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【名师一号】2014-2015学年北师大版高中数学必修1:第二章 函数 单元同步测试]


阶段性检测卷二
(时间:120 分钟,满分:150 分) 一、选择题(本大题共 10 小题,每题 5 分,共 50 分.在每小题给 出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.) 1.函数 y= 1-x+ x的定义域为( A.{x|x≤1} C.{x|x≥1 或 x≤0} 答案 D )

B.{x|x≥0} D.{x|0≤x≤1}

>2.已知(x,y)在映射 f 作用下的像是(x+y,x-y),则(1,2)关于 f 的原像是( A.(1,2) 1? ?3 C.?2,-2?
? ? ? ?x+y=1, 由? ? ?x-y=2.

) B.(3,-1)
? 1 3? D.?-2,2? ? ?

解析

3 ? x = ? 2, 得? 1 ? y =- ? 2.

故选 C.

答案

C

3.下列函数中,既是偶函数,又在(0,+∞)上单调递减的函数是 ( ) A.y=x-2 C.y=x2 答案 A ) B.y=x-1 1 D.y=x3

4.下列函数中,是同一函数的是( A.y=(x-1)0 与 y=1 B.y=x 与 y= x

? ?x,x≥0 C.y=|x|与 y=? ?-x,x<0 ?

D.y=x2 与 y=(x-1)2 解析 A 中 y=(x-1)0 的定义域为{x|x∈R,且 x≠1},y=1 的定

义域为 R,定义域不同,故不是同一函数;B 中 y= x的定义域为[0, +∞),y=x 的定义域为 R,定义域不同,故不是同一函数,D 中的对 应法则不同. 答案 C

5.已知函数 f(x)的定义域为(-1,0),则函数 f(2x+1)的定义域为 ( ) A.(-1,1) C.(-1,0) 1? ? B.?-1,-2?
? ? ?1 ? D.?2,1? ? ?

1 解析 由-1<2x+1<0, 解得-1<x<-2, 故函数 f(2x+1)的定义域 1? ? 为?-1,-2?.
? ?

答案

B

a 6.若在[1,+∞)上,函数 y=(a-1)x2+1 与 y=x均单调递减,则 a 的取值范围是( A.a>0 C.0≤a≤1 解析 显然 a≠1,且 a≠0,
?a-1<0, ? 由题意得? 得 0<a<1. ? ?a>0,

) B.a>1 D.0<a<1

答案

D

7.设 f(x)是定义在 R 上的增函数,则( A.f(a)>f(2a) C.f(a2+1)<f(2a)
? ?

)

B.f(a2)<f(a) D.f(a2+1)>f(a)

1? 3 ? 解析 ∵a2+1-a=?a-2?2+4>0∴a2+1>a, 由函数的单调性可知 f(a2+1)>f(a). 答案 D )

5 8.函数 y=x3的图像大致是下图中的(

解析

5 5 y=x3为奇函数,定义域为 R,且3>1,∴x>0 时图像是下凸

的,故选 B. 答案 B

9.定义在 R 上的偶函数 f(x),对任意 x1,x2∈[0,+∞)(x1≠x2),



f?x1?-f?x2? <0,则( x1-x2 A.f(3)<f(-2)<f(1) C.f(-2)<f(1)<f(3)

) B.f(1)<f(-2)<f(3) D.f(3)<f(1)<f(-2)

f?x1?-f?x2? 解析 由已知 <0,得 f(x)在 x∈[0,+∞)上单调递减, x1-x2 由偶函数性质得 f(3)<f(-2)<f(1),故选 A. 答案 A

10.已知偶函数 f(x)在区间[0,+∞)上是增加的,则满足 f(2x-
?1? 1)<f?3?的 x 的取值范围是( ? ?

) 1 2 B.(3,3) 1 2 D.[2,3)

1 2 A.[3,3) 1 2 C.(2,3) 解析 作出示意图可知:

?1? 1 1 1 2 f(2x-1)<f?3??-3<2x-1<3,即3<x<3,故选 B. ? ?

答案

B

二、填空题(本大题共 5 小题,每题 5 分,共 25 分.将答案填在题 中横线上.)

? ??x≤2?, 11.设函数 f(x)=? 2x ? ??x>2?,
则 x0=________. 解析 f(-4)=(-4)2+2=18,

x2+2

)则 f(-4)=________,若 f(x0)=8,

? ? ?x0≤2, ?x0>2, 由 f(x0)=8,得? 2 或? ?x0+2=8, ?2x0=8, ? ?

