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2015届高考数学(理)基础知识总复习课时精练:第7章 第5节 椭圆 (一)]


第五节
的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件




x2

( 一)


1. (2013·海淀模拟)2<m<6 是方程

y2

m-2 6-m

=1 表示椭圆

>B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

m-2>0, ? ? 解析: 若 + =1 表示椭圆, 则有?6-m>0, m-2 6-m ? ?m-2≠6-m, x2 y2
所以 2<m<6 且 m≠4. 故 2<m<6 是 必要不充分条件.故选 B. 答案:B

x2

m-2 6-m



y2

=1 表示椭圆的

x2 y2 2.椭圆 2+ 2=1 的左、右焦点分别为 F1,F2,过点 F1 的直 a b
3 线交椭圆于 A,B 两点,若△ABF2 的周长为 20,离心率为 ,则椭 5 圆方程为( ) A. + =1 25 9 C. + =1 9 25

x2

y2

B. + =1 25 16 D. + =1 16 25

x2 x2

y2 y2

x2

y2

c 3 解析:由椭圆的定义知 4a=20,∴a=5,又 = ,∴c=3, a 5
从而 b =a -c =16.∴椭圆方程为 + =1.故选 B. 25 16 答案:B 3.(2013·韶关调研)椭圆 x +my =1 的焦点在 y 轴上,长 轴长是短轴长的两倍,则 m 的值为( )
2 2 2 2 2

x2

y2

1 A. 4

1 B. 2
2

C.2

D.4

1 2 2 解析:将原方程变形为 x + =1,由题意知 a = ,b =1, 1 m

y2 m

所以 a= 答案:A

1

m

,b=1,所以

1

1 =2,所以 m= . 故应选 A. m 4

4.已知椭圆 +y =1,F1,F2 为其两焦点,P 为椭圆上任一 4 点.则|PF1|·|PF2|的最大值为( ) A .6 B.4 C.2 D.8 解析: 设|PF1|=m, |PF2|=n, 则 m+n=2a=4, |PF1|·|PF2| ?m+n?2 ? =mn≤? ? 2 ? =4,当且仅当 m=n=2 时,等号成立.故选 B. ? ? 答案:B 5.已知圆(x+2) +y =36 的圆心为 M,设 A 为圆上任一点, N(2,0),线段 AN 的垂直平分线交 MA 于点 P,则动点 P 的轨迹是 ( ) A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线 解析:点 P 在线段 AN 的垂直平分线上, 故|PA|=|PN|.又 AM 是圆的半径, ∴|PM| + |PN| = |PM| + |PA| = |AM| = 6>|MN|. 由椭圆定义 知,点 P 的轨迹是椭圆.故选 B. 答案:B + =1 的左、右焦点分别为 F1,F2,点 P 在 16 9 椭圆上,若 P,F1,F2 是一个直角三角形的三个顶点,P 为直角顶 点,则点 P 到 x 轴的距离为( ) 6.已知椭圆
2 2

x2

2

x2

y2

9 A. 5

B.3

9 7 C. 7

9 D. 4

? ?|PF1|+|PF2|=8, 解析:由题意? 2 2 ? ?|PF1| +|PF2| =4×7,

∴|PF1||PF2|=18. 1 1 又 S△PF1F2= ×18= ×2 7×h(其中 h 为 P 到 x 轴的距离), 2 2 9 7 ∴h= .故选 C. 7 答案:C 7. (2013·大纲全国卷)椭圆 C: + =1 的左、右顶点分 4 3 别为 A1,A2,点 P 在 C 上且直线 PA2 斜率的取值范围是[-2,- 1],那么直线 PA1 斜率的取值范围是( ) ?1 3? ?3 3? ? ? , , ? A.? B.? ? ? ? ?2 4? ?8 4? ?1 ? ?3 ? ? ? ? ? , 1 , 1 C.? D.? ? ? ?2 ? ?4 ? 解析:椭圆的左、右顶点分别为(-2,0),(2,0),设 P(x0, · = ,而 + =1,即 y0= x0+2 x0-2 x2 4 3 0-4 3 3 2 (4-x0),所以 kPA1·kPA2=- ,因为-2≤kPA2≤-1, 4 4 ?3 3? 3 , ? 所以 kPA1=- ∈? .故选 B. 8 4? 4kPA2 ? ? ? 答案:B 8.在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 C 的中心为原点,焦点 2 F1,F2 在 x 轴上,离心率为 .过 F1 的直线 l 交椭圆 C 于 A,B 两 2 点 , 且 △ABF2 的 周 长 为 16 , 那 么 椭 圆 C 的 方 程 为

