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2.06对数与对数函数(复习设计)


SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第二章《函数的概念与基本初等函数 I》

NO2.06 对数与对数函数(复习设计) 【知识梳理】 1.对数的概念 如果 ax=N(a>0 且 a≠1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x=logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 2.对数的性质与运算法则 (1)对数的运算法则

如果 a>0 且 a≠1,M>0,N>0,那么 ①loga(MN)=logaM+logaN; M ②loga =logaM-logaN; N ③logaMn=nlogaM (n∈R); n ④logamMn= logaM(m,n∈R,且 m≠0). m (2)对数的性质 ①a
log a N

=N;②logaaN=N(a>0 且 a≠1).

(3)对数的重要公式 logaN ①换底公式:logbN= (a,b 均大于零且不等于 1); logab ②logab= 1 ,推广 logab· logbc· logcd=logad. logba

3.对数函数的图象与性质 a>1 0<a<1

图象

(1)定义域:(0,+∞) (2)值域:R 性质 (3)过定点(1,0),即 x=1 时,y=0 (4)当 x>1 时,y>0 当 0<x<1 时,y<0 (6)在(0,+∞)上是增函数 4.反函数 指数函数 y=ax 与对数函数 y=logax 互为反函数,它们的图象关于直线 y=x 对称. 【思考辨析】 判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)若 MN>0,则 loga(MN)=logaM+logaN.( × )
1

(5)当 x>1 时,y<0 当 0<x<1 时,y>0 (7)在(0,+∞)上是减函数

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(2)logax· logay=loga(x+y).( × ) (3)函数 y=log2x 及 y=log 1 3x 都是对数函数.( ×
3

)

(4)对数函数 y=logax(a>0,且 a≠1)在(0,+∞)上是增函数.( × ) 1+x (5)函数 y=ln 与 y=ln(1+x)-ln(1-x)的定义域相同.( √ ) 1-x

?1,-1?, (6)对数函数 y=logax(a>0 且 a≠1)的图象过定点(1,0), 且过点(a,1), 四象限. ( √ ) ?a ? 函数图象只在第一、
【考点自测】 1.(2015· 湖南)设函数 f(x)=ln(1+x)-ln(1-x),则 f(x)是( A.奇函数,且在(0,1)上是增函数 B.奇函数,且在(0,1)上是减函数 C.偶函数,且在(0,1)上是增函数 D.偶函数,且在(0,1)上是减函数 答案 A 解析 易知函数定义域为(-1,1),f(-x)=ln(1-x)-ln(1+x)=-f(x),故函数 f(x)为奇函数,又 f(x)=ln 1+x = 1-x )

2 ln?-1-x-1?,由复合函数单调性判断方法知,f(x)在(0,1)上是增函数,故选 A.

?

?

1 1 2.已知 a=3 2 ,b=log 1 ,c=log2 ,则( 2 3
3

1

) B.b>c>a D.b>a>c

A.a>b>c C.c>b>a 答案 A

1 1 解析 a= 3>1,0<b=log 1 =log32<1,c=log2 =-log23<0,故 a>b>c,故选 A. 2 3
3

3.函数 f(x)=lg(|x|-1)的大致图象是(

)

答案 B
2

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解析 由函数 f(x)=lg(|x|-1)的定义域为(-∞,-1)∪(1,+∞),值域为 R.又当 x>1 时,函数单调递增,所以只有 选项 B 正确. 3 4.(教材改编)若 loga <1(a>0,且 a≠1),则实数 a 的取值范围是( 4 3? A.? ?0,4? 3? C.? ?0,4?∪(1,+∞) 答案 C 3 解析 当 0<a<1 时,loga <logaa=1, 4 3 3 ∴0<a< ;当 a>1 时,loga <logaa=1,∴a>1. 4 4 3? ∴实数 a 的取值范围是? ?0,4?∪(1,+∞). 5.(2015· 浙江)若 a=log43,则 2a+2 a=.


)(提示:分类讨论)

B.(1,+∞) 3 ? D.? ?4,1?

答案

4 3 3
a
-a

解析 2 +2 =2 = 3+ 3 4 = 3. 3 3

log 4 3

+2

-log 4 3

=2

log 2 3

+2

log 2

3 3

【例题选讲】 题型一 例1 A. 10 对数式的运算 )

1 1 (1)设 2a=5b=m,且 + =2,则 m 等于( a b B.10 C.20 D.100

(2)lg 5+lg 20的值是. 答案 解析 (1)A (2)1 (1)∵2a=5b=m,∴a=log2m,b=log5m,

1 1 1 1 ∴ + = + =logm2+logm5=logm10=2. a b log2m log5m ∴m= 10. (2)原式=lg 100=lg 10=1. 思维升华 在对数运算中,要熟练掌握对数的定义,灵活使用对数的运算性质、换底公式和对数恒等式对式子进行 恒等变形,多个对数式要尽量先化成同底的形式再进行运算. ?1-log63?2+log62· log618 (1)计算: =. log64 (2)已知 loga2=m,loga3=n,则 a2m n=.


