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[全国通用]高中数学公式大全


高中数学常用公式及常用结论(精编版) 上海市特级教师:张杰
1. 元素与集合的关系 x ? A ? x ? CU A , x ? CU A ? x ? A . 2.德摩根公式
CU ( A ? B ) ? CU A ? CU B ; CU ( A ? B ) ? CU A ? CU B .

3.包含关系
A ? B ? A ?

A ? B ? B ? A ? B ? CU B ? CU A

? A ? CU B ? ? ? CU A ? B ? R

4.容斥原理
card ( A ? B ) ? cardA ? cardB ? card ( A ? B ) card ( A ? B ? C ) ? cardA ? cardB ? cardC ? card ( A ? B ) ? card ( A ? B ) ? card ( B ? C ) ? card ( C ? A ) ? card ( A ? B ? C ) .

5. 集合 { a1 , a 2 , ? , a n } 的子集个数共有 2 个;非空的真子集有 2 –2 个. 6.二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x ) ? a x ? b x ? c ( a ? 0 ) ;
2

n

个; 真子集有 2 –1 个; 非空子集有 2

n

n

–1

n

(2)顶点式 f ( x ) ? a ( x ? h ) ? k ( a ? 0 ) ;
2

(3)零点式 f ( x ) ? a ( x ? x1 )( x ? x 2 )( a ? 0) . 7.解连不等式 N ? f ( x ) ? M 常有以下转化形式
N ? f ( x ) ? M ? [ f ( x ) ? M ][ f ( x ) ? N ] ? 0

? | f (x) ? ?
1

M ? N 2

|?

M ?N 2

?

f (x) ? N M ? f (x)

? 0

f (x) ? N

?

1 M ?N

.

8.方程 f ( x ) ? 0 在 ( k 1 , k 2 ) 上有且只有一个实根,与 f ( k 1 ) f ( k 2 ) ? 0 不等价,前者是后 者的一个必要而不是充分条件.特别地, 方程 ax
2

? bx ? c ? 0 ( a ? 0 ) 有且只有一个实根在
b 2a ? k1 ? k 2 2

( k 1 , k 2 ) 内,等价于 f ( k 1 ) f ( k 2 ) ? 0 ,或 f ( k 1 ) ? 0 且 k 1 ? ?
k1 ? k 2 2 ? ? b 2a ? k2 .

,或 f ( k 2 ) ? 0 且

9.闭区间上的二次函数的最值
2 二次函数 f ( x ) ? ax ? bx ? c ( a ? 0 ) 在闭区间 ? p , q ? 上的最值只能在 x ? ?

b 2a

处及区

间的两端点处取得,具体如下: (1)当 a>0 时, x ? ? 若
x ? ? b 2a b 2a ? ? p, q?, f x) 则 (
nm i

b ? ( ? ,) ( f) x f 2a

xm xm a a

? ( f,) p ) ? q ( f

?;

? ? p , q ? , f ( x ) m ax ? m ax

? f ( p ),

f ( q )? , f ( x ) m in ? m in

? f ( p ),

f ( q )? .

(2) 当 a<0 时 , 若 x ? ?
x ? ? b 2a

b 2a

) ? ? p , q ? , 则 f ( xm

i n

?

m ?i n f

p(

)? , , (若 ) f q

? ? p , q ? ,则 f ( x ) m ax ? m ax ? f ( p ), f ( q )? , f ( x ) m in ? m in ? f ( p ), f ( q )? .

10.一元二次方程的实根分布 依据:若 f ( m ) f ( n ) ? 0 ,则方程 f ( x ) ? 0 在区间 ( m , n ) 内至少有一个实根 . 设 f ( x ) ? x 2 ? px ? q ,则
? p 2 ? 4q ? 0 ? (1)方程 f ( x ) ? 0 在区间 ( m , ?? ) 内有根的充要条件为 f ( m ) ? 0 或 ? p ; ? m ?? ? 2

? f (m ) ? 0 ? f (n) ? 0 ? ? 2 (2)方程 f ( x ) ? 0 在区间 ( m , n ) 内有根的充要条件为 f ( m ) f ( n ) ? 0 或 ? p ? 4 q ? 0 ? ?m ? ? p ? n ? ? 2

或?

? f (m ) ? 0 ? af (n) ? 0

或?

? f (n) ? 0 ? af (m ) ? 0



? p 2 ? 4q ? 0 ? (3)方程 f ( x ) ? 0 在区间 ( ? ? , n ) 内有根的充要条件为 f ( m ) ? 0 或 ? p . ? m ?? ? 2

11.定区间上含参数的二次不等式恒成立的条件依据 (1)在给定区间 ( ?? , ?? ) 的子区间 L (形如 ?? , ? ? ,? ? ? , ? ? ,?? , ?? ? 不同)上含参数 的二次不等式 f ( x , t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立的充要条件是 f ( x , t ) m in ? 0 ( x ? L ) . (2)在给定区间 ( ?? , ?? ) 的子区间上含参数的二次不等式 f ( x , t ) ? 0 ( t 为参数)恒成立 的充要条件是 f ( x , t ) m an ? 0( x ? L ) . (3) f ( x ) ? ax ? bx
4 2

?a ? 0 ?a ? 0 ? ? c ? 0 恒成立的充要条件是 ? b ? 0 或 ? 2 . ?b ? 4ac ? 0 ?c ? 0 ?

12.真值表 p q 非p p或q p且q 真 真 假 真 真 真 假 假 真 假 假 真 真 真 假 假 假 真 假 假 13.常见结论的否定形式 原结论 反设词 原结论 是 不是 至少有一个 都是 不都是 至多有一个 大于 不大于 至少有 n 个 小于 不小于 至多有 n 个 x, x, 对所有 存在某 p 或q 成立 不成立 对任何 x , 存在某 x ,

反设词 一个也没有 至少有两个 至多有( n ? 1 )个 至少有( n ? 1 )个
?p 且?q

不成立

成立

p 且q

?p 或?q

14.四种命题的相互关系 原命题 若p则q 互 互 否 否 否命题 若非p则非q 互逆 为 逆 为 逆 否 逆否命题 若非q则非p 互逆 互 互 否 逆命题 若q则p

15.充要条件 (1)充分条件:若 p ? q ,则 p 是 q 充分条件. (2)必要条件:若 q ? p ,则 p 是 q 必要条件. (3)充要条件:若 p ? q ,且 q ? p ,则 p 是 q 充要条件. 注:如果甲是乙的充分条件,则乙是甲的必要条件;反之亦然. 16.函数的单调性 (1)设 x1 ? x 2 ? ?a , b ?, x1 ? x 2 那么
( x1 ? x 2 ) ? f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?
( x1 ? x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? ? 0 ?
f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 f ( x1 ) ? f ( x 2 ) x1 ? x 2 ? 0 ? f ( x ) 在 ?a , b ? 上是增函数; ? 0 ? f ( x ) 在 ?a , b ? 上是减函数.

(2)设函数 y ? f ( x ) 在某个区间内可导,如果 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;如果
f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为减函数.

17.如果函数 f ( x ) 和 g ( x ) 都是减函数,则在公共定义域内,和函数 f ( x ) ? g ( x ) 也是减 函 数 ; 如 果 函 数 y ? f (u ) 和 u ? g ( x ) 在 其 对 应 的 定 义 域 上 都 是 减 函 数 , 则 复 合 函 数
y ? f [ g ( x )] 是增函数.

18.奇偶函数的图象特征 奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称;反过来,如果一个函数的图 象关于原点对称,那么这个函数是奇函数;如果一个函数的图象关于 y 轴对称,那么这个函 数是偶函数. 19.若函数 y ? f ( x ) 是偶函数, f ( x ? a ) ? f ( ? x ? a ) ; 则 若函数 y ? f ( x ? a ) 是偶函 数,则 f ( x ? a ) ? f ( ? x ? a ) . 20.对于函数 y ? f ( x ) ( x ? R ), f ( x ? a ) ? f ( b ? x ) 恒成立,则函数 f ( x ) 的对称轴是 函数 x ?
a?b 2 a 2
f ( x ) ? ? f ( x ? a ) ,则函数 y ? f ( x ) 为周期为 2 a 的周期函数.

;两个函数 y ? f ( x ? a ) 与 y ? f ( b ? x ) 的图象关于直线 x ?

a?b 2

对称.

21. 若 f ( x ) ? ? f ( ? x ? a ) , 则 函 数 y ? f ( x ) 的 图 象 关 于 点 ( , 0 ) 对 称 ; 若

22.多项式函数 P ( x ) ? a n x ? a n ?1 x
n

n ?1

? ? ? a 0 的奇偶性

多项式函数 P ( x ) 是奇函数 ? P ( x ) 的偶次项(即奇数项)的系数全为零. 多项式函数 P ( x ) 是偶函数 ? P ( x ) 的奇次项(即偶数项)的系数全为零. 23.函数 y ? f ( x ) 的图象的对称性

(1)函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ? a 对称 ? f ( a ? x ) ? f ( a ? x )
? f (2 a ? x ) ? f ( x ) .

(2)函数 y ? f ( x ) 的图象关于直线 x ?
? f (a ? b ? m x) ? f (m x) .

a?b 2

对称 ? f ( a ? m x ) ? f (b ? m x )

24.两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x ) 与函数 y ? f ( ? x ) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f ( m x ? a ) 与函数 y ? f ( b ? m x ) 的图象关于直线 x ? (3)函数 y ? f ( x ) 和 y ? f
?1

a?b 2m

对称.

( x ) 的图象关于直线 y=x 对称.

