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【创新设计】2016届 数学一轮(文科) 人教B版 课时作业 第九章 平面解析几何 第5讲


第5讲

椭圆

基础巩固题组
(建议用时:40 分钟) 一、选择题 x2 y2 1.设 F1,F2 分别是椭圆25+16=1 的左、右焦点,P 为椭圆上一点,M 是 F1P 的 中点,|OM|=3,则 P 点到椭圆左焦点的距离为 A.4 C.2 解析 B.3 D.5 1 由题意知,在△PF1F2 中,|OM|=2|PF2|=3,

( )

∴|PF2|=6,∴|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4. 答案 A ( ) x2 y2 2.已知椭圆 + =1 的焦距为 4,则 m 等于 10-m m-2 A.4 C.4 或 8 解析 ?10-m>0, 由? 得 2<m<10, ?m-2>0, B.8 D.以上均不对

由题意知(10-m)-(m-2)=4 或(m-2)-(10-m)=4, 解得 m=4 或 m=8. 答案 C

3.(2015· 青岛质量检测)已知中心在原点的椭圆 C 的右焦点为 F(1,0),离心率等于 1 2,则 C 的方程是 x2 y2 A. 3 + 4 =1 x2 y2 C. 4 + 3 =1 x2 y2 B. 4 + =1 3 x2 2 D. 4 +y =1 ( )

解析

c 1 依题意,所求椭圆的焦点位于 x 轴上,且 c=1,e=a=2?a=2,b2=a2

x2 y2 -c2=3,因此其方程是 4 + 3 =1,故选 C. 答案 C

x2 y2 4.(2014· 汕头一模)已知椭圆 4 + 2 =1 上有一点 P,F1,F2 是椭圆的左、右焦点, 若△F1PF2 为直角三角形,则这样的点 P 有 A.3 个 C.6 个 解析 B.4 个 D.8 个 ( )

当∠PF1F2 为直角时,根据椭圆的对称性知,这样的点 P 有 2 个;同理

当∠PF2F1 为直角时,这样的点 P 有 2 个;当 P 点为椭圆的短轴端点时, ∠F1PF2 最大,且为直角,此时这样的点 P 有 2 个.故符合要求的点 P 有 6 个. 答案 C x2 y2 5.已知椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左焦点为 F,C 与过原点的直线相交于 A, 4 B 两点,连接 AF,BF.若|AB|=10,|BF|=8,cos∠ABF=5,则 C 的离心率为 ( 3 A.5 4 C.5 解析 5 B.7 6 D.7 如图,设|AF|=x,则 cos∠ABF= 82+102-x2 4 = . 2×8×10 5 )

解得 x=6,∴∠AFB=90° ,由椭圆及直线关于原点对称可知|AF1|=8,∠FAF1 =∠FAB+∠FBA=90° ,△FAF1 是直角三角形,所以|F1F|=10,故 2a=8+6= c 5 14,2c=10,∴a=7.

答案

B

二、填空题 x2 y2 6.(2015· 威海模拟)已知 P 为椭圆25+16=1 上的一点,M,N 分别为圆(x+3)2+ y2=1 和圆(x-3)2+y2=4 上的点,则|PM|+|PN|的最小值为________. 解析 由题意知椭圆的两个焦点 F1, F2 分别是两圆的圆心, 且|PF1|+|PF2|=10,

从而|PM|+|PN|的最小值为|PF1|+|PF2|-1-2=7. 答案 7 x2 y2 1 7.已知椭圆a2+b2=1 (a>b>0)的离心率等于3,其焦点分别为 A,B,C 为椭圆上 异于长轴端点的任意一点,则在△ABC 中, 解析 在△ABC 中,由正弦定理得 sin A+sin B sin C 的值等于________.

