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双曲线 课件


双曲线的标准方程
2016/03/30

一、回顾
1.椭圆的定义是什么? 2.椭圆的标准方程、焦点坐标是什么?

定义

|MF1|+|MF2|=2a(2a>|F1F2|)

图象

F1

··
oF2 x
2 y + 2 =1 b

y

y F2 F1

· ·
o

x

方程 焦点

x2 a2

y2 x2 + 2 =1 2 a b

F1 ( -c,0) ,F2 (c,0) F1(0,- c),F2(0,c) 在x轴上 在y轴上 2=b2+c2 (a>b>0,a>c>0,b与c大小 a a.b.c的 关系 不确定)

二、双曲线的定义
?

平面内与两定点F1`F2的距离的差的绝对值 等于常数2a(2a小于|F1F2 | )的点的轨迹 叫做双曲线。
?

这两个定点叫做双曲线的焦点,

两焦点的距离叫做双曲线的焦距。

1

2

椭圆:平面内与两定点 F 1、F2的距离之和等
这两定点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫椭圆 的焦距。 双曲线:平面内与两定点 F 1、F2的距离的差的 绝对值等于常数2a( 2a小于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹 叫做双曲线。 这两定点叫做双曲线的焦点,两焦点的距离叫 双曲线的焦距。

于常数2a( 2a大于 | F 1F2 | ) 的点的轨迹叫做椭圆。

共性:
1、两者都是平面内动点到两定点的距离问题;

2、两者的定点都是焦点;
3、两者定点间的距离都是焦距。 区别:

椭圆是距离之和;
双曲线是距离之差的绝对值。

求双曲线的标准方程
1.建系设点。 设M(x , y),双曲线的焦距为2c (c>0),F1(-c,0),F2(c,0) 常数=2a

y
M

2.由定义可知:|MF1|-|MF2|=±2a, 即 (x+c)2 + y2 -

F1

o

x F2

(x-c)2 + y2 = _ + 2a

cx-a2=± a √(x-c)2+y2
(c2-a2) x2-a2y2=a2(c2-a2)

∵c>a>0,∴c2 >a2 ? 令c2-a2=b2 (b>0) 2 2 y
?

x - = 1 (其中c =a +b ) 2 2 a b
2 2 2

我们称这个方程为双曲线的标准方程

?

想一想
焦点在y轴上的双曲线 的标准方程是什么? 2 y
2 a

-

2 x

y F2
o F1 x

2 b

= 1

比较

x y ? 2 ?1 2 a b

2

2



y2 x2 ? 2 ?1 的异同之处。 2 a b

两种不同类型的双曲线方程只是x 的平方项与y的平方项系数有着不 同的符号。
x y ? 2 ?1 2 a b
y x ? 2 ?1 2 a b
2 2

2

2

焦点F1(-c,0),F2(c,0)在x轴上,

焦点F1(0,-c),F2(0,c)在y轴上,

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

定义
方程

||MF1| - |MF2||=2 a ( 2a < |F1F2| ) 2 2 2 2 y x x y ? 2 ? 1(a, b ? o) ? ? 1 ( a , b ? o ) 2 a b a 2 b2 y
F1 A1 o A2 F2 x B1

.

B2

.

y .F
o

2

A2

图象

B1

A1 .F1

B2 x

关系

c2 = a2 + b 2

例1 已知双曲线两个焦点的坐标为F1(-5,0)、F2(5,0) 双曲线上一点P到F1、F2的距离的差的绝对值等于6. 求双曲线的标准方程. 解:因为双曲线的焦点在x轴上, 2 所以设它的标准方程为:

∵2a=6, ∴a=3. c=5 ∴b2=52-32=16 所以所求双曲线的标准方程为

x y2 - 2 ?1 2 a b
x2 y2 ? ?1 9 2 16

y2 x ?例2、求 双曲线 的焦点与焦距: ? ?1 25 144

因此c2=169, c=13, 解:由于a2=25,b2=144, 从方程看出,焦点在y轴上, 因此 焦点坐标为(0,-13)、(0,13), 焦距为26。

求标准方程的关键是什么?

1、中心、焦点位置定位;
2、a、b 定量。 位置、大小定标准方程 X型 : Y型 :

x y ? 2 ?1 2 a b 2 2 y x ? 2 ?1 2 a b

2

2

练一练:
求下列双曲线的焦点坐标及焦距: 2 2 x y

= 1 (1) 9 16
(2)
2 x

-

2 y =

4

x2 + y2 = 1表示双曲 ? 例3、如果方程 m-1 2-m

线,求m的范围

?

解(m-1)(2-m)<0,∴m>2或m<1

变、焦点在x轴的双曲线时,求焦点坐标

焦点在 x 轴上

焦点在 y 轴上

定义
方程

||MF1| - |MF2||=2 a ( 2a < |F1F2| ) 2 2 2 2 y x x y ? 2 ? 1(a, b ? o) ? ? 1 ( a , b ? o ) 2 a b a 2 b2 y
F1 A1 o A2 F2 x B1

.

B2

.

y .F
o

2

A2

图象

B1

A1 .F1

B2 x

关系

c2 = a2 + b 2

练习
1.求适合下列条件的双曲线的标准方程.

(1)a ? 4

b?3

(2)焦点(0,-6),(0,6),经过点(2,-5).
x2 y2 ? ? 1表示双曲线,求m的取值范围. 2.已知方程 2 ? m m ?1

例题:

根据下列条件,求双曲线的标准方程:
15 16 1、过点 P ( 3 , )、Q ( ? , 5 ) 且焦点在坐标 4 3

轴上; 2、 c = 6 ,经过点 (-5 , 2 ),焦点在 x 轴上;
x2 y2 3、与双曲线 ? ? 1 有相同焦点,且经过 16 4 点 ( 3 2, 2 )
x y (1) ? ? ?1 16 9
2 2 2 2 x2 x y ( 2) ? y 2 ? 1 ( 3) ? ?1 5 12 8

练习
1.a=5,b=4且焦点在x轴上. 2.a=4,c=6且焦点在y轴上.

3.a=3,焦点坐标是(0,-5)和 (0,5).


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