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2005年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷


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2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷
一. 选择题(共 6 小题,每题 6 分) 1.设 ?1 ? x ? x (A) 3
n

2 n

?

? a 0 ? a1 x ? ?

? a 2 n x

2n

,求 a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n 的值为
n

(B) 3 ? 2
n

(C)

3 ?1 2

(D)

3 ?1
n

答: 【



2

2.若 sin x ? sin y ? 1 ,则 cos x ? cos y 的取值范围是 (A) [? 2 , 2 ] 3.设 f 1 ( x ) ? (B) [? 1, 1] (C)
[0, 3 ]

(D)

[? 3 , 3 ]
x 2

答: 【



2 , f 2 ( x ) ? sin x ? cos

2 x , f 3 ( x ) ? sin

? cos

2 x , f 4 ( x ) ? sin x ,
2

上述函数中,周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 4.正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 下述选项正确的是: (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4)

答: 【 (4) 正五边形 (D) (3)(4)(5) (5) 正六边形 答: 【 】



5.已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 。则对于任意 实数 t1 , t 2 , | c ? t1 a ? t 2 b | 的最小值是 (A) 5 (B) 7 (C) 12 (D) 13 答: 【 】

6.设函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 1 ,则方程 f ( x ) ? x 根的个数可能是 (A) 无穷多 (B) 没有或者有限个 (C) 有限个 (D) 没有或者无穷多 二.填空题(共 6 小题,每题 9 分) 7. 设 M ? ? x
? ? x?2 3 ? x?3 2 ? 3 x?2 ? 2

答: 【



? ? x?6 x?5 5 6 ? ? ? ? ? ,N ? ? x ? ,求 x ? 3? 5 6 x?6 x ? 5? ?

M ? N =

。 。

8. 已知数列 x n ,满足 ( n ? 1) x n ? 1 ? x n ? n , 且 x1 ? 2 , 则 x 2005 =
1 3x ? x ? 4x ? 3
3 2

9. 设函数 2 f ( x ) ? x f ( ) ?
2

x
2

x ?1

,则 f ( x ) ?



10. 设命题 P: c ? c 和命题 Q: 对任何 x ? R , x ? 4 cx ? 1 ? 0 有且仅有一个成立,则实
2

数 c 的取值范围是



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11. 在 x 轴的正方向上, 从左向右依次取点列
y ?
2

?A ?, j ? 1, 2 , ? ,以及在第一象限内的抛物线
j

3 2

x 上从左向右依次取点列 ?B k ?, k ? 1, 2 , ? ,使 ? A k ? 1 B k A k ( k ? 1, 2 , ? )都是等

边三角形,其中 A 0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 y 12. 根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从 ? 原点 O 沿正东偏北 ? ( 0 ? ? ? )方向行走一段时
2



P(x,y) A
?

间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 。

O

x

三. 解答题 13.(20 分)设双曲线 x ? y ? 1 的左、右焦点分别为 F1 , F2 ,若 ? PF 1 F 2 的顶点 P 在第
2 2

一象限的双曲线上移动, 求 ? PF 1 F 2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切圆在边 PF 2 上的切点 轨迹。

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? n ?1 1 ? ? , 14.(20 分)设 x1 , x 2 , ? x n ? R ,定义 S n ? ? ? x i ? 2 ? n xi ? i ?1 ? ?
n

2

?

1)求 S n 的最小值; 2)在 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 条件下,求 S n 的最小值; 3)在 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 条件下,求 S n 的最小值, 并加以证明。
2 2 2

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15.(20 分)在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。为了试验 5 种不同新式武器, 打算安排 5 个岗位配备这些新式武器, 要求第一个和最后一个岗位不配备 新式武器, 且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器, 相邻两个岗位不同时配备新式 武器,问共有多少种配备新式武器的方案?

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2005 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷答案

一 选择题 C D 二 填空题 7.

B

B

C

D

?0 ?
? ? 1 ? ?1 ? , 0? ? ? , 1? 2 ? ?2 ?

8.

2005 !? 1 2005 !

9. x ? 3 x ? 6 ?
2

5 x ?1

10. ? ?

11. 2005

12. 100π - 200

以下是详细解答 一. 选择题 1.设 ?1 ? x ? x (A) 3
n

2 n

?

