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必修一1.1.1集合的含义与表示


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一 群 学 生 在 踢 球

一群大雁往南飞

一群大象和看象人一起在看电影

某大学数学系16届(1)班的 所有女生留影

1.1.1 集合的含义与表示

初中接触过的集合,还有印象吗? (1)正分数的集合; (2) x2-4=0的解集为2,-2 ;



那么集合的含义 (3)不等式 3x-2<4的解的集合; 是什么呢?接下来再 看一些例子. (4)到定点的距离等于定长的点的集合(即圆);
(5)到角的两边距离相等的点的集合(即角的平 分线).

下列各种说法中,是集合吗? (1)1—20以内的所有素数; (2)图书馆里所有的书 ; (4)我们班的全体学生; (6)方程x-1=0的解;

√ √ √

(3)参加上海世博会的所有中方官员;



(5)北京所有的麦当劳餐厅;

√ (8)函数y=x+1图像上的所有点; √
(7)不等式2x-3>0的所有解; (9)线段AB的垂直平分线上的所有点.







想一想
军训前学校通知: 9月1日8点,高一年级在 操场进行军训动员. 试问这个通知的对象是 全体的高一学生还是个别学生 ?

知识要点

一、集合的概念
? 元素(element)---我们把研究的对象统称为 元素,用小写的拉丁字母a,b,c…表示。 ? 集合(set)---把一些元素组成的总体叫做集合, 简称集,用大写的拉丁字母A、B、C…表示。

注:集合是整体,元素是个体。

重要数集:
(1) N: 自然数集(含0) 即非负整数集 (2) N+或N﹡ : 正整数集(不含0) (3) Z:整数集 (4) Q:有理数集

(5) R:实数集

练一练

Q: 整数集: N: 正整数集: R:

所有指定对象都 能构成集合吗??

例1 下面各组对象能否构成集合?并说明理由.

(1)漂亮的女生;
(2)小于2003的数;

×


不确定性 不确定性

(3)和2003非常接近的数;

×

(4)参加数学比赛的年龄较小的同学;

√ (6)立方根等于自身的数; √
(5)亚洲所有的国家;
(7)西湖里的漂亮的鱼; (8)较大的数.

×

不确定性 不确定性

× ×

不确定性

知识要点

二、元素的三大特性
1.确定性:给定的集合,他的元素必须是确定的, 不能确定的对象不能构成集合. 2.互异性:一个给定的集合中的元素是互不相 同的,即集合中的元素不能相同. 3.无序性:集合中的元素是无先后顺序的,即 集合里的任何两个元素可以交换位置.

集合相等---只要构成两个集合的元素是一样 的,我们就称这两个集合是相等的。

例2 x ? R,则{3,x,x ? - 2x}中的元素应 满足什么条件? 分析:根据集合的三要素:确定性, 互异性,无序性. 解:由集合中元素的互异性知

3≠x 3≠x? - 2x x≠x? - 2x
解得x ≠ -1, x ≠ 0,且x ≠ 3

例3 集合A={1,3,5}与集合B={3,1,5}是同 一集合吗? 解:根据集合的三要素,可以知道两个 集合是同一集合. 例4 若{1,2}={a-2,2h},则求 a, h? 解:由集合的三要素知道, 1=2h 1=a-2 或 2=2h 2=a-2 所以得到a=3或4,h=1或0.5.

知识要点

三、元素与集合的关系
元素与集合有属于/不属于的隶属关系: 如果a是集合A中的元素,说a属于A,记作a∈A; 如果a不是集合A中的元素,说a不属于A,记作a ?A.

注: ? 符号“?”与“?”只能表示元素与集合之间的关 系,不能用来表示集合与集合之间的关系。 ? 符号方向不能改变。

例5 用符号“?”或?”填空:

? (1)3.14____Q;(2) π____Q; ?

? ? (3)0___N ;(4)0____N;
*

? ? (5)(-2) ___N ;(6)2 3___Z;

0

*

? ? (7)2 3____Q;(8)2 3____R.

1.地球上的七大洲这一集合可以表示成什么呢? 2. 12的所有约数可以表示成什么呢? 3.方程x-1=0的解的集合可以表示成什么呢?
1.地球上的七大洲可表示为{亚洲,非洲,南 极洲,北美洲,南美洲,欧洲,大洋洲}. 2.12的所有约数可表示为{1,2,3,4,6, 12}. 3.方程x-1=0的解集可以表示为{1}.

知识要点

四、集合的表示方法
? 集合的表示方法之二 列举法:
像这样把集合的元素一一列举出来,并用 花括号“{ }”括起来表示集合的方法 叫做列举法.

例6 用列举法表示下列集合: (1)大于10小于30的所有3的倍数; (2)方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解; (3) 小于100的所有奇数.
解:(1)设大于10小于30的所有3的倍数组成 的集合为A,那么A={12,15,18,21,24, 27}. (2)方程 x2 + 3x + 2 = 0 的解组成的集合为B, 那么B={-1,-2}. (3)设小于100的所有奇数组成的集合为C, 那么C={1,3,5,7,9,11,……99}.

