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反证法


2.2.2 反证法

反证法是间接证明的一 种基本方法 .我们对 于这种方法其实并不陌 生, 在日常生活或解 决某些数学问题时 , 有时会不自觉地使用反 证法.

思考 桌面上有 3 枚正面? 朝上的硬币 ,每 次用双手同时翻转 2枚硬币 .那么无论怎样 翻转, 都不能使硬币全部反面 朝上.你能解 释这种现象吗 ?

? 指有面额的那面 .

上述现象可以用直接证 明的方法解释 , 但是, 我们这 里采用反证法 . 假设经过若干次翻转可 以使硬币全部反面向上 . 由于每枚硬币从正面朝 上变为反面朝上 , 都需要 翻转奇数次 , 所以3枚硬币全部反面朝上时 ,需要 翻转?3个奇数之和?次,即要翻转奇数次 .

但由于每次用双手同时 翻转2枚硬币 ,3枚硬币被 翻转的次数只能是2 的倍数, 即偶数次 .这个矛盾 说明假设错误 , 原结论正确 , 即无论怎样翻转都不 能使3枚硬币全部反面朝上 .

一般地, 假设原命题不成立 , 经过正确 的推理, 最后得出矛盾 ,因此说明假设 错误, 从而证明了原命题成立 , 这样的 证明方法叫做反证法 ( reduction to absurdity ).

例: 如图2.2 ? 2, AB, CD为圆 的两条相交弦 , 且不全为直径. 求证 AB, CD不能互相平分.
C
B A
D

图2.2 ? 2 证明 假设AB, CD 互相平分 , 则ACBD为平行四边形 , 故?ACB ? ?ADB, , 所以 ?CAD ? ?CBD. 因为ABCD为圆内接四边形 ?ACB ? ?ADB ? 1800 , ?CAD ? ?CBD ? 1800.

则?ACB ? 90 , ?CAD ? 90 .故对角线AB, CD 均 为直径,与已知矛盾 .因此, AB, CD不能互相平分 .
0 0

还有其他的证明方法吗 ?

例: 求证 2 是无理数 .
分析 直接证明一个数是无理 数比较困难 ,我们采用 反证法.假设 2 不是无理数 ,那么它就是有理数 .我们 m 知道, 任一有理数都可以写成 形如 (m, n互质, m ? Z, n n ? N? )的形式 .下面我们看看能否由此 推出矛盾 .

证明 假设 2不是无理 ???两个正整数m, n 数,那么它就是有理数 .于 互质, 是指m ,n 的最 ?? ? 是, 存在互质 的正整数 大公约数是 1,即 ?m,n? ? 1. m m, n, 使得 2 ? , n

于是可设m ? 2k ?k是正整数?, 从而有4k 2 ? 2n2 , 即n2 ? 2k 2 , 所以n也是偶数.这与m, n互质矛盾 .

从而有m ? 2n,因此 m2 ? 2n2 , 所以 m 为偶数.

由上述矛盾可知假设错 误,从而 2是无理数 .

正是 2的发现, 使人们认识到在有理数 之 外, 还有一类数与 1是不可公度的 , 这就是无 理数; 从而引发了数学史上的 第一次危机 , 大大推动了数学前进的 步伐.

例:如图;已知L1、L2 是异面直线且
A、B∈ L1,C、D∈ L2,,

求证;AC,BD也是异面直线.
C D

L2 L1

a
B A

由上面的例子可以看出 , 反证法的关键是在正确 的推 理下得出矛盾 .这个矛盾可以是与已知 条件矛盾 , 或与 假设矛盾 , 或与定义、公理、定理 、事实矛盾等 . 反证法常常是解决某些 " 疑难"问题的有力工具 ,英 国近代 数学家哈代曾经这样称 赞它 : "? ? ? ? ? ? 归谬法 ( 反证法)是数学家最有力的一件 武器 ,比起象棋开 局时牺牲一子以取得优 势的让棋法 ,它还要高明 .象 棋对奕者不外牺牲一卒 或顶多一子 , 数学家索性把 全局拱手让予对方 !"

