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高中数学人教版必修四配套课件第1部分 第三章 3.1 3.1.1 两角差的余弦公式


理解教 材新知

第 三 章

3.1

3.1.1

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题1:当α=60°,β=30°时,cos α-cos β等于多少?
1- 3 提示:cos α-cos β=cos 60° -cos 30° = . 2

问题2:cos 60°-cos 30°=cos(60°-30°)成立吗? 提示:不成立. 问题3:cos α-cos β=cos(α-β)成立吗?

提示:不一定.

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问题4:单位圆中(如图),∠AOx=α,
??? ? ∠BOx=β,那么A,B的坐标是什么? OA ??? ? 与 OB 的夹角是多少?
??? ? ??? ? 提示:A(cos α,sin α),B(cos β,sin β). OA 与 OB 的夹

角是α-β.

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??? ? ??? ? OB 的数量积? 问题 5:你能用几种方法计算 OA ·
??? ? ??? ? ??? ? ??? ? OB =| OA |· 提示:① OA · | OB |cos(α-β)=cos(α-β). ??? ? ??? ? OB =(cos α,sin α)· ② OA · (cos β,sin β)

=cos αcos β+sin αsin β.

问题6:根据上面的计算,可以得出什么结论? 提示:cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β.

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两角差的余弦公式 对于任意角α,β,有 cos(α-β)= cos αcos β+sin αsin β .

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1.公式中的角α,β是任意角,特点是用单角的三 角函数表示差角的三角函数. 2.公式的特点:公式左边是差角的余弦,公式右

边的式子含有同名弦函数之积的和式,可用口诀“余余、
正正,号相反”记忆公式.

3.通过公式可以知道,只要知道cos α,cos β,
sin α,sin β的值,就可以求得cos(α-β)的值.

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[例 1] 求 cos 105° +sin 195° 的值.
[思路点拨] 先利用诱导公式,然后再利用两角差的余弦公 式求解.

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[精解详析] cos 105° +sin 195° =cos 105° +sin(90° + 105° ) =cos 105° +cos 105° =2cos 105° =2cos(135° -30° ) =2(cos 135° cos 30° +sin 135° sin 30° ) 2- 6 2 3 2 1 =2(- × + × )= . 2 2 2 2 2

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[一点通 ]

在利用两角差的余弦公式求某些角的三角函数

时,关键在于先利用诱导公式把角化小,把名称化为余弦,然 后再把待求的角转化为已知特殊角(如 30° , 45° , 60° , 90° , 120° , 135° ,150° 等)的差,然后利用公式化简求值.

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1.sin 285° =________.
解析:sin 285° =sin(270° +15° ) =-cos 15° =-cos(60° -45° ) 6+ 2 =-(cos 60° · cos 45° +sin 60° · sin 45° )=- . 4
6+ 2 答案:- 4

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2.求下列各式的值: (1)cos 15° cos 105° +sin 15° sin 105° ; (2)cos(α-35° )· cos(25° +α)+sin(α-35° )· sin(25° +α); (3)cos 40° cos 70° +cos 20° cos 50° .

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解:(1)原式=cos(15° -105° )=cos(-90° )=0. 1 (2)原式=cos[(α-35° )-(25° +α)]=cos(-60° )= . 2 (3)原式=cos 40° cos 70° +sin 70° sin 40° =cos(70° -40° )=cos 30° = 3 . 2

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4 π 2π (1)已知sin θ= ,θ∈(0, ),求cos( -θ). 5 2 3 4 16 (2)已知α、β为锐角,且cos α= ,cos(α+β)=- , 求 5 65 [例2] cos β的值.
[思路点拨] (1)利用同角三角函数关系式求出cos 再用两角差的余弦公式求解; (2)利用β=(α+β)-α转化求解. θ后,

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4 [精解详析] (1)由sin θ= , 5 π 且θ∈(0, ), 2 3 得cos θ= , 5 2π 2π 2π ∴cos( -θ)=cos · cos θ+sin · sin θ 3 3 3 1 3 3 4 =- × + × 2 5 2 5 4 3-3 = . 10

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π (2)∵0<α,β< ,∴0<α+β<π. 2 16 63 由cos(α+β)=- ,得sin(α+β)= . 65 65 4 3 又∵cos α= ,∴sin α= . 5 5 ∴cos β=cos[(α+β)-α] =cos(α+β)cos α+sin(α+β)sin α 16 4 63 3 5 =(- )× + × = . 65 5 65 5 13