得 x0=- 6,或 x0=4. 答案 18 - 6或 4 12.函数 y=(m -m-1)· x 时为减函数,则 m=________. 解析 由题意得 m2-m-1=1,得 m=2,或 m=-1,当 m=-1 时,y=x0 不合题意,当 m=2 时,y=x-3,符合题意. 答案 2 1 13.将 y=x的图像沿 x 轴向右平移 1 个单位,再向上平移两个单 位得到的函数的解析式为________. 2x-1 答案 f(x)= x -1 14.函数 f(x)=x2+2mx+1 在(-∞,-1]上单调递减,在[-1,+ ∞)上单调递增,则实数 m=________. 解析 由于 f(x)在(-∞,-1]上单调递减,在[-1,+∞)上单调
2

m2-2m-3

是幂函数,且当 x∈(0,+∞)

递增,知 f(x)的对称轴为 x=-1,即-m=-1 得 m=1. 答案 1 15.函数 y=x2-2x+5,在 x∈[1,2]上的最大值是________,最小

值是________. 解析 ∵函数 y=x2-2x+5 在[1,2]上单调递增, ∴当 x=1 时, ymin =1-2+5=4,当 x=2 时,ymax=4-4+5=5. 答案 5 4 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证 明过程或演算步骤.) 3x+1 16.(12 分)求函数 f(x)= 2 的定义域. x -x-2 解
? ?3x+1≥0, 欲使该函数有意义,需? 2 ?x -x-2≠0, ?

?x≥-1, 3 得? ?x≠-1且x≠2,
?

1 即 x≥-3,且 x≠2.

? 1 ? ∴该函数的定义域为?-3,2?∪(2,+∞). ?

17. (12 分)已知幂函数 f(x)=x-2m2+m+3(m∈Z)为偶函数, 且在 (0,+∞)上是增函数,求 f(x)的解析式. 3 解 由题意得-2m2+m+3>0,得-1<m<2, 又 m∈Z,m=0,或 m=1,又 f(x)为偶函数, ∴m=1,f(x)=x2. 18.(12 分)已知函数 f(x)=x2+ax+b, (1)若对于任意的实数 x,都有 f(1+x)=f(1-x)成立,求实数 a 的 值; (2)若 f(x)为偶函数,求 a 的值. 解 (1)∵f(x)满足 f(1+x)=f(1-x),

a ∴f(x)关于 x=1 对称,∴-2=1, ∴a=-2. (2)∵f(x)为偶函数,∴f(-x)=f(x), ∴x2-ax+b=x2+ax+b, ∴a=0.

19.(13 分)如图所示,函数的图像是由两条射线及抛物线的一部 分组成,求函数的解析式. 解 设左侧射线对应的解析式为 y=kx+b(x≤1), ∵(1,1),(0,2)在射线上.
? ? ?k+b=1, ?k=-1, ? ∴ 得? ? ? ?b=2, ?b=2.

∴x≤1 时,f(x)=-x+2. 设右侧射线对应的解析式为 y=k1x+b1(x≥3),
? ?3k1+b1=1, ∵(3,1),(4,2)在射线上,∴? ? ?4k1+b1=2, ? ?k1=1, 得? ∴当 x≥3 时,f(x)=x-2. ?b1=-2. ?

设 1≤x≤3 时 f(x)=a(x-2)2+2,

将(1,1)代入上式得 a=-1. ∴当 1≤x≤3 时,f(x)=-(x-2)2+2=-x2+4x-2. -x+2,x<1, ? ? 2 综上得 f(x)=?-x +4x-2,1≤x≤3, ? ?x-2,x>3. 20. (13 分)求函数 f(x)=(4-3a)x2-2x+a 在区间[0,1]上的最大值. 解 4 4 (1)当 4-3a=0, 即 a=3时, f(x)=-2x+3在[0,1]上为减函数,

4 ∴f(x)max=f(0)=3. 4 1 (2)当 a>3时,4-3a<0,开口向下,对称轴为 x= <0,则二次 4-3a 函数在区间[0,1]上为减函数 ∴f(x)max=f(0)=a. 4 (3)当 a<3时,4-3a>0,开口向上,对称轴为 x= 1 1 2 ①当 0< ≤2时,即 a≤3时, 4-3a f(x)max=f(1)=2-2a, 1 1 2 4 ②当 >2时,即3<a<3时, 4-3a f(x)max=f(0)=a, 2 综上所述,当 a>3时,f(x)max=a; 2 当 a≤3时,f(x)max=2-2a. ax+b 21.(13 分)已知函数 f(x)= 是定义域为(-1,1)的奇函数,且 1+x2
?1? 2 f?2?=5. ? ?

1 >0, 4-3a

(1)求实数 a,b 的值. (2)判断 f(x)在(-1,1)上的单调性,并用定义证明. (3)解不等式:f(t-1)+f(t)<0.



?f?0?=0, (1)有? ?1? 2 ?= , ?f? ?2? 5

解得 a=1,b=0.

(2)f(x)在(-1,1)上是增函数,证明如下:在(-1,1)上任取两数 x1 和 x2 且-1<x1<x2<1, 则 f(x1)-f(x2)= ?x1-x2??1-x1x2? 2 ?1+x2 1??1+x2?

∵-1<x1<x2<1,∴x1-x2<0,1-x1x2>0, 故 f(x1)-f(x2)= ∴f(x1)<f(x2), ∴f(x)在(-1,1)上为增函数. (3)f(x)为奇函数,定义域为(-1,1),由 f(t-1)+f(t)<0 得 f(t-1)<- f(t)=f(-t), ∵f(x)在(-1,1)上为增函数, 1 ∴-1<t-1<-t<1,解得 0<t<2. 1? ? 所以原不等式的解集为?t|0<t<2?.
? ?

?x1-x2??1-x1x2? 2 <0, ?1+x2 1??1+x2?


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