25.若将函数 y ? f ( x ) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a ) ? b 的图 象;若将曲线 f ( x , y ) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a , y ? b ) ? 0 的图 象. 26.互为反函数的两个函数的关系
f (a ) ? b ? f
?1

(b ) ? a .
1 k [f
?1

27. 若 函 数 y ? f ( kx ? b ) 存 在 反 函 数 , 则 其 反 函 数 为 y ?
y ?[f
?1

(x) ? b] ,并不是

( kx ? b ) ,而函数 y ? [ f

?1

( kx ? b ) 是 y ?

1 k

[ f ( x ) ? b ] 的反函数.

28.几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x ) ? cx , f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x ) ? a , f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ), f (1) ? a ? 0 .
x

(3)对数函数 f ( x ) ? log a x , f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ), f ( a ) ? 1( a ? 0, a ? 1) . (4)幂函数 f ( x ) ? x , f ( xy ) ? f ( x ) f ( y ), f (1) ? ? .
'

?

(5)余弦函数 f ( x ) ? cos x ,正弦函数 g ( x ) ? sin x , f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) ? g ( x ) g ( y ) ,
f (0 ) ? 1, lim g (x) x
x? 0

?1.

29.几个函数方程的周期(约定 a>0) (1) f ( x ) ? f ( x ? a ) ,则 f ( x ) 的周期 T=a; (2) f ( x ) ? f ( x ? a ) ? 0 , 或 f (x ? a) ? 或 f (x ? a) ? ? 或
1 2 ?

1 f (x) 1 f (x)

( f ( x) ? 0) ,
( f ( x ) ? 0) ,
2

f ( x ) ? f ( x ) ? f ( x ? a ), ( f ( x ) ? ? 0,1 ?) ,则 f ( x ) 的周期 T=2a;

(3) f ( x ) ? 1 ?

1 f (x ? a)

( f ( x ) ? 0 ) ,则 f ( x ) 的周期 T=3a;

(4) f ( x1 ? x 2 ) ?
f ( x ) 的周期 T=4a;

f ( x1 ) ? f ( x 2 ) 1 ? f ( x1 ) f ( x 2 )

且 f ( a ) ? 1( f ( x1 ) ? f ( x 2 ) ? 1, 0 ? | x1 ? x 2 |? 2 a ) , 则

(5) f ( x ) ? f ( x ? a ) ? f ( x ? 2 a ) f ( x ? 3 a ) ? f ( x ? 4 a )
? f ( x ) f ( x ? a ) f ( x ? 2 a ) f ( x ? 3 a ) f ( x ? 4 a ) ,则 f ( x ) 的周期 T=5a;

(6) f ( x ? a ) ? f ( x ) ? f ( x ? a ) ,则 f ( x ) 的周期 T=6a. 30.分数指数幂
m

(1) a n ?
n

1 a
m

( a ? 0, m , n ? N ,且 n ? 1 ). ( a ? 0, m , n ? N ,且 n ? 1 ).
?

?

(2) a

?

m n

?

1
m

a
n

n

31.根式的性质 (1) ( n a ) ? a . (2)当 n 为奇数时, a ? a ;
n n

当 n 为偶数时, a ? | a | ? ?
n n

?a, a ? 0 ??a, a ? 0

.

32.有理指数幂的运算性质 (1)
a ?a ? a
r s r s rs r?s

( a ? 0, r , s ? Q ) .

(2) ( a ) ? a ( a ? 0, r , s ? Q ) . (3) ( ab ) ? a b ( a ? 0, b ? 0, r ? Q ) . p 注: 若 a>0,p 是一个无理数,则 a 表示一个确定的实数.上述有理指数幂的运算性 质,对于无理数指数幂都适用. 33.指数式与对数式的互化式
r r r

lo g a N ? b ? a ? N ( a ? 0, a ? 1, N ? 0)
b

.

34.对数的换底公式
lo g a N ? lo g m N lo g m a
n

( a ? 0 ,且 a ? 1 , m ? 0 ,且 m ? 1 , N ? 0 ).
n m lo g a b ( a ? 0 ,且 a ? 1 , m , n ? 0 ,且 m ? 1 , n ? 1 , N ? 0 ).

推论 lo g a b ?
m

35.对数的四则运算法则 若 a>0,a≠1,M>0,N>0,则 (1) lo g a ( M N ) ? lo g a M ? lo g a N ; (2) lo g a
M N
n

? lo g a M ? lo g a N ;
? n log a M ( n ? R ) .
m

(3) log a M

36.设函数 f ( x ) ? log

( ax

2

? bx ? c )( a ? 0 ) ,记 ? ? b ? 4 ac .若 f ( x ) 的定义域为
2

R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 ;若 f ( x ) 的值域为 R ,则 a ? 0 ,且 ? ? 0 .对于 a ? 0 的情形,需要

单独检验. 37. 对数换底不等式及其推广 若a ? 0 ,b ? 0 , x ? 0 , x ?
1

1 a 1
a 1 a

,则函数 y ? lo g a x ( b x )

(1)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ? ? ) 上 y ? lo g a x ( b x ) 为增函数.


(2)当 a ? b 时,在 (0, ) 和 ( , ? ? ) 上 y ? lo g a x ( b x ) 为减函数.
a

a 1

推论:设 n ? m ? 1 , p ? 0 , a ? 0 ,且 a ? 1 ,则

(1) lo g m ? p ( n ? p ) ? lo g m n . (2) lo g a m lo g a n ? lo g a
2

m?n 2

.

38. 平均增长率的问题 如 果 原来 产值 的基 础数为 N ,平 均增 长率 为 p ,则 对 于时 间 x 的 总产 值 y ,有
y ? N (1 ? p ) .
x

39.数列的同项公式与前 n 项的和的关系
n ?1 ? s1 , an ? ? ( 数列 { a n } 的前 n 项的和为 s n ? a1 ? a 2 ? ? ? a n ). ? s n ? s n ?1 , n ? 2

40.等差数列的通项公式
a n ? a1 ? ( n ? 1) d ? d n ? a1 ? d ( n ? N ) ;
*

其前 n 项和公式为
sn ? ? d 2 n ( a1 ? a n ) 2 n ? ( a1 ?
2

? n a1 ? d )n .

n ( n ? 1) 2

d

1 2

41.等比数列的通项公式
a n ? a1 q
n ?1

?

a1 q

? q (n ? N ) ;
n *

其前 n 项的和公式为
? a 1 (1 ? q n ) ,q ? 1 ? sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1
? a1 ? a n q ,q ? 1 ? 或 sn ? ? 1 ? q . ?na , q ? 1 ? 1

42.等比差数列 ?a n ? : a n ? 1 ? qa n ? d , a1 ? b ( q ? 0) 的通项公式为
? b ? ( n ? 1) d , q ? 1 ? a n ? ? b q n ? ( d ? b ) q n ?1 ? d ; ,q ? 1 ? q ?1 ?

其前 n 项和公式为
? n b ? n ( n ? 1) d , ( q ? 1) ? n sn ? ? . d 1? q d ) ? n , ( q ? 1) ? (b ? 1? q q ?1 1? q ?

43.分期付款(按揭贷款) 每次还款 x ?
a b (1 ? b )
n n

(1 ? b ) ? 1

元(贷款 a 元, n 次还清,每期利率为 b ).

44.常见三角不等式

(1)若 x ? (0, (2) 若 x ? (0,
?

?
2

) ,则 sin x ? x ? tan x .

) ,则 1 ? sin x ? co s x ? 2 (3) | sin x | ? | cos x |? 1 .

2.

45.同角三角函数的基本关系式
sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? =
2 2

sin ? cos ?

, tan ? ? cot? ? 1 .

46.正弦、余弦的诱导公式
n ? ( ? 1) 2 sin ? , ? sin ( ??) ? ? n ?1 2 ? ( ? 1) 2 co s ? , ?

n?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

n ? 2 s n? ? (? 1 ) co ? , co s ( ? ? )? ? n ?1 2 ? 2 sin , ? ?(? 1 )

47.和角与差角公式 sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ;
cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan (? ? ? ) ?

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ?
2

.
2

sin (? ? ? ) sin (? ? ? ) ? sin ? ? sin ? (平方正弦公式); cos(? ? ? ) cos(? ? ? ) ? cos ? ? sin ? .
2 2

a sin ? ? b cos ? =

a ? b sin (? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 ( a , b ) 的 象 限 决
2 2

定, tan ? ?

b a

).

48.二倍角公式 sin 2? ? sin ? cos ? .
cos 2? ? cos ? ? sin ? ? 2 cos ? ? 1 ? 1 ? 2 sin ? . 2 tan ? tan 2? ? . 2 1 ? tan ?
2 2 2 2

49. 三倍角公式
sin 3? ? 3 sin ? ? 4 sin ? ? 4 sin ? sin (
3 3

?
3

? ? ) sin (

?
3

??) .

co s 3? ? 4 co s ? ? 3 co s ? ? 4 co s ? co s(

?
3

? ? ) co s(

?
3

?? )

.

tan 3? ?

3 tan ? ? tan ?
3

1 ? 3 tan ?
2

? tan ? tan (

?
3

? ? ) tan (

?
3

??).

50.三角函数的周期公式 函数 y ? sin (? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0, ω >0)的周期 T ?
2?

?

;函数 y ? tan(? x ? ? ) , x ? k ? ?

?
2

, k ? Z (A,ω , ? 为常数,且 A

≠0,ω >0)的周期 T ? 51.正弦定理
a sin A
2 2

? ?
c

.

?

b sin B
2

?

