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河南省三门峡市陕州中学2016届高三上学期一练前第二次强化训练考试数学(理)试卷


2015-2016 学年上期高三一练前第二次强化训练 (理科)数学试题
满分:150 分 考试时间:120 分钟 一、选择题(本大题共有 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四选项中只有 一项是符合题目要求的。 )

1 .全集 U ? R ,集合 M ? {x | x 2 ? 2 x ? 3 ? 0} , N ? ? y |

y ? 3x 2 ? 1? ,则 M ? CU N ? A . {x | ?1 ? x ? 1}
2、 i 是虚数单位,若 A、 ?2

B . {x | ?1 ? x ? 1}

C . {x | 1 ? x ? 3}

D . {x | 1 ? x ? 3}

2?i ? a ? bi (a, b ? R) ,则 lg(a ? b) 的值是 1? i B、 ?1 C、 0 D、 1
2

3、已知等比数列 ?an ? 中,各项都是正数,且 a1 , A、 1 ? 2 B、 3 ? 2 2 4、下列命题中正确命题的个数是 (1) cos ? ? 0 是 ? ? 2k? ?

1 a ?a a3 , 2a2 成等差数列,则 9 10 ? 2 a7 ? a8
D、 3 ? 2 2

C、 1 ? 2

?
2

(k ? Z ) 的充分必要条件

(2) f ( x) ? sin x ? cos x 则 f ( x) 最小正周期是 ? (3)若将一组样本数据中的每个数据都加上同一个常数后, 则样本的方差不变 (4)设随机变量 ? 服从正态分布 N (0,1) ,若 P (? ? 1) ? p ,则 P (?1 ? ? ? 0) ? A.4 B.3 C.2 D.1

1 ?p 2

5.已知菱形 ABCD 边长为 2,?B ? 则 ? 的值为 A、

uuu r uuu r uuu r uur ? ,点 P 满足 AP ? ? AB ,? ? R .若 BD ? CP ? ?3 , 3
D、 ?

1 2

B、 ?

1 2

C、

1 3

1 3

6.如图所示的程序的功能是

1

7.现有四个函数:① y ? x ? sin x ;② y ? x ? cos x ;③ y ? x? | cos x | ;④ y ? x ? 2 的图象
x

y

y

y

y

x x x X X 则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是 X A.①④②③ B .①④③② C.④①②③ D.③④②① X 2 8.设抛物线 C : y ? 2 px( p ? 0) 的焦点为 F ,点 M 在 C 上, MF ? 5 ,若以 MF 为直径 o 的圆过点 (0, 2) ,则 C 的方程为 A、 y 2 ? 4 x或y 2 ? 8 x C、 y ? 4 x或y ? 16 x
2 2

x

x

B、 y 2 ? 2 x或y 2 ? 8 x D、 y ? 2 x或y ? 16 x
2 2

?x ? y ?1 ? 0 ? 2 2 9. 变量 x, y 满足条件 ? y ? 1 ,则 ( x ? 2) ? y 的最小值为 ? x ? ?1 ?
A. 3 2 2 B.

5

C.

9 2
? ?

D. 5

10.已知非零向量 a 、 b 满足 a ? b ? a ? b ?

?

?

?

?

A、

5? 6

B、

? 6

? ? ? ? 2 3 ? a ,则 a ? b 与 a ? b 的夹角为( 3 2? ? C、 D、 3 3



11、设双曲线

x2 y2 a2 的两条渐近线与直线 分别交于 A,B 两点,F 为该双曲线的 ? ? 1 x ? a 2 b2 c

右焦点.若 600 ? ?AFB ? 900 ,则该双曲线的离心率的取值范围是 A. 1, 2

?

?
?

B.

?

2, 2

?
?

C. ? 1, 2 ?

D.

?

2, ??

?

12、设函数 f ? x ? ? e x x 3 ? 3 x ? 3 ? ae x ? x 数 a 的最小值为 A. 1 ?

? x ? ?2 ? ,若不等式 f ( x) ≤0 有解.则实
2 ?1 e
D. 1 ? 2e 2

2 e

B. 2 ?

2 e

C.

