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一元二次不等式及其解法 教学设计


《一元二次不等式及其解法(第 1 课时) 》教学设计
Eric



内容分析
本节课内容的地位体现在它的基础性,作用体现在它的工具性。一元二次不等式的解

法是初中一元一次不等式或一元一次不等式组的延续和深化,对已学习过的集合知识的巩 固和运用具有重要的作用,也与后面的函数、数列、三角函数、线形规划、直线与圆锥曲 线以及导数等内容密切相关。许多问题的解决都会借助一元二次不等式的解法。因此,一 元二次不等式的解法在整个高中数学教学中具有很强的基础性,体现出很大的工具作用。



学情分析
学生已经掌握了高中所学的基本初等函数的图象及其性质, 能利用函数的图象及其性

质解决一些问题。学生知道不等关系, 掌握了不等式的性质, 通过这部分内容的学习, 学生 将学会利用二次函数的图象, 通过数形结合的思想, 掌握一元二次不等式的解法。



教学目标
(1)熟练应用二次函数图象解一元二次不等式的方法 (2)了解一元二次不等式与相应函数, 方程的联系

1. 知识与技能目标:

2. 过程与方法: (1)通过学生已学过的一元一次不等式为例引入一元二次不等式的有关概及解法 (2)让学生观察二次函数,在此基础上, 找到一元二次不等式的解法并掌握此解法 (3)在学生寻找一元二次不等式的过中程中培养学生数形结合的数学思想 3. 情感与价值目标: (1)通过新旧知识的联系获取新知,使学生体会温故而知新的道理 (2)通过对解不等式过程中等与不等对立统一关系的认识,向学生逐步渗透辨证唯物 主义思想。 (3)在教师的启发引导下,学生自主探究,交流讨论,培养学生的合作意识和创新精 神。



教学重点、难点

1. 重点 一元二次不等式的解法 2. 难点 理解元二次方程与一元二次不等式解集的关系



教学方法
启发式教学法,讨论法,讲授法



教学过程
1. 创设情景,提出问题(约 10 分钟) 师:在初中,我们解过一元一次不等式,如解不等式 x – 1 > 0,现在请同学们先画出

函数 y = x – 1 的图象,并通过观察图象回答以下问题: 1)x 为何值时, y = 0; 2)x 为何值时, y > 0; 3)x 为何值时, y < 0; 4)一元一次方程 x – 1 = 0 的根能从函数 y = x – 1 上看出来吗? 5)一元一次不等式 x – 1 > 0 的解集能从函数 y = x – 1 上看出来吗? 学生画图,思考。先把问题交给学生自主探究,过一段时间,再小组交流,此间教师 巡视并指导。提问学生代表。 通过对上述问题的探究,学生得出以下结论: 因为上述方程 x – 1 = 0 以及不等式 x – 1 > 0 的左边恰好是上述函数 y = x - 1 的表达式, 由函数的图象可知: 方程 x – 1 = 0 的根就是使函数 y = x – 1 的值为零时对应的 x 的集合,即函数 y = x – 1 图 象与 x 轴交点的横坐标; 不等式 x – 1 > 0 的解集就是使函数 y = x – 1 的值为正值时对应的 x 的集合, 就是函数 y = x – 1 的图象在 x 轴上方部分对应的 x 的集合。 类似地, 不等式 x – 1 < 0 的解集就是使函数 y = x – 1 的值为负值时对应的 x 的集合, 即函数 y = x – 1 的图象在 x 轴下方部分对应的 x 的集合。 【设计意图:为一元二次不等式的图象法求解作铺垫。 】 2. 师生互动,探究新知(约 15 分钟) (1)引入一元二次函数的定义。 师:我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,叫做一元二次

