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2.3降次--解一元二次方程--因式分解法


2.3 降次--解一元二次方程-----因式分解法
◆随堂检测
1、下面一元二次方程的解法中,正确的是( ) A. (x-3) (x-5)=10×2,∴x-3=10,x-5=2,∴x1=13,x2=7 B. (2-5x)+(5x-2) =0,∴(5x-2) (5x-3)=0,∴x1= C. (x+2) +4x=0,∴x1=2,x2=-2 D.x =x 两边同除以 x,得 x=1 2、x -5x 因式分解结果为_______;2x(x-3)-5(x-3)因式分解的结果是______.
2 3、用因式分解法解方程:(1) 4 x ? 11x ; (2) ( x ? 2) ? 2x ? 4 .
2
2 2 2 2

2 3 ,x2= 5 5

点拨:用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积,另一边为 0 的形式. 4、已知三角形两边长分别为 2 和 4,第三边是方程 x ? 4 x ? 3 ? 0 的解,求这个三角形的周长.
2

◆典例分析
方程 x ? 2009 x ? 2010 ? 0 较大根为 m , 方程 (2010 x)2 ? 2009 ? 2011x ?1 ? 0 较小根为 n , 求 m? n
2

的值. 分析:本题中两个方程的系数都较大,用配方法和公式法都会遇到烦琐的运算,因此考虑到系数的特点, 选用因式分解法最合适. 解:将方程 x ? 2009 x ? 2010 ? 0 因式分解,得: ( x ? 2010)( x ? 1) ? 0 ,
2

∴ x ? 2010 ? 0 或 x ? 1 ? 0 ,∴ x1 ? ?2010 , x2 ? 1 . ∴较大根为 1,即 m ? 1 . 将方程 (2010 x) ? 2009 ? 2011x ?1 ? 0 变形为:
2

(2010x)2 ? (2010 ?1) ? (2010 ? 1) x ?1 ? 0 ,
∴ (2010 x) ? 2010 x ? x ?1 ? 0 ,
2 2

∴ 2010 x( x ? 1) ? ( x ? 1) ? 0 ,∴∴
2

∴ (2010 x ?1)( x ? 1) ? 0 ,
2

∴ 2010 x ? 1 ? 0 或 x ? 1 ? 0 ,
2

∴ x1 ?

1 , x2 ? ?1 . 20102

∴较小根为-1,即 n ? ?1 .∴ m ? n ? 1 ? (?1) ? 0 .

◆课下作业
●拓展提高
1、 二次三项式 x +20x+96 分解因式的结果为________; 如果令 x +20x+96=0, 那么它的两个根是_________. 2、下列命题:①方程 kx -x-2=0 是一元二次方程;②x=1 与方程 x =1 是同解方程;③方程 x =x 与方程 x=1 是同解方程;④由(x+1) (x-1)=3 可得 x+1=3 或 x-1=3.其中正确的命题有( A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 )
2 2 2 2 2

3、已知 ( x ? y)( x ? y ? 2) ? 8 ? 0 ,求 x ? y 的值. 点拨:将 x ? y 看作一个整体,不妨设 x ? y ? z ,则求出 z 的值即为 x ? y 的值. 4 、 我 们 知 道 x2 ? ( a ? b ) x ?

a? b (

, 那b 么 x2 ? ( a ? b 就 可 转 化 为 ? x ) (a ? x) ) x ? a? b 0

( x ? a) ( x ? b) ? ,请你用上面的方法解下列方程: 0
(1) x ? 3x ? 4 ? 0 ; (2) x ? 7 x ? 6 ? 0 ; (3) x ? 4 x ? 5 ? 0 .
2 2 2

5、已知 9a ? 4b ? 0 ,求代数式
2 2

a b a 2 ? b2 ? ? 的值. b a ab

分析:要求 即可.

a b a 2 ? b2 ? ? 的值,首先要对它进行化简,然后从已知条件入手,求出 a 与 b 的关系后代入 b a ab a 2 ? b2 的值. 2a ? 2b

2 6、已知 x ? 1 是一元二次方程 ax ? bx ? 40 ? 0 的一个解,且 a ? b ,求

●体验中考
1、 (2009 年,河南)方程 x ? x 的解是(
2

) D. x1 ? ?1 , x2 ? 0

A. x ? 1

B. x ? 0

C. x1 ? 1 , x2 ? 0

2 2、 (2008 年,淮安)小华在解一元二次方程 x ? 4 x ? 0 时,只得出一个根是 x ? 4 ,则被他漏掉的一个根

是________. (提示:方程两边不能同除以含有未知数的式子,否则会失根的.)

