则这样的等置数

萁小,正确的分数为(
1^、1

). (C)3 (D)4

(n)2

=BC:似=6.且Ⅱ<b.则菩的取
4.动点^对应的复数为:=4(删s
0+j sitt 0),定

3.在四面体P一船c L}|,脚=PB=“,PC=IB

2转嚆数v=f(x)在[n,6t上的一段窿I像可以 近似地看作直绒段.则当r∈(“,5)时.,lc1的近似 值nf表示为(
).

点B对应的复数为2.点c为线段AB的巾点,过点

c作AB的垂线交m于上).则点D所在的轨迹方程

㈤趔≯r业(B)小-T“) (c)堕二-巡鑫曼≯业盟
3设d>b>c.口+b十r=1,且口2+扩+c2=1
则(


为…一
2 032

5.>:3‘被8除所得的余数为一一. _
6.圆周上有100个等分点,以这些点为顾点卦i成

【D),(“)一篇l/【6)一∥n)]
(A)H十b>1 (B)n+6=I (C)n+6<1

的钝角三角形的个数为一
三,(20分)已知抛物线,2=2px(p>0)的京}乇 为f的弦彻求A口中点肼到Y轴的最短距离,并求
m此时点肘的坐标. 四、(20分)单位iI!方体MICD--’一1 B。f,D,中,

(】))不能确定.与。。b的舅体风值有关

4设椭圆]X+{:=l的离心率为e=等,已知点 心为点,v,连肼:B.g.

正方形ABCD的中心为氧旧.正方形4.B.o.D.的中

,,(o.j)到椭圆上的点的最远距离是{则短半轴 (2)求出m与B.g的火角
之&6=( ),

(1)求证:删,B.M为异卣直线;
五、(20分)对正实数。、b.c.求证:  ̄,n2+8be

(A)之(B)告(c){ (D)÷
5.S=jI,2,…,2 003},A是s的三,i子集,满足:


一一i’——+——r一一+一—F…≥9
第二试
一、(50分)设ABCD是面罄l为2的K方形,P为

 ̄/b2+8啷

/f:+8ab



q,的元素可以组成等差数列.那么,这样的三元子
)个.

集A共有( (A)暖螂

(B)瑶。,+碍噼 (D)砖瞄

(c)砰删+砰|啦

边佃卜的一点,p为△朋口的内切圆与边AB的切
点,乘积刷?PB的值随长方形MICD及点P的变化

6.长方体Ⅲ彻一A.B.C.D.中,AC.为体对角 耐变化.当PA—PB取最小值时.
线现以A为球心,AB、仰、朋,、^G为半径作四个
同心球,其体积依次为n.K、¨、K.则有(
(A)¨<¨+K+n ).

(1)证明:AB≥2雎;
(2)求np一皿,的值 二、(50分1给定由正整数组成的数列

万   方数据

2(102年第5期
i‘71 211m


2'

【r,¨,刮.1+嵋(¨≥1)
(1)求汪:数列州邻Jjjl组成的无穷十整点
(m.m).(m、n4). ,(Ⅱ,^l,rf^^),…

取满足条件的“=L喾.6=了I,c=17j,可
以占定(B)、(c).但不能否定(i)).为r确定(^)可用

均在曲线T:+",’十1=0|:

反证法.假设仃在‰㈣b使咖十虬≤I.则存在f o≥
0,咂有‰)k>0.得 0<n¨“+btl
r0

x二十1.证明:g(Y)移除,<』J.
合d的个n分埘,如果:
(I)A,UA,U…UA=A;

(2)若设,(z)=^“+J”~一n≯Ⅷ¨.g(x)=

4-‰‰

三.(50分)我们称北空集介4.,A,,…,A,为集

专!(”bnⅦ)2一(n:+战十矗)
21

L’1,2”

(2)1.n^=囝,1≤i<J≤n

过一矛盾、兑明r<0.n+6>1
4(C).

求最小的lF整数m,使得对A=,1,2,….mt的

任意…卜13分划4…“,…,Am一定存在某个集合
A;(i≤i≤13),往^.中有两个元素d、^满足

由e:{=孕得£≠=号,有a2=an
椭圆方程为磊,+寺=1.
‘D

h<¨≤素b

参考N:-案
■一试
一、J.(I))

没椭圆f1的点(z,,)到点P的距离为d,则

,=x2+(,一号)2 =(4h2—4y2)+(y!一3)+;)
=一3y2—3y+4n詈



若订两个f画a.、n:瓦相平行,则。.、a,的公垂 面也是。二的垂血,与仟意三个平面无公垂面矛盾
结论(I)真.