? a 0 ? a1 x ? ? ? a 2 n x

2n

,求 a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n 的值为
n

(B) 3 ? 2
n

(C)

3 ?1 2

(D)

3 ?1
n

答: 【 C 】 (1) (2) (3)

2

【解】 :

令 x ? 0 得 a0 ? 1 ; 令 x ? ? 1 得 a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 n ? 1 ; 令 x ? 1 得 a 0 ? a1 ? a 2 ? a 3 ? ? ? a 2 n ? 3 ;
n

(2)+(3)得 2 ( a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ) ? 3 ? 1 ,
n

故 a 0 ? a 2 ? a 4 ? ? ? a 2n ?
3 ?1
n

3 ?1
n



2

再由(1)得 a 2 ? a 4 ? ? ? a 2 n ?



?选 【 C 】

2

2.若 sin x ? sin y ? 1 ,则 cos x ? cos y 的取值范围是 (A) [? 2 , 2 ] (B) [? 1, 1] (C)
[0, 3 ]
2

(D)

[? 3 , 3 ]
2

答: 【 D 】
2

【解】 :设 cos x ? cos y ? t , ? cos

x ? 2 cos x cos y ? cos

y ?t 。

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又由 sin x ? sin y ? 1 ,故 sin

2

x ? 2 sin x sin y ? sin
2

2

y ? 1。
2

因此有 2 (cos x cos y ? sin x sin y ) ? t ? 1 ,即 2 cos( x ? y ) ? t ? 1 由于 ? 1 ? cos( x ? y ) ? 1 ,所以有 t 2 ? 3 ,即 ?
3 ? t ? 3。
?选 【 D 】

3.设 f 1 ( x ) ?

2 , f 2 ( x ) ? sin x ? cos

2 x , f 3 ( x ) ? sin

x 2

? cos

2 x , f 4 ( x ) ? sin x ,
2

上述函数中,周期函数的个数是 (A) 1 (B) 2 (C) 3 【解】 f 1 ( x ) ? :

(D) 4

答: 【 B 】

2 是以任何正实数为周期的周期函数;
2? 2

f 2 ( x ) 不是周期函数。 因为 sin x 是以 T 1 ? 2 ? 为周期的周期函数, cos

2 x 是以 T 2 ?

为周期的周期函数, 而 T 1 与 T 2 之比不是有理数,故 f 2 ( x ) 不是周期函数。
f 3 ( x ) 不是周期函数。因为 sin
x 2
T1 T2
2

是以 T1 ? 2 2 ? 为周期的周期函数, cos

2 x 是以

T2 ?

2? 2

为周期的周期函数, 而

? 2 ,故 f 3 ( x ) 是周期函数。

f 4 ( x ) ? sin x 不是周期函数。

因此共有 2 个周期函数。 4.正方体的截平面不可能是 (1) 钝角三角形 (2) 直角三角形 (3) 菱 形 下述选项正确的是: (A) (1)(2)(5) (B) (1)(2)(4) (C) (2)(3)(4)

?选 【 B 】

(4) 正五边形 (D) (3)(4)(5)

(5) 正六边形 答: B 】 【

【 解 】 正方体的截平面可以是锐角三角形、等腰三角形、等边三角形,但不可能是钝角 三角形,直角三角形(证明略) ;对四边形来讲,可以是梯形(等腰梯形) 、平行四边形、菱 形,矩形、但不可能是直角梯形(证明略) ;对五边形来讲,可以是任意五边形,不可能是 正五边形(证明略) ;对六边形来讲,可以是六边形(正六边形) 。 ?选 【 B 】

5.已知 a , b 是两个相互垂直的单位向量,而 | c |? 13 , c ? a ? 3 , c ? b ? 4 。则对于任意 实数 t1 , t 2 , | c ? t1 a ? t 2 b | 的最小值是

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(A) 5 (B) 7 【解】 :由条件可得
c ? t1 a ? t 2 b
2

(C) 12
2

(D) 13

答: 【 C 】

? c

? 6 t1 ? 8t 2 ? t1 ? t 2
2

2

2

? 169 ? ( t 1 ? 3 ) ? ( t 2 ? 4 ) ? 25
2

? 144 ? ( t 1 ? 3 ) ? ( t 2 ? 4 )
2

2

? 144

当 t 1 ? 3 , t 2 ? 4 时, c ? t 1 a ? t 2 b

2

? 144 。

?选 【 C 】

6.设函数 y ? f ( x ) 满足 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 1 ,则方程 f ( x ) ? x 根的个数可能是 (A) 无穷多 (C) 有限个 (B) 没有或者有限个 (D) 没有或者无穷多

答: 【 D



【解】 f ( x ? 1) ? f ( x ) ? 1 :

显然有解 f ( x ) ? x ? C ,其中 C 为任意实数。

当 C ? 0 时, f ( x ) ? x 没有解。 当 C ? 0 时, f ( x ) ? x 有无穷多个解。
?选 【 D 】

二.填空题 7. 设 M ? ? x
? ? x?2 3 ? x?3 2 ? 3 x?2 ? ? ? x?6 x?5 5 6 ? ? ? ? ? ,N ? ? x ? ,求 x ? 3? 5 6 x?6 x ? 5? ? 2

M ? N =

?0 ? 。

【解】 :由已知可以解出 M ? ? 0 , 5 ,
?

