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已知椭圆的中心在原点


已知椭圆的中心在原点,一个焦点是F 2,0 ,且离心率 e= ⑴求椭圆的方程(用λ表示) ;

2

> 0

⑵若存在过点A 1,0 的直线l,使点F关于直线l的对称点在椭圆上,求λ的取值范围. 解:⑴由题意,半焦距c = 2,又因为 = 所以椭圆方程为.
2 2

,所以a = ,故b ? 2 ? 2 = ? 4,

+

2 ?4

= 1 > 4

⑵设点 F 关于直线 l 的对称点M 0 , 0 , 设 l:y = k ? 1 或 x=1(不合题意,舍去) ,
0 由点 M 在椭圆上,得 0 + ? = 1,① 4

2

2

由FM ⊥ l,得 0 ?2 = ? ,②
0

?0

1

由 FM 的中点在对称轴 l 上,得 20 = k 由②③得
2 0



0 +2 2

? 1 ,③

2 0 ?2

=1?

0 +2 2

2 2 即0 = 20 ? 0

代入①得
2 40 ? 20 + ? 4 = 0④

由?= 42 ? 16 ? 4 ≥ 0,解得λ ≤

16 3



验证,知④存在根0 ∈ ? , > 4 , 所以4 < ≤
16 3

.

方程思想是解决圆锥曲线综合问题的一种重要的思想方法, 但直线与圆锥曲线的联立不是方 程思想的全部,设点而不求点,代入化简解决问题是解析几何的一种重要的方法,也是方程 重要思想的体现。


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