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[一点通] 在利用两角差的公式求余弦值时,应注意以 下变式:α=(α+β)-β,α=β-(β-α), α+β α-β β= - . 2 2

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5 3π π 3.已知cos α= ,α∈( ,2π),则cos(α- )的值等于( 13 2 4 5 2 A. 26 C.- 7 2 26 2 2 B.- 13 D. 3 2 13

)

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5 3π 解析: ∵cos α= , α∈( , 2π), ∴sin α=- 1-cos2α 13 2 12 π π π =- ,∴cos(α- )=cos αcos +sin αsin 13 4 4 4 5 2 12 2 7 2 = × +(- )× =- . 13 2 13 2 26

答案:C

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π 4 π 3π 4.已知 sin(α+ )= ,且 <α< ,求 cos α 的值. 4 5 4 4
π 3 π π 解:∵ <α< π,∴ <α+ <π, 4 4 2 4 π π 3 2 ∴cos(α+ )=- 1-sin (α+ )=- . 4 4 5 π π ∴cos α=cos[(α+ )- ] 4 4 π π π π =cos(α+ )cos +sin(α+ )sin 4 4 4 4 3 2 4 2 2 =- × + × = , 5 2 5 2 10 2 即 cos α 的值为 . 10

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[例 3]

12 12 (12 分)已知 cos(α-β)=- ,cos(α+β)= ,且 α 13 13

π 3π -β∈( ,π),α+β∈( ,2π),求角 β 的值. 2 2
[思路点拨] 先求出 β 的某种三角函数值, 再确定角的范围.

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π 12 [精解详析] 由 α-β∈( ,π),且 cos(α-β)=- , 2 13 5 得 sin (α-β)= .? 13 3π 12 由 α+β∈( ,2π),且 cos(α+β)= , 2 13 得 sin(α+β)=- 5 .? 13 (6 分) (3 分)

cos 2β=cos[(α+β)-(α-β)]

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=cos(α+β)cos(α-β)+sin(α+β)sin(α-β) 12 12 5 5 =- × +(- )× =-1.? 13 13 13 13 3 π 又∵α+β∈( π,2π),α-β∈( ,π), 2 2 π 3π π ∴2β∈( , ).∴2β=π,∴β= .? 2 2 2 (12 分) (9 分)

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[一点通] 解答已知三角函数值求角这类题目, 关键在于合 理运用公式并结合角的范围,对所求的解进行取舍,其关键环 节有两个:一是求出所求角的某种三角函数值,二是确定角的 范围,只要这两个环节做好,然后结合三角函数图像就易求出 角的值.

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1 3 1 5.已知 α 为三角形的内角且 cos α+ sin α= ,则 α= 2 2 2 ________.
1 3 π π 解析:∵ cos α+ sin α=cos cos α+sin sin α 2 2 3 3 π 1 =cos(α- )= , 3 2 π π 2π 又 0<α<π,- <α- < , 3 3 3 π π 2π ∴α- = ,α= . 3 3 3 2 答案: π 3

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5 10 6.已知 α,β 均为锐角,且 sin α= ,cos β= ,求 α-β 的值. 5 10
5 10 解:∵α、β 均为锐角,且 sin α= ,cos β= , 5 10 2 5 3 10 ∴cos α= ,sin β= . 5 10 ∴cos(α-β)=cos αcos β+sin αsin β 2 5 10 5 3 10 2 = × + × = . 5 10 5 10 2 π π π π 又∵0<α< ,0<β< ,∴- <α-β< . 2 2 2 2 又∵sin α<sin β,∴α<β,即 α-β<0. π π ∴- <α-β<0.∴α-β=- . 2 4

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1.两角差的余弦公式是本章的基础,是其他公式推导的 依据,应牢固记住公式的结构和形式. 2. 三角变换是三角运算的灵魂与核心, 它包括角的变换、 函数名称的变换、三角函数式结构的变换等.在解题中应特 别注意角的变换.

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3.给值求角题的解题步骤是:①求所求角的某一种三角 函数值;②确定所求角的范围;③在所求角的范围内,根据 其三角函数值确定角. 这里应特别注意的是角的范围要准确, 否则会使求出的角不合题意或者漏解.

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