善彳『r个平嘶相交于一条直线,则这条直线的 乖【可便砬‘个平面的公垂而,与已知矛盾.结论(2)


=一3(p{)2叫n
其中y∈『一6,6j



嚣仃州条交线f行,则这两条直线的垂面至少 是三个平lf『f的公垂面.与已知矛盾结论(3)真 苦有“.。j。,的交线l与平由。,小相交.剧打 两种町能:l在“3 f二(“.、a:、a,相交于z),或f-b:O 3 平行(“3‘j 01、03中某一个平行.或。,与口I、。2相 交ft条叩行直线)这鄙与已知条件矛盾.结}仑(4) 真
2.(c)

(1)若6≥;.则y=一_}可使扩(从而d)取最
人值.依题意由式③有

({)。=。62+3,得6={与6≥;矛盾.
(2)若^‘丁I,则由单调性得y=一6可使扩(从 而d)取景大值依题意南式②有

({)2=。2+3b+:-,得6=百t
此问题的几何意义是,点P到椭圆的最远距离 恰在椭圆短半轴的下顶点I一取到.

思路I:求出过粥点(“,(n))、(^,“6))的直线
^投

f(x):,(n)+2掣(z—n)
取z=c町得(c)

a=导+。,。={一导={.
若把d={代人式②转化为y的二次方程



思路2:由定比分点公式得


J”T玎’

n+^6

3y2功-46:+篙=o,
再用判别式△=9+4


【爪)=丛半掣
由①解m

3(462一丽13)=o.会得出6:

A=#;>o,代入@得(c).

百1.但此时,椭IN 16,!+甜yz:J与圆』,十

万   方数据

44

中等数学 不满足等差数列的通项分式
m:口】+(^一I)d "I断 r+nl=100

(r{)二=(丢)2无交点
5(H)

① o

若目川f’叱成等差数列,则n1+n3=2n:,从而 首沫两J蚝n.、毗的奇偶陆相同,儿酋、末两项一旦
确定.等萎数列也确定值得}E意的是,虽然n-、n:、 “,成等差数列时.n;.一:、n.也成等差数列.但它们 列虚着盱l_一个集合A=;“,,目:,% 将s按奇偶性分成两个集合
S。=‘l,3、.2 001.2 003:,

的点(女,±/再jij=矿)(t=2,3,…,lo).Hf“满足等
差数列∞,H须其公差为
d= ^一1

当I=2,3,…,10时.可得出17个公差.对应着
首项梢同的17个等差数列.

是={2,4,…,2 000,2 002}

说明:此处是直线①与圆②相交于一个点.若联 立①、②,再汁算判别式等于0会得出元解,斟为柑交 的点小是切点. 3.( ̄/2—43,I) 不管6取什么iE数,△加c

从s中取两个元素作等差数列的苗术项有

时帅种取法,从sz中取两个元素作等差数列的首末 项有G。.种取法共计有四啪+q。;个满足条件的
三元子集
6(C).

一=

记d目=Ⅱ,AD=6,埘I=C,则 d=AC,=/n2+^2+c2.

都存在,且高为譬b而要使
△舢存在,应有6(2“,且底
边上的高

若取”一b=1.则d=√3,有
一=3朽>3;r13+矿+c3,
下面汪明(c)成立,
n3

。愈~


PD:打焉c㈣.
n2d.

这町否定(A)、(B),但还不能否定(DJ.

过P作四面体的扁Ptt,再作PD—L加,则D为 A8的中点;莲lid,则lid为佃的垂直平分线.从l『l『
△PCD存在

2Ⅱ2?n(“!/“2+矿+c1



肋通过0.要使四面体尸~脚存在,须且只须
由于彤=6,∞=掣6(6,
厂———i

I司理,6’(矿d,c3<c!d 相加得Et 3+矿+,<扩.

两边乘以昔Ⅱ得¨+K+n<n.

二、t(乩一{】U[{,?)

PD=√d2一等““.
故△P6D存在的充要条件是(两条婀边之和大 于最长边):

南硎叫墨:!竺0.
Lcos口2 EcOs

J.

CD+PD>心.

