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大学牛顿定律力学题


v v 例 1 设质点的运动方程为 r (t ) = x (t ) i + y (t ) j , x(t ) = (1m ? s?1 )t + 2m, y (t ) = ( 1 m ? s ?2 )t 2 + 2m. 其中 4
uuv

时的速度.( ) 作出质点的运动轨迹图. (1)求 t =3 s 时的速度 (2) 作出质点的运动轨迹图 ) 解 (1)由题意可得速度分量分别为 )

dx dy 1 ?1 vx = = 1m ? s , v y = = ( m ? s ?2 )t dt dt 2

t = 3 s 时速度为

v 速度 v 与 x 轴之间的夹角

v v v ?1 ?1 