当前位置:首页 >> 数学 >>

第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(经典讲义)


第五节

两角和与差的正弦、余弦和正切公式

【考纲下载】 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式. 2.能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式. 3.能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式,导出二倍角的正 弦、余弦、正切公式,了解它们的内在联系. 4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和

差化积、半角公式,但 对这三组公式不要求记忆).

1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α± β)=sin_αcos_β± cos_αsin_β, cos(α± β)=cos_αcos_β?sin_αsin_β, tan α± tan β tan(α± β)= . 1?tan αtan β 2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α=2sin_αcos_α, cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α, 2tan α tan 2α= . 1-tan2α 3.有关公式的逆用、变形 (1)tan α± tan β=tan(α± β)(1?tan_αtan_β); 1 + cos 2 α 1-cos 2α (2)cos2α= ,sin2α= ; 2 2 π? (3)1+sin 2α=(sin α+cos α)2,1-sin 2α=(sin α-cos α)2,sin α± cos α= 2sin? 4?. ?α± 4.辅助角公式 b a asin x+bcos x= a2+b2sin(x+φ),其中 sin φ= 2 . 2,cos φ= 2 a +b a +b2 1.两角和与差的正弦、余弦公式对任意角 α,β 都成立吗? 2.两角和与差的正切公式对任意角 α,β 都成立吗?其适用条件是什么? 3.函数 f(x)=asin x+bcos x 的最大值和最小值各是什么?

α 3 1.(2013· 江西高考)若 sin = ,则 cos α=( ) 2 3 2 1 1 2 A.- B.- C. D. 3 3 3 3 2.(教材习题改编)sin 34° sin 26° -cos 34° cos 26° 的值是( 1 3 1 3 A. B. C.- D.- 2 2 2 2
1

)

π? 3 ?π ? 2 3.已知 tan? ?α-6?=7,tan?6+β?=5,则 tan(α+β)的值为( 29 1 1 A. B. C. D.1 41 29 41

)

π ? 4.(2013· 四川高考)设 sin 2α=-sin α,α∈? ?2,π?,则 tan 2α 的值是________. 5.tan 20° +tan 40° + 3tan 20° tan 40° =________.

考点一

三角函数的化简求值

[例 1] (1)(2013· 重庆高考)4cos 50° -tan 40° =( ) 2+ 3 A. 2 B. C. 3 D.2 2-1 2 θ θ? ?1+sin θ+cos θ?? ?sin2-cos2? (2)化简: (0<θ<π). 2+2cos θ

化简: (1)sin 50° (1+ 3tan 10° ); 1 2cos4x-2cos2x+ 2 (2) . π ? 2? π? ? - x x + 2tan?4 ?sin ? 4?

考点二

三角函数的条件求值 10 ,则 tan 2α=( 2 )

[例 2] (1)(2013· 浙江高考)已知 α∈R,sin α+2cos α= 4 A. 3 4 D.- 3 π ? (2)(2013· 广东高考)已知函数 f(x)= 2cos? ?x-12?,x∈R. π? ①求 f? ?-6?的值; 3π π? 3 ? ? ②若 cos θ= ,θ∈? ? 2 ,2π?,求 f?2θ+3?. 5 3 B. 4 3 C.- 4

2

【互动探究】 π θ- ?的值. 保持本例(2)②条件不变,求 f? ? 6?

π? 1 1. (2013· 新课标全国卷Ⅱ)设 θ 为第二象限角, 若 tan? 则 sin θ+cos θ=_______. ?θ+4?=2, β? π 1 ?α ? 2 2.已知 0<β< <α<π,且 cos? ?α-2?=-9,sin?2-β?=3,求 cos(α+β)的值. 2

高频考点

考点三

三角变换的综合应用

1.三角恒等变换是三角函数化简、求值、证明的主要依据.高考常与三角函数的其他 知识相结合命题,题目难度适中,为中档题. 2.高考对三角恒等变换综合问题的考查常有以下几个命题角度: (1)与三角函数的图象和性质相结合命题; (2)与向量相结合命题; (3)与解三角形相结合命题(见本章第六节). π? 2 [例 3] (1)(2013· 天津高考)已知函数 f(x)=- 2sin? ?2x+4?+6sin xcos x-2cos x+1,x ∈R. ①求 f(x)的最小正周期; π? ②求 f(x)在区间? ?0,2?上的最大值和最小值. π? (2)(2013· 辽宁高考)设向量 a=( 3sin x,sin x),b=(cos x,sin x),x∈? ?0,2?. ①若|a|=|b|,求 x 的值; ②设函数 f(x)=a· b,求 f(x)的最大值.