答案

(1)1 (2)12
3

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解析

(1)原式

6 1-2log63+?log63?2+log6 · log6?6×3? 3 = log64 = = = 1-2log63+?log63?2+?1-log63??1+log63? log64 1-2log63+?log63?2+1-?log63?2 log64 2?1-log63? log66-log63 log62 = = =1. 2log62 log62 log62

(2)∵loga2=m,loga3=n,∴am=2,an=3, ∴a2m n=(am)2· an=22×3=12.


题型二 例2

对数函数的图象及应用 )

(1)函数 y=2log4(1-x)的图象大致是(

1 (2)当 0<x≤ 时,4x<logax,则 a 的取值范围是( 2 A.?0,

)

?

2? 2?

B.?

2 ? ? 2 ,1?

C.(1, 2) 答案 解析 (1)C (2)B

D.( 2,2)

(1)函数 y=2log4(1-x)的定义域为(-∞,1),排除 A、B;又函数 y=2log4(1-x)在定义域内单调递减,排除

D.选 C. (2)方法一 构造函数 f(x)=4x 和 g(x)=logax,当 a>1 时不满足条件,当 0<a<1 时,画出两个函 1? 数在? ?0,2?上的图象, 1? ?1? 可知 f? ?2?<g?2?, 1 2 2 即 2<loga ,则 a> ,所以 a 的取值范围为? ,1?. 2 2 2 ? ?

4

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1 方法二 ∵0<x≤ ,∴1<4x≤2, 2 ∴logax>4x>1, 1 ∴0<a<1,排除选项 C,D;取 a= , 2 1 1 x= ,则有 4 2 =2,log 1 =1, 2 2
2

1

显然 4x<logax 不成立,排除选项 A. 思维升华 应用对数型函数的图象可求解的问题 (1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数,在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常 利用数形结合思想. (2)一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题,利用数形结合法求解. :已知 lg a+lg b=0,则函数 f(x)=ax 与函数 g(x)=-logbx 的图象可能是( )

答案

(1)B 解析 (1)∵lg a+lg b=0,∴ab=1,

∵g(x)=-logbx 的定义域是(0,+∞),故排除 A. 若 a>1,则 0<b<1, 此时 f(x)=ax 是增函数,g(x)=-logbx 是增函数. 故选 B. 题型三 对数函数的性质及应用

命题点 1 比较对数值的大小 例 3 设 a=log36,b=log510,c=log714,则( A.c>b>a C.a>c>b 答案 D 解析 由对数运算法则得 a=log36=1+log32,b=1+log52,c=1+log72,由对数函数图象得 log32>log52>log72, 所以 a>b>c,故选 D. 命题点 2 解对数不等式 例 4 若 loga(a2+1)<loga2a<0,则 a 的取值范围是( A.(0,1) 1 C.( ,1) 2 答案 C
5

)

B.b>c>a D.a>b>c

)

1 B.(0, ) 2 D.(0,1)∪(1,+∞)

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解析 由题意得 a>0,故必有 a2+1>2a, 又 loga(a2+1)<loga2a<0,所以 0<a<1, 1 同时 2a>1,∴a> . 2 1 综上,a∈( ,1). 2 思维升华 在解决与对数函数相关的比较大小或解不等式问题时,要优先考虑利用对数函数的单调性来求解.在利 用单调性时,一定要明确底数 a 的取值对函数增减性的影响,及真数必须为正的限制条件. (1)设 a=log32,b=log52,c=log23,则( A.a>c>b C.c>b>a B.b>c>a D.c>a>b ) )

(2)若 f(x)=lg(x2-2ax+1+a)在区间(-∞,1]上递减,则 a 的取值范围为( A.[1,2) C.[1,+∞) B.[1,2] D.[2,+∞)

log x,x>0, ? ? 2 (3)设函数 f(x)=?log ?-x?,x<0, 若 f(a)>f(-a),则实数 a 的取值范围是( 1 ? ? 2 A.(-1,0)∪(0,1) C.(-1,0)∪(1,+∞) 答案 解析 (1)D (2)A (3)C B.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-∞,-1)∪(0,1)

)

(1)∵ 3<2<3,1<2< 5,3>2,

∴log3 3<log32<log33, log51<log52<log5 5,log23>log22, 1 1 ∴ <a<1,0<b< ,c>1,∴c>a>b. 2 2
?g?1?>0, ? (2)令函数 g(x)=x2-2ax+1+a=(x-a)2+1+a-a2,对称轴为 x=a,要使函数在(-∞,1]上递减,则有? ?a≥1, ? ?2-a>0, ? 即? ? ?a≥1,