事实上, 数史上有许多经典证明 (如" 质数有无限多 个" 的证明) 就采用了反证法 .感兴趣的同学可以自 己查找相关书籍 , 进一步了解反证法的作 用及应用 .

? 反证法,不是从已知条件去直接证明结论, 而是先否定结论,在否定结论的基础上进 行演绎推理,导出矛盾,从而肯定结论的 真实性. ? 应用反证法证明数学命题的一般步骤: ? (1)分清命题的条件与结论. ? (2)做出与命题结论相矛盾的假设. ? (3)由假设出发应用正确的推理方法,推出 矛盾的结果.

? (4)断定产生错误结果的原因,在于开始所 做的假定不真,于是原结论成立,从而间 接地证明命题为真.概括地说,反证法的 一般步骤为:否定结论、推理论证、导出 矛盾、肯定结论. ? 明确反证法的证题步骤,掌握一些常见命 题的否定形式,熟悉推出矛盾的几种常见 类型,是用好反证法的关键.

? [ 例 1] 设 {an} 是公比为 q 的等比数列, Sn 是它的 前n项和. ? (1)求证:数列{Sn}不是等比数列; ? (2)数列{Sn}是等差数列吗?为什么? ? [ 分析 ] 本题 (1) 是否定性命题,可以尝试反证 法.
[解析] (1)证法 1: (反证法)若{Sn}是等比数列, 则 S2 2=
2 2 S1S3,即 a2 (1 + q ) = a · a (1 + q + q ) 1 1 1

∵a1≠0,∴(1+q)2=1+q+q2,即 q=0,这与 q≠0 矛盾,故{Sn}不是等比数列.

证法 2:只需证明 SnSn+2≠S2 n+1, ∵Sn+1=a1+qSn,Sn+2=a1+qSn+1, ∴SnSn+2-S2 n+1=Sn(a1+qSn+1)-(a1+qSn)Sn+1 =a1(Sn-Sn+1)=-a1an+1≠0.

? (2)当q=1时,{Sn}是等差数列. ? 当 q≠1 时, {Sn} 不是等差数列,否则 S1 , S2,S3成等差数列.即2S2=S1+S3, ? ∴2a1(1+q)=a1+a1(1+q+q2). ? 由于 a1≠0 , ∴ 2(1 + q) = 2 + q + q2 , q = q2 , ? ∵q≠1,∴q=0,与q≠0矛盾.

? [点评 ] 1.本题的解答依赖于等差和等比数列的 概念和性质,体现了特殊化思想、分类讨论思 想和正难则反的思维策略.对代数的推理能力 要求较高. ? 2.结论中含有“不”、“不是”、“不可能”、 “不存在”等词语的命题,此类问题的反面比 较具体,适于应用反证法. ? 3.反证法属逻辑方法范畴,它的严谨体现在它 的原理上,即“否定之否定等于肯定”,其中: 第一个否定是指“否定结论(假设)”;第二个否 定是指“逻辑推理结果否定了假设”.反证法 属“间接解题方法”,书写格式易错之处是 “假设”易错写成“设”.

? 平面上有四个点,没有三点共线.证明以 每三点为顶点的三角形不可能都是锐角三 角形. ? [ 证明 ] 假设以每三点为顶点的四个三角 形都是锐角三角形,记这四个点为A、B、 C、D.考虑△ABC,点D在△ABC之内或之 外两种情况. ? (1)如果点D在△ABC之内(图1),根据假设 以 D 为顶点的三个角都是锐角,其和小于 270°,这与一个圆周角等于360°矛盾.

? (2)如果点D在△ABC之外(图2),根据假设 ∠BAD、∠B、∠BCD、∠D都小于90°, 这和四边形内角之和等于360°矛盾. ? 综上所述,原结论成立.

[例 2]

设 f(x)=x2+bx+c,x∈[-1,1],证明:b<-2

1 时,在其定义域范围内至少存在一个 x,使|f(x)|≥2成立.

? [分析] 本题中,含有“至少存在一个” 词,可考虑使用反证法.

[证明]

1 假设不存在 x∈[-1,1]上一个 x 满足|f(x)|≥2.