三角恒等变换综合应用问题的常见类型及解题策略 (1)与三角函数的图象与性质相结合的综合问题.借助三角恒等变换将已知条件中的函 数解析式整理为 f(x)=Asin(ωx+φ)的形式,然后借助三角函数图象解决. (2)与向量相结合的综合问题.此类问题通常是先利用向量的运算转化为三角函数问题, 然后再利用三角恒等变换转化为三角函数的图象与性质等问题解决. 1.已知平面向量 a=(sin2x,cos2x),b=(sin2x,-cos2x),R 是实数集,f(x)=a· b+4cos2x +2 3sin xcos x,如果存在 m∈R,任意的 x∈R,f(x)≥f(m),那么 f(m)=( ) A.2+2 3 B.3 C.0 D.2-2 3
3

π? π 2 2.已知 x0,x0+ 是函数 f(x)=cos2? ?ωx-6?-sin ωx(ω>0)的两个相邻的零点. 2 π? ? 7π ? 都有|f(x)-m|≤1, (1)求 f? 求实数 m 的取值范围. ?12?的值; (2)若对?x∈?-12,0?,

易误警示(五) 三角函数求角中的易误点 1 [典例] (2013· 北京高考)已知函数 f(x)=(2cos2x-1)sin 2x+ cos 4x. 2 (1)求 f(x)的最小正周期及最大值; π ? 2 (2)若 α∈? ?2,π?,且 f(α)= 2 ,求 α 的值.

1 1 已知 α,β∈(0,π),且 tan(α-β)= ,tan β=- ,求 2α-β 的值. 2 7

[全盘巩固] 3 1.(2013· 浙江高考)函数 f(x)=sin xcos x+ cos 2x 的最小正周期和振幅分别是( 2 A.π,1 B.π,2 C.2π,1 D.2π,2 2cos 10° -sin 20° 2.(2014· 嘉兴模拟) 的值是( sin 70° 1 3 A. B. C. 3 2 2
4

)

) D. 2

4.已知锐角 α,β 满足 sin α= 3π A. 4 π 3π B. 或 4 4

5 3 10 ,cos β= ,则 α+β 等于( ) 5 10 π π C. D.2kπ+ (k∈Z) 4 4 )

π 5.已知 α+β= ,则(1+tan α)(1+tan β)的值是( 4 A.-1 B.1 C.2 D.4

π? 4 3 ? 2π? 6.已知 sin? ?α+3?+sin α=- 5 ,则 cos?α+ 3 ?等于( 4 3 3 4 A.- B.- C. D. 5 5 5 5 π? tan x 7.已知 tan? ?x+4?=2,则tan 2x的值为________. π ? 1 ?2π ? 8.已知 sin? ?6-α?=3,则 cos? 3 +2α?=________.

)

9.(2013· 新课标全国卷Ⅰ)设当 x=θ 时,函数 f(x)=sin x-2cos x 取得最大值,则 cos θ =________. π π 7 7 0, ?,β∈? ,π?,cos 2β=- ,sin(α+β)= . 10.已知 α∈? ? 2? ?2 ? 9 9 (1)求 cos β 的值; (2)求 sin α 的值. π 11.将函数 y=sin x 的图象向右平移 个单位长度,再将所得的图象上各点的横坐标不 3 变,纵坐标伸长为原来的 4 倍,这样就得到函数 f(x)的图象,若 g(x)=f(x)cos x+ 3. π π? (1)将函数 g(x)化成 Asin(ωx+φ)+B 其中 A、ω>0,φ∈? ?-2,2?的形式; π - ,θ0?上的最大值为 2,试求 θ0 的最小值. (2)若函数 g(x)在区间? ? 12 ?

