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平面向量的应用举例1


第3讲 平面向量的应用举例

珠海市斗门区第一中学
2014.12.5

陈水松

1 1.将函数y= x 的图象按向量a=(1,2)平移后所得图象的解

析式是( B ) 1 A.y= +2 x+1 1 C.y= -2 x-1 1 B.y= +2 x-1 1 D.y= -2 x+1

/>
2.已知向量 a=(3,4),b=(sinα,cosα),若 a∥b, 3 4 ? 4 则 tanα =_______ ;若 a⊥b,则 tanα=_______. 3

3.已知向量 a,b 满足|a|=4,|b|=1,且 a· b=-2,
则a与 b 的夹角大小为( B )
π A.3 2π B. 3 π C.6 5π D. 6

4.在长江南岸渡口处,江水以 12.5 km/h 的速度向 东流,渡船的速度为25 km/h. 渡船要垂直地渡过长 江,则航向为_____________________ 北偏西 30°

1.向量在平面几何中的应用 (1)证明线段平行或点共线问题,包括相似问题,常用共线 向量定理:

a=λb(b≠0) x1y2-x2y1=0 a∥b(b≠0)?________________ ?________________. (2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质: x1x2+y1y2=0 a⊥b?________________ ?________________. a· b=0 (3)求夹角问题,利用夹角公式: x1x2+y1y2 a· b 2 2 2 |a||b| =________________ x2 cosθ=________ (θ为 a 与 b 的夹角). 1+y1 x2+y2

2.平面向量与其他数学知识的交汇 平面向量作为一种运算工具,经常与函数、不等式、三角 函数、数列、解析几何等知识结合,当平面向量给出的形式中 含有未知数时,由向量平行或垂直的充要条件可以得到关于该 未知数的关系式.在此基础上,可以求解有关函数、不等式、 三角函数、数列的综合问题.此类问题的解题思路是转化为代

数运算,其转化途径主要有两种:一是利用平面向量平行或垂
直的充要条件;二是利用向量数量积的公式和性质.

考点 1 平面向量与三角函数的综合应用

→· → =3BA →· →. 例 1:在△ABC 中,已知AB AC BC (1)求证:tanB=3tanA; 5 (2)若 cosC= 5 ,求 A 的值.

【方法与技巧】?1?先将 AB · AC =3 BA · BC 表示成数量积, 再根据正弦定理和同角三角函数关系式证明.

5 ?2?由 cosC= ,可求 tanC,由三角形三角关系,得到 5 tan[π-?A+B?], 从而根据两角和的正切公式和第?1?小题的结论 即可求得 A 的值.

【互动探究】 1.(2013 年江苏)已知 a=(cosα,sinα),b=(cosβ,sinβ), 0<β<α<π. (1)若|a-b|=
2,求证:a⊥b;

(2)设 c=(0,1),若 a+b=c,求α,β的值. 解:(1)∵|a-b|= 2 ,

∴|a-b|2=2,即(a-b)2=a2-2a· b+b2=2.
又∵a2=|a|2=cos2α+sin2α=1,b2=|b|2=cos2β+sin2β=1, ∴2-2a· b=2.∴a· b=0.∴a⊥b.

(2)∵a+b=(cosα+cosβ,sinα+sinβ)=(0,1),
? ?cosα+cosβ=0, ∴? ? ?sinα+sinβ=1, ? ?cosα=-cosβ, 即? ? ?sinα=1-sinβ.

两边分别平方再相加,得 1=2-2sinβ. 1 1 ∴sinβ=2.∴sinα=2. 5 1 ∵0<β<α<π,∴α=6π,β=6π.

考点 2 平面向量与平面几何的综合应用

→ =(1,2),BD →= 例 2:(2013 年福建)在四边形 ABCD 中,AC
(-4,2),则该四边形的面积为( A. 5 B. 2 5 ) C.5 D.10

→ =(1,2),BD → =(-4,2),∵1×(-4)+2×2=0, 解析:AC 1→ → 1 → → ∴AC⊥BD.∴该四边形的面积为2|AC|· |BD|=2× 5×2
故选 C.
答案:C

5=5.

考点 3 平面向量与解析几何的综合应用

例 3:已知曲线 Γ 上任意一点 M 到两个定点 F1(- 3,0) 和 F2( 3,0)的距离之和为 4. (1)求曲线 F 的方程; →· → (2)设过(0, -2)的直线 l 与曲线 Γ 交于 C, D 两点, 且OC OD =0(O 为坐标原点),求直线 l 的方程.
解:(1)根据椭圆的定义,可知动点 M 的轨迹为椭圆,其中

a=2,c= 3,则 b= a2-c2=1. x2 2 所以动点 M 的轨迹方程为 4 +y =1.

(2)当直线 l 的斜率不存在时,不满足题意.

当直线 l 的斜率存在时,设直线 l 的方程为 y=kx-2,设

C(x1,y1),D(x2,y2),
→· → =0,∴x1x2+y1y2=0. ∵OC OD
∵y1=kx1-2,y2=kx2-2, ∴y1y2=k2x1· x2-2k(x1+x2)+4. ∴(1+k2)x1x2-2k(x1+x2)+4=0. ①

x2 2 ? ? +y =1, 由方程组? 4 得(1+4k2)x2-16kx+12=0. ? ?y=kx-2,

16k 12 则 x1+x2= x2 = 2,x1· 2, 1+4k 1+4k 12 16k 代入①,得(1+k )· 2-2k· 2+4=0. 1+4k 1+4k
2

即 k2=4,解得,k=2 或 k=-2.

∴直线 l 的方程是 y=2x-2 或 y=-2x-2.

【方法与技巧】设直线 l 的方程为 y=kx-2 与椭圆方程联 立,设 C?x1,y1?,D?x2,y2?, OC · OD =0?x1x2+y1y2=0?x1x2 +?kx1-2??kx2-2?=0,利用根与系数的关系即可求解.

【方法小结】向量在解析几何中的“两个”作用 (1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包 装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向 量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距

离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题.
(2)工具作用:利用a⊥b?a·b=0,a∥b?a=λb(b≠0),可

解决垂直、平行问题,特别地,向量垂直、平行的坐标表示对
于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法 .

拓展提升
(1)已知两点M(-3,0),N(3,0),点P为坐标平面内一动点, 且

MN MP ? MN NP则动点 ? 0, P(x,y)到点M(-3,0)的距离d
( (B)3 (C)4 ) (D)6

的最小值为 (A)2

(2)在平行四边形ABCD中,A(1,1), AB =(6,0),点M是线段 AB的中点,线段CM与BD交于点P. ①若 AD =(3,5),求点C的坐标; ②当 AB ?| AD | 时,求点P的轨迹.

作业布置:南方新课堂数学 习题集P36 第9题做作业本

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