参考答案: ◆随堂检测 1、B 确的. 2、x(x-5) ; (x-3) (2x-5). 3、解: (1)移项,得: 4 x ? 11x ? 0 ,
2

用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于 0 的形式.只有 B 是正

因式分解,得: x(4 x ? 11) ? 0 于是,得: x ? 0 或 4 x ? 11 ? 0 ,∴ x1 ? 0 , x2 ?

11 . 4

(2)移项,得 ( x ? 2)2 ? 2 x ? 4 ? 0 ,即 ( x ? 2)2 ? 2( x ? 2) ? 0 , 因式分解,得: ( x ? 2)( x ? 2 ? 2) ? 0 ,整理,得: ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 , 于是,得 x ? 2 ? 0 或 x ? 4 ? 0 ,∴ x1 ? 2 , x2 ? 4 . 4、解方程: x ? 4 x ? 3 ? 0 ,得 ( x ? 3)( x ? 1) ? 0 ,∴ x1 ? 3 , x2 ? 1 .
2

∵三角形两边长分别为 2 和 4,∴第三边只能是 3.∴三角形周长为 9.

◆课下作业 ●拓展提高 1、 (x+12) (x+8) ;x1=-12,x2=-8. 2、A ①中方程当 k=0 时不是一元二次方程;②中 x=1 比方程 x =1 少一个解 x=-1;③中方程 x =x 比方
2 2

程 x=1 多一个解 x=0;④中由(x+1) (x-1)=3 不能必然地得到 x+1=3 或 x-1=3.因此没有正确的命题,故 选 A.
2 3、解:设 x ? y ? z ,则方程可化为 z ( z ? 2) ? 8 ? 0 ,∴ z ? 2 z ? 8 ? 0 ,

∴ ( z ? 4)( z ? 2) ? 0 ,∴ z1 ? ?4 , z2 ? 2 .∴ x ? y 的值是 ?4 或 2. 4、解(1)∵ x ? 3x ? 4 ? ( x ? 4)( x ?1) ,∴ ( x ? 4)( x ? 1) ? 0 ,
2

∴ x ? 4 ? 0 或 x ? 1 ? 0 ,∴ x1 ? 4 , x2 ? ?1 . (2)∵ x ? 7 x ? 6 ? ( x ? 6)( x ?1) ,∴ ( x ? 6)( x ? 1) ? 0 ,
2

∴ x ? 6 ? 0 或 x ? 1 ? 0 ,∴ x1 ? 6 , x2 ? 1 . (3)∵ x2 ? 4x ? 5 ? ( x ? 5)( x ?1) ,∴ ( x ? 5)( x ? 1) ? 0 , ∴ x ? 5 ? 0 或 x ? 1 ? 0 ,∴ x1 ? ?5 , x2 ? 1 . 5、解:原式=
2

a 2 ? b2 ? a 2 ? b2 2b ?? ab a
2

∵ 9a ? 4b ? 0 ,∴ (3a ? 2b)(3a ? 2b) ? 0 , ∴ 3a ? 2b ? 0 或 3a ? 2b ? 0 ,∴ a ? ? ∴当 a ? ?

2 2 b 或a ? b, 3 3

2 2 2b b 时,原式==3;当 a ? b 时,原式=-3. 2 3 3 ? b 3

6、解:把 x ? 1 代入方程,得: a + b =40,又∵ a ? b , ∴

a 2 ? b2 (a ? b)(a ? b) a ? b = = =20. 2 2a ? 2b 2(a ? b)

●体验中考 1、C 故选 C. 2、 x ? 0 将方程因式分解,得 x( x ? 4) ? 0 ,∴ x1 ? 0 , x2 ? 4 .∴被他漏掉的根是 x ? 0 . 先移项,得 x ? x ? 0 ,因式分解,得: x( x ? 1) ? 0 ,∴ x1 ? 0 , x2 ? 1 .
2


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