? 2R .

sin C

52.余弦定理
a ? b ? c ? 2 bc cos A ; b ? c ? a ? 2 ca cos B ;
2 2 2

c ? a ? b ? 2 ab cos C .
2 2 2

53.面积定理 (1) S ? (2) S ?
1 2 1 a ha ? 1 2 b hb ? 1 2 ch c ( h a、 hb、 h c 分别表示 a、b、c 边上的高).

a b sin C ?
1 2

2

(3) S ? O A B ?

ca sin B . 2 2 ??? ? ??? ? ??? ??? ? ? 2 2 (| O A | ? | O B |) ? ( O A ? O B ) .

1

b c sin A ?

1

54.三角形内角和定理 在△ABC 中,有 A ? B ? C ? ? ? C ? ? ? ( A ? B )
? C 2 ?

?
2

?

A?B 2

? 2 C ? 2? ? 2( A ? B ) .

55. 简单的三角方程的通解
sin x ? a ? x ? k ? ? ( ? 1) arcsin a ( k ? Z , | a |? 1) .
k

co s x ? a ? x ? 2 k ? ? arccos a ( k ? Z , | a |? 1) .

tan x ? a ? x ? k ? ? arctan a ( k ? Z , a ? R ) .

特别地,有
sin ? ? sin ? ? ? ? k ? ? ( ? 1) ? ( k ? Z ) .
k

co s ? ? cos ? ? ? ? 2 k ? ? ? ( k ? Z ) . tan ? ? tan ? ? ? ? k ? ? ? ( k ? Z ) .

56.最简单的三角不等式及其解集 sin x ? a (| a |? 1) ? x ? (2 k ? ? arcsin a , 2 k ? ? ? ? arcsin a ), k ? Z .
sin x ? a (| a |? 1) ? x ? (2 k ? ? ? ? arcsin a , 2 k ? ? arcsin a ), k ? Z . cos x ? a (| a |? 1) ? x ? (2 k ? ? arccos a , 2 k ? ? arccos a ), k ? Z . cos x ? a (| a |? 1) ? x ? (2 k ? ? arccos a , 2 k ? ? 2? ? arccos a ), k ? Z .

tan x ? a ( a ? R ) ? x ? ( k ? ? arctan a , k ? ? tan x ? a ( a ? R ) ? x ? ( k ? ?

?
2

), k ? Z .

?
2

, k ? ? arctan a ), k ? Z .

57.实数与向量的积的运算律 设λ 、μ 为实数,那么 (1) 结合律:λ (μ a)=(λ μ )a; (2)第一分配律:(λ +μ )a=λ a+μ a; (3)第二分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 58.向量的数量积的运算律: (1) a·b= b·a (交换律); (2)( ? a) ·b= ? (a·b)= ? a·b= a· ? b); ( (3)(a+b) ·c= a ·c +b·c.

59.平面向量基本定理 如果 e1、e 2 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且 只有一对实数λ 1、λ 2,使得 a=λ 1e1+λ 2e2. 不共线的向量 e1、e2 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底. 60.向量平行的坐标表示 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,且 b ? 0,则 a ? b(b ? 0) ? x 1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 . 53. a 与 b 的数量积(或内积) a·b=|a||b|cosθ . 61. a·b 的几何意义 数量积 a·b 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cosθ 的乘积. 62.平面向量的坐标运算 (1)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,则 a+b= ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) . (2)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,则 a-b= ( x1 ? x 2 , y1 ? y 2 ) . (3)设 A ( x1 , y1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ,则 A B ? O B ? O A ? ( x 2 ? x1 , y 2 ? y1 ) . (4)设 a= ( x , y ), ? ? R ,则 ? a= ( ? x , ? y ) . (5)设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,则 a·b= ( x1 x 2 ? y1 y 2 ) . 63.两向量的夹角公式
co s ? ? x1 x 2 ? y 1 y 2 x1 ? y 1 ?
2 2

??? ?

??? ?

??? ?

x2 ? y2
2

2

(a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ).

64.平面两点间的距离公式
??? ? d A , B = | A B |? ??? ??? ? ? AB ? AB
2

?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) (A ( x1 , y 1 ) ,B ( x 2 , y 2 ) ).
2

65.向量的平行与垂直 设 a= ( x1 , y1 ) ,b= ( x 2 , y 2 ) ,且 b ? 0,则 A||b ? b=λ a ? x 1 y 2 ? x 2 y1 ? 0 . a ? b(a ? 0) ? a·b=0 ? x 1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 . 66.线段的定比分公式
x1 ? ? x 2 ? ???? ???? ??? ? OP ? ?OP ?x ? 1? ? ? 1 2 ? OP ? ? 1? ? y1 ? ? y 2 ?y ? ? 1? ? ? ??? ? ???? ???? 1 ? O P ? t O P1 ? (1 ? t ) O P2 ( t ? ). 1? ?

设 P1 ( x1 , y1 ) , P2 ( x 2 , y 2 ) , P ( x , y ) 是线段 P1 P2 的分点, ? 是实数,且 P1 P ? ? P P2 ,则

????

????

67.三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为 A ( x 1 , y 1 ) 、 B(x 2 ,y 2 ) 、 C(x 3 ,y 3 ) ,则△ABC 的重心的坐 标是 G (
x1 ? x 2 ? x 3 3 , y1 ? y 2 ? y 3 3 ).

68.点的平移公式
???? ??? ???? ? ? x' ? x ? h ? x ? x' ? h ? ? ' ' ? OP ? OP ? PP . ? ? ? ' ' ?y ? y ? k ?y ? y ?k ? ?
'
' ' '

????
'

注:图形 F 上的任意一点 P(x,y)在平移后图形 F 上的对应点为 P ( x , y ) ,且 P P 的

坐标为 ( h , k ) . 69.“按向量平移”的几个结论 (1)点 P ( x , y ) 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到点 P ( x ? h , y ? k ) .
'

(2) 函数 y ? f ( x ) 的图象 C 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到图象 C ,则 C 的函数解析式
' '

为 y ? f (x ? h) ? k . (3) 图象 C 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到图象 C ,若 C 的解析式 y ? f ( x ) ,则 C 的函数
' '

解析式为 y ? f ( x ? h ) ? k . (4) 曲 线 C : f ( x , y ) ? 0 按 向 量 a= ( h , k ) 平 移 后 得 到 图 象 C , 则 C 的 方 程 为
' '

f ( x ? h, y ? k ) ? 0 .

(5) 向量 m= ( x , y ) 按向量 a= ( h , k ) 平移后得到的向量仍然为 m= ( x , y ) . 70. 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ? A B C 所在平面上一点,角 A , B , C 所对边长分别为 a , b , c ,则 (1) O 为 ? A B C 的外心 ? O A ? O B ? O C . (2) O 为 ? A B C 的重心 ? O A ? O B ? O C ? 0 .
??? ??? ? ?
??? ?
??? 2 ? ??? 2 ? ???? 2

??? ?

??? ?

????

?

(3) O 为 ? A B C 的垂心 ? O A ? O B ? O B ? O C ? O C ? O A . (4) O 为 ? A B C 的内心 ? a O A ? bO B ? cO C ? 0 .
??? ? ??? ?
??? ? ???? ?

??? ???? ?

???? ??? ?

(5) O 为 ? A B C 的 ? A 的旁心 ? a O A ? bO B ? cO C . 71.常用不等式: (1) a , b ? R ? a ? b ? 2 ab (当且仅当 a=b 时取“=”号).
2 2

????

(2) a , b ? R ?
3 3 3

?

a?b 2

?

a b (当且仅当 a=b 时取“=”号).

(3) a ? b ? c ? 3 abc ( a ? 0, b ? 0, c ? 0). (4)柯西不等式
( a ? b )( c ? d ) ? ( ac ? bd ) , a , b , c , d ? R .
2 2 2 2 2

(5) a ? b ? a ? b ? a ? b . 72.极值定理 已知 x , y 都是正数,则有 (1)若积 xy 是定值 p ,则当 x ? y 时和 x ? y 有最小值 2 (2)若和 x ? y 是定值 s ,则当 x ? y 时积 xy 有最大值 推广 已知 x , y ? R ,则有 ( x ? y ) ? ( x ? y ) ? 2 xy
2 2

p ;
s .
2

1 4

(1)若积 xy 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | x ? y | 最大; 当 | x ? y | 最小时, | x ? y | 最小. (2)若和 | x ? y | 是定值,则当 | x ? y | 最大时, | xy | 最小; 当 | x ? y | 最小时, | xy | 最大. 73. 一 元 二 次 不 等 式 a x ? b x ? c ? 0 ( 或 ? 0 ) ( a ? 0, ? ? b ? 4 ac ? 0) , 如 果 a 与
2 2

ax ? bx ? c 同号,则其解集在两根之外;如果 a 与 ax ? bx ? c 异号,则其解集在两根之
2 2

间.简言之:同号两根之外,异号两根之间.
x1 ? x ? x 2 ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0( x1 ? x 2 ) ; x ? x1 , 或 x ? x 2 ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? 0( x1 ? x 2 ) .

74.含有绝对值的不等式 当 a> 0 时,有

x ? a ? x ? a
2

2

? ?a ? x ? a .

x ? a ? x ? a ? x ? a 或 x ? ?a .
2 2

75.无理不等式 (1)
f (x) ? ? f (x) ? 0 ? g (x) ? ? g (x) ? 0 . ? f (x) ? g (x) ?

(2)

? f (x) ? 0 ? f (x) ? 0 ? f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 或? . ? g (x) ? 0 ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ? ? f ( x) ? 0 ? f (x) ? g (x) ? ? g (x) ? 0 . ? f ( x ) ? [ g ( x )] 2 ?