sin A+sin B |CB|+|CA| sin C = |AB| ,因为点 C 在椭圆 sin A+sin B 2a 1 sin C = 2c= e=

上,所以由椭圆定义知|CA|+|CB|=2a,而|AB|=2c,所以 3. 答案 3

x2 y2 8.(2015· 沈阳质量监测)已知 F1(-c,0),F2(c,0)为椭圆a2+b2=1(a>b>0)的两个焦 →· → 2 点,P 为椭圆上一点,且PF 1 PF2=c ,则此椭圆离心率的取值范围是________. 解析 →· → 设 P(x,y),则PF (c-x,-y)=x2-c2+y2=c2, 1 PF2=(-c-x,-y)· ① b2 2 将 y =b -a2x 代入①式解得
2 2

x2=

?2c2-b2?a2 ?3c2-a2?a2 = , c2 c2

又 x2∈[0,a2],∴2c2≤a2≤3c2, c ? 3 2? ∴e=a∈? , ?. 3 2 ? ? 答案 ? 3 2? ? , ? 2? ?3

三、解答题 x2 y2 9.(2014· 新课标全国Ⅱ卷)设 F1,F2 分别是椭圆 C:a2+b2=1(a>b>0)的左,右

焦点,M 是 C 上一点且 MF2 与 x 轴垂直.直线 MF1 与 C 的另一个交点为 N. 3 (1)若直线 MN 的斜率为4,求 C 的离心率; (2)若直线 MN 在 y 轴上的截距为 2,且|MN|=5|F1N|,求 a,b. 解
2 ? b? (1)根据 c= a2-b2及题设知 M?c, a ?,2b2=3ac. ? ?

c 1 c 1 将 b2=a2-c2 代入 2b2=3ac,解得a=2或a=-2(舍去).故 C 的离心率为2. (2)由题意,知原点 O 为 F1F2 的中点,MF2∥y 轴,所以直线 MF1 与 y 轴的交点 b2 D(0,2)是线段 MF1 的中点,故 a =4,即 b2=4a. 由|MN|=5|F1N|,得|DF1|=2|F1N|. 设 N(x1,y1),由题意知 y1<0,则 3 ? ?x1=- c. ?2?-c-x1?=c, 2 ? 即? ?-2y1=2, ? ?y1=-1. 9c2 1 代入 C 的方程,得4a2+b2=1
2 2



.②

9?a2-4a? 1 将①及 c= a -b 代入②得 4a2 +4a=1. 解得 a=7,b2=4a=28, 故 a=7,b= 2 7.

x2 y2 10. (2014· 江苏卷)如图,在平面直角坐标系 xOy 中,F1,F2 分别是椭圆a2+b2=1(a >b>0)的左、右焦点,顶点 B 的坐标为(0,b),连接 BF2 并延长交椭圆于点 A, 过点 A 作 x 轴的垂线交椭圆于另一点 C,连接 F1C.

?4 1? (1)若点 C 的坐标为?3,3?,且|BF2|= 2,求椭圆的方程; ? ?

(2)若 F1C⊥AB,求椭圆离心率 e 的值. 解 设椭圆的焦距为 2c,则 F1(-c,0),F2(c,0).

(1)因为 B(0,b),所以|BF2|= b2+c2=a. ?4 1? 又|BF2|= 2,故 a= 2.因为点 C?3,3?在椭圆上, ? ? 16 1 9 9 所以 a2 +b2=1,解得 b2=1. x2 故所求椭圆的方程为 2 +y2=1. (2)因为 B(0,b),F2(c,0)在直线 AB 上, x y 所以直线 AB 的方程为c+b=1. x y ? ?c+b=1, 2a c ? x1= 2 2, ? a +c 得? b?c2-a2? y = ? ? 1 a2+c2 ,
2

解方程组?

? ?a2+b2=1,

x2

y2

?x2=0, ? ?y2=b.

