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江西省红色六校2014届高三年级第一次联考理科数学试题


江西省红色六校 2014 届高三第一次联考数学试题(理)
(分宜中学、南城一中、瑞金一中、莲花中学、任弼时中学、遂川中学) 命题人:任弼时中学 莲花中学 一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1、设集合 M={y|y= 2 x ,x<0},N= ? x | y ? lg A.(1,+∞)

B.(0,1) C. ?

9、设函数 f ( x) ? ?

?(3 ? a ) x ? 3, x ? 7 ?a
x ?6

,x ?7

,数列 ? an ? 满足 an ? f (n)(n ? N ) ,且数列 ? an ? 为递增数列,
*

则实数 a 的取值范围为( ) A.(2,3) B.(1,3) C.(1,+ ? ) D. (2, + ? ) 10、一电子广告,背景是由固定的一系列下顶点相接的正三角形组成,这列正三解形的底边在同一 直线上,正三角形的内切圆由第一个正三角形的 O 点沿三角形列的底边匀速向前滚动(如图) ,设滚 动中的圆与系列正三角形的重叠部分(如图中的阴影)的面积 S 关于时间 t 的函数为 S ? f (t ) ,则

? ?

1? x ? ? ,则 M∩N=( x ?

)

下列图中与函数 S ? f (t ) 图像最近似的是(

) .

D. (0,1)∪(1,+∞) )

2、在复平面内,复数 A.(0,-1) B.(0,1)

1 ? 2i 对应的点的坐标为( 2?i
C. ( , ? )

4 5

3 5

D. ( , )

4 3 5 5

3、已知数列 ? an ? 是各项均为正数的等比数列, a1 ? a2 =1, a3 ? a4 =4,则

a5 ? a6 ? a7 ? a8 =(



A.20

B.32

C.80

D.

255 3

4、投掷红、蓝两个骰子,事件 A=“红骰子出现 4 点” ,事件 B=“蓝骰子出现的点数是偶数” ,则 P (A|B)=( A. )

1 6

B.

1 1 C. 3 12

D.

1 2

第Ⅱ卷
二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请把答案填在答题卡上。 11.

x2 y2 2 5、已知抛物线 y ? 2 px (p>0)的焦点 F 恰好是双曲线 2 ? 2 ? 1 的右焦点,且两条曲线的交点的 a b
连线过 F,则该双曲线的离心率为( A. 2 B.2 C. ) D.

?

2

0

4 ? x2 dx ? _____________

2 +1

2 -1
)

12.设函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,且是以 4 为周期的周期函数,当 x∈[0,2]时,f(x)=2x-cosx,

S S 6、设等差数列{ an }的前 n 项和为 sn ,已知 a1 =-2012, 2013 ? 2011 =2,则 S 2012 =( 2013 2011
A.-2013 B.2013 C.-2012 D. 2012 7、函数 f(x)=sin ?x +acos ?x ( ? >0)的图像关于 M( 的一个可能取值是( A.0 B.3 ) C.6 D. 9

3 15 )与 b=f( )的大小关系为____________. 2 2 ? ??? ? ??? ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 13. 在边长为 1 的正三角形 ABC 中,BD =x BA ,CE =y CA , x>0, y>0, x+y=1, CD · BE 且 则
则 a=f(的最大值为_____________ 14.命题: “存在实数 x,满足不等式 (m ? 1) x ? mx ? m ? 1 ? 0 ”是假命题,则实数 m 的取值范围是__
2

? ? ,0)对称,且在 x ? 处函数有最小值,则 a ? ? 6 3

______________. 15. (在给出的二个题中,任选一题作答. 若多选做,则按所做的第一题给分) (1) (坐标系与参数方程) 在极坐标系中, 定点 A(2, 运动,则线段 AB 的最短长度为 是
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1 ? 2 ?| x ? |, x ? 0 8、设函数 f ( x) ? ? ,g(x)= ? f ( x ) ? +b f ( x) +c,如果函数 g(x)有 5 个不同的零点,则 x ?0, x ? 0 ?
( ) B.b>-2 且 c<0 C.b<-2 且 c=0 D. b≥-2 且 c>0 A.b<-2 且 c>0

?
2

) ,点 B 在直线 ? cos ? ? 3? sin ? ? 0 上

.

( 2 ) 不 等 式 选 讲 ) 已 知 不 等 式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? a 有 实 数 解 , 则 实 数 a 的 取 值 范 围 ( .

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16.(12 分)在⊿ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且满足(2a-c)cosB=bcosC. (Ⅰ)求角 B 的大小; (Ⅱ)已知函数 f(A,C)=cos2A+sin2C,求 f(A,C)的最大值。

19.(12 分)(理)已知函数 f(x)=

x2 -lnx,x∈[1,3]. 8

(Ⅰ)求 f(x)的最大值与最小值; (Ⅱ)若 f(x)<4-at 对于任意的 x∈[1,3],t∈[0,2]恒成立,求实数 a 的取值范围.