平力’相加得
旷=si寸。十(?o乎u

移项、代人得√。2一等>B一譬6,
d)

={甜口+矗d)3—3蔚a?矗口(甜口+。0f

平方得n。>(2一朽)62. 则半>√2一力, 故警的取值范围为( ̄/2一万,I).
说明:对满足这个范围的n、6,可先作fH △一∞,再确定A、矗.进一步考虑棱长恰取两个数值 n、b的四面体,是件很有意思的事情

=l一{sif
由o≤sjn2 当曲f

2“.

2。≤l,得{≤&2≤l(必要条件)

2a=1时,Hr取a=±号,使得^=±{;

但当耐n 2“=0时,原式不成立.^2≠1.敌I的取值范

陆】为(一I.一{】u[{.1)(充分必要条件)

17.

。.半+等乩

由cD垂直平分d占得,埘=DB,有
Df,+DB=D0+DA=OA=4

显然,点(1.8)在圆内.且嘲上的点(1,±/甄)

万   方数据

2002年第5期

nI见.点D到定点0



的距离之和为定长4,故其 轨迹为以0、B为焦点、2“
=4的椭圆又2e=2,故b1

卜(1az_i叮m川:

=“’一!=3困此,所满足
的轨迹打程为

掣:+萼扎
5 4
‘一I 。 。




山川:血土:;业
把式①、②代人得

4(2p¥一一(,+,)一P2f2=0.
(1)当i≥2p FI-f,由式③有



r=赤阿∥h苦刀]一号
≥“咩一号=。≯
等号成立当且仅当


山登3t:,墨?—i3(9w”一1)
=妄[(1+8)…1一I.

甲3舶+号塞‰∥
=12x1

001+8x12∑c÷∞l 8“2

=l

501×8+4+8×12∑c÷∞18“2.

,2+一2=志:,,=厨④ Ⅳ的坐标为(字,厨)
线的焦点.CD如准缋.刚

故点肼到y轴的最短距离为,㈣=生_2.此时点

说明:这个M题的几何意义如图4,设F为抛物

得∑3‘=4(n“t 8).
6.50×49×48(或117 600) 设以一。为钝角顶点,么A. 所对的弧一1 z等分.另两角所 列的弧为y、z等分,有 f。+y+。2100,
L』≥5l,Y≥1.:≥I.

x”=MN一号
:堑!丝一卫 2 2


=旦12旦一卫2






≥譬一号=字


缛J



即{,(x一-50≥)+.口y+z∞=50,50
L』一

I I I. ≥.’≥,z≥.

当AB通过焦点F时,‰。=三掣fI_l当l(2p

犄(_[_写成50个1之和.中删有49个加弓从49 个加号中任取两个.并把这两个加号所隔开的数合 并便得到方程①的一个正整数解;反之.对方程①的

卟正整数解,也可以拆开.对应着“从49个加号中
取2个的一种取法”.这就得判-6定方程①有瞌个正 整数解 {l:i取遍1,2,….100得钝角_角形的个数为 100已=50×49×48=117
600.

(2)当0<l<2p时,由式③有

x=毒(辫+。y2)
对o≤y;(正.有




三、由抛物线方程Y2=2px,可设A、B的坐标分

一(正一瘌[4订,;+4p2(一+Y;)+一4,,2—12)]
8∥(y2+tfl)(正+P:)

别为^印a,n),B(篆,6)则中点吖的坐标为


l。2—iF,

口2

4-b!

可见,两数⑥关于自变鼍y2是增函数.当Y=0

I,掣
有(“+b):=4y!,
(“一^):=8px一4y2 ①

时.有最小值%n=耳12+点M的坐标为(£,o)


叉由l衄|:z,有

一。信=誊

万   方数据

等数学

_r电N在平面朋.D.D七,
廿『f在首线鼠M E;而直线 ¨,^’乎丽BB。D。D.点4 小n.平画BB.D.D
!-j




/,,’再ii_;1■i。—:i砭;打+k-+k
{J

L.故州
A l笔5

≥一…:一一一一

V/9少。:肌V

3扎,n4


tltM匀异而直线.