(3)

76.指数不等式与对数不等式 (1)当 a ? 1 时,
a
f (x)

? a

g (x)

? f (x) ? g (x) ;

lo g a

? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x ) ? ? g ( x ) ? 0 . ? f (x) ? g (x) ?
? a
g (x)

(2)当 0 ? a ? 1 时,
a
f (x)

? f (x) ? g (x) ;

lo g a

? f (x) ? 0 ? f ( x ) ? lo g a g ( x ) ? ? g ( x ) ? 0 ? f (x) ? g (x) ?
y 2 ? y1 x 2 ? x1

77.斜率公式
k ?

( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ).

78.直线的五种方程 (1)点斜式 y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). (3)两点式 (4)截距式
y ? y1 y 2 ? y1
x ? y

?

x ? x1 x 2 ? x1

( y1 ? y 2 )( P1 ( x1 , y1 ) 、 P2 ( x 2 , y 2 ) ( x1 ? x 2 )).

? 1 ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、 b ? 0 ) a b (5)一般式 A x ? B y ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).

79.两条直线的平行和垂直 (1)若 l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 ① l1 || l 2 ? k 1 ? k 2 , b1 ? b 2 ② l1 ? l 2 ? k 1 k 2 ? ? 1 . (2)若 l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,
;

① l1 || l 2 ?

A1 A2

?

B1 B2

?

C1 C2



② l1 ? l 2 ? A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 ; 80.夹角公式 (1) tan ? ? |
k 2 ? k1 1 ? k 2 k1 |.

( l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 , k 1 k 2 ? ? 1 ) (2) tan ? ? |
A1 B 2 ? A 2 B1 A1 A 2 ? B1 B 2 |.

( l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 , A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 ). 直线 l1 ? l 2 时,直线 l1 与 l2 的夹角是 81. l1 到 l 2 的角公式 (1) ta n ? ?
k 2 ? k1 1 ? k 2 k1

?
2

.

.

( l1 : y ? k 1 x ? b1 , l 2 : y ? k 2 x ? b 2 , k 1 k 2 ? ? 1 ) (2) tan ? ?
A1 B 2 ? A 2 B 1 A1 A 2 ? B1 B 2

.

( l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 , A1 A2 ? B1 B 2 ? 0 ). 直线 l1 ? l 2 时,直线 l1 到 l2 的角是
?
2

.

82.四种常用直线系方程 (1)定点直线系方程:经过定点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的直线系方程为 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) (除直线
x ? x 0 ), 其 中 k 是 待 定 的 系 数 ;

经 过 定 点 P0 ( x 0 , y 0 ) 的 直 线 系 方 程 为

A ( x ? x 0 ) ? B ( y ? y 0 ) ? 0 ,其中 A , B 是待定的系数.

(2)共点直线系方程: 经过两直线 l1 : A1 x ? B1 y ? C 1 ? 0 , l 2 : A2 x ? B 2 y ? C 2 ? 0 的交点 的直线系方程为 ( A1 x ? B1 y ? C 1 ) ? ? ( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 (除 l 2 ),其中λ 是待定的系数. (3)平行直线系方程:直线 y ? kx ? b 中当斜率 k 一定而 b 变动时,表示平行直线 系方程.与直线 A x ? B y ? C ? 0 平行的直线系方程是 A x ? B y ? ? ? 0 ( ? ? 0 ),λ 是 参变量. (4)垂直直线系方程:与直线 A x ? B y ? C ? 0 (A≠0,B≠0)垂直的直线系方程是
B x ? A y ? ? ? 0 ,λ 是参变量.

83.点到直线的距离 (点 P ( x 0 , y 0 ) ,直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ). 2 2 A ?B 84. A x ? B y ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域 设直线 l : A x ? B y ? C ? 0 ,则 A x ? B y ? C ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: 若 B ? 0 , B 与 A x ? B y ? C 同号时, 当 表示直线 l 的上方的区域; B 与 A x ? B y ? C 当 异号时,表示直线 l 的下方的区域.简言之,同号在上,异号在下. 若 B ? 0 , A 与 A x ? B y ? C 同号时, 当 表示直线 l 的右方的区域; A 与 A x ? B y ? C 当 异号时,表示直线 l 的左方的区域. 简言之,同号在右,异号在左. 85. ( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域
d ? | A x0 ? B y0 ? C |

设曲线 C : ( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 ( A1 A2 B1 B 2 ? 0 ) ,则
( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 或 ? 0 所表示的平面区域是: ( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分; ( A1 x ? B1 y ? C 1 )( A2 x ? B 2 y ? C 2 ) ? 0 所表示的平面区域上下两部分.

86. 圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r .
2 2 2

(2)圆的一般方程 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).
2 2

2

2

(3)圆的参数方程 ?

? x ? a ? r cos ? ? y ? b ? r sin ?

.

0 ( 4 ) 圆 的 直 径 式 方 程 ( x ? x1 ) ( x ? x2 ) ? ( y ? y ) ( y ? y ) ? ( 圆 的 直 径 的 端 点 是 1 2 A ( x1 , y 1 ) 、 B ( x 2 , y 2 ) ).

87. 圆系方程 (1)过点 A ( x1 , y1 ) , B ( x 2 , y 2 ) 的圆系方程是
( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? ? [( x ? x1 )( y1 ? y 2 ) ? ( y ? y1 )( x1 ? x 2 )] ? 0 ? ( x ? x1 )( x ? x 2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y 2 ) ? ? ( ax ? by ? c ) ? 0 , 其 中 a x? b y ?
A B 的方程,λ 是待定的系数.
2 2

c?0 是 直 线

(2)过直线 l : A x ? B y ? C ? 0 与圆 C : x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 的交点的圆系方程 是 x ? y ? D x ? E y ? F ? ? ( A x ? B y ? C ) ? 0 ,λ 是待定的系数.
2 2

(3) 过圆 C 1 : x 2 ? y 2 ? D1 x ? E 1 y ? F1 ? 0 与圆 C 2 : x 2 ? y 2 ? D 2 x ? E 2 y ? F2 ? 0 的交 点的圆系方程是 x ? y ? D1 x ? E 1 y ? F1 ? ? ( x ? y ? D 2 x ? E 2 y ? F 2 ) ? 0 ,λ 是待定的
2 2 2 2

系数. 88.点与圆的位置关系 点 P ( x 0 , y 0 ) 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的位置关系有三种
2 2 2

若d ?

( a ? x 0 ) ? ( b ? y 0 ) ,则
2 2

d ? r ? 点 P 在圆外; d ? r ? 点 P 在圆上; d ? r ? 点 P 在圆内. 89.直线与圆的位置关系

直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a ) ? ( y ? b ) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 ;
d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .

其中 d ?

Aa ? Bb ? C A ? B
2 2

.

90.两圆位置关系的判定方法 设两圆圆心分别为 O1,O2,半径分别为 r1,r2, O 1 O 2 ? d
d ? r1 ? r2 ? 外离 ? 4 条公切线
d ? r1 ? r2 ? 外切 ? 3 条公切线

; ; ;

r1 ? r2 ? d ? r1 ? r2 ? 相交 ? 2 条公切线 d ? r1 ? r2 ? 内切 ? 1条公切线

; .

0 ? d ? r1 ? r2 ? 内含 ? 无公切线

91.圆的切线方程

(1)已知圆 x ? y ? D x ? E y ? F ? 0 .
2 2

①若已知切点 ( x 0 , y 0 ) 在圆上,则切线只有一条,其方程是
x0 x ? y0 y ? D ( x0 ? x ) 2 ? E ( y0 ? y ) 2 D ( x0 ? x ) 2 ? E ( y0 ? y ) 2 ? F ? 0 表示过两个切点 ? F ? 0.

当 ( x 0 , y 0 ) 圆外时, x 0 x ? y 0 y ?

的切点弦方程. ②过圆外一点的切线方程可设为 y ? y 0 ? k ( x ? x 0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必 有两条切线,注意不要漏掉平行于 y 轴的切线. ③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b,必有两条切线. (2)已知圆 x ? y ? r .
2 2 2

①过圆上的 P0 ( x 0 , y 0 ) 点的切线方程为 x 0 x ? y 0 y ? r ;
2

②斜率为 k 的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k .
2

92.椭圆 93.椭圆

x a x a

2 2

?

y b

2 2

? x ? a cos ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的参数方程是 ? . ? y ? b sin ?
? 1( a ? b ? 0 ) 焦半径公式 ) , PF 2 ? e ( a
2

2 2

?

y b a

2 2

2

PF 1 ? e ( x ?

? x) .

c

c y b
2 2 2 2

94.椭圆的的内外部 (1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 (2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在椭圆 95. 椭圆的切线方程 (1)椭圆
x a
2 2 2 2

x a x a

2 2 2 2

? ?

? 1( a ? b ? 0 ) 的内部 ? ? 1( a ? b ? 0 ) 的外部 ?

x0 a x0 a

2 2 2 2

? ?

y0 b y0 b

2

2 2

?1. ? 1.

y b

2

? x a

y b
2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 y b
2 2

x0 x a
2

?

y0 y b
2

? 1.

(2)过椭圆
x0 x a
2

?

? 1( a ? b ? 0 ) 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是

?

y0 y b
2

? 1.

( 3 ) 椭 圆
2 2 2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? b ? 0 ) 与 直 线 A x ? B y ? C ? 0 相 切 的 条 件 是

A a ?B b ?c .

96.双曲线

x a

2 2

? a
2

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的焦半径公式 a
2

P F1 ? | e ( x ?

c

) | , P F2 ? | e (

? x) | .

c
2 2

97.双曲线的内外部 (1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
x a
2 2

?

y b

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的内部 ?

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2

?1.

(2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在双曲线
2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 的外部 ?

x0 a

2 2

?

y0 b

2

2

?1.

98.双曲线的方程与渐近线方程的关系 (1)若双曲线方程为
x a ?
b a

y b

2 2

? 1 ? 渐近线方程:
x a ? y b

x a

2 2

?

y b

2 2

?0? y?? x a
2 2

b a

x.

