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巧用四结论快解集合题


巧用四结论快解集合题
数学结论一直是同学们的钟爱,这是因为应用结论解答相应问题十分快捷、准确, 本文就总结了有关集合的四个结论,供同学们参考. 一、子集个数结论 一个含有 n(n ? N ) 个元素的集合,其子集个数为 2 n ,其中必有一个是空集,有一个 是它本身,所以非空子集和真子集的个数都为 2 n ? 1 . 例 1 求满足 {1,3} ? P ? ? {1,2,3,4,5} 集合 P 的个数. 分析:依题意,集合 P 中一定含有元素 1,3,另外还可含有 2,4,5 中的 0 个、1 个、2 个元素,所以本题可转化为求集合 {2,4,5} 的子集个数问题. 解:依题意,集合 P 的个数.即为集合 {2,4,5} 的真子集个数,共有 2 3 ? 1 ? 7 个. 评注:抓住本质,转化题意,有时可使问题迅速获解. 二、整数集结论 整 数 集 Z 的 元 素 可 用 n( n ? Z ) 表 示 ; 若 分 成 两 类 , 则 可 用

2n,2n ? 1(或2n,2n ? 1)(n ? Z ) 表示,其中 2n ? 1 和 2 n ? 1 都表示奇数;若分成三类则可用 3n,3n ? 1,3n ? 2(或3n,3n ? 1,3n ? 2)(n ? Z ) 表示, 其中 3n ? 1 和 3n ? 2 表示一类数,3n ? 2

3n ? 1





























4n,4n ? 1,4n ? 2, 4n ? 3(或4n,4n ? 1,4n ? 2,4n ? 3)( n ? Z ) 表示??,以此类推,其中的规
律不难发现.

p 1 n 1 例 2 已知集合 M ? {x | x ? m ? , m ? Z} , P ? {x | x ? ? N ? {x | x ? ? , n ? Z} , 2 6 2 3 1 ? , p ? Z } ,则 M、N、P 的关系是( 6
A. M ? N ) C. M

P

B. M

N?P

N

P

D. N

P

M

分析:通过分析各集合特征式的分母,我们可以 6 为公分母通分. 解 :
M ? {x | x ? 6m ? 1 , m ? Z} 6



N ? {x | x ?

3n ? 2 , n ? Z} 6



3p ?1 , p ? Z} , 6 易知 3n ? 2(n ? Z ) 和 3 p ? 1( p ? Z ) 表示同一类数,所以 N ? P . P ? {x | x ?
1

令 n ? 2m ? 1 得 3n ? 2 ? 6m ? 1 (m, n ? Z ) ,所以 M ∴M

N.

N ? P .选 B 项.

评注:此法的本质是分母求同,分子求异. 三、补集结论 设 U 为全集,集合 A 、 B 是它的两个子集,则有( (
U U

A) ? (

U

B)?

U

( A ? B) 和

A) ? (

U

B)?

U

,通过这个法则,为了 ( A ? B) ,这两个结论合称“德摩根法则”

简捷地解答问题,我们可以把求两个集合补集的交集或并集问题转化成求它们并集或交 集的补集问题,或反之. 例 3 ( 1 ) 已 知 全 集 U ? R , 集 合 A ? {x | ?1 ? x ? 5} , B ? {x | 1 ? x ? 7} . 求 (
U

A) ? (

U

B ).
U

分析: 若先求补集再求并集,相当麻烦,因此考虑将 (

A)? (

U

B ) 转化为

U

( A ? B) 求解.
解:∵ A ? B ? {x | ?1 ? x ? 5} ? {x | 1 ? x ? 7} ? {x | 1 ? x ? 5} ,

∴(

U

A) ? (

U

B )=

U

( A ? B) ? {x | x ? 1或x ? 5} .

评注:类似的结论还有 A ? B ? A ? A ? B 、 A ? B ? A ? A ? B 等,适时将一种 情形转化为另一种情形后,方便理解和求解. 四、集合相等结论 若两个集合相等,则一个集合所有元素的和与积应等于另一个集合所有元素的和与 积. 例 4 若含有三个元素的集合可以表示为 {a,

b ,1} ,也可表示为 {a 2 , a,0} ,求 a

a 2 0 0 7 ? b 2 0 0 7的值.
分析:可直接根据上述结论求解,求值时要注意集合元素的互异性.

b ? a ? ?1 ? a 2 ? a ? 0 ? b a 解:∵ {a, ,1} = {a 2 , a,0} ,由集合相等的定义可得 ? , b a ?a ? ? 1 ? a 2 ? a ? 0 a ?
解得 a ? ?1 , b ? 0 ,显然 a ? 1 违背集合元素的互异性,
2

∴ a ? ?1, b ? 0 ,∴ a 2007 ? b 2007 ? ?1 . 评注:本题既是在各种资料上出现频率较高的问题,又代表着一类题型,即含字母 参数的集合相等问题, 解答这类问题的常规方法是根据集合相等的定义对字母进行讨论, 以确定题目的解,利用上述方法巧妙地避免了分类讨论和繁杂运算.

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