?

13 ? 61 ? ? ? , N ? ? 0 , 11 , ?。 5 ? 11 ? ?

故 M ? N ? ?0 ? .

12. 已知数列 x n ,满足 ( n ? 1) x n ? 1 ? x n ? n , 且 x1 ? 2 , 则 x 2005 =

2005 !? 1 2005 !



【解】 :由 ( n ? 1) x n ?1 ? x n ? n ,推出 x n ? 1 ? 1 ? 因此有

xn ? 1 n ?1



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x n ?1 ? 1 ?

xn ? 1 n ?1

?

x n ?1 ? 1 ( n ? 1) n

?

x n?2 ? 1 ( n ? 1) n ( n ? 1)

?? ?

x1 ? 1 ( n ? 1) n ( n ? 1) ? 2

?

1 ( n ? 1)!

.

即有 x n ? 1 ?

1 ( n ? 1)!

? 1 。 从而可得 x 2005 ?

2005 !? 1 2005 !



13. 设函数 2 f ( x ) ? x f ( ) ?
2

1

3x ? x ? 4x ? 3
3 2

x 1 y

x ?1
1
3

,则 f ( x ) ? x ? 3 x ? 6 ?
2

5 x ?1



【解】 令 x ? :

,得 f ( y ) ? 2 y f ( ) ?
2

3y ? 4y

2

? y?3

y
3 2

y ?1

。把 y 改为 x 得

1 3x ? 4x ? x ? 3 2 f (x) ? 2 x f ( ) ? x x ?1 1 3x ? x ? 4x ? 3 2 2 f (x) ? x f ( ) ? x x ?1
3 2

――――――――― (1)

――――――――― (2)

联合(1) (2)消去 f ( ) ,可得
x
f (x) ? x ? 3x ? 6 ?
2

1

5 x ?1



14. 设命题 P: c ? c 和命题 Q: 对任何 x ? R , x ? 4 cx ? 1 ? 0 有且仅有一个成立,则实
2 2

数 c 的取值范围是 ? ?
?

?

1

? ?1 ? , 0? ? ? , 1? 。 2 ? ?2 ?

【解】 命题 P 成立 可得 :

0 ? c ? 1;

命题 Q 成立 可得 ?

1 2

? c ?

1 2


? ? 1 ? ?1 ? , 0? ? ? , 1? 。 2 ? ?2 ?

因此, 要使命题 P 和命题 Q 有且仅有一个成立, 实数 c 的取值范围是 ? ?

15. 在 x 轴的正方向上, 从左向右依次取点列
y ?
2

?A ?, j ? 1, 2 , ? ,以及在第一象限内的抛物线
j

3 2

x 上从左向右依次取点列 ?B k ?, k ? 1, 2 , ? ,使 ? A k ? 1 B k A k ( k ? 1, 2 , ? )都是等

边三角形,其中 A 0 是坐标原点,则第 2005 个等边三角形的边长是 2005。

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【解】 :设第 n 个等边三角形的边长为 a n 。则第 n 个等边三角形的在抛物线上的顶点 B n 的 坐标为( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ? 1 ?
an 2



an ? 3? 。 ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? ?) 2? 2 ?
?1 ? ? ? an ? ?2 ?
2

再从第 n 个等边三角形上,我们可得 B n 的纵坐标为

a

2 n

?

3 2

a n 。从而有

3 2

an ?

an ? 3? ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? ? , 2? 2 ?

即有
1 2 a n ? a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ?
2

an 2



由此可得
a1 ? a 2 ? ? ? a n ? an 2 ? 1 2 an
2

(1)

以及
a 1 ? a 2 ? ? ? a n ?1 ? a n ?1 2 ? 1 2 a n ?1
2

(2)

(1)-(2)即得
an ? 1 2 ( a n ? a n ?1 ) ? 1 2 ( a n ? a n ? 1 )( a n ? a n ? 1 ) .

变形可得
( a n ? a n ?1 ? 1)( a n ? a n ?1 ) ? 0 .