(2)若渐近线方程为 y ? ? (3)若双曲线与
x a
2 2

x ?

? 0 ? 双曲线可设为

?

y b

2 2

? ?.

?

y b

2 2

? 1 有公共渐近线,可设为

x a

2 2

?

y b

2 2

? ? ( ? ? 0 ,焦点在 x

轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上). 99. 双曲线的切线方程 (1)双曲线
x a
2 2

? x a

y b
2 2

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 y b
2 2

x0 x a
2

?

y0 y b
2

?1.

(2)过双曲线
x0 x a
2

?

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是

?

y0 y b
2

?1.

(3)双曲线
A a ?B b ?c .
2 2 2 2 2

x a

2 2

?

y b

2 2

? 1( a ? 0, b ? 0 ) 与 直 线 A x?

B y ?

C0 相 切 的 条 件 是 ?

100. 抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式
2

抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 焦半径 C F ? x 0 ?
2

p 2

.

过焦点弦长 CD ? x 1 ?
2

p 2

? x2 ?

p 2

? x1 ? x 2 ? p .
y?
2

101.抛物线 y ? 2 px 上的动点可设为 P (
y? ? 2 p x? .
2

2p

, y ? ) 或 P ( 2 pt , 2 pt ) 或 P ( x ? , y ? ) ,其中

2

102.二次函数 y ? a x ? b x ? c ? a ( x ?
2

b 2a

) ?
2

4ac ? b 4a b 2a

2

( a ? 0 ) 的图象是抛物线: (1)顶

点坐标为 ( ?
2

b 2a

,

4ac ? b 4a

2

); (2)焦点的坐标为 ( ?

,

4ac ? b ? 1
2

) ; (3)准线方程是

4a

y ?

4ac ? b ? 1 4a

.

103.抛物线的内外部 (1)点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的内部 ? y ? 2 p x ( p ? 0 ) .
2 2

点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 的外部 ? y ? 2 p x ( p ? 0 ) .
2 2

(2)点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 y ? ? 2 px ( p ? 0) 的内部 ? y ? ? 2 p x ( p ? 0 ) .
2 2

点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 y ? ? 2 px ( p ? 0) 的外部 ? y ? ? 2 p x ( p ? 0 ) .
2 2

(3)点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 x ? 2 p y ( p ? 0 ) 的内部 ? x ? 2 py ( p ? 0) .
2 2

点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 x ? 2 p y ( p ? 0 ) 的外部 ? x ? 2 py ( p ? 0) .
2 2

(4) 点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 x ? 2 p y ( p ? 0 ) 的内部 ? x ? 2 py ( p ? 0) .
2 2

点 P ( x 0 , y 0 ) 在抛物线 x ? ? 2 p y ( p ? 0 ) 的外部 ? x ? ? 2 p y ( p ? 0 ) .
2 2

104. 抛物线的切线方程 (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 P ( x 0 , y 0 ) 处的切线方程是 y 0 y ? p ( x ? x 0 ) .
2

(2) 过抛物线 y ? 2 px 外一点 P ( x 0 , y 0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y 0 y ? p ( x ? x 0 ) .
2

(3)抛物线 y ? 2 p x ( p ? 0 ) 与直线 A x ? B y ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 A C . 105.两个常见的曲线系方程 (1)过曲线 f 1 ( x , y ) ? 0 , f 2 ( x , y ) ? 0 的交点的曲线系方程是
2 2

f 1 ( x , y ) ? ? f 2 ( x , y ) ? 0 ( ? 为参数).

(2) 共 焦 点 的 有 心 圆 锥 曲 线 系 方 程
2 2 2

x
2

2

a ?k
2

?

y
2

2

b ?k

? 1 , 其 中 k ? m ax { a , b } . 当
2 2 2 2

k ? m in { a , b } 时,表示椭圆; 当 m in { a , b } ? k ? m ax { a , b } 时,表示双曲线.

106.直线与圆锥曲线相交的弦长公式 A B ?
AB ?
2 2 2

( x1 ? x 2 ) ? ( y 1 ? y 2 ) 或
2 2 2

(1 ? k )( x 2 ? x1 ) ? | x1 ? x 2 | 1 ? tan ? ? | y1 ? y 2 | 1 ? co t ?
? y ? kx ? b ?F(x, y) ? 0
2

( 弦 端 点

A ( x 1 , y 1 ), B ( x 2 , y 2 ) , 由方程 ?

消去 y 得到 ax ? bx ? c ? 0 ,? ? 0 , ? 为直线

A B 的倾斜角, k 为直线的斜率).

107.圆锥曲线的两类对称问题 (1)曲线 F ( x , y ) ? 0 关于点 P ( x 0 , y 0 ) 成中心对称的曲线是 F (2 x 0 - x , 2 y 0 ? y ) ? 0 . (2)曲线 F ( x , y ) ? 0 关于直线 A x ? B y ? C ? 0 成轴对称的曲线是
F (x ? 2 A( Ax ? By ? C ) A ?B
2 2

,y?

2B ( Ax ? By ? C ) A ?B
2 2

)? 0.

108.“四线”一方程 对于一般的二次曲线 A x ? B xy ? C y ? D x ? E y ? F ? 0 , x 0 x 代 x , y 0 y 代 y , 用 用
2 2
2

2



x 0 y ? xy 0 2

代 x y ,用

x0 ? x 2

代 x ,用
x0 ? x 2

y0 ? y 2

代 y 即得方程
y0 ? y 2 ? F ? 0 ,曲线的切线,切点弦,中点

A x0 x ? B ?

x 0 y ? xy 0 2

? C y0 y ? D ?

?E?

弦,弦中点方程均是此方程得到. 109.证明直线与直线的平行的思考途径 (1)转化为判定共面二直线无交点; (2)转化为二直线同与第三条直线平行; (3)转化为线面平行; (4)转化为线面垂直; (5)转化为面面平行. 110.证明直线与平面的平行的思考途径 (1)转化为直线与平面无公共点; (2)转化为线线平行; (3)转化为面面平行. 111.证明平面与平面平行的思考途径 (1)转化为判定二平面无公共点; (2)转化为线面平行; (3)转化为线面垂直. 112.证明直线与直线的垂直的思考途径

(1)转化为相交垂直; (2)转化为线面垂直; (3)转化为线与另一线的射影垂直; (4)转化为线与形成射影的斜线垂直. 113.证明直线与平面垂直的思考途径 (1)转化为该直线与平面内任一直线垂直; (2)转化为该直线与平面内相交二直线垂直; (3)转化为该直线与平面的一条垂线平行; (4)转化为该直线垂直于另一个平行平面; (5)转化为该直线与两个垂直平面的交线垂直. 114.证明平面与平面的垂直的思考途径 (1)转化为判断二面角是直二面角; (2)转化为线面垂直. 115.空间向量的加法与数乘向量运算的运算律 (1)加法交换律:a+b=b+a. (2)加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c). (3)数乘分配律:λ (a+b)=λ a+λ b. 116.平面向量加法的平行四边形法则向空间的推广 始点相同且不在同一个平面内的三个向量之和, 等于以这三个向量为棱的平行六面体的 以公共始点为始点的对角线所表示的向量. 117.共线向量定理 对空间任意两个向量 a、b(b≠0 ),a∥b ? 存在实数λ 使 a=λ b.
??? ? ??? ? P、 A、 B 三点共线 ? A P || A B ? A P ? t A B ? ???? ??? ? A B || C D ? A B 、 C D 共线且 A B、 C D 不共线 ?
??? ? ??? ? ??? ? O P ? (1 ? t ) O A ? t O B . ??? ? ???? A B ? t C D 且 A B、 C D 不共线.

118.共面向量定理 向量 p 与两个不共线的向量 a、b 共面的 ? 存在实数对 x , y ,使 p ? a x ? b y .
???? ????

推论 空间一点 P 位于平面 MAB 内的 ? 存在有序实数对 x , y ,使 M P ? x M A ? y M B , 或对空间任一定点 O,有序实数对 x , y ,使 O P ? O M ? x M A ? y M B .
??? ? ??? ? ???? ? ???? ????

????

119. 对 空 间 任 一 点 O 和 不 共 线 的 三 点 A 、 B 、 C , 满 足 O P ? xO A ? y O B ? z O C

??? ?

??? ?

????

(x? y ? z ? k ) ,则当 k ? 1 时,对于空间任一点 O ,总有 P、A、B、C 四点共面;当 k ? 1 时,若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点共面;若 O ? 平面 ABC,则 P、A、B、C 四点不共 面.
???? ???? ??? ? ???? ??? ? ???? A、 B、 、 D 四点共面 ? A D 与 A B 、 A C 共面 ? A D ? x A B ? y A C ? C ???? ??? ? ??? ? ???? O D ? (1 ? x ? y ) O A ? x O B ? y O C ( O ? 平面 ABC).

120.空间向量基本定理 如果三个向量 a、b、c 不共面,那么对空间任一向量 p,存在一个唯一的有序实数组 x, y,z,使 p=xa+yb+zc. 推论 设 O、A、B、C 是不共面的四点,则对空间任一点 P,都存在唯一的三个有序实 数 x,y,z,使 O P ? xO A ? y O B ? z O C . 121.射影公式 已知向量 A B =a 和轴 l ,e 是 l 上与 l 同方向的单位向量.作 A 点在 l 上的射影 A ,作 B
'

??? ?

??? ?

??? ?

????

??? ?

