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2.5.6求数列通项公式(1)


求数列的通项
学习目标 2.会用构造新数列求数列的通项公式. 学法指导

(1 )

1.掌握构造等差数列与等比数列求数列通项公式的方法;

1.求数列通项公式常用方法:(1)待定系数法;(2)累加法; (3)累乘法;(4)构造法. 2.已知数列的递推公式求数列的通项公式,应先考查递推 公式的特点,再来确定选用何种方法.

复习回顾 等差数列
定义式 通项
a n ? a n?1 ? d ( n ? 2 )

等比数列
an a n?1 ? q(q ? 0, n ? 2)
n?1

a n ? a 1 ? ( n ? 1 )d
a n ? a m ? ( n ? m )d

a n ? a 1q
an ? amq

(q ? 0)
(q ? 0)
(q ? 1)

公式
前 n 项 和 公 式

n?m

Sn ?

n(a1 ? a n ) 2 n(n ? 1) 2

Sn

? a 1 (1 ? q n ) ? ? ? 1? q ? ? na 1

(q ? 1)

S n ? na 1 ?

d

Sn

? a 1 ? qa ? ? ? 1? q ? ? na 1

n

(q ? 1) (q ? 1)

探究一

待定系数法

问题 已知数列的类型, 且有其它的条件, 求数列的通项公式, 可用待定系数法。
如:数列 求数列

?a n ?是等差数列,且 ?a n ?的通项公式。

a 3 ? ? 3, S 3 ? ? 3 ,

若把数列

?a n ?改为等比数列,又如何



探究二
问题 1

累加法(累乘法)

a1 ? 1, an ? 3n ?1 ? an ?1 (n ? 2) ,如何求数列{an} 数列{an}中,

的通项公式.

问题 2

an a1 ? 1, ? 3 n?1 ( n ? 2) ,如何求数列{a } 数列{an}中, n a n ?1

的通项公式.

探究三

构造法

2an 问题 1 已知数列{an},满足 a1=2,an+1= ,如何求数列 an+2 {an}的通项公式 an?

小结 若数列的递推公式出现分式或交叉项,可以尝试利用构造 新的等差数列解决。

问题 2 已知数列{an},满足 a1=1,an+1=2an+1,如何求 数列{an}的通项 an?

小结

若数列的递推公式是形如 an+1=pan+q,可以尝试利用

构造新的等比数列解决。

达标检测
1.已知数列{an},满足 a1=2,2an-2an+1=an+1an, 求数列{an}的通项 an。 2.已知数列{an},满足 a1=1,an+1=3an+1, 求数列{an}的通项 an?
an ? 3

2 an= n

n

?

1 2

2

归纳延伸
根据递推公式求通项公式的方法: 1.待定系数法: 利用条件求最基本的量(首项与公差或公比)是关键. 2.累加法(累乘法) : 若数列的递推公式是形如
an?1 an+1-an=f(n)(或 a ? f (n) ) ,可以 n

考虑利用累加法(累乘法)求通项公式。 3.构造法: (1)若数列的递推公式出现分式或交叉项,可以尝试利用 构造新的等差数列解决; (2)若数列的递推公式是形如 an+1=pan +q,可以尝试利 用构造新的等比数列解决。

课后作业
1 .已知数列

?a n ?满足

a1 ? 4, a n ? 4 -

4 a n -1

( n ? 2 ),令 b n ?

1 an - 2

.

( 1)求证:数列 ( 2)求数列

?b n ?是等差数列;
.

?a n ?的通项公式 ?a n ?, 且 a 1

2 .已知数列

? 2 , a n ? 1 ? 2 a n ? 1,求数列

?a n ?的通项

an .

2 1 3.若数列{an}中, a1 ? 3 , 且a n?1 ? a n ? ( n ? 2)( n ? 1) (n∈N*), 求

数列{an}的通项公式。


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