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分) 二、填空题(本大题共四小题,每小题 5 分,共 20 分) 13. 若 sin(? ? x) ? sin( ? ? x) ? 14. 13.在 (

3 2

1 ,,则 sin2x= 2



1 1 ? 3) n (n ? N * ) 的展开式中,所有项的系数和为 ? 32 ,则 的系数等于 x x
2

15.已知函数 f ( x) ? ln x ?

m (m ? R) 在区间[1,e]上取得最小值 4,则 m= x

16.已知抛物线 y=4x 的准线与双曲线

2

x2 y 2 ? ? 1 (a>0 ,b>0)交于 A、B 两点,点 F a 2 b2

为 抛 物 线 的 焦 点 , 若 ? FAB 为 直 角 三 角 形 , 则 双 曲 线 离 心 率 的 取 值 范 围 是 。 三、解答题(本大题共六小题共 70 分。解答应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)已知向量 a ? ? k sin

? ?

x x? x ? ? , cos 2 ? , b ? ? cos , ?k ? ,实数 k 为大于 3 3? 3 ? ? 2 ?1 . 2

零的常数,函数 f ? x ? ? a ? b, x ? R ,且函数 f ? x ? 的最大值为 (Ⅰ)求 k 的值; (Ⅱ)在 ?ABC 中, a, b, c 分别为内角 A, B, C 所对的边,若

?
2

? A ? ? , f ? A ? ? 0 ,且

a ? 2 10 ,求 AB ? AC 的最小值.
18.(本小题满分 11 分) .已知数列 ?an ? 满足 a1 ? 1 ,且 an ? 2an ?1 ? 2n (n ? 2 且 n∈N) (Ⅰ)求数列 ?an ? 的通项公式; (Ⅱ)设数列 ?an ? 的前 n 项之和 S n ,求 S n ,并证明:

Sn ? 2n ? 3 . 2n

19.(本小题满分 12 分) 某市积极倡导学生参与绿色环保活动,其中代号为“环保卫士—12369”的绿色环保活动小 组对 2014 年 1 月—2014 年 12 月(一年)内空气质量指数 API 进行监测,下表是在这一年 随机抽取的 100 天的统计结果: 指数 API [0,50] (50,100] (100,150] (150,200] (200,250] (250,300] 空气质量 优 良 轻微污染 轻度污染 中度污染 中重度污染 数 4 13 18 30 9 11 (1) 若某市某企业每天由空气污染造成的经济损失 P(单位: 元) 与空气质量指数 API (记

>300 重度污染 15

?0, 0 ? t ? 100 ? 为 t )的关系为: P ? ? 4t ? 400,100 ? t ? 300 ,在这一年内随机抽取一天,估计该天经济 ?1500, t ? 300 ?
损失 P ? ? 200, 600? 元的概率; (2)若本次抽取的样本数据有 30 天是在供暖季节,其中有 8 天为重度污染,完成 2 ? 2 列 联表,并判断是否有 95% 的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关? 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季节 合计 下面临界值表供参考. 100

3

P( K 2 ? k )

0.15 2.072
2

0.10 2.706

0.05 3.841

0.025 5.024

0.010 6.635

0.005 7.879

0.001 10.828

k
参考公式: K ?

n(ad ? bc) 2 ,其中 n ? a ? b ? c ? d . (a ? b)(c ? d )(a ? c)(b ? d )

20.(本小题满分 12 分) 椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) ,作直线 l 交椭圆于 P,Q 两点,M 为线段 PQ 的中点,O 为 a2 b2
2 . 3

坐标原点,设直线 l 的斜率为 k1 ,直线 OM 的斜率为 k 2 , k1k 2 ? ? (1)求椭圆 C 的离心率;

(2)设直线 l 与 x 轴交于点 D (? 3 ,0) ,且满足 DP ? 2QD ,当△OPQ 的面积最大时,求 椭圆 C 的方程. 21.(本题满分 12 分) 已知

f ( x) ? x ln x ? ax ,g ( x) ? ? x 2 ? 2 .

(Ⅰ)对一切 x ? (0, ?? ), f ( x) ? g ( x) 恒成立,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)当 a ? ?1 时,求函数 f ( x) 在区间 [m ,m ? 3](m ? 0) 上的最值; (Ⅲ)证明:对一切 x ? (0 ,? ?) ,都有 ln x ? 1 ?

1 e
x ?1

?