注意
(1)大括号不能缺失. (2)有些集合元素个数较多,元素又呈现出 一定的规律,在不至于发生误解的情况下, 亦可如下表示:从1到100的所有整数组成的 集合:{1,2,3,…,100} 自然数集N:{1,2,3,4,…,n,…} (3)区分a与{a}:{a}表示一个集合,该集 合只有一个元素;a表示这个集合的一个元素。 (4)用列举法表示集合时不必考虑元素的前 后次序,相同的元素不能出现两次。

所有的集合都可以用列举法来表示吗? 比如:不等式2x-8<0的解集能用列举法吗? 为什么?那么怎样来表示这个集合呢?

这个集合中的元素是列举 不完的,可以用集合所含元素 的共同特征表示集合.

知识要点
? 集合的表示方法之三 描述法:
用集合所含元素的共同特征表示集合的方法称 为描述法。
具体方法:

在花括号内先写上表示这个集合元素的一般 符号及取值范围,在画一条竖线,在竖线后写 出这个集合中的元素所具有的共同特征.

两种描方法: (1)文字描述法——用文字把元素所具有 的属性描述出来,如﹛自然数﹜. (2)符号描述法——用符号把元素所具有的属 性描述出来,即 {x| P ( x ) } 或 {x∈A| P ( x ) } 等. 含义:在集合A中满足条件P(x)的x的集合.

例7:使用描述法表示下列集合:

(1) 不等式2x-1>3的解集;
(2)不超过30的所有非负偶数的集合;

(3)方程 2x 2

+ 1 = 9的所有实数根组成的集合;

(4)所有的菱形;

3x + 2y = 2 ? (5)方程组 ? 的解集. ?2x + 3y = 27

解: (1)设满足不等式2x-1>3的解为x,满 足 x ? R且x > 2 条件,用描述法表示为

A = {x ? R x > 2}.
(2)设不超过30的非负偶数为x,且满足
x ? 2n且0 ? x ? 30 用描述法表示为

A = {x x = 2n且0 ? x ? 30,n ? Z}.
(3)设方程 2x + 1 = 9的实数根为x,且满 足条件 2x 2 + 1 = 9,用描述法表示为
2

A = {x ? R 2x + 1 = 9}.
2

(4)设菱形为x,则用描述法表示为

A = {x x是菱形}.
(5)设此方程组的解为(x,y),且满足

?3x + 2y = 2 ? 则用描述法表示为 2x + 3y = 27 ?
?3x + 2y = 2 A = {(x, y) ? } ?2x + 3y = 27

例7中的集都不 可以用列举法吗? 显然不是,那么何 时用列举法,何时 用描述法更容易一 些呢?

知识要点

有些集合的公共属性不明显,难以概 括,不便用描述法表示,只能用列举法. 有些集合的元素不能无遗漏地一一列 举出来,或者不便于、不需要一一列举出 来,常用描述法.

有限集与无限集 1、 有限集:含有有限个元素的集合. 2、 无限集:含有无限个元素的集合. 3、 空集:不含任何元素的集合,记作Φ. 如: {x ? R | x
2

+1 = 0}.

做一做
集合 {(x, y) | y = x +1}与集合
2

{y | y = x +1} 是同一集合吗?
答:不是.集合 {(x, y) | y = x2 +1} 2 是点集,集合{y | y = x +1} = {y | y ? 1} 是数集.

2

知识要点
? 集合的表示方法之四:
文氏图:用一条封闭的曲线的内部来表示一 个集合.

集合A

集合B

课堂小结
1.集合的有关概念
(集合、元素、属于、不属于、有限集、无 限集、 空集). 2.集合的四种表示方法 (大写字母、列举法、描述法、文氏图共四 种). 3.常用数集的定义及记法.

课堂练习
1.用符号“?”或?”填空:
(1)设 A为所有亚洲国家组成的集合,则中国 __ A. ? A;英国__ ? A;美国__ ?A;印度__ ? (2)若A={方程x? =1的解}则 1__A ? ; (3)若B={方程x? +x-6=0的解}则2__B ? ; (4)若C={满足1≤x≤10的自然数}则8 __ ? C; 9.5 __ ? C.

2.填空:
(1)由实数 x,-x,| x |, x ,- x 所组成的集 合,最多含有 2 个元素; (2)用列举法表示
2 3 3

2 2 2 A = {x ? Q | (x + 1)(x - )(x - 2)(x + 1) = 0} 3 2

A = {-1, } 3

(3)用列举法表示

6 B = {m ? Z | ? N*} 3-m

B = {-3, 0,1, 2}

5.用使当的方法表示下列集合:
(1)抛物线

x = y 上的点;
x = y 上点的横坐标;
2

2

(2)抛物线
(3)抛物线

x = y上点的纵坐标;

2

(4){大于-1且小于7的自然数};
(5){平方等于2的数};

(6){24的约数}.

解: (1) {(x, y)

y=x }
y 或x = - y }

2

(2) {x ? R x =
( 3)

{y ? R y = x 2 }

(4){0,1,2,3,4,5,6}
(5) { 2,- 2} (6){1,2,3,4,6,8,12,24}

教材习题答案
1.(1) ?,?,?,?;(2) ? ; (3) ?;(4) ?,?; 2.(1){-3, 3};(2){2, 3, 5, 7}; (3){(1, 4)};(4){x x < 2}.


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