点在 l 上的射影 B ,则

'

??? ? ' ' A B ? | A B | co s 〈a,e〉=a·e

122.向量的直角坐标运算 设 a= ( a1 , a 2 , a 3 ) ,b= ( b1 , b 2 , b3 ) 则 (1)a+b= ( a1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b3 ) ;

(2)a-b= ( a1 ? b1 , a 2 ? b 2 , a 3 ? b3 ) ; (3)λ a= ( ? a1 , ? a 2 , ? a 3 ) (λ ∈R); (4)a·b= a1b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b3 ; 123.设 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则 124.空间的线线平行或垂直 设 a ? ( x1 , y1 , z1 ) , b ? ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则
? x1 ? ? x 2 r r r r r r ? a P b ? a ? ? b ( b ? 0) ? ? y 1 ? ? y 2 ; ?z ? ?z 2 ? 1 r r r r a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x 2 ? y 1 y 2 ? z 1 z 2 ? 0 .
r r
??? ? ??? ??? ? ? A B ? O B ? O A = ( x 2 ? x1 , y 2 ? y 1 , z 2 ? z 1 ) .

125.夹角公式 设 a= ( a1 , a 2 , a 3 ) ,b= ( b1 , b 2 , b3 ) ,则 cos〈a,b〉=
2

a 1 b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b 3 a1 ? a 2 ? a 3
2
2

.
2
2 2 2 2

2

b1 ? b 2 ? b 3
2 2
2 2

推论 ( a1b1 ? a 2 b 2 ? a 3 b3 ) ? ( a1 ? a 2 ? a 3 )( b1 ? b 2 ? b3 ) ,此即三维柯西不等式. 126. 四面体的对棱所成的角 四面体 A B C D 中, A C 与 B D 所成的角为 ? ,则
co s ? ? | ( AB ? CD ) ? (BC ? DA ) |
2 2 2 2

2 AC ? BD

.

127.异面直线所成角

r r co s ? ? | co s a , b | r r | x1 x 2 ? y 1 y 2 ? z 1 z 2 | | a ?b | r ? = r 2 2 2 2 2 2 | a |?|b | x1 ? y 1 ? z 1 ? x 2 ? y 2 ? z 2
o o

(其中 ? ( 0 ? ? ? 9 0 )为异面直线 a ,b 所成角, a , b 分别表示异面直线 a ,b 的方向向量)
??? ?? ? ?? AB ? m ? ? ? a rc sin ??? ?? ( m 为平面 ? 的法向量). | A B || m |

r r

128.直线 A B 与平面所成角

129.若 ? A B C 所在平面若 ? 与过若 A B 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 A C , B C 与平面
? 成的角分别是 ? 1 、 ? 2 , A、 B 为 ? A B C 的两个内角,则
sin ? 1 ? sin ? 2 ? (sin A ? sin B ) sin ? .
2 2 2
?

2

2

特别地,当 ? A C B ? 90 时,有
sin ? 1 ? sin ? 2 ? sin ? .
2 2 2

130.若 ? A B C 所在平面若 ? 与过若 A B 的平面 ? 成的角 ? ,另两边 A C , B C 与平面 ? 成的角分别是 ? 1 、 ? 2 , A 、 B 为 ? A B O 的两个内角,则
' '

tan ? 1 ? tan ? 2 ? (sin A ? sin B ) tan ? .
2 2 2 ' 2 ' 2

特别地,当 ? A O B ? 90 时,有

?

sin ? 1 ? sin ? 2 ? sin ? .
2 2 2

131.二面角 ? ? l ? ? 的平面角

?? ? ?? ? ?? ? m ?n m ?n ? ? a rc co s ?? ? 或 ? ? a rc co s ?? ? ( m , n 为平面 ? , ? 的法向量). | m || n | | m || n |

132.三余弦定理 设 AC 是α 内的任一条直线,且 BC⊥AC,垂足为 C,又设 AO 与 AB 所成的角为 ? 1 ,AB 与 AC 所成的角为 ? 2 ,AO 与 AC 所成的角为 ? .则 co s ? ? co s ? 1 co s ? 2 . 133. 三射线定理 若夹在平面角为 ? 的二面角间的线段与二面角的两个半平面所成的角是 ? 1 , ? 2 ,与二面 角的棱所成的角是θ ,则有 sin ? sin ? ? sin ? 1 ? sin ? 2 ? 2 sin ? 1 sin ? 2 co s ? ;
2 2 2 2

| ? 1 ? ? 2 |? ? ? 1 8 0 ? (? 1 ? ? 2 ) (当且仅当 ? ? 9 0 时等号成立).
?
?

134.空间两点间的距离公式 若 A ( x1 , y1 , z1 ) ,B ( x 2 , y 2 , z 2 ) ,则
??? ? d A , B = | A B |? ??? ??? ? ? AB ? AB ?

( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y 1 ) ? ( z 2 ? z 1 ) .
2 2 2

135.点 Q 到直线 l 距离
h ?
???? b= P Q ).

1 |a|

(| a || b |) ? ( a ? b )
2

2

( 点 P 在 直 线 l 上 , 直 线 l 的 方 向 向 量 a= P A , 向 量

??? ?

136.异面直线间的距离

???? ?? ? ? | CD ?n | ? d ? ( l1 , l 2 是两异面直线, 其公垂向量为 n ,C 、 D 分别是 l1 , l 2 上任一点,d 为 |n|

l1 , l 2 间的距离).

137.点 B 到平面 ? 的距离

??? ?? ? ? ? | AB ? n | ? d ? ( n 为平面 ? 的法向量, A B 是经过面 ? 的一条斜线, A ? ? ). |n|

138.异面直线上两点距离公式
d ?
d ?
d ?

h ? m ? n ? 2 m n co s ? . ???? ???? 2 2 2 ' h ? m ? n ? 2 m n co s E A , A F .
2 2 2

h ? m ? n ? 2 m n co s ? ( ? ? E ? A A ? F ).
2 2 2

'

(两条异面直线 a、b 所成的角为θ ,其公垂线段 A A 的长度为 h.在直线 a、b 上分别取两 点 E、F, A E ? m , A F ? n , E F ? d ). 139.三个向量和的平方公式
'

'

? ? ? ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? 2 ( a ? b ? c ) ? a ? b ? c ? 2 a ? b ? 2b ? c ? 2c ? a ?2 ?2 ?2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? a ? b ? c ? 2 | a | ? | b | co s a , b ? 2 | b | ? | c | co s b , c ? 2 | c | ? | a | co s c , a

140. 长度为 l 的线段在三条两两互相垂直的直线上的射影长分别为 l1、 l 2、 l 3 ,夹角分 别为 ? 1、 ? 2、 ? 3 ,则有
l ? l1 ? l 2 ? l 3 ? cos ? 1 ? cos ? 2 ? cos ? 3 ? 1 ? sin ? 1 ? sin ? 2 ? sin ? 3 ? 2 .
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

(立体几何中长方体对角线长的公式是其特例). 141. 面积射影定理

S ?

S

'

co s ?

.
'

(平面多边形及其射影的面积分别是 S 、 S ,它们所在平面所成锐二面角的为 ? ). 142. 斜棱柱的直截面 已知斜棱柱的侧棱长是 l ,侧面积和体积分别是 S 斜 棱 柱 侧 和 V 斜 棱 柱 ,它的直截面的周长和 面积分别是 c 1 和 S 1 ,则 ① S 斜 棱 柱 侧 ? c1 l . ② V 斜 棱 柱 ? S 1l . 143.作截面的依据 三个平面两两相交,有三条交线,则这三条交线交于一点或互相平行. 144.棱锥的平行截面的性质 如果棱锥被平行于底面的平面所截, 那么所得的截面与底面相似, 截面面积与底面面积 的比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比 (对应角相等, 对应边对应成比例的多边形是相 似多边形,相似多边形面积的比等于对应边的比的平方) ;相应小棱锥与小棱锥的侧面积的 比等于顶点到截面距离与棱锥高的平方比. 145.欧拉定理(欧拉公式) V ? F ? E ? 2 (简单多面体的顶点数 V、棱数 E 和面数 F). (1) E =各面多边形边数和的一半.特别地,若每个面的边数为 n 的多边形,则面数 F 与棱数 E 的关系: E ?
1 2 nF ; 1 2 mV .

(2)若每个顶点引出的棱数为 m ,则顶点数 V 与棱数 E 的关系: E ? 146.球的半径是 R,则 其体积 V ?
4 3

?R ,
3
2

其表面积 S ? 4? R . 147.球的组合体 (1)球与长方体的组合体: 长方体的外接球的直径是长方体的体对角线长. (2)球与正方体的组合体: 正方体的内切球的直径是正方体的棱长, 正方体的棱切球的直径是正方体的面对角线 长, 正方体的外接球的直径是正方体的体对角线长. (3) 球与正四面体的组合体: 棱长为 a 的正四面体的内切球的半径为 148.柱体、锥体的体积
V柱 体 ? V锥 体 ? 1 3 1 3 S h ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). S h ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高).

6 12

a ,外接球的半径为

6 4

a.

149.分类计数原理(加法原理) N ? m1 ? m 2 ? ? ? m n . 150.分步计数原理(乘法原理) N ? m1 ? m 2 ? ? ? m n . 151.排列数公式

A n = n ( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) =
m

n!

( n ? m )!

.( n , m ∈N ,且 m ? n ).

*

注:规定 0! ? 1 . 152.排列恒等式 (1) An ? ( n ? m ? 1) An
m m ?1

;

(2) A n ?
m

n n?m
m ?1 n ?1

An ?1 ;

m

(3) A n ? n A n ? 1 ;
m

(4) n An ? An ? 1 ? An ;
n n

(5) An ? 1 ? An ? m An
m m

m ?1

.

(6) 1!? 2 ? 2 !? 3 ? 3!? ? ? n ? n ! ? ( n ? 1) !? 1 . 153.组合数公式
Cn =
m

An

m m

=

n ( n ? 1) ? ( n ? m ? 1) 1? 2 ?? ? m
n?m m ?1

=

n!