解得 1≤a<2,即 a∈[1,2),故选 A. a>0, a<0, ? ? ? ? (3)由题意可得?log2a>log a 或?log ?-a?>log2?-a?, 1 1 ? ? ? ? 2 2 解得 a>1 或-1<a<0. 【巩固作业】(时间:30 分钟) 1.若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是( )
6

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答案 B 解析 由题图可知 y=logax 的图象过点(3,1), ∴loga3=1,即 a=3. 1 - A 项,y=3 x=( )x 在 R 上为减函数,错误; 3 B 项,y=x3 符合; C 项,y=(-x)3=-x3 在 R 上为减函数,错误; D 项,y=log3(-x)在(-∞,0)上为减函数,错误. 2.已知 x=ln π,y=log52,z=e A.x<y<z C.z<y<x 答案 D 解析 ∵x=ln π>ln e,∴x>1. 1 ∵y=log52<log5 5,∴0<y< . 2 1 1 1 1 1 ∵z=e- = > = ,∴ <z<1. 2 2 e 4 2 综上可得,y<z<x. 1?x ? ?? ?x≥4?, ? 3.若函数 f(x)=? 2? 则 f(log23)等于( ? ?f?x+1??x<4?,
? 1 2

,则(

) B.z<x<y D.y<z<x

)

1 A. 6 1 C. 24 答案 C

1 B. 12 1 D. 3

解析 ∵1<log23<log24=2,∴3+log23∈(4,5), ∴f(log23)=f(log23+1)=f(log23+2) =f(log23+3)=f(log224)
7

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1? log 2 24 -log 2 24 =? =2 ?2? =2
log 2 1 24



1 . 24

2 4.设 f(x)=lg?1-x+a?是奇函数,则使 f(x)<0 的 x 的取值范围是(

?

?

)

A.(-1,0) C.(-∞,0) 答案 A 解析 由 f(x)是奇函数可得 a=-1, 1+x ∴f(x)=lg ,定义域为(-1,1). 1-x 1+x 由 f(x)<0,可得 0< <1,∴-1<x<0. 1-x

B.(0,1) D.(-∞,0)∪(1,+∞)

1 5. 定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x), f(x-2)=f(x+2), 且 x∈(-1,0)时, f(x)=2x+ , 则 f(log220)等于( 5 A.1 C.-1 答案 C 4 B. 5 4 D.- 5

)

解析 由 f(x-2)=f(x+2),得 f(x)=f(x+4),因为 4<log220<5,所以 f(log220)=f(log220-4)=-f(4-log220)=-
log 2 4 1 f(log2 )=-(2 5 + )=-1. 5 5 4

6.函数 f(x)=log2 x· log 1 答案 - 4

2(2x)的最小值为.

1?2 1 1 解析 显然 x>0,∴f(x)=log2 x· log 2(2x)= log2x· log2(4x2)= log2x· (log24+2log2x)=log2x+(log2x)2=? ?log2x+2? - 2 2 1 1 2 1 ≥- .当且仅当 x= 时,有 f(x)min=- . 4 4 2 4 1 7.设函数 f(x)满足 f(x)=1+f( )log2x,则 f(2)=. 2 答案 3 2

1 1 1 1 1 1 3 解析 由已知得 f( )=1-f( )· log22,则 f( )= ,则 f(x)=1+ · log2x,故 f(2)=1+ · log22= . 2 2 2 2 2 2 2
? ?-x+6,x≤2, 8.(2015· 福建)若函数 f(x)=? (a>0,且 a≠1)的值域是[4,+∞),则实数 a 的取值范围是. ?3+logax,x>2 ?

答案

(1,2]
8

SCH 南极数学 2017 届理科数学高三一轮复习第二章《函数的概念与基本初等函数 I》 ? ?a>1, 解析 由题意 f(x)的图象如右图,则? ?3+loga2≥4, ?

∴1<a≤2. 9.设 f(x)=loga(1+x)+loga(3-x)(a>0,a≠1),且 f(1)=2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域; 3 (2)求 f(x)在区间[0, ]上的最大值. 2 解 (1)∵f(1)=2,

∴loga4=2(a>0,a≠1), ∴a=2.
? ?1+x>0, 由? 得 x∈(-1,3), ?3-x>0, ?

∴函数 f(x)的定义域为(-1,3). (2)f(x)=log2(1+x)+log2(3-x) =log2(1+x)(3-x)=log2[-(x-1)2+4], ∴当 x∈(-1,1]时,f(x)是增函数; 当 x∈(1,3)时,f(x)是减函数, 3 故函数 f(x)在[0, ]上的最大值是 f(1)=log24=2. 2

9


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