2 成立. e2 x

请考生在 22、23、24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分. 22.(本小题满分 10 分) 【选修 4-1:几何证明选讲】 如图,在△ABC 中,DC⊥AB 于 D,BE⊥AC 于 E,BE 交 DC 于点 F,若 BF=FC=3,DF=FE=2. (1)求证: AD ? AB ? AE ? AC ; (2)求线段 BC 的长度. 23、 (本小题满分 10 分)选修 4 ? 4 :坐标系与参数方程

在极坐标系中,曲线 C 的方程为

?2 ?

?? ? 3 R 2 2, ? 4? ? ,以极 1 ? 2cos 2 ? ,点 ?

点为原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,两坐标系中取相同 的长度单位. (Ⅰ)求曲线 C 的直角坐标方程及点 R 的直角坐标; (Ⅱ)设 P 为曲线 C 上一动点,以 PR 为对角线的矩形 PQRS 的一边垂直于极轴,求矩形

PQRS 周长的最小值及此时点 P 的直角坐标.
24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲

4

设实数 a , b 满足 2a ? b ? 9 。 (1)若 (2)求

a ? 9 ? b ? 3 ,求 a 的取值范围;

3a ? b ? a ? 2b 的最小值.

5

参考答案
一、选择题 1—5;ACDCA;6—10;CACDD;11-12;BA 二、填空题:13. ?
3 ;14. -270;15. -3e;16. ( 5, ? ? ) 4

三、解答题:17.解: (Ⅰ)由已知

5分

因为

, 所以

的最大值为

, 则

6分

(Ⅱ)

由(Ⅰ)知,

,所以

解得

,所以



,所以

10 分

则 所以 的最小值为 12 分

1 an ? (n ? ) ? 2n 2 18.解: (Ⅰ) .

(Ⅱ)略

19.解析: (1)设“在本年内随机抽取一天,该天经济损失 P∈(200,600]元”为事件 A 由 200<4t﹣400≤600,得 150<t≤250,频数为 39,∴P(A)= (2)根据以上数据得到如表: 非重度污染 重度污染 合计 供暖季 非供暖季 合计
2

22 63 85

8 7 15

30 70 100

K 的观测值 k=

100(63 ? 8 ? 22 ? 7) 2 ≈4.575>3.841 85 ? 15 ? 30 ? 70

6

所以有 95%的把握认为某市本年度空气重度污染与供暖有关. 20.)设 P ( x1 , y1 ) , Q ( x2 , y2 ) ,代入椭圆 C 的方程有:
2 2 2 2 x2 y2 x12 y12 x2 ? x12 y2 ? y12 , 两式相减: ? ? 1 , ? ? 1 ? ?0, a2 b2 a2 b2 a2 b2



( x2 ? x1 )( x2 ? x1 ) ( y2 ? y1 )( y2 ? y1 ) ? ?0, a2 b2
解得:

b2 2 联立两个方程有 k1k 2 ? ? 2 ? ? , a 3
e? c 3 . ? a 3

...............5 分

(2)由(1)知 e ?

c 3 2 2 2 2 ,得 a ? 3c , b ? 2c , ? a 3
2 2 2

可设椭圆 C 的方程为: 2 x ? 3 y ? 6c , 设直线 l 的方程为: x ? my ? 3 ,代入椭圆 C 的方程有

(2m 2 ? 3) y 2 ? 4 3my ? 6 ? 6c 2 ? 0 ,
2

.............................6 分
2 2

因为直线 l 与椭圆 C 相交,所以 ? ? 48m ? 4(2m ? 3)(6 ? 6c ) ? 0 , 由韦达定理: y1 ? y2 ?

6 ? 6c 2 4 3m , . y y ? 1 2 2m 2 ? 3 2m 2 ? 3

又 DP ? 2QD ,所以 y1 ? ?2 y2 , 代入上述两式有: 6 ? 6c ? ?
2

96m 2 , 2m 2 ? 3

...................8 分

S ?OPQ

1 3 ? 3 ? OD y1 ? y2 ? ? 2 2 a 2

48m 2 ? 4(2m 2 ? 3)(6 ? 6c 2 ) 2m 2 ? 3

............

......9 分

? 18

m 2m ?3
2

? 18

1 3 2m ? m

?

3 6 , 2

.......................10 分

当且仅当 m 2 ?

3 时,等号成立,此时 c 2 ? 5 ,代入 ? ,有 ? ? 0 成立, 2
7

所以所求椭圆 C 的方程为:

x2 y2 ? ? 1. 15 10

.........................12 分

21.解析: (Ⅰ)对一切 x ? (0, ?? ), f ( x) ? g ( x) 恒成立,即 x ln x ? ax ? ? x 2 ? 2 恒成立. 也就是 a ? ln x ? x ? 则 F ?( x) ?

