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对数函数新课(组内公开课)


对数函数及其性质

复习对数的概念

定义: 一般地,如果 a?a ? 0, a ? 1?

的b次幂等于N, 就是

a ?N
b

,那么数 b叫做

以a为底 N的对数,记作 loga N ? b a叫做对数的底数,N叫做真数。

r /> 由前面的学习我们知道:有一种细胞分裂时,由1 个分裂成2个,2个分裂成4个,· · ·1个这样的细胞分 裂x次会得到多少个细胞?

y?2

x

如果知道了细胞的个数y如何确定分裂的次数x 呢 由对数式与指数式的互化可知:

x ? log2 y
上式可以看作以y自变量的函数表达式吗

对于每一个给定的y值都有惟一的x 的值与之对应,把y看作自变量,x 就是y的函数,但习惯上仍用x表示 自变量,y表示它的函数:即

y ? log2 x
这就是本节课要学习的:

对数函数
定义:函数 y ? loga x(a ? 0,且 a ? 1) 叫做对数函数,其中x是自变量,函数的定 义域是(0,+∞)。


判断:以下函数是对数函数的是 ( 4) 1. y=log2(3x-2) 3. y=log1/3x2
x y ? 3log 5. 2 ?5

2. y=log(x-1)x 4.y=lnx

二.对数函数的图象: 1.描点画图.
注意只要把指数函数y=ax (0<a≠1)

的变量x,y的对应值对调即可得到
y=logax(0<a≠1)的变量对应值表如下.

x
Y=log2x

… 1/8 1/4 1/2 1

2
1

4
2

8
3





-3 -2

-1 0



… 1/8 1/4 1/2 1 2 4 8 … … Y=log1/2x … 3 2 1 0 -1 -2 -3 x

y 3 Y=log2x 2

o -1 -2
-3

1

1

2

3 4 5 6 7

8

x

y 3 2

o -1 -2
-3

1

1

2 3 4 5 6 7

8

x

Y=log1/2x

探索研究:
在同一坐标系中画出下列对数函数的图象; y (1) y ? log x
2

..........

(2)y

? log 1 x

y ? log3 x

y ? log2 x

(3) y
(4) y

? log3 x
? log1 x
3

2

...........
o

x

y ? log1 x
2

y ? log1 x
3

Y

b>a>1>d>c>0

Y=logax Y=logb x

O

1 Y=logdx 规律:在第一象限内,底数越 大,图像按顺时针方向旋转。

y ? logc X

X

一、对数函数的图象与性质:
问题:你能类比前面讨论指数函数性质的 思路,提出研究对数函数性质的内容和方 法吗? 研究内容:定义域、值域、特殊点、单调 性、最大(小)值、奇偶性. 类比指数函数图象和性质的研究,研究对 数函数的性质并填写如下表格:

一、对数函数的图象与性质:
函数 底数
y

y = log a x ( a>0 且 a≠1 ) a>1
y

0<a<1
1

图象

o

1

x

o

x

定义域 奇偶性 值域
定点 单调性 函数值 符号

( 0 , + ∞ ) 非奇非偶函数 R 非奇非偶函数

( 1 , 0 ) 即 x = 1 时,y = 0 在 ( 0 , + ∞ ) 上是增函数 在 ( 0 , + ∞ ) 上是减函数
当 x>1 时,y>0 当 0<x <1 时, y<0 当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0

例1:求下列函数的定义域: (1) y=logax2 (2) y=loga(4-x)
(3) y=log(x-1)(3-x)
2>0,所以x≠?,即函数y=log x2的定义域为 (1) 因为 x a 解:

?-???? ? (0,+?? (-??4)

(2)因为 4-x>0,所以x<4,即函数y=loga(4-x)的定义域为

(3)
因为

3-x>0 x-1>0 x-1≠?

所以 1<x<3,x≠2即函数 y=log(x-1)(3-x)的定义域 为: (1,2)??????

例2:比较大小
1、log4 5和log4 8

log0.5 0.4和log0.5 0.7 2、
4、 loga 0.4和loga 0.7

3、 log0.5 0.4和log2 0.7

小结
(1)本节要求掌握对数函数的概念、 图象和性质. (2)在理解对数函数的定义的基础 上,掌握对数函数的图象和性质的 应用是本小节的重点.

2.利用对称性画图. 因为指数函数y=ax (0<a≠1)与对数函数 y=logax(0<a≠1)的图象关于直线y=x

对称.

Y 5

Y=
● ●

2

x

Y=X

4
3 2 ● ● 1●




Y=log2x

-1 O -1

● ● ● 1 2

3

4

5

6

7 X

-2

练习、比较大小: 1)log3π,log3e
1 2) log 2 , log2 (a 2 ? a ? 1) (a ? R) 2
3)

log

1.7 2.1

,log 0.3 log 3

7,

5

想一想:函数f(x)=log2 ( x2 ? ax ? 1)的定义域为R,
求a的取值范围?


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