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8.4 直线、平面平行的判定与性质


8.4 直线、平面平行的判定与性质 考点 平行的判定与性质 1.(2013 广东,6,5 分)设 m,n 是两条不同的直线,α,β 是两个不同的平面.下列命题中正确的是( A.若 α⊥β,m?α,n?β,则 m⊥n B.若 α∥β,m?α,n?β,则 m∥n C.若 m⊥n,m?α,n?β,则 α⊥β D.若 m⊥α,m∥n,n∥β,则 α⊥β 答案 D 2.(2013 安徽,1

5,5 分)如图,正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱长为 1,P 为 BC 的中点,Q 为线段 CC1 上的动点,过点 A,P,Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S.则下列命题正确的是 (写出所有正确命题的编号). )

① 当 0<CQ< 时,S 为四边形 ② 当 CQ= 时,S 为等腰梯形 ③ 当 CQ= 时,S 与 C1D1 的交点 R 满足 C1R= ④ 当 <CQ<1 时,S 为六边形 ⑤ 当 CQ=1 时,S 的面积为 答案 ① ② ③ ⑤ 3.(2013 山东,18,12 分)如图所示,在三棱锥 P-ABQ 中,PB⊥平面 ABQ,BA=BP=BQ,D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,AQ=2BD,PD 与 EQ 交于点 G,PC 与 FQ 交于点 H,连结 GH. (1)求证:AB∥GH; (2)求二面角 D-GH-E 的余弦值.
6 2 3 4 3 4 1 3 1 2

1 2

解析 (1)证明:因为 D,C,E,F 分别是 AQ,BQ,AP,BP 的中点,所以 EF∥AB,DC∥AB. 所以 EF∥DC. 又 EF?平面 PCD,DC?平面 PCD, 所以 EF∥平面 PCD. 又 EF?平面 EFQ,平面 EFQ∩平面 PCD=GH,所以 EF∥GH.

又 EF∥AB, 所以 AB∥GH. (2)解法一:在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ,所以∠ABQ=90° ,即 AB⊥BQ. 因为 PB⊥平面 ABQ, 所以 AB⊥PB.

又 BP∩BQ=B, 所以 AB⊥平面 PBQ. 由(1)知,AB∥GH, 所以 GH⊥平面 PBQ. 又 FH?平面 PBQ,所以 GH⊥FH. 同理可得 GH⊥HC,所以∠FHC 为二面角 D-GH-E 的平面角. 设 BA=BQ=BP=2,连结 FC, 在 Rt△FBC 中,由勾股定理得 FC= 2, 在 Rt△PBC 中,由勾股定理得 PC= 5. 又 H 为△PBQ 的重心, 所以 HC= PC= . 同理 FH= . 在△FHC 中,由余弦定理得 cos∠FHC=9 即二面角 D-GH-E 的余弦值为- . 解法二:在△ABQ 中,AQ=2BD,AD=DQ, 所以∠ABQ=90° . 又 PB⊥平面 ABQ, 所以 BA,BQ,BP 两两垂直. 以 B 为坐标原点,分别以 BA,BQ,BP 所在直线为 x 轴,y 轴, z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系.
4 5
5 5 +9-2 4 5 =-5. 2× 9

1 3

5 3

5 3

设 BA=BQ=BP=2, 则 E(1,0,1),F(0,0,1),Q(0,2,0),D(1,1,0),C(0,1,0),P(0,0,2).

所以=(-1,2,-1),=(0,2,-1), =(-1,-1,2),=(0,-1,2). 设平面 EFQ 的一个法向量为 m=(x1,y1,z1), 由 m·=0,m·=0, 得 -1 + 21 -1 = 0, 21 -1 = 0,

取 y1=1,得 m=(0,1,2). 设平面 PDC 的一个法向量为 n=(x2,y2,z2), 由 n·=0,n·=0, 得 -2 -2 + 22 = 0, -2 + 22 = 0,
· 4 = . |||| 5

取 z2=1,得 n=(0,2,1), 所以 cos<m,n>=

因为二面角 D-GH-E 为钝角, 所以二面角 D-GH-E 的余弦值为- . 4.(2013 江苏,16,14 分)如图,在三棱锥 S-ABC 中,平面 SAB⊥平面 SBC,AB⊥BC,AS=AB.过 A 作 AF⊥SB,垂足为 F,点 E,G 分别是棱 SA,SC 的中点.求证: (1)平面 EFG∥平面 ABC; (2)BC⊥SA.
4 5