1 1 则对于 x∈[-1,1]上任意 x, 都有-2<f(x)<2成立. 当 b< b -2 时,其对称轴 x=-2>1, f(x)在 x∈[-1,1]上是单调递减函数, 1 ? ?f(-1)=1-b+c<2 ∴? ?f(1)=1+b+c>-1 2 ? 1 ?b>-2与 b<-2 矛盾.

假设不成立,因此当 b<-2 时在其定义域范围内至 1 少存在一个 x,使|f(x)|≥ 成立. 2

? [ 点评 ] 1. 反证法是利用原命题的否命题 不成立则原命题一定成立来进行证明的, 在使用反证法时,必须在假设中罗列出与 原命题相异的结论,缺少任何一种可能, 反证法都是不完全的. ? 2.对于否定性命题或结论中出现“至 多”、“至少”、“不可能”等字样时, 常用反证法.

? 3.常用的“原结论词”与“反设词”归纳如下表: 原结 论词 反设 词 至少 有一个 至多 有一个 至少 有n 个 至多有 n -1 个 至多 有n 个 至少有 n +1 个

一个也 至少有 没有 两个 (不存在)

π π 2 若 a,b,c 均为实数,且 a=x -2y+2,b=y -2z+3,
2

π c=z -2x+ ,求证:a,b,c 至少有一个大于 0. 6
2

[证明]

假设 a,b,c 三个数均不大于 0,

即 a≤0,b≤0,c≤0,则 a+b+c≤0, π 2 π 2 π 又 a+b+c=x -2y+2+y -2z+3+z -2x+6
2

=(x-1)2+(y-1)2+(z-1)2+π-3>0. 与假设矛盾,所以假设不成立.故原命题成立. 即 a,b,c 至少有一个大于 0.

? [例3] 已知:一点A和平面α. ? 求证:经过点A只能有一条直线和平面α垂直. ? [分析]

? [ 解析] 根据点 A和平面α的位置关系,分 两种情况证明. ? (1) 如图 1 ,点 A 在平面 α 内,假设经过点 A 至少有平面α的两条垂线AB、AC,那么AB、 AC 是两条相交直线,它们确定一个平面 β , 平面β和平面α相交于经过点A的一条直线a.

? 因为AB⊥平面α,AC⊥平面α, ? a?α,所以AB⊥a,AC⊥a,在平面β内经过 点 A 有两条直线都和直线 a 垂直,这与平面 几何中经过直线上一点只能有已知直线的 一条垂线相矛盾.

? (2) 如图 2 ,点 A 在平面 α 外,假设经过点 A 至少有平面 α 的两条垂线 AB 和 AC(B 、 C 为 垂足 ),那么 AB、 AC是两条相交直线,它 们确定一个平面 β ,平面 β 和平面 α 相交于 直线 BC ,因为 AB⊥ 平面 α , AC⊥ 平面 α, BC?α, ? 所以AB⊥BC,AC⊥BC.

? 在平面 β 内经过点 A 有两条直线都和 BC 垂 直,这与平面几何中经过直线外一点只能 有已知直线的一条垂线相矛盾. ? 综上,经过一点 A 只能有平面 α 的一条垂 线.

? [点评] 1.运用反证法证题时,一定要处理好推 出矛盾这一步骤,因为反证法的核心就是从求 证的结论的反面出发,导出矛盾的结果,因此 如何导出矛盾,就成了关键所在,对于三个步 骤,绝不可死记,而要具有全面、扎实的基础 知识,再灵活运用. ? 2.证明“有且只有一个”的问题,需要证明两 个命题,即存在性和唯一性.当证明结论以 “有且只有”、“只有一个”、“唯一存在” 等形式出现的命题时,由于反设结论易于导出 矛盾,所以用反证法证其唯一性就较简单明 了.

? ? ? ?

求证:两条相交直线有且只有一个交点. [证明] 假设结论不成立,即有两种可能: 无交点;不只有一个交点. (1) 若直线 a , b 无交点,那么 a∥b 或 a , b 是异面 直线,与已知矛盾; ? (2) 若直线 a , b 不只有一个交点,则至少有两个 交点 A和 B,这样同时经过点A, B就有两条直线, 这与“经过两点有且只有一条直线”相矛盾. ? 故假设不成立,原命题正确.