2 2 ? 2a2c b?c -a ?? 所以点 A 的坐标为? 2 2, 2 2 ?. a +c ? ?a +c 2 2 ? 2a2c b?a -c ?? 又 AC 垂直于 x 轴,由椭圆的对称性,可得点 C 的坐标为? 2 2, 2 2 ?. a +c ? ?a +c

b?a2-c2? -0 a2+c2 b?a2-c2? b 因为直线 F1C 的斜率为 2a2c = 2 直线 AB 的斜率为-c , 且 F1C 3, 3a c+c -?-c? a2+c2 b?a2-c2? ? b? ?- ?=-1.又 b2=a2-c2,整理得 a2=5c2. ⊥AB,所以 2 · 3a c+c3 ? c? 1 5 故 e2= ,因此 e= . 5 5

能力提升题组
(建议用时:25 分钟) x2 y2 11.(2014· 朝阳市重点高中模拟)设 F1,F2 分别是椭圆 E:4 + 3 =1 的左、右焦点, 过 F1 的直线 l 与 E 相交于 A,B 两点,且|AF2|,|AB|,|BF2|成等差数列,则|AB| = ( )

10 A. 3 8 C.3 解析

B.3 D.2 依题意得 |AF1|+|AF2|+ |BF1|+ |BF2|= (|AF1|+ |BF1|)+ (|AF2|+ |BF2|)=|AB|

8 +(|AF2|+|BF2|)=3|AB|=4×2,|AB|=3,故选 C. 答案 C

x2 y2 12.(2015· 云南统一检测)设 F1,F2 分别是椭圆25+16=1 的左、右焦点,P 为椭圆 上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则|PM|+|PF1|的最大值为 A.10 C.15 解析 B.12 D.18 |PF1|+|PF2|=10,|PF1|=10-|PF2|, ( )

|PM|+|PF1|=10+|PM|-|PF2|, 易知 M 点在椭圆外,连接 MF2 并延长交椭圆于 P 点, 此时|PM|-|PF2|取最大值|MF2|, 故|PM|+|PF1|的最大值为 10+|MF2|=10+ ?6-3?2+42=15. 答案 C x2 y2 13.(2015· 陕西五校联考)椭圆a2+ 5 =1(a 为定值,且 a> 5)的左焦点为 F,直线 x=m 与椭圆相交于点 A,B.若△FAB 的周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率 是______. 解析 =2a. 又△FAB 的周长为|AF|+|BF|+|AB|≤|AF|+|BF|+|AF′|+|BF′|=4a, 设椭圆的右焦点为 F′, 如图, 由椭圆定义知, |AF|+|AF′|=|BF|+|BF′|

当且仅当 AB 过右焦点 F′时等号成立. x2 y2 此时 4a=12,则 a=3.故椭圆方程为 9 + 5 =1, c 2 所以 c=2,所以 e=a=3. 答案 2 3

x2 y2 1 14.(2014· 陕西卷)已知椭圆a2+b2=1(a>b>0)经过点(0, 3),离心率为2,左, 右焦点分别为 F1(-c,0),F2(c,0).

(1)求椭圆的方程; 1 (2)若直线 l: y=-2x+m 与椭圆交于 A, B 两点, 与以 F1F2 为直径的圆交于 C, |AB| 5 3 D 两点,且满足|CD|= 4 ,求直线 l 的方程. b= 3, ? ?c 1 (1)由题设知? = , a 2 ? ?b2=a2-c2,



解得 a=2,b= 3,c=1,

x2 y2 ∴椭圆的方程为 4 + 3 =1. (2)由(1)知,以 F1F2 为直径的圆的方程为 x2+y2=1,

∴圆心到直线 l 的距离 d= ∴|CD|=2 1-d2=2

2|m| 5 ,由 d<1,得|m|< 2 .(*) 5

4 2 1-5m2= 5-4m2. 5

设 A(x1,y1),B(x2,y2),

1 ? ?y=-2x+m, 由? 2 2 x y ? ? 4 + 3 =1,

得 x2-mx+m2-3=0,

由根与系数的关系可得 x1+x2=m,x1x2=m2-3. ∴|AB|= ? ? 1?2? 2 ?1+?-2? ?[m -4?m2-3?] ? ? ??

15 = 2 4-m2. |AB| 5 3 由|CD|= 4 ,得 4-m2 3 2=1,解得 m=± ,满足(*). 3 5-4m

1 3 1 3 ∴直线 l 的方程为 y=-2x+ 3 或 y=-2x- 3 .


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