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代数综合复习


代数综合题
Ⅰ、综合问题精讲: 代数综合题是指以代数知识为主的或以代数变形技巧为主的一类综合题.主要包括方 程、函数、不等式等内容,用到的数学思想方法有化归思想、分类思想、数形结合思想以 及代人法、待定系数法、配方法等.解代数综合题要注意归纳整理教材中的基础知识、基 本技能、基本方法,要注意各知识点之间的联系和数学思想方法、解题技巧的灵活运用, 要抓住题意,化整为零,层

层深人,各个击破.注意知识间的横向联系,从而达到解决问 题的目的. Ⅱ、典型例题剖析 2 【例 1】(2005,丽水,8 分)已知关于 x 的一元二次方程 x -(k+1) x-6=0 的一个根是 2,求方程的另一根和 k 的值. 解:设方程的另一根为 x1,由韦达定理:2 x1=-6, ∴ x1=-3.由韦达定理:-3+2= k+1,∴k=-2. 2 2 【例 2】(2005,嘉峪关,7 分)已知关于 x 的一元二次方程(k+4)x +3x+k -3k-4=0 的一 个根为 0,求 k 的值. 2 解:把 x=0 代入这个方程,得 k -3k-4=0,解得 k1=l,k2=-4.因为 k+4≠0.所以 k ≠-4,所以 k=l。 点拨:既然我们已经知道方程的一个根了,那么我们就可以将它代入原方程,这样 就可以将解关于 x 的方程转化为解关于 k 的方程. 从而求出 b 的解. 但应注意需满足 k+4 的系数不能为 0,即 k≠-4。 2 【例 3】(2005,自贡,5 分)已对方程 2x +3x-l=0.求作一个二次方程,使它的两根 分别是已知方程两根的倒数. 2 解:设 2 x +3x-l=0 的两根为 x1、x2

则新方程的两根为

1 1 , x1 x2

3 ? x1 ? x2 ? ? ? ? 2 得? ?x x ? ? 1 1 2 ? ? 2

所以

1 1 x1 ? x2 ? = =3 所以新方程为 y2-3y-2=0· x1 x2 x1 x2

点拨:熟记一元二次方程根与系数的关系是非常必要的 【例 4】 (2005, 内江, 8 分) 某产品每件成本 10 元, 试销阶段每件产品的日销售价 x(元) 与产品的日销售量 y (件)之间的关系如下表:

x (元)
y (件)

15

20

25

30



25 20 15 10 … ⑴在草稿纸上描点,观察点的颁布,建立 y 与 x 的恰当函数模型。 ⑵要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售利润是多
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少元? 解:⑴经观察发现各点分布在一条直线上, ∴设 y ? kx ? b (k≠0) 用待定系数法求得 y ? ? x ? 40 , ⑵设日销售利润为 z 则 z ? xy ? 10 y = ? x 2 ? 50x ? 400 当 x=25 时,z 最大为 225, 每件产品的销售价定为 25 元时,日销售利润最大为 225 元。 点拨:只有正确地建立了平面直角坐标系,才能准确地得出函数的图象,从而由图 象得出函数关系.而日销售利润与销售定价又存在二次函数关系,所以可以利用二次函 数的极值来解决此类问题. 【例 5】(2005,海淀模拟,8 分)一次函数 y=kx+b 和反比例函数 y=

k2 的图象相交于点 x

P(n - l , n+ l ),点 Q(0,a )在函数 y=k1x+b 的图象上,且 m 、 n 是关于 x 的方程

ax2 ? (3a ? 1) x ? 2(a ? 1) ? 0的两个不相等的整数根.其中 a 为整数,求一次函数和反
比例函数的解析式. 1 解: ax2 ? (3a ? 1) x ? 2(a ? 1) ? 0 得 x1=2,x2=1+ a 因为方程有两个不相等的整数根,且 a 为整数, 所以 a=-1,x2 =0,(a=1、x1=2 不合题意,舍去) 所以 m=0,n=2,或 m=2,n=0. 所以点 P 的坐标为(-1,3)或(1,1) 又因为点 Q(0,a)在 y=kx+b 的图象上, 所以 b=a=-1。

??k1 ? 1 ? 3 ? 当点 P 为(-1,3)时,根据题意,得 ? k 3? 2 ? ? ?1
解得 ?k1 ? ?4 , 所以y=-4x-1,y=- 3
? ?k2 ? ?3 x

当点 P 为(1,1)时,根据题意,得

??k1 ? 1 ? 1 ? 解得 ? k2 1 ? ? ? ?1

?k1 ? 2 1 , 所以y=2x-1,y= ? k ? 1 x ? 2

所 以 一 次 函 数 的 解 析 式 为 y=-4x-1 或 y=2x-1 , 对 应 的 反 比 例 函 数 的 解 析 式 为
3 1 y ? ? 或y ? , x x

点拨:解答本题的关键是求出一元二次方程的整数根.另外,求出整数根之后,
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不要忽略 m=2,n=0 的情况。 Ⅲ、综合巩固练习: 1、(9 分)某市近年来经济发展速度很快,根据统计,该市国内生产总值 1990 年为 8.6 亿元人民币,1995 年为 10.4 亿元人民币,2000 年为 12.9 亿元人民币,经论证,上 述数据适合一个二次函数关系.请你根据这个函数关系预测 2005 年该市国内生产总 值将达到多少?