帆仃≯;3≮霹,
/,+8而3、”:Wi

D.M

n0中点P.连舻,则

…j一一≠一r

w,,’II.,If,kLM[/,4NP为井断直线4A≮ti—M的鼻∈
舶.弱国l

丰阿加后冉J仃弘均f汽不等式.钉

从:目.M:D.M:粤
目l

篮巫+£哑i+工≮匦

NP=专州:酱

;“毋一Y/.ig一2'+之擎)

连AM、AP.山A村上平面础-DID知

珈。、7霉以
=』.础=B3=Y,PS=坩=
:则A PAB的面积为

AⅣ上"P,^,P=一;”D.朋=等
在Bt△AMP中.有

一=试

一、如罔6,设△PAP,的 内Ⅵ心f与只i的切点为R,’j PB的切点为S;记,4Q=AR

卅一=删2+∥:{+{=;.
在A AA;P中 .由余弦定理得 A醑+N产一Ap (?os么ANP= 2帆?^p
j 3 7

SⅢ=v/P(PⅫ)(P—b)(,’一c)幽6 =√(』+1+=)xyz=寺s日∞舳m=1
故(T+y+。)x+z=1.
义PA?PB=({+:)(Y+:)=x3+(t+v十:)2
≥2

一■{:泛2j‘ 2×譬×拈4


i+i一一百





故.4/'/与B.M的夹角为蝴惜{.
五、证法I:设z:j

2+8型>l,

v/面‘+了j习=2(定值)


。#‘

当xy=(z+Y+』):

时,t+4?PB取最小值2

,业乎,h:监≯,一
Ⅲ0(J:一1)(y2一1)(:2一I)

(1)对式⑤两边乘以2后加}x2十,,得
(#+v)!=(』+。)2+(Y+:):.

即佃2=删!+耐.
从而△PAR为直角三角形.刷?等f直角‘角肜 斜边上的高


=s笋-8孑.8警=舻
8’:[(≈一1)(y—1)(;一1)]

s(半)3(半)1
.[(,+U(y+1)(z+1)]

2肚!铲≤P]A2+rpB2=.4B.
(2)对式@两边加上”,得
2xy2(x+;)(Y+:)。 敞AQ‘BQ=1

=【虹,寺幽r
开方变形得 (T+Y+:)2≥72+9=81, 则Ⅳ+r+z≥9.

即2AQ-鲫=PA?.阳=2.
二、(”用数学J月纳法

姥然f…1
花曲线f‘税没整
n;o,I+n1^J
“ ^

证法2:由平均值不等式,有

盟堂




曲线
在叽



观削‰





万   方数据

20132午销s蛸

配疗、变形.粥
(“、.一】+,h^)1+({n—I
4¨I,H rh、 ^2a,、’

=∑m
‘l



∑m,

一(r,:^】十!m‘”十l=0

:(y2~_

把“_,..….、+¨代^、{肄
“.‘tl+r,,^+1“:‘.!一“:‘.!{1—0

m机均为止移数矧,g(一)=t!小
』11 三、(1)先计,n≥117. #,_、然m<117.令 A=l
Ol“=i(IIIO?1 13).¨∈A.

琏丧叫祭jI(m.…f『¨,J n.I肌发r二+』卜~:+
l—u

dI数二Ⅱ{纳法讲懿^

(“J.fJ?j.(“},?』J1,“.fmj…m』).
fjI}}.ml线^、+*、一、二十I=0} (2)将九r)按照gf
取出公fq一℃2(T),ff ,(』):“I』1+fⅡ二一w1)^’‘一(“。.I+f?n.,)J
一“ r

则时母列Ⅳ.bif-A。(i=1,2.?.J3
f^<“<117.

J.均fr

J的要求舒绀舒孵,使能摊

1一^≥J3.
得b≤H一13<104

从而,:=l+『‘≠;t+矿13,-盏;;
这与b<n≤9。^矛盾故m≥117 (2)再证Ⅲ=117时满足条件.

;Ⅳt_“+(一Ⅳl,r‘。
十∑((『;.二~%I一“-)T“。1
一(fr…1+“.二)T…l…

因为,此时最大的14个数104.105.?一.117台币 在13个集合巾,由抽屉豫理知.必有两个数n.b(b< t-1)属于同集合A,(I≤i≤13),则

“.,Ⅷ二』”1+∑r『i"…’-n一’。 …
,{‘

3 x“‘。

104≤6(“≤117=詈×l(H≤一;^
综【二得最小的m=11'7.

一∑‰.z”“L%,z一∑m
^】 ,I

一“

,t一“。I

(罗增儒陕西师范大学,710062)

万   方数据


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