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2006年全国高中数学联赛江苏赛区初赛试题解析


高一数学竞赛训练试题(9)
一、填空题(每小题 7 分,共 70 分) 1. 已知数列{an}的通项公式 an ? 2. 函数 y ? 3
log3 x

2 ,则{an}的最大项是第_____项为_______ n ? 4n ? 5
2

的值域为______________

3.设 f

(x)是定义在 R 上单调递减的奇函数.若 x1+x2>0,x2+x3>0,x3+x1>0, 则 f(x1)+f(x2)+f(x3)与 0 的大小关系是_____________ 4.在△ ABC 中,角 A、B、C 所对的边分别是 a、b、c,tan A ?

1 3 10 , cos B ? . 若△ ABC 2 10

最长的边为 1,则最短边的长为_________ 5.集合 A={x∣x=3n,n∈N,0<n<10},B={y∣y=5m,m∈N,0≤m≤6},则集合 A∪B 的所 有元素之和为 6.设 cos2θ=

2 ,则 cos4θ+sin4θ 的值是 3

7.(x-3x2)3 的展开式中,x5 的系数为 y 8.已知 ? ,则 x2+y2 的最小值是 ≥0 ≥0 ≥0 9. 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样的 数列共有____________ 1 10.等比数列{an}的首项为 a1 ? 2020 ,公比 q ? ? .设 f(n)表示该数列的前 n 项的积,则 2 当 n= ___时,f(n)有最大值. 二、解答题
? ? 3x ? y ?x ? 3y ? 3 ?

? ? ? 2a ? ? ? 11.设集合 A= ? x log 1 (3 ? x) ? ?2 ? ,B= ? x ? 1? ,若 A∩B≠ ? ,求实数 a 的取值范 ? x?a ? ? ? 2 ? ?
围。

1

-9- 1 -

12. (1)已知数列 ?c n ?,其中 cn ? 2 ? 3 ,且数列 ?cn?1 ? pcn ? 为等比数列,求常数 p .
n n

(2)设 ?a n ?、?bn ?是公比不相等的两个等比数列, cn ? an ? bn ,证明数列 ?c n ?不是等比 数列.

1

-9- 2 -

13.△ ABC 中,AB<AC,AD,AE 分别是 BC 边上的高和中线,且∠BAD=∠EAC,证明 ∠BAC 是直角。

A

B

D

E

C

1

-9- 3 -

14.设 p 是质数,且 p2+71 的不同正因数的个数不超过 10 个,求 p。

1

-9- 4 -

答案 1.2,2 7。27 2 .[1,+∞) 8. 9 10 3. f(x1)+f(x2)+f(x3)<0 9. 4 10.12 4. 5 5 5. 225 11 6。 18

11.a∈(-1,0)∪(0,3) 14.质数 p 为 2 或 3

12. p 为 2 或 3

1 6.解:由 cos B ? 3 10 知 B 为锐角.? tan B ? 3 10
tan A ? tan B ? ?1 1 ? tan A ? tan B 由(1)知 ?C ? 135 ? ,故 c 边最长,即 c=1,又 tan A ? tan B ,故 b 边最短 b c 10 2 得 ? ? sin B ? , sin C ? ?由正弦定理 sin B sin C 10 2
故 tan C ? tan(? ? A ? B) ? ? tan( A ? B) ? ?

b?

c sin B 5 ? sin C 5

即最短边的长为

5 . 5

9. 设等差数列的首项及公差均为非负整数,项数不少于 3,且各项的和为 972,则这样的 数列共有_________ A.2 个 B.3 个 C.4 个 D.5 个 (1997 年全国高中数学联赛) 分析 利用等差数列的求和公式及分类讨论思想. 解 : 由 S n ? na1 ?

n(n ? 1) d ? 972 即 2na1+n(n-1)d=2×972, 2

则 n[2al+(n-1)d]= 2× 972,且 2a1+(n-1)d 是非负整数.故 n 是 2 × 972 的正 因数,且 n≥3,于是 n=97、972、2 × 97 或 2 × 972. (1)若 n=97,则 2al+96d=2 × 97,且 al 与 d 是非负整数,由 2 al = 2 × 97-96d≥0 可得 0≤d≤, 且 d∈Z,所以 d=0,1,2,代人 2 al +96d= 2 × 97 得