π ? 12.已知向量 a=(sin ωx, cos ωx),b=(cos φ,sin φ),函数 f(x)=a· b? ?ω>0,3<φ<π?的 π 3 最小正周期为 2π,其图象经过点 M? , ?. ?6 2 ? (1)求函数 f(x)的解析式; π 3 12 0, ?,且 f(α)= ,f(β)= ,求 f(2α-β)的值. (2)已知 α,β∈? 2 ? ? 5 13

5

[冲击名校] π? 1 1 1.已知 cos α= ,cos(α+β)=- ,且 α、β∈? ?0,2?,则 cos(α-β)的值等于( 3 3 1 1 1 23 A.- B. C.- D. 2 2 3 27

)

?π?? 2.设 f(x)=asin 2x+bcos 2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤? ?f?6??对一切 x∈R 恒成
立,则 11π? ? ?7π?? ? ?π?? ①f? ? 12 ?=0;②?f?10??<?f?5??;③f(x)既不是奇函数也不是偶函数;④f(x)的单调递增 π 2π? 区间是? ?kπ+6,kπ+ 3 ?(k∈Z);⑤存在经过点(a,b)的直线与函数 f(x)的图象不相交. 以上结论正确的是________(写出所有正确结论的编号). [高频滚动] 1. 函数 f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0, ω>0, |φ|<π)的图象如图所示, 为了得到 g(x)=-Acos ωx 的图象,可以将 f(x)的图象( )

π A.向右平移 个单位长度 12 π C.向左平移 个单位长度 12

5π B.向右平移 个单位长度 12 5π D.向左平移 个单位长度 12

π? 2.已知函数 f(x)=3sin? ?ωx-6?(ω>0)和 g(x)=2cos(2x+φ)+1 的图象的对称轴完全相 π? 同.若 x∈? ?0,2?,则 f(x)的取值范围是________.

6


相关文章:
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式(经典讲义)
第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式(经典讲义)_数学_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 【考纲下载】 1.会用向量的数量积...
第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五节两角和与差的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式 1.两角和与差的正弦余弦和正切公式 sin(α±...
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式答案
第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式答案_数学_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式答案 1.答案:(1)√ 2.答案:D 3.答案:A...
第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区。第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式 1.判断下列结论的正误.(正确的打“√”,错误的...
第五节 两角和与差的正弦、余弦、正切公式
课时作业(一) 板书设计 第五节 两角和与两角差的正弦余弦正切公式 1.两角和与差的三角函数公式 2.二倍角公式 例1 例2 例 3 小结 布置作业:课时作业(...
文科数学一轮复习:第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
※文科数学一轮复习课堂学习单※(28) 2015 年 9 月 15 日 第 1 页 课题班级 学习目标 第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式姓名 小组 1.能三角函数...
第三章 第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
第三章 第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式_数学_高中教育_教育专区。一、选择题 π 1.(2012· 成都联考)已知锐角 α 满足 cos 2α=cos ?4-α?,...
两角和与差的正弦,余弦和正切公式练习题
两角和与差的正弦,余弦和正切公式练习题_高一数学_数学_高中教育_教育专区。 文档...④第五节 两角和与差的... 4页 2下载券 2015高考理科数学《两角... 7页...
④第五节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式备选习题
第五节 两角和与差的正弦余弦和正切公式备选习题 隐藏>> 备选习题【历年真题】 π 7π 4 3 1.((2008· 山东)已知 cos ?α-6?+sin α= ,则 sin...
更多相关标签:
正弦余弦正切函数值表 | 正弦余弦正切余切表 | 正弦 余弦 正切 | 正弦余弦正切公式 | 正弦余弦正切值表格 | 正弦余弦正切的关系 | 正弦余弦正切余切值表 | 正弦余弦正切函数公式 |