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高二上期中考试错题数学


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高二上期中考试错题数学
一.填空题(共 2 小题) 1. (2013?黄埔区一模)已知 F 是双曲线 C: 的右焦点,O 是双曲线 C 的中心,直线

y= 是双曲线 C 的一条渐近线.以线段 OF 为边作正三角形 MOF,若点 M 在双曲线 C 上,则

m 的值为 _________ . 2.一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状 可以是: (1)三角形; (2)矩形; (3)正方形; (4)正六边形.其中正确的结论是 _________ . (把你认为正确 的序号都填上) 二.解答题(共 4 小题) 3. 如图所示, 一个三棱锥的三视图是三个直角三角形 (单位: , cm) 则该三棱锥的外接球的表面积为 _________ .

4. (2013?松江区一模)对于双曲线 C:

,定义 C1:

,为其伴随曲线,

记双曲线 C 的左、右顶点为 A、B. (1)当 a>b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1,若 c=2c1,求双曲线 C 的渐近线方程; (2)若双曲线 C 的方程为 x ﹣y =1,过点 点,求△ ON1N2 的面积(O 为坐标原点) (3)若双曲线 C 的方程为
2 2

且与 C 的伴随曲线相切的直线 l 交曲线 C 于 N1、N2 两

,弦 PQ⊥x 轴,记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M,求动点 M 的轨迹方程.

5. (2008?海南)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在 下面画出(单位:cm) . (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连接 BC′,证明:BC′∥面 EFG.

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6. (2013?资阳二模)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)经过(1,1)与(



)两点.

(Ⅱ)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足|MA|=|MB|.求证: 为定值.

+

+

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高二上期中考试错题数学
参考答案与试题解析
一.填空题(共 2 小题) 1. (2013?黄埔区一模)已知 F 是双曲线 C: y= 的右焦点,O 是双曲线 C 的中心,直线 .

是双曲线 C 的一条渐近线. 以线段 OF 为边作正三角形 MOF, 若点 M 在双曲线 C 上, m 的值为 3+2 则

考点: 双曲线的简单性质. 专题: 计算题. 分析: 依题意,m= ,M( c,
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c) ,将 M 点的坐标代入双曲线方程可得到关于 m 的方程,解之即可.

解答: 解:∵F(c,0)是双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的右焦点,直线 y= 是双曲线 C 的一条渐近线,

又双曲线 C 的一条渐近线为 y= x,

∴m=



又点 M 在双曲线 C 上,△ MOF 为正三角形, ∴M( c, c) ,





=1,又 c =a +b ,

2

2

2





=1,

即 + m﹣ ﹣
2

=1,

∴m ﹣6m﹣3=0,又 m>0, ∴m=3+2 . 故答案为:3+2 . 点评: 本题考查双曲线的简单性质,考查其渐近线方程,考查代入法与解方程的能力,属于难题. 2.一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,则水面在容器中的形状 可以是: (1)三角形; (2)矩形; (3)正方形; (4)正六边形.其中正确的结论是 (2) (4) . (3) (把你认为 正确的序号都填上) 考点: 简单空间图形的三视图. 专题: 探究型. 分析: 由已知中一个透明密闭的正方体容器中,恰好盛有该容器一半容积的水,任意转动这个正方体,水面总是
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www.jyeoo.com 过正方体的中心,分别讨论水面过一条棱,过对角线上的两个顶点,过六条棱的中点,水面与底面平行等 情况,即可得到答案. 解答: 解:∵正方体容器中盛有一半容积的水,无论怎样转动,其水面总是过正方体的中心. 于是过正方体的一条棱和中心可作一截面,截面形状为长方形或矩形,如图(1) ,所以(2)正确; 过正方体一面上一边的中点和此边外的顶点以及正方体的中心作一截面,其截面形状为菱形,如图(2) ; 过正方体一面上相邻两边的中点以及正方体的中心作一截面, 得截面形状为正六边形, 如图 (3), ; 所以 (4) 正确; 正方体一面上相对两边的中点以及正方体的中心作一截面,得截面形状为正方形,如图(4) ,所以(3)正 确. 故答案为: (3) (2) (4)

点评: 本题考查的知识点是棱柱的结构特征,本题是一道以截面的概念、性质和截面图形的作法等基础知识为依 托,反映现实生活的一道综合能力题.解答本题须具备较强的空间想图、识图、作图能力. 二.解答题(共 4 小题) 2 3.如图所示,一个三棱锥的三视图是三个直角三角形(单位:cm) ,则该三棱锥的外接球的表面积为 29πcm .

考点: 由三视图求面积、体积. 专题: 图表型. 分析: 几何体复原为底面是直角三角形,一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥,扩展为长方体,长方体的对角线 的长,就是外接球的直径,然后求其的表面积. 解答: 解:由三视图复原几何体,几何体是底面是直角三角形, 一条侧棱垂直底面直角顶点的三棱锥;把它扩展为长方体,两者有相同的外接球,
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它的对角线的长为球的直径,即

=2R,R=

. ) =29π.
2

该三棱锥的外接球的表面积为:该三棱锥的外接球的表面积为:4×π×(
2

故答案为:29πcm 点评: 本题考查三视图,几何体的外接球的表面积,考查空间想象能力,计算能力,是基础题.

4. (2013?松江区一模)对于双曲线 C: 记双曲线 C 的左、右顶点为 A、B.