2 2 在 x ? (0 ,? ?) 上恒成立.令 F ( x) ? ln x ? x ? , x x

1 2 x 2 ? x ? 2 ( x ? 2)( x ? 1) ?1? 2 ? ? . x ? (0 , 1) 时, F ?( x) ? 0 , x ? (1 ,? ?) 时, x x x2 x2

F ?( x) ? 0 . 因此 F ( x) 在 x ? 1 处取极小值,也是最小值,即 F ( x) min

? F (1) ? 3 ,
1 . e2

所以 a ? 3 .

??4 分

(Ⅱ)当 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x ,f ?( x) ? ln x ? 2 ,由 f ?( x) ? 0 得 x ? 当0? m ?

1 1 1 时,在 x ? [m , 2 ) 上 f ?( x) ? 0 ,在 x ? ( 2 ,m ? 3] 上 f ?( x) ? 0 . 2 e e e

因此 f ( x) 在 x ?

1 1 1 处取得极小值,也是最小值. 故 f ( x) min ? f ( 2 ) ? ? 2 . e2 e e 由于 f (m) ? m(ln m ? 1) ? 0 , f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ? 0 ,

因此 f ( x) max ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] . 当m ?

1 时, f ? ? x ? ? 0 ,因此 f ( x) 在 [m ,m ? 3] 上单调递增, e2

故 f ( x)min ? f (m) ? m(ln m ? 1) , (Ⅲ)问题等价于证明 x ln x ? x ?

f ( x)max ? f (m ? 3) ? (m ? 3)[ln(m ? 3) ? 1] ?8 分

x 2 ? , x ? (0 ,? ?) . e x ?1 e2 1 1 ,当且仅当 x ? 2 时取等号. e2 e

由(Ⅱ)知 a ? ?1 时, f ( x) ? x ln x ? x 的最小值是 ? 设 G ( x) ?
x e
x ?1

?

2 1? x 1 ,x ? (0 ,? ?) ,则 G ?( x) ? x ?1 ,易知 G ( x) max ? G (1) ? ? 2 , 2 e e e 1 e
x ?1

当且仅当 x ? 1 时取到. 从而可知对一切 x ? (0 ,? ?) ,都有 ln x ? 1 ? 22.(1)证明:由已知∠BDC=∠BEC=90°, 所以 B,C,D,E 四点在以 BC 为直径的圆上, 由割线定理知: AD ? AB ? AE ? AC . (2)解:如图,过点 F 作 FG⊥BC 于点 G, 由已知,∠BDC=90°,又因为 FG⊥BC,所以 B,G,F,D 四点共圆, 所以由割线定理知: CG ? CB ? CF ? CD ,① ....................5 分
8

?

2 ??12 分 e2 x

...........................3 分

同理,F,G,C,E 四点共圆,由割线定理知:

BF ? BE ? BG ? BC ,②

.......................7 分

①+②得: CG ? CB ? BG ? BC ? CF ? CD ? BF ? BE , 即 BC 2 ? CF ? CD ? BF ? BE ? 3 ? 5 ? 3 ? 5 ? 30 , 所以 BC ? ........................8 分

30 .

.

..................10 分
6

23、 【解析】 (Ⅰ)由 x ? ? cos ? , y ? ? sin ? ,

x2 y 2 4 ? ?1 3 ∴ 曲线 C 的直角坐标方程为 1 ,点 R 的直角坐标为 (2, 2) . ?? 4 分
? ? x ? cos ? ? ? y ? 3 sin ? (为参数, ? ? [0, 2? ) ) C (Ⅱ) 曲线 的参数方程为 ? ,
3π ∴ 设 P (cos ? , 3 sin ? ) ,如图,依题意可得: 2π π 2

S P

R Q
π

2

| PQ |? 2 ? cos ? ,| QR |? 2 ? 3 sin ? , ?? 6 分

2

? 2 | PQ | ?2 | QR |? 4 ? 2 cos ? ? 4 ? 2 3 sin ? ? 8 ? 4sin(? ? ) 4 6 ,?? ∴ 矩形周长 8

6

?

1 3 ?? ( , ) 3 时,周长的最小值为 4.此时,点 P 的坐标为 2 2 . ?? 10 分 ∴ 当

?

9


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