? [例4] 已知0<a≤3,函数f(x)=x3-ax在区 间[1,+∞)上是增函数,设当x0≥1, f(x0)≥1时,f(f(x0))=x0,求证:f(x0)=x0. ? [分析] 要求证明存在某个对象具有某种 特殊性质,而我们又无法具体地指出这个 对象来,如本例,此时应考虑用反证法来 解决.

? [ 证明 ] 假设 f(x0)≠x0 ,则必有 f(x0)>x0 或 f(x0)<x0, ? 若f(x0)>x0≥1,由f(x)在[1,+∞)上为增函 数,则f(f(x0))>f(x0), ? 又f(f(x0))=x0,∴x0>f(x0),与假设矛盾, ? 若x0>f(x0)≥1,则f(x0)>f(f(x0)), ? 又f(f(x0))=x0,∴f(x0)>x0也与假设矛盾. ? 综上所述,当 x0≥1 , f(x0)≥1 且 f(f(x0)) = x0 时有f(x0)=x0.

? [ 点评 ] (1) 对于 f(f(x0)) 的性质知之甚少, 直接证明有困难,而用反证法,增加了反 设这一条件,为我们利用函数的单调性创 造了可能. ? (2)反设中有两种情况,必须逐一否定.

? ? ? ? ? ?

已知p3+q3=2,求证:p+q≤2. [证明] 假设p+q>2,那么p>2-q, ∴p3>(2-q)3=8-12q+6q2-q3. 将p3+q3=2代入得,6q2-12q+6<0, 即6(q-1)2<0. 由此得出矛盾.∴p+q≤2.

? 一、选择题 ? 1.应用反证法推出矛盾的推导过程中,要把下 列哪些作为条件使用 ( ) ? ①结论相反判断,即假设 ②原命题的结论 ? ③公理、定理、定义等 ④原命题的条件 ? A.①④ B.①②③ ? C.①③④ D.②③ ? [答案] C ? [解析] 由反证法的规则可知①③④都可作为条 件使用,故应选C.

? 2 .命题“三角形中最多只有一个内角是 直角”的结论的否定是 ( ) ? A.两个内角是直角 ? B.有三个内角是直角 ? C.至少有两个内角是直角 ? D.没有一个内角是直角 ? [答案] C ? [ 解析 ] “ 最多只有一个 ” 即为 “ 至多一 个”,反设应为“至少有两个”,故应选 C.

? 3 .如果两个实数之和为正数,则这两个 数( ) ? A.一个是正数,一个是负数 ? B.两个都是正数 ? C.至少有一个正数 ? D.两个都是负数 ? [答案] C ? [ 解析 ] 假设两个数都是负数,则两个数 之和为负数,与两个数之和为正数矛盾, 所以两个实数至少有一个正数,故应选C.

? 二、填空题 ? 4 .“任何三角形的外角都至少有两个钝 角 ” 的 否 定 应 是 ______________________________. ? [ 答案 ] 存在一个三角形,其外角最多有 一个钝角 ? [ 解析 ] 全称命题的否定形式为特称命题, 而“至少有两个”的否定形式为“至多有 一个”.故该命题的否定为“存在一个三 角形,其外角最多有一个钝角”.

? 5.和两条异面直线AB、CD都相交的两条 直线AC、BD的位置关系是________. ? [答案] 异面 ? [ 解 析 ] 假 设 AC 、 BD 共 面 , 且 AC?α , BD?α , 则 A∈α , B∈α , C∈α , D∈α , ∴ AB?α , CD?α ,这与 AB 、 CD 异面矛盾, ∴AC、BD异面.

三、解答题 6.求证:1, 3,2 不能为同一等差数列的三项.

[证明]

假设 1, 3,2 是某一等差数列的三项,设

这一等差数列的公差为 d, 则 1= 3-md,2= 3+nd,其中 m,n 为两个正整 数, 由上面两式消去 d,得 n+2m= 3(n+m). 因为 n+2m 为有理数,而 3(n+m)为无理数, 所以 n+2m≠ 3(n+m),矛盾,因此假设不成立, 即 1, 3,2 不能为同一等差数列的三项.


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