x2 y2

y0),则 kPA1·kPA2=

y0

y0

y2 0

2 x0 y2 0

2

________________.

x2 y2 解析: 设椭圆 C 的方程为 2+ 2=1(a>b>0). a b 2 2 b2 因为离心率为 ,所以 = 1- 2, 2 2 a 2 b 1 2 2 解得 2= ,即 a =2b . a 2 又 △ABF2 的 周 长 为 |AB| + |AF2| + |BF2| = |AF1| + |BF1| + |BF2|+|AF2|=(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=2a+2a=4a, 所以 4a=16,a=4,所以 b=2 2, x2 y2
所以椭圆方程为 答案: + =1. 16 8 + =1 16 8

x2

y2

9.与椭圆 + =1 共焦点,且过 M(3,-2)的椭圆方程为 9 4 _________________.

x2 y2

x2 y2 解析:∵c =9-4=5,∴设所求椭圆方程为 2+ 2 =1, a a -5 2 2 代入(3,-2)得 a =15 或 a =3(舍去). x2 y2
2

∴所求方程为 答案:

+ =1. 15 10

+ =1 15 10

x2

y2

10.(2013·上海卷)设 AB 是椭圆 P 的长轴,点 C 在 P 上, π 且∠CBA= ,若 AB=4,BC= 2,则 P 的两个焦点之间的距离 4 为________.

x2 y 2 解析:不妨设椭圆 P 的标准方程为 + 2=1,不妨设点 C 在 4 b 第 一 象 限 , 坐 标 为 C(x0 , y0) , 依 题 意 有 ? ?2-x0=y0,
? 2 2 ? ?(2-x0) +y0=(

2) ,

2

4 4 6 2 可得 C(1,1),以上得 b = ,所以 2c= . 3 3 4 6 答案: 3 11.已知如图,

x2 y2 椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上一点 P,F1、F2 为椭圆的焦点,若 a b ∠F1PF2=θ ,则△PF1F2 的面积等于________.
解析:在△PF1F2 中,由余弦定理得: 2 2 2 2|PF1|·|PF2|·cos θ =|PF1| +|PF2| -|F1F2| 2 2 =(|PF1|+|PF2|) -2|PF1|·|PF2|-|F1F2| 2 2 2 2 2 =(2a) -2|PF1|·|PF2|-(2c) (其中 c =a -b ). 2 所以|PF1|·|PF2|·(1+cos θ )=2b , 1 所以 S△F1PF2= |PF1|·|PF2|·sin θ 2

1 2b θ 2 = · ·sin θ =b tan . 2 1+cos θ 2 θ 2 答案:b tan 2

2

y2 x 2 12.设 A(x1,y1),B(x2,y2)是椭圆 2+ 2=1(a>b>0)上的两 a b ?x1 y1? ?x2 y2? ? ? , , ? 点,m=? , n = ,且满足 m·n=0,椭圆的离心率 e ?b ? ? a? a? ? ?b ?
3 ,短轴长为 2,O 为坐标原点. 2 (1)求椭圆的方程; (2)若存在斜率为 k 的直线 AB 过椭圆的焦点 F(0, c)(c 为半 焦距),求直线 AB 的斜率 k 的值. =

c a2-b2 3 解析: (1)由 2b=2, b =1 , e= = = , 解得 a=2, a a 2 c= 3.
故椭圆的方程为 +x =1. 4 (2)设 AB 的方程为 y=kx+ 3,

y2

2

kx+ 3, ? ?y= 由?y2 2 +x =1 ? ?4

得(k +4)x +2 3kx-1=0.