?d ? 0 ?d ? 1 ?d ? 2 或? 或? , 故当 n=97 时,符合题意的等差数列有 3 个. ? ?a1 ? 97 ?a1 ? 49 ?a1 ? 1
(2)若 n=972,则 2 al +(972-1)d=2,由 2al =2-(972-1)d≥0 得 0≤d≤ 故 d=0.此时 al =1 即 n=972 时,符合题意的等差数列只有 1 个. (3)若 n=2× 97 ,则 2 al +(2× 97-1)d=97,即 0≤d<1.所以 d=0,此时 al =

2 97 ? 1
2

97 ,不台题意. 2

1 (4)若 n= 2× 9 72,则 2 al +(2× 972-1)d=1,即 0≤d<1.所以 d=0,此时 al= ,不合题意. 2 2 故当 n=2× 97 或 2× 97 时,符合题意的等差数列不存在. 综上所述,符合题意的等差数列共有 3+1=4 个
1 -9- 5 -

10.解

1 n ( n ?1) 1 an ? 2002 ? (? )n?1 , f (n) ? 2002n ? (? ) 2 2 2 ∵ | f (n ? 1) | ? 2002 , | f ( n) | 2n

∴当 n≤10 时, | f ( n ? 1) | ? 2002 >1,∴ | f(11) |>| f(10) |>…>| f(1) |; n
| f ( n) | 2

当 n≥11 时,

| f ( n ? 1) | 2002 ? n <1,∴ | f(11) |>| f(12) |>… | f ( n) | 2

∵ f (11) ? 0 , f (10) ? 0 , f (9) ? 0 , f (12) ? 0 ,∴ f (n) 的最大值为 f (9) 或 f (12) 中的最大者.
1 202012 ? ( )66 f (12) 1 2020 2 ∵ ? ? 20203 ? ( )30 ? ( 10 )3 ? 1 , f (9) 20209 ? (? 1 )36 2 2 2

∴ 当 n=12 时, f (n) 有最大值为 f (12) ? 200212 ? ( )66 . 12.解: (1)因为 ?cn ?1 ? pcn ?是等比数列,故有 ?cn?1 ? pcn ? ? ?cn?2 ? pcn?1 ??cn ? pcn?1 ? ,
2

1 2

将 cn ? 2 n ? 3n 代入上式,得

?2


n ?1

? 3 n ?1 ? p 2 n ? 3 n
n

?

?? = ?2
2

n?2

? 3n?2 ? p 2 n?1 ? 3n?1 ? 2 n ? 3n ? p 2 n?1 ? 3n?1 ,

?

?? ?

?

??

??2 ? p?2

? ?3 ? p ?3 n = ?2 ? p?2 n?1 ? ?3 ? p?3n?1 ?2 ? p?2 n?1 ? ?3 ? p?3n?1 ,
2

? ?

??

?

整理得

1 ?2 ? p ??3 ? p ? ? 2 n ? 3 n ? 0 ,解得 6

p =2 或 p =3.

(2)设 ?a n ?、 ?bn ?的公比分别为 p 、 q , c n ? a n ? bn ,为证 ?c n ?不是等比数列只需证
2 c2 ? c1 ? c3 . 2 事实上, c 2 ? ?a1 p ? b1 q? ? a12 p 2 ? b12 q 2 ? 2a1b1 pq , 2

c1 ? c3 ? ?a1 ? b1 ? a1 p 2 ? b1 q 2 ? a12 p 2 ? b12 q 2 ? a1b1 p 2 ? q 2 .
2 2 由于 p ? q , p ? q ? 2 pq ,

?

?

?

?

又 a 1 、 b1 不为零,因此, c2 ? c1 ? c3 ,故 ?cn ? 不是等比数列.
2

14.解:当 p=2 时,p2+71=75=52× 3,此时共有正因数(2+1)(1+1)=6 个,故 p=2 满足要求.
1 -9- 6 -

当 p=3 时,p2+71=80=24× 5,此时共有正因数(4+1)(1+1)=10 个,故 p=3 满足条件. 当 p>3 时, p2+71=p2-1+72=(p-1)(p+1)+72.质数 p 必为 3k± 1 型的奇数 p-1、 p+1 是相邻的两 个偶数,且其中必有一个是 3 的倍数.所以,(p—1)(p+1)是 24 的倍数,从而 p2+71 是 24 的倍数. 设 p2+71=24× m,m≥4. 若 m 有不同于 2、3 的质因数,则,p2+71 的正因数个数≥(3+1)(1+1)(1+1)>l0; 若 m 中含有质因数 3,则,p2+71 的正因数个数≥(3+1)(2+1)>10; 若 m 中仅含有质因数 2,则 p2+71 的正因数个数≥(5+1) (1+1)>10; 所以,p>3 不满足条件.综上所述,所求得的质数 p 是 2 或 3.

1

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