,定义 C1:

,为其伴随曲线,

(1)当 a>b 时,记双曲线 C 的半焦距为 c,其伴随椭圆 C1 的半焦距为 c1,若 c=2c1,求双曲线 C 的渐近线方程;
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www.jyeoo.com 2 2 (2)若双曲线 C 的方程为 x ﹣y =1,过点 点,求△ ON1N2 的面积(O 为坐标原点) (3)若双曲线 C 的方程为

且与 C 的伴随曲线相切的直线 l 交曲线 C 于 N1、N2 两

,弦 PQ⊥x 轴,记直线 PA 与直线 QB 的交点为 M,求动点 M 的轨迹方程.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;三角形的面积公式;双曲线的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)利用双曲线的 a、b、c 的关系及椭圆的 a、b、c1 的关系及双曲线的渐近线的方程即可得出; (2)根据直线与圆相切的性质即可求出切线的斜率,利用两点间的距离公式即可求出弦长|N1N2|,进而即 可求出面积; (3)设出点 P、Q 的坐标,利用点斜式得出直线 PA、QB 的方程,联立即可得出交点 M 的坐标,反解出点 P 的坐标,利用代点法即可求出轨迹. 解答: 解: (1)∵ , ,
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由 c=2c1,得

,即 a +b =4(a ﹣b )

2

2

2

2

可得



∴C 的渐近线方程为


2 2

(2)双曲线 C 的伴随曲线的方程为 x +y =1,设直线 l 的方程为 由 l 与圆相切知 即 3k =1+k
2 2



解得 当

, 时,设 N1、N2 的坐标分别为 N1(x1,y1) 2(x2,y2) 、N





,即



∵ ∴|x1﹣x2|= =



,x1x2=﹣5. = .





∴ 由对称性知,当 时,也有

; .

(3)设 P(x0,y0) ,则 Q(x0,﹣y0) ,又 A(﹣2,0) 、B(2,0) , ∴直线 PA 的方程为 …①
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www.jyeoo.com 直线 QB 的方程为 …②

由①②得

∵P(x0,y0)在双曲线

上,



,∴



因此动点 M 的轨迹是焦点在 x 轴上的椭圆,其方程为



点评: 熟练掌握圆锥曲线的定义与性质及直线与圆锥曲线的相交、相切问题的解题模式及弦长公式、点到直线的 距离公式是解题的关键. 5. (2008?海南)如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在 下面画出(单位:cm) . (1)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图; (2)按照给出的尺寸,求该多面体的体积; (3)在所给直观图中连接 BC′,证明:BC′∥面 EFG.

考点: 简单空间图形的三视图;棱柱、棱锥、棱台的体积;直线与平面平行的判定. 专题: 计算题;作图题;证明题. 分析: (1)按照三视图的要求直接在正视图下面,画出该多面体的俯视图;

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(2)按照给出的尺寸,利用转化思想 V=V 长方体﹣V 正三棱锥,求该多面体的体积; (3)在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,连接 AD′,在所给直观图中连接 BC′,证明 EG∥BC′,即 可证明 BC′∥面 EFG. 解答: 解: (1)如图

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(2)所求多面体的体积 (3)证明:如图,

在长方体 ABCD﹣A′B′C′D′中,连接 AD′,则 AD′∥BC′ 因为 E,G 分别为 AA′,A′D′中点,所以 AD′∥EG,从而 EG∥BC′, 又 EG?平面 EFG,所以 BC′∥平面 EFG; 点评: 长方体的有关知识、体积计算及三视图的相关知识,对三视图的相关知识掌握不到位,求不出有关数据.三 视图是新教材中的新内容,故应该是新高考的热点之一,要予以足够的重视.

6. (2013?资阳二模)已知椭圆 C: (Ⅰ)求椭圆 C 的方程;

+

=1(a>b>0)经过(1,1)与(



)两点.

(Ⅱ)过原点的直线 l 与椭圆 C 交于 A、B 两点,椭圆 C 上一点 M 满足|MA|=|MB|.求证: 为定值.

+

+

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www.jyeoo.com 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线中的最值与范围问题. 分析: (I)把(1,1)与( , )两点代入椭圆方程解出即可.
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(II)由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点;同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点, 则点 M 在椭圆的一个短轴顶点;直接代入计算即可. ②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) ,则直线 OM 的方程为 ,设 A

(x1,y1) ,B(x2,y2) ,与椭圆的方程联立解出坐标,即可得到

=



同理 解答:

,代入要求的式子即可.

解析(Ⅰ)将(1,1)与(



)两点代入椭圆 C 的方程,



解得



∴椭圆 PM2 的方程为



(Ⅱ)由|MA|=|MB|,知 M 在线段 AB 的垂直平分线上,由椭圆的对称性知 A、B 关于原点对称. ①若点 A、B 是椭圆的短轴顶点,则点 M 是椭圆的一个长轴顶点,此时 = .

同理,若点 A、B 是椭圆的长轴顶点,则点 M 在椭圆的一个短轴顶点,此时 = .

②若点 A、B、M 不是椭圆的顶点,设直线 l 的方程为 y=kx(k≠0) , 则直线 OM 的方程为 ,设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,



解得







=

,同理



所以 故

=2× =2 为定值.

+

=2,

点评: 本小题主要考查椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题转化为方程联立等基础知识,考查推理论 证能力、运算求解能力,考查方程思想、化归与转化思想、数形结合思想等
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