2

2

设 A(x1,y1),B(x2,y2),则有 -2 3k -1 x1+x2= 2 ,x1x2= 2 , k +4 k +4

x1x2 y1y2 1 3)(kx2+ 3) 2 + 2 =x1x2+ (kx1+ b a 4 ? k2? 3k 3 ? =? 1 + ? x x + ( x + x ) + 1 2 1 2 ?
由已知 0=m·n= 4? 4 4 1 ? k +4 ? 3k -2 3k 3 ? - = ·? + · 2 + , 2 ? k +4? 4 4 k +4 4 ? ?
?
2

解得 k=± 2. 13.(2013·北京卷)已知 A、B、C 是椭圆 W: +y =1 上的 4 三个点,O 是坐标原点. (1)当点 B 是 W 的右顶点,且四边形 OABC 为菱形时,求此菱 形的面积; (2)当点 B 不是 W 的顶点时, 判断四边形 OABC 是否可能为菱 形,并说明理由. 解析:(1)椭圆 W: +y =1 的右顶点 B 的坐标为(2,0).因 4 为四边形 OABC 为菱形,所以 AC 与 OB 相互垂直平分. 所以可设 1 3 A(1,m),代入椭圆方程得 +m2=1, 即 m=± , 所以菱形 OABC 4 2 1 1 的面积是 |OB|·|AC|= ×2×2|m|= 3. 2 2 (2)假设四边形 OABC 为菱形.因为点 B 不是 W 的顶点,且直 线 AC 不过原点,所以可设 AC 的方程为 y=kx+m(k≠0,m≠0).
2 2 ? ?x +4y =4, 由? ? ?y=kx+m

x2

2

x2

2

消去 y 并整理得(1+4k )x +8kmx+4m

2

2

2

-4=0. 设 A(x1,y1),C(x2,y2), x1+x2 4km y1+y2 x1+x2 m 则 =- =k· +m= 2, 2. 2 1+4k 2 2 1+4k ? 4km m ? ? ? - , 所以 AC 的中点为 M? 2 2? . 1+4k ? ? 1+4k 因为 M 为 AC 和 OB 的交点,所以直线 OB 的斜率为- 因为
? 1? ? ? - k·? ?≠-1,所以 ? 4k?

1 . 4k

AC 与 OB 不垂直.所以 OABC 不

是菱形,与假设矛盾. 所以当点 B 不是 W 的顶点时,四边形 OABC 不可能是 菱形 .

x2 y 2 14.已知椭圆 E: 2+ 2=1(a>b>0)过点 P(3,1),其左、右 a b
→ → 焦点分别为 F1,F2,且F 1P·F2P=-6. (1)求椭圆 E 的方程. (2)若 M,N 是直线 x=5 上的两个动点,且 F1M⊥F2N,则以 MN 为直径的圆 C 是否过定点?请说明理由. 解析:(1)设点 F1,F2 的坐标分别为(-c,0),(c,0)(c>0), → → 则F 1P=(3+c,1),F2P=(3-c,1),
2 → → 故F 1P·F2P=(3+c)(3-c)+1=10-c =-6,可得 c=4, 2 2 2 2 所以 2a=|PF1|+|PF2|= (3+4) +1 + (3-4) +1 =6 2, 2 2 2 故 a=3 2,b =a -c =18-16=2,

所以椭圆 E 的方程为

+ =1. 18 2

x2

y2

→ (2)设 M,N 的坐标分别为(5,m),(5,n),则F 1M=(9,m), → F 2N=(1,n), → → → → 又F 1M⊥F2N,可得F1M·F2N=9+mn=0,即 mn=-9, ? m+n? |m-n| ? 5 , 又圆 C 的圆心为? ,半径为 , ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? m+n? 2 ?2 ?|m-n|?2 y - 故圆 C 的方程为(x-5) +? = , ? ? 2 ? 2 ? ? ? ? ? 2 2 即(x-5) +y -(m+n)y+mn=0, 2 2 也就是(x-5) +y -(m+n)y-9=0, 令 y=0,可得 x=8 或 2, 故圆 C 必过定点(8,0)和(2,0).


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