由于 a n ? a n ?1 ? 0 ,所以 a n ? a n ?1 ? 1 。 在(1)式中取 n = 1,可得
1 2 a1 ? 1 2 a 1 ,而 a 1 ? 0 ,故 a 1 ? 1 。
2

因此第 2005 个等边三角形的边长为 a 2005 ? 2005 。 y 12. 根据指令,机器人在平面上能完成下列动作:先从 ? 原点 O 沿正东偏北 ? ( 0 ? ? ? )方向行走一段时
2

P(x,y) A
?

间后,再向正北方向行走一段时间,但何时改变方向不 定。假定机器人行走速度为 10 米/分钟,则机器人行走 2 分钟时的可能落点区域的面积是 。

O

x

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【解】 :如图,设机器人行走 2 分钟时的位置为 P ( x , y ) 。设机器人改变方向的点为 A,
OA ? a , AP ? b 。则由已知条件有 a ? b ? 2 ? 10 ? 20 ,以及
? x ? a cos ? . ? ? y ? a sin ? ? b

所以有
? x 2 ? y 2 ? a 2 ? 2 ab sin ? ? b 2 ? ( a ? b ) 2 ? 400 ? ? x ? y ? a (sin ? ? cos ? ) ? b ? a ? b ? 20

即所求平面图形为弓形,其面积为 100 ? ? 200

平方米。

三. 解答题 y 13.(20 分)设双曲线 x ? y ? 1 的左、右焦点分别
2 2

P K H BO AG x

为 F1 ,F2 , ? PF 1 F 2 的顶点 P 在第一象限的双曲线 若 上移动, 求 ? PF 1 F 2 的内切圆的圆心轨迹以及该内切 圆在边 PF 2 上的切点轨迹。

【解】 如图,记双曲线在 x 轴上的两顶点为 A(1, 0), B(-1, 0),G 为 ? PF 1 F 2 的内切圆在边
F1 F 2 上的切点,H 为 ? PF 1 F 2 的内切圆在边 PF 2 上的切点,K 为 ? PF 1 F 2 的内切圆在边 PF 1

上的切点。则有
GF 1 ? GF 2 ? KF 1 ? HF 2 ? ( KF 1 ? KP ) ? ( HF 2 ? HP ) ? PF 1 ? PF 2

---------------------------------

5分

由双曲线的定义知,G 必在双曲线上,于是 G 与 A(1, 0)重合,是定点。 而 F2 G ? F2 A ?
2 ? 1 。根据圆外一点到该圆的两切点的距离相等,所以 ? PF 1 F 2 的内切

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圆在边 PF 2 上的切点的轨迹是以 F 2 ( 2 , 0 ) 为圆心, 2 ? 1 为半径的圆弧。------- 10 分 因为 P ( x , y ) 是在 x ? y ? 1 第一象限的曲线上移动,当 PF 2 沿双曲线趋于无穷时,
2 2

与 x 轴正向的交角 ? 的正切的极限是
lim tan ? ? lim x ?1
2

x ? ??

x ? ??

x?

?1

2

即 ? ?
?x ? ? ?

?
4

。 故点 H 的轨迹方程为 (极坐标形式)
?
4 ?? ?? )

2 ? ( 2 ? 1) cos ? y ? ( 2 ? 1) sin ?





--------------------------------- 15 分

也可以用直角坐标形式。 由于 G 与 A(1, 0)重合,是定点,故该内切圆圆心的轨迹是直线段,方程为
x ? 1 (0 ? y ? 1) 。

-------------------------------- 20 分

? n ?1 1 ? ? , 14.(20 分)设 x1 , x 2 , ? x n ? R ,定义 S n ? ? ? x i ? 2 ? n xi ? i ?1 ? ?
n

2

?

1)求 S n 的最小值; 2)在 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 条件下,求 S n 的最小值; 3)在 x1 ? x 2 ? ? ? x n ? 1 条件下,求 S n 的最小值, 并加以证明。 【 解 】 1) S n ?
2 2 2

?

n

i ?1

? ?2 ? ?

n ?1 ? ? 2 ? n ?

2

? 4?

n

n ?1 n
2

? 4

n ?1 n

----------------------------------- 5 分

i ?1

(当 x i ?
n

n ?1 n

时,取到最小值)

2) S n ?

?

i ?1

2 ? 2 n ? 1 ( n ? 1) 1 ? ? xi ? 2 ? ? 2 4 2 ? n n xi ? ? ?

?1? 2

n ?1 n

?