Am
m

m ! ( n ? m )! ?

( n ∈N , m ? N ,且 m ? n ).

*

154.组合数的两个性质 (1) C n = C n
m

; = C n ?1 .
m

(2) C n + C n
0

注:规定 C n ? 1 . 155.组合恒等式 (1) C n ?
m

n ? m ?1 m n
m

Cn

m ?1

;

(2) C n ?
m

(3) C n

m

n?m n m ?1 ? C n ?1 ; m
r

C n ?1 ;

(4) ? C n = 2 ;
n
r?0
r

n

(5) C r ? C r ? 1 ? C r ? 2 ? ? ? C n ? C n ? 1 .
r r r

r ?1

(6) C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? ? ? C n ? 2 .
0 1 2 r n n

(7) C n ? C n ? C n ? ? ? C n ? C n ? C n ? ? 2
1 3 5 0 2 4

n ?1

.

(8) C n ? 2 C n ? 3 C n ? ? ? nC n ? n 2
1 2 3 n r 0 r ?1 1 0r r

n ?1

.

(9) C m C n ? C m C n ? ? ? C m C n ? C m ? n .
r

(10) ( C n ) ? ( C n ) ? ( C n ) ? ? ? ( C n ) ? C 2 n .
0 2 1 2 2 2 n 2 n

156.排列数与组合数的关系
A n ? m! C n ?
m m

.

157.单条件排列 以下各条的大前提是从 n 个元素中取 m 个元素的排列. (1) “在位”与“不在位”

①某(特)元必在某位有 A n ? 1 种;②某(特)元不在某位有 An ? An ? 1 (补集思想)
m

m ?1

m ?1

? A n ? 1 A n ? 1 (着眼位置) ? A n ? 1 ? A m ? 1 A n ? 1 (着眼元素)种.
1 m 1

m ?1

m ?1

(2)紧贴与插空(即相邻与不相邻) ①定位紧贴: k ( k ? m ? n ) 个元在固定位的排列有 Ak An ? k 种.
k m?k

②浮动紧贴: n 个元素的全排列把 k 个元排在一起的排法有 A n ? k ? 1 A k 种.注:此类问题 常用捆绑法; ③插空:两组元素分别有 k、h 个( k ? h ? 1 ) ,把它们合在一起来作全排列,k 个的一 组互不能挨近的所有排列数有 Ah Ah ? 1 种. (3)两组元素各相同的插空 m 个大球 n 个小球排成一列,小球必分开,问有多少种排法? 当 n ? m ? 1 时,无解;当 n ? m ? 1 时,有
A m ?1 A
n n n
h k

n ? k ?1

k

? C m ? 1 种排法.
n
n

(4) 两组相同元素的排列: 两组元素有 m 个和 n 个, 各组元素分别相同的排列数为 C m ? n . 158.分配问题 (1)(平均分组有归属问题)将相异的 m 、 n 个物件等分给 m 个人,各得 n 件,其分配 方法数共有 N ? C mn ? C mn ? n ? C mn ? 2 n ? ? ? C 2 n ? C n ?
n n n n n

( mn )! ( n! )
m

.

(2)(平均分组无归属问题)将相异的 m 分配方法数共有
N ? C mn ? C mn ? n ? C mn ? 2 n ... ? C 2 n ? C n
n n n n n

·n

个物体等分为无记号或无顺序的 m 堆,其

?

( mn )! m ! ( n! )
m

.

m!

(3)(非平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n 1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分给 m 个人,物件 必须被分完,分别得到 n 1 , n 2 ,?, n m 件,且 n 1 , n 2 ,?, n m 这 m 个数彼此不相等,则
n n 其分配方法数共有 N ? C p ? C p ? n ... C nn ? m ! ?
1 2 m 1 m

p! m ! n1 ! n 2 !... n m !

.

(4)(非完全平均分组有归属问题)将相异的 P(P=n 1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分给 m 个人, 物件必须被分完,分别得到 n 1 , n 2 ,?, n m 件,且 n 1 , n 2 ,?, n m 这 m 个数中分别有 a、 b、c、?个相等,则其分配方法数有 N ?
C p 1 ? C p 2? n 1 ... C n mm ? m !
n n n

?

p !m ! n1 ! n 2 !...n m !( a ! b ! c !...)

.

a ! b ! c !...

(5)(非平均分组无归属问题)将相异的 P ( P = n1 + n2 +? + nm ) 个物体分为任意的 n 1 ,
n 2 ,?, n m 件无记号的 m 堆,且 n 1 , n 2 ,?, n m 这 m 个数彼此不相等,则其分配方法数
p! n1 ! n 2 !... n m !

有N ?

.

(6) (非完全平均分组无归属问题)将相异的 P(P=n 1 +n 2 + ? +n m ) 个物体分为任意的 n 1 ,
n 2 ,?, n m 件无记号的 m 堆,且 n 1 , n 2 ,?, n m 这 m 个数中分别有 a、b、c、?个相等,
p! n1 ! n 2 !... n m ! ( a ! b ! c !...)

则其分配方法数有 N ?

.

(7) (限定分组有归属问题)将相异的 p( p ? n1 + n 2 + ? + n m ) 个物体分给甲、 丙, 乙、 ?? 等 m 个人,物体必须被分完,如果指定甲得 n 1 件,乙得 n 2 件,丙得 n 3 件,?时,则无论 n 1 ,
n 2 ,?, n m 等 m 个数是否全相异或不全相异其分配方法数恒有

m N ? C p 1 ? C p 2? n 1 ... C n m ?

n

n

n

p! n1 ! n 2 !... n m !

.

159. “错位问题”及其推广 贝努利装错笺问题:信 n 封信与 n 个信封全部错位的组合数为
f ( n ) ? n ![ 1 2! ? 1 3! ? 1 4! ? ? ? ( ? 1)
n

1 n!

].

推广: n 个元素与 n 个位置,其中至少有 m 个元素错位的不同组合总数为
f ( n , m ) ? n !? C m ( n ? 1) !? C m ( n ? 2 ) !? C m ( n ? 3) !? C m ( n ? 4 ) !
1 2 3 4

? ? ? ( ? 1) C m ( n ? p ) !? ? ? ( ? 1) C m ( n ? m ) !
p p m m

? n ![1 ?

Cm An
1

1

?

Cm An
2

2

?

Cm An
2

3

?

Cm An
4

4

? ? ? ( ? 1)

p

Cm An

p

p

? ? ? ( ? 1)

m

Cm An

m

m

].

160.不定方程 x1 + x 2 + ? + x n ? m 的解的个数 (1)方程 x1 + x 2 + ? + x n ? m ( n , m ? N )的正整数解有 C
? ?

n ?1
m ?1

个.
n ?1
n ? m ?1

? (2) 方程 x1 + x 2 + ? + x n ? m ( n , m ? N )的非负整数解有 C

个.
?

(3) 方程 x1 + x 2 + ? + xn ? m ( n , m ? N )满足条件 x i ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 ) 的非负整数解有 C
n ?1
m ?1

? ( n ? 2 )( k ? 1)

个.
?
?

(4) 方程 x1 + x 2 + ? + xn ? m ( n , m ? N )满足条件 x i ? k ( k ? N , 2 ? i ? n ? 1 ) 的正整数解有 C
(a ? b)
n
n ?1
n ? m ?1

?C
0

1
n?2

C

n ?1
m?n?k ?2

?C

2
n?2

C
2

n ?1
m ? n ? 2 k ?3

? ? ? ( ? 1)
2 r

n?2

C

n?2
n?2

C

n ?1
m ?1 ? ( n ? 2 ) k

个.
n n

161.二项式定理
? Cna
r n?r n

? Cna
1

n ?1

b ? Cn a

n?2

b ? ? ? Cna

n?r

b ? ? ? Cnb
r

;

二项展开式的通项公式
T r ?1 ? C n a b ( r ? 0, 2 ? , n ) . 1,
r

162.等可能性事件的概率
P ( A) ? m n

.

163.互斥事件 A,B 分别发生的概率的和 P(A+B)=P(A)+P(B). 164. n 个互斥事件分别发生的概率的和 P(A1+A2+?+An)=P(A1)+P(A2)+?+P(An). 165.独立事件 A,B 同时发生的概率 P(A·B)= P(A)·P(B). 166.n 个独立事件同时发生的概率 P(A1· A2·?· An)=P(A1)· P(A2)·?· P(An). 167.n 次独立重复试验中某事件恰好发生 k 次的概率
Pn ( k ) ? C n P (1 ? P )
k k n?k

.

168.离散型随机变量的分布列的两个性质 (1) Pi ? 0 ( i ? 1, 2, ? ) ; (2) P1 ? P2 ? ? ? 1 . 169.数学期望 E ? ? x1 P1 ? x 2 P2 ? ? ? x n Pn ? ?

170.数学期望的性质 (1) E ( a? ? b ) ? aE (? ) ? b . (2)若 ? ~ B ( n , p ) ,则 E ? ? np . (3) 若 ? 服从几何分布,且 P (? ? k ) ? g ( k , p ) ? q 171.方差
D ? ? ? x1 ? E ?
k ?1

p ,则 E ? ?

1 p

.

?

2

? p1 ? ? x 2 ? E ?

?

2

? p2 ? ? ? ? xn ? E?

?

2

? pn ? ?

172.标准差
?? =
D? .
2

173.方差的性质 (1) D ? a? ? b ? ? a D ? ; (2)若 ? ~ B ( n , p ) ,则 D ? ? np (1 ? p ) .
(3) 若 ? 服从几何分布,且 P (? ? k ) ? g ( k , p ) ? q
k ?1

p ,则 D ? ?

q p
2

.