不等式。例如 x2 – x – 6 > 0. (2)通过一个具体的例子探究一元二次不等式的解法与三个“二次”的关系。 师:我们还学过一元二次方程的解法以及二次函数,请同学们画出 y = x2 – x – 6,解出 x2 – x – 6 = 0 的解,然后回答以下问题: 1)x 为何值时, y = 0; 2)x 为何值时, y > 0; 3)x 为何值时, y < 0; 4)一元二次方程 x2 – x – 6 = 0 的根能从函数 y = x2 – x – 6 上看出来吗? 5)一元二次不等式 x2 – x – 6 > 0 的解集能从函数 y = x2 – x – 6 上看出来吗? 教师组织学生展开讨论。巡视,指导。在充分讨论的基础上学生展示结果。教师并对 结果进行归纳: 1)当 x = -2 或 x = 3 时,y = 0. 即 x2 – x – 6 = 0; 2)当 x < -2 或 x > 3 时,y > 0. 即 x2 – x – 6 > 0 3)当-2 < x < 3 时,y < 0. 即 x2 – x – 6 < 0 4)方程 x2 – x – 6 = 0 的根就是函数 y = x2 – x – 6 图象与 x 轴交点的横坐标的集合。 5)不等式 x2 – x – 6 > 0 的解集就是函数 x2 – x – 6 = 0 图象在 x 轴上方部分对应的横坐 标的集合。类似地,不等式 x2 – x – 6 < 0 的解集就是是函数 x2 – x – 6 = 0 图象在 x 轴下方部分对应的横坐标的集合。 【设计意图:探究一元二次不等式的解法及三个“二次”的关系。 】 (3)归纳出一般的一元二次不等式 y = ax2 + bx + c (a > 0)的图象解法。 根据上面的结果,师生共同归纳出结论,并完成课本 77 页的表格。 师:我们上面研究的二次函数的图象与 x 轴有两个不相等的交点,判别式大于零。对 于一般的二次函数 y = ax2 + bx + c (a > 0)来说,还有没有其它的情况?请同学们先自 己试着填写课本 77 页的表格。

师:由上图可知,求解一元二次不等式的一般步骤为: 1) 标准化:将不等式化成一般形式 ax2 + bx + c > 0, 或 ax2 + bx + c < 0 (a > 0) (右边为 0、最高次的系数为正) ; 2)考虑判别式:由判别式判定相应的一元二次方程 ax2 + bx + c = 0 的解的情况,计 算判别式的值,若值为非负,则求出相应方程的两根; 3)下结论:根据上述一元二次方程根的情况写出原不等式的解集。 3. 巩固训练,提升总结(约 15 分钟) 师:请同学们根据上面总结的结论,试着解下列不等式: 分钟) (7 1)2x2 - 3x – 2 > 0; 2)4x2 - 4x + 1 > 0; 3)-x2 + 2x – 3 < 0; 在学生求解的基础上,教师进行归纳,给出规范性的求解过程: 1)因为Δ = (- 3)2 – 4×2×(- 2) = 25 > 0, 方程的 2x2 - 3x – 2 = 0 的解是 x1 = -1/2, x2 = 2. 所以 2x2 - 3x – 2 > 0 的解集是{x| x < -1/2, 或 x > 2}. 2)因为Δ = 0,方程 4x2 - 4x + 1 = 0 的解是 x1 = x2 = 1/2, 所以不等式 4x2 - 4x + 1 > 0 的解集是{x|x ≠ 1/2}.

3) 整理,得 x2 - 2x + 3 < 0, 因为Δ < 0,方程 x2 - 2x + 3 = 0 无实数解,所以 不等式 x2 - 2x + 3 < 0 的解集为空集,即原不等式的解集为空集。 练习:课本 80 页练习第 1 题(1)- (3) 【灵活掌握】. 师:今天我们这节课的内容有两个: 1)会一元二次不等式的解法 2)理解三个“二次”的关系

作业:课本第 80 页 习题 3.2

A 组 1、2 题

4. 板书设计
§3.2 一元二次不等式及其解法 解不等式 x2 – x – 6 > 0, 请先画出二次函数 y = x2 – x – 6 的图像,并回答以下问题:
1)x 为何值时, y = 0; y > 0; y < 0; 2)一元二次方程 x2 – x – 6 = 0 的根能从函数 y = x2 – x – 6 上看出来吗?一元二次不等式 x2 – x – 6 > 0 的解集呢?
2

例,解不等式: 1)2x2 - 3x – 2 > 0; 3)-x2 + 2x – 3 < 0; 解:1)因为Δ = (- 3)2 – 4×2×(- 2) = 25 > 0, 方程的 2x - 3x – 2 = 0 的解是 x1 = -1/2, x2 = 2. 所以 2x2 - 3x – 2 > 0 的解集是{x| x1 < -1/2, 或 x2 > 2}. 2)因为Δ = 0,方程 4x2 - 4x + 1 = 0 的解是 x1 = x2 = 1/2, 所以不等式 4x2 - 4x + 1 > 0 的解集是{x|x ≠ 1/2}. 2)4x2 - 4x + 1 > 0;



教学反思


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