2.(10 分)二次函数 y ? ax2 ? bx ? c 的图象的一部分如图 2-3-1 所示。已知它的顶点 M 在第二象限,且经过点 A(1,0)和点 B(0,l). (1)请判断实数 a 的取值范围,并说明理由; (2)设此二次函数的图象与 x 轴的另一个交点为 5 C,当Δ AMC 面积为△ABC 面积的 倍时,求 a 的值. 4

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3.图 2-3-2 所示,已知一次函数 y=kx+b(k≠0)的图象与 x 轴、y 轴分别交于 A、B 两 m 点,且与反比例函数 y= (m≠0)的图象在第二象限交于 C 点,CD 垂直于 x 轴,垂足 x 为 D,若 OA=OB=OD=1。 (1)求点 A、B 的坐标; (2)求一次函数和反比例函数的解析式.

4.(10 分)已知:如图 2-3-3 所示,一条直线经过点 A(0,4),点 B(2,0)将这条 直线向左平移与 x 轴负半轴,y 轴负半轴分别交于点 C、点 D,使 DB=DC.求以直线 CD 为图象的函数解析式.

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5.(10 分)已知 A(8,0),B(0,6),C(0,-2)连接 A D,过点 C 的直线 l 与 AB 交于点 P. (1)如图 2-3-4⑴所示,当 PB=PC 时,求点 P 的坐标; 5 (2)如图 2-3-4⑵所示,设直线 l 与 x 轴所夹的锐角为α 且 tanα = ,连接 AC,求 4 直线 l 与 x 轴的交点 E 的坐标及△PAC 的面积.

6.已知关于 x、y 的方程组 ?

?x ? y ? a ? 3 的解满足 x>y>0.化简:|a|+|3-a|. ?2 x ? y ? 5a

7. 如图 2-3-5 所示, 抛物线 y ? ax2 ? bx ? c 与 x 轴交于 A、 B 两点 (点 A 在点 B 的左侧) , 与 y 轴交于点 C, 且当 x=0 和 x=2 时 y 的值相等, 直线 y=3x—7 与这条抛物线相交于两点. 其 中一点的横坐标是 4,另一点是这条抛物线的顶点 M。 (1)求这条抛物线的解析式; (2)P 为线段 BM 上一点,过点 P 向 x 轴引垂线,垂足为 Q,若点 P 在线段 BM 上运动, 设 OQ 的长为 t,四边形 P QAC 的面积为 S(当 P 与 B 重合时,S 为△ACB 的面积).求 S 与 t 之间的函数关系式及自变量 t 的取值范围; (3)S 有无最大、最小值,若有,请分别求出 t 为何值时 S 取最大、最小值?最大、 最小值各是多少;若没有,请说明理由.

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8.(16 分)已知反比例函数 y ? k (k ? 0) 和一次函数 y ? ? x ? 6 。 x ⑴ 若一次函数和反比例函数的图象交于点(-3,m)求 m 和 k 的值. ⑵ 当 k 满足什么条件时.这两个函数的图象有两个不同的交点? ⑶ 当 k=-2 时,设(2)中的两个函数图象的交点分别为 A、B,试判断 A、B 两点分 别在第几象限,∠AOB 是锐角还是钝角(只要求直接写出结论).

9. (16 分)在直角坐标系 xoy 中,O 为坐标原点,A、B、C 三点的坐标分另为 A( 5,0), B(0,4),C(-1,0).点 M 和点 N 在 x 轴上,(点 M 在点 N 的左边),点 N 在原点的右 边,作 MP⊥B N,垂足为 P(点 P 在线段 BN 上,且点 P 与点 B 不重合),直线 MP 与 y 轴交 于点 G,MG=BN. ⑴ 求经过八、BJ 三点的抛物线的解析式; ⑵ 求点 M 的坐标; ⑶ 设 ON=t, △MOG 的面积为 S, 求 S 与 t 的函数关系式, 并写出自变量 t 的取值范围; ⑷ 过点 B 作直线 BK 平行于 x 轴, 在直线 BK 上是否存在点 R, 使△ORA 为等艘二角形? 若存在,请直接写出 R 的坐标;若不存在,请说明理由.

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