17. 分)已知 A,B,C,D 四个城市,它们各自有一个著名的旅游点,依次记为 a,b,c,d,把 A,B,C,D 和 a,b,c,d (12 分别写成左、右两列.现在一名旅游爱好者随机用 4 条线把城市与旅游点全部连接起来, 构成“一一 对应”.规定某城市与自身的旅游点相连称为“连对”,否则称为“连错”,连对一条得 2 分,连错一条 得 0 分. (Ⅰ)求该旅游爱好者得 2 分的概率. (Ⅱ)求所得分数 ? 的分布列和数学期望.

y 2 x2 2 ? 2 ? 1? a ? b ? 0 ? ,离心率为 ,焦点 F1 ? 0, ?c ? , F2 ? 0, c ? 过 F1 的 2 2 a b 直线交椭圆于 M , N 两点,且 ? F2 MN 的周长为 4.
20. (13 分)已知椭圆: (Ⅰ)求椭圆方程; ( Ⅱ ) 直 线 l 与 y 轴 交 于 点 P(0,m)(m ? 0), 与 椭 圆 C 交 于 相 异 两 点 A,B 且 AP ? ? PB . 若

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? ??? ? OA ? ? OB ? 4OP ,求 m 的取值范围。

18.(12 分)已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 是边长为 1 的正方形,PD⊥底面 ABCD,PD=AD. (Ⅰ)求证:BC∥平面 PAD; (Ⅱ)若 E、F 分别为 PB,AD 的中点,求证:EF⊥BC; P (Ⅲ)求二面角 C-PA-D 的余弦值.

21. 分)对于任意的 n ? N ( n 不超过数列的项数) 若数列的前 n 项和等于该数列的前 n 项之积, (14 , 则称该数列为 S 型数列。
*

(1)若数列 ? an ? 是首项 a1 ? 2 的 S 型数列,求 a3 的值;

(2)证明:任何项数不小于 3 的递增的正整数列都不是 S 型数列; (3) 若数列 ? 恒成立。

?1? * 且 并证明 0 ? an ? 1 对 n ? N ? 是 S 型数列, 0 ? a1 ? 1, 试求 an ?1 与 an 的递推关系, ? an ?

F D C E B A

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江西省红色六校 2014 届高三第一次联考数学试题(理)
命题:任弼时中学 李忠华 审题:莲花中学 尹少军
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题目 B A C A C C D C A B 答案 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分。请把答案填在答题卡上 11.π 12.a>b 13. ?

???? ???? DC ? m 3 ? 令 z=1,解得 m=(1,1,1),所以 cos ? DC , m? ? ???? 3 | DC | ? | m |

3 8

14.m>

2 3 3

15.(1) 3 (2)

? ??, 3?

三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 16. 解:(Ⅰ)∵ (2a-c)cosB=bcosC 又∵ A ? ? 0, ? ? ∴ cos B ?

∴ 由正弦定理得 2sin A cos B ? sin ? B ? C ? ? sin A

1 ? ?B ? 2 3

1 1 ? ln 2, f ( x) max ? f (1) ? 2 8 1 (Ⅱ)由(Ⅰ)知当 x∈[1,3] 时,f(x)≤ ,故对任意 x∈[1,3], f(x)<4-at 恒成立,只要 8 31 ? ? g (0) ? 8 1 31 ? 4-at> 对任意 t∈[0,2]恒成立,即 at< 恒成立,记 g(t)=at, t∈[0,2],所以 ? , 31 8 8 ? g (2) ? ? 8 ? 31 所以 a< . 16
19.解: (Ⅰ) f ( x)min ? f (2) ? 20. 解:(Ⅰ) y ? 2 x ? 1 .
2 2

(Ⅱ)

? 2? ? f ( A, C ) ? cos 2 A ? sin 2 C ? cos 2 A ? sin 2 ? ? A? ? 3 ? ? 1?

3 ? sin(2 A ? ) 2 3 3 f ( A, C ) min ? 1 ? 2
1 C4 ? 2 1 = 4 A4 3

(Ⅱ)设 l 与椭圆 C 的交点为 A( x1 , y1 ),B( x2 , y2 )。将 y=kx+m 代入 y ? 2 x ? 1
2 2

得 (k ? 2) x ? 2kmx ? m ? 1 ? 0 ,所以 ? ? 4(k ? 2m ? 2) ? 0 ①,
2 2 2 2 2

17.解:(Ⅰ) p ? (Ⅱ)

?
p E ? =2

0

2

4

8

3 8

1 3

1 4

1 24

??? ? ??? ? ?2km m2 ? 1 2 , x1 x2 ? 2 .因为 AP ? 3PB ,所以 x1 ? x2 ? ?2 x2 , x1 x2 ? ?3x2 , 2 k ?2 k ?2 ?2km 2 m2 ? 1 2 ) ? 4( 2 )?0, 消去 x2 得 3( x1 ? x2 ) ? 4 x1 x2 ? 0 ,所以 3( 2 k ?2 k ?2 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 即 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0 ,当 m ? 时, 4k m ? 2m ? k ? 2 ? 0 4 2 1 2 2 ? 2m 1 1 2 2 2 所以 m ? , k ? 由①得 k ? 2m ? 2 ,解得 m ? (?1, ? ) ? ( ,1) 2 4m ? 1 4 2 2

x1 ? x2 ?

21.

18.解:以 D 为原点,DA、DC、DP 分别为轴建系,则 A(1,0,0),B(1,1,0),C(0,1,0), F(

1 1 1 1 ,0,0),E( , , ),P(0,0,1). 2 2 2 2
(Ⅱ) 略

(Ⅰ)略

P

??? ? ???? ?m ? PA ? 0, ? (Ⅲ) DC 为平面 PAD 的一个法向量,设平面 PAC 的法向量为 m=(x,y,z),则 ? ??? ? ?m ? PC ? 0, ?
F D 江西省红色六校 2014 届第一次联考理科数学试题第 3 页 共 2 页 C E B A

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