证明 (1)因为 AS=AB,AF⊥SB,垂足为 F,所以 F 是 SB 的中点.又因为 E 是 SA 的中点,所以 EF∥AB. 因为 EF?平面 ABC,AB?平面 ABC, 所以 EF∥平面 ABC. 同理 EG∥平面 ABC.又 EF∩EG=E, 所以平面 EFG∥平面 ABC. (2)因为平面 SAB⊥平面 SBC,且交线为 SB,又 AF?平面 SAB,AF⊥SB, 所以 AF⊥平面 SBC,因为 BC?平面 SBC,所以 AF⊥BC. 又因为 AB⊥BC,AF∩AB=A,AF,AB?平面 SAB,所以 BC⊥平面 SAB. 因为 SA?平面 SAB,所以 BC⊥SA. 5.(2013 湖北,19,12 分)如图,AB 是圆 O 的直径,点 C 是圆 O 上异于 A,B 的点,直线 PC⊥平面 ABC,E,F 分别是 PA,PC 的中点. (1)记平面 BEF 与平面 ABC 的交线为 l,试判断直线 l 与平面 PAC 的位置关系,并加以证明; (2)设(1)中的直线 l 与圆 O 的另一个交点为 D,且点 Q 满足= .记直线 PQ 与平面 ABC 所成的角为 θ,异 面直线 PQ 与 EF 所成的角为 α,二面角 E-l-C 的大小为 β,求证:sin θ=sin αsin β.
1 2

解析 (1)直线 l∥平面 PAC,证明如下: 连结 EF,因为 E,F 分别是 PA,PC 的中点,所以 EF∥AC. 又 EF?平面 ABC,且 AC?平面 ABC,所以 EF∥平面 ABC. 而 EF?平面 BEF,且平面 BEF∩平面 ABC=l,所以 EF∥l. 因为 l?平面 PAC,EF?平面 PAC,所以直线 l∥平面 PAC. (2)解法一(综合法):如图 1,连结 BD,由(1)可知交线 l 即为直线 BD,且 l∥AC.

因为 AB 是☉O 的直径,所以 AC⊥BC,于是 l⊥BC. 已知 PC⊥平面 ABC,而 l?平面 ABC,所以 PC⊥l. 而 PC∩BC=C,所以 l⊥平面 PBC. 连结 BE,BF,因为 BF?平面 PBC,所以 l⊥BF. 故∠CBF 就是二面角 E-l-C 的平面角,即∠CBF=β. 由= ,作 DQ∥CP,且 DQ= CP. 连结 PQ,DF,因为 F 是 CP 的中点,CP=2PF,所以 DQ=PF, 从而四边形 DQPF 是平行四边形,PQ∥FD. 连结 CD,因为 PC⊥平面 ABC,所以 CD 是 FD 在平面 ABC 内的射影, 故∠CDF 就是直线 PQ 与平面 ABC 所成的角,即∠CDF=θ. 又 BD⊥平面 PBC,有 BD⊥BF,知∠BDF 为锐角, 故∠BDF 为异面直线 PQ 与 EF 所成的角,即∠BDF=α, 于是在 Rt△DCF,Rt△FBD,Rt△BCF 中,分别可得 sin θ= 从而 sin αsin β= · 即 sin θ=sin αsin β. 解法二(向量法):如图 2,由= ,作 DQ∥CP,
1 2 = =sin ,sin 1 2 1 2

α= ,sin β= ,





θ,

且 DQ= CP. 连结 PQ,EF,BE,BF,BD,由(1)可知交线 l 即为直线 BD. 以点 C 为原点,向量,,所在直线分别为 x,y,z 轴,建立如图所示的空间直角坐标系,设 CA=a,CB=b,CP=2c,则有 C(0,0,0),A(a,0,0),B(0,b,0),P(0,0,2c),Q(a,b,c), E
1 a,0,c 2

1 2

,F(0,0,c).
1 a,0,0 2

于是 =

,=(-a,-b,c), =(0,-b,c),
2 +2 +2

所以 cos α=

|·| = ||·||

,

从而 sin α= 1-cos2 α=

2 +2 2 +2 +2

.
|·QP| = ||·|QP| 2 +2 +2

又取平面 ABC 的一个法向量为 m=(0,0,1),可得 sin θ= 设平面 BEF 的一个法向量为 n=(x,y,z), 所以由 ax = 0, ·FE = 0, 可得 2 取 n=(0,c,b). ·BF = 0, - + = 0.
|·| = ||·|| +2 +2 2 +2 2 + +2
2 2 2

,

1

于是|cos β|=

,

从而 sin β= 1-cos2 β=

.

故 sin αsin β=

·

+2
2

=

2 +2 +2

=sin θ,即 sin θ=sin αsin β.


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