( n ? 1) n
4

2

?

n

1 xi
2

i ?1

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?1? 2

n ?1 n

?

( n ? 1) n
2

2

? (1 ?

n ?1 n

)

2

---------------------------10 分
n ?1 n

(当 x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? 3) 因为

1 n

时,取到最小值 (1 ?

) )

2

? n ? n ? 1 1 ?? ?? ?? 1 ? ? xi ? 2 ? xi ?? n i ?1 ? ? ?

2

? n 2? n ? ??1 ??? ? i ?1 ? i ?1

? n ?1 1 ? ? xi ? ? 2 ? xi ? n ? ?

2

所以
? 1 ? n n ?1 1 ? ? ? ?? S n ? ? ? xi ? 2 ? n xi ? n ? i ?1 i ?1 ? ?
n 2

? n ? 1 1 ?? 1 ? xi ? ?? ? 2 ? ? xi ?? n n ?

2

n ?1 ? 2 ? ?1 ? n 2 ? n ? ? ?

2

? n . ---------15 分

(当 x 1 ? x 2 ? ? ? x n ? 每小题指出什么时候取到。

1 n

时,取到最小值 n )

(5 分) 满分 20 分

15.(20 分)在一次实战军事演习中,红方的一条直线防线上设有 20 个岗位。为了试验 5 种不同新式武器, 打算安排 5 个岗位配备这些新式武器, 要求第一个和最后一个岗位不配备 新式武器, 且每相邻 5 个岗位至少有一个岗位配备新式武器, 相邻两个岗位不同时配备新式 武器,问共有多少种配备新式武器的方案? 【解】 设 20 个岗位按先后排序为 1,2, : ,… ,20,且设第 k 种新式武器设置的序号为 a k
( k ? 1, 2 , 3 , 4 ,5 ) 。令 x 1 ? a 1 , x 2 ? a 2 ? a 1 , x 3 ? a 3 ? a 2 , x 4 ? a 4 ? a 3 , x 5 ? a 5 ? a 4 ,

x 6 ? 20 ? a 5 ,则有 x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? x 5 ? x 6 ? 20

(*) -------------------------------------- 5 分

其中 2 ? x k ? 5 ( k ? 1, 2 ,3 , 4 ,5 ) , 1 ? x 6 ? 4 。

作代换 y k ? x k ? 1 ( k ? 1, 2 ,3 , 4 ,5 ) , y 6 ? x 6 ,从而有
y 1 ? y 2 ? y 3 ? y 4 ? y 5 ? y 6 ? 15

(**)

其中 1 ? y k ? 4 ( k ? 1, 2 ,3 , 4 ,5 , 6 ) 。

---------------------------------------------------------- 10 分

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现求解问题(**): 方法一:
设 I 为 y 1 ? y 2 ? y 3 ? y 4 ? y 5 ? y 6 ? 15 的正整数解的全体, A k 为 I 中 y k 满

足 y k ? 4 的解的全体。则
6 6

?
k ?1

Ak ? I ?

?
k ?1

Ak ? I ?

?

6

Ak ?

k ?1

?

A j Ak

j?k

上式成立的原因是 A i A j A k ? ? , 因为没有同时满足 y i ? 4 ,y j ? 4 ,y k ? 4 的 ? y k ? 15
k ?1

6

的正整数组。所以
6

?
k ?1

A k ? C 14 ? 6 C 10 ? C 6 C 6 ? 2002 ? 1512 ? 90 ? 580 .
5 5 2 5

-------------- 15 分

方法二


: 问题(**)的解数等于 ( x ? x ? x ? x ) 展开式中 x 15 的系数。
2 3 4 6

(x ? x ? x ? x )
2 3 4 6 2 6

6

? x (1 ? x ? x ? x )
6 2 3

6

? x (1 ? x ) (1 ? x ) ,
6 6 2 6

故只须求 (1 ? x ) (1 ? x ) 展开式中 x 9 的系数。
(1 ? x ) (1 ? x )
6 2 6

? (1 ? 6 x ? 15 x ? 20 x ? 15 x ? 6 x ? x )
2 3 4 5 6

? (1 ? 6 x ? 15 x ? 20 x ? 15 x ? 6 x
2 4 6 8

10

? x

12

)

因此 x 9 的系数为 6×15+20×20+6×15 = 580。

----------------------------------------- 15 分

因为 5 种新式武器各不相同, 互换位置得到不同的排列数, 所以配备新式武器的方案数 等于 580 ? 5! ? 69600 。 ------------------------------------------ 20 分

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