174.方差与期望的关系
D? ? E? ? ? E?
2

? .
2

175.正态分布密度函数
f

?x? ?

1 2? 6

?

?x?? ?
26
2

2

e

, x ? ? ? ? , ? ? ? ,式中的实数μ , ? ( ? >0)是参数,分别表

示个体的平均数与标准差. 176.标准正态分布密度函数
f

?x? ?

1 2? 6

?

x

2

e
2

2

, x ? ? ?? , ?? ? .

177.对于 N ( ? , ? ) ,取值小于 x 的概率
? x?? ? F ?x? ? ? ? ?. ? ? ?

P ? x1 ? x 0 ? x 2 ? ? P ? x ? x 2 ? ? P ? x ? x1 ?

? F ? x 2 ? ? F ? x1 ?
? x ?? ? ? x1 ? ? ? ??? 2 ???? ?. ? ? ? ? ? ?

178.回归直线方程
n ? ? ? xi ? x ? ? y i ? y ? ? i ?1 ? ? n ? ? a ? bx ,其中 b ? y 2 ? ? ? xi ? x ? ? i ?1 ? ?a ? y ? bx

?

n

xi y i ? n x y xi ? n x
2 2

i ?1 n

?

.

i ?1

179.相关系数

? ?x
r ?
n i ?1

n

i

? x ? ? yi ? y ? ?
2

? ?x
i ?1 n 2 2 i ?1

n

i

? x ? ? yi ? y ?

.
n 2 2 2 i ?1

? (x
i ?1

i

? x)

? (y
i ?1

n

i

? y)

( ? x i ? n x )( ? y i ? n y )

|r|≤1,且|r|越接近于 1,相关程度越大;|r|越接近于 0,相关程度越小. 180.特殊数列的极限
?0 ? (1) lim q ? ?1 n? ? ? ?不 存 在
n

| q |? 1 q ?1 | q |? 1或 q ? ? 1

.

(2) lim

a k n ? a k ?1 n
k

k ?1

n? ?

bt n ? bt ? 1 n
t

t ?1

?0 ? ? ? ? a0 ?a ? ? t ? ? ? b0 ? bk ?不 存 在 ?
? a1 1? q

(k ? t ) (k ? t) . (k ? t )

(3) S ? lim

a1 1 ? q n 1? q

?

?

n? ?

( S 无穷等比数列 a 1 q

?

n ?1

?

( | q |? 1 )的和).

181. 函数的极限定理
x ? x0

lim f ( x ) ? a ? lim ? f ( x ) ? lim ? f ( x ) ? a .
x ? x0 x ? x0

182.函数的夹逼性定理 如果函数 f(x),g(x),h(x)在点 x0 的附近满足: (1) g ( x ) ? f ( x ) ? h ( x ) ; (2) lim g ( x ) ? a , lim h ( x ) ? a (常数),
x ? x0 x ? x0

则 lim f ( x ) ? a .
x ? x0

本定理对于单侧极限和 x ? ? 的情况仍然成立. 183.几个常用极限 (1) lim
1 n
n? ?

? 0 , lim a ? 0 ( | a |? 1 ) ;
n n? ?

(2) lim x ? x 0 , lim
x ? x0

1 x

x ? x0

?

1 x0

.

184.两个重要的极限 (1) lim
sin x x
x

x? 0

?1;

1? ? (2) lim ? 1 ? ? ? e (e=2.718281845?). x? ? x? ?

185.函数极限的四则运算法则 若 lim f ( x ) ? a , lim g ( x ) ? b ,则
x ? x0 x ? x0

(1) lim ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? a ? b ; ? ?
x ? x0

(2) lim ? f ? x ? ? g ? x ? ? ? a ? b ; ? ?
x ? x0

(3) lim

x ? x0

?x? g ?x?
f

?

a b

?b

? 0? .

186.数列极限的四则运算法则 若 lim a n ? a , lim b n ? b ,则
n? ? n? ?

(1) lim ? a n ? b n ? ? a ? b ;
n? ?

(2) lim ? a n ? b n ? ? a ? b ;
n? ?

(3) lim

an bn

n? ?

?

a b

?b

? 0?

(4) lim ? c ? a n ? ? lim c ? lim a n ? c ? a ( c 是常数).
n? ? n? ? n? ?

187. f ( x ) 在 x 0 处的导数(或变化率或微商)
f ?( x 0 ) ? y ?
x ? x0

? lim

?y ?x

?x? 0

? lim

f ( x0 ? ? x ) ? f ( x0 ) ?x

?x? 0

.

188.瞬时速度
? ? s ? ( t ) ? lim
?s ?t ?v
?t ? 0

? lim

s (t ? ? t ) ? s (t ) ?t v (t ? ? t ) ? v (t ) ?t ?y ?x

?t ? 0

.

189.瞬时加速度
a ? v ? ( t ) ? lim
?t ? 0 ?t 190. f ( x ) 在 ( a , b ) 的导数 ?t ? 0

? lim

.

f ?( x ) ? y ? ?

dy dx

?

df dx

? lim

?x ? 0

? lim

f (x ? ?x) ? f (x) ?x

?x? 0

.

191. 函数 y ? f ( x ) 在点 x 0 处的导数的几何意义 函 数 y ? f ( x ) 在 点 x 0 处 的 导 数 是 曲 线 y ? f ( x ) 在 P ( x 0 , f ( x 0 )) 处 的 切 线 的 斜 率
f ? ( x 0 ) ,相应的切线方程是 y ? y 0 ? f ? ( x 0 )( x ? x 0 ) .

192.几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2) ( x n ) ? nx
' n ?1

(n ? Q ) .

(3) (sin x ) ? ? cos x . (4) (cos x ) ? ? ? sin x . (5) (ln x ) ? ?
x

1 x
x

; (log a ) ? ?
x

1 x

log

e a

.

(6) ( e ) ? ? e ; ( a ) ? ? a ln a . 193.导数的运算法则
x x

(1) ( u ? v ) ? u ? v .
' ' '

(2) ( u v ) ? u v ? u v .
' ' '

(3) ( ) ?
'

u

u v ? uv
'

'

v

v

2

(v ? 0) .

194.复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x ) 在点 x 处有导数 u x ? ? ( x ) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有
' '

导 数 y u ? f ( u ) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x ) ) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 y x ? y u ? u x , 或 写 作
' ' ' ' '

f x (? ( x )) ? f ( u )? ( x ) .
' ' '

195.常用的近似计算公式(当 x 充小时) (1) 1 ? x ? 1 ?
?

1 2

x; 1? x ?1?
n

1 n 1

x;
?1? x;

(2) (1 ? x ) ? 1 ? ? x (? ? R ) ;

1? x

(3) e ? 1 ? x ; (4) l n (1 ? x ) ? x ;
x

(5) sin x ? x ( x 为弧度) ; (6) tan x ? x ( x 为弧度) ; (7) arctan x ? x ( x 为弧度) 196.判别 f ( x 0 ) 是极大(小)值的方法 当函数 f ( x ) 在点 x 0 处连续时, (1)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x ) ? 0 ,右侧 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x 0 ) 是极大值; (2)如果在 x 0 附近的左侧 f ?( x ) ? 0 ,右侧 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x 0 ) 是极小值. 197.复数的相等
a ? bi ? c ? di ? a ? c , b ? d .( a , b , c , d ? R )

198.复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值)
| z | = | a ? bi | =

a ?b .
2 2

199.复数的四则运算法则 (1) ( a ? bi ) ? ( c ? di ) ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i ; (2) ( a ? bi ) ? ( c ? di ) ? ( a ? c ) ? ( b ? d ) i ; (3) ( a ? bi )( c ? di ) ? ( ac ? bd ) ? ( bc ? ad ) i ; (4) ( a ? b i ) ? ( c ? d i ) ?
ac ? bd c ?d
2 2

?

bc ? ad c ?d
2 2

i(c ? di ? 0) .

200.复数的乘法的运算律 对于任何 z1 , z 2 , z 3 ? C ,有 交换律: z1 ? z 2 ? z 2 ? z1 . 结合律: ( z1 ? z 2 ) ? z 3 ? z1 ? ( z 2 ? z 3 ) . 分配律: z1 ? ( z 2 ? z 3 ) ? z1 ? z 2 ? z1 ? z 3 . 201.复平面上的两点间的距离公式
d ? | z1 ? z 2 |? ( x 2 ? x1 ) ? ( y 2 ? y1 ) ( z1 ? x1 ? y1i , z 2 ? x 2 ? y 2 i ).
2 2

202.向量的垂直

非零复数 z1 ? a ? bi , z 2 ? c ? d i 对应的向量分别是 O Z 1 , O Z 2 ,则
???? ? ???? ? z 2 2 2 O Z 1 ? O Z 2 ? z 1 ? z 2 的实部为零 ? 2 为纯虚数 ? | z1 ? z 2 | ? | z1 | ? | z 2 | z1
? | z1 ? z 2 | ? | z1 | ? | z 2 | ? | z1 ? z 2 |? | z1 ? z 2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ? iz 2 (λ 为非
2 2 2

???? ?

???? ?

零实数). 203.实系数一元二次方程的解 实系数一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0 ,
2 2 ①若 ? ? b ? 4 ac ? 0 ,则 x1, 2 ?

?b ?

b ? 4ac
2

;

②若 ? ? b ? 4 ac ? 0 ,则 x1 ? x 2 ? ?
2 2

2a b
2a

;

③若 ? ? b ? 4 ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭 复数根 x ?
?b ? ? (b ? 4 a c )i
2

(b ? 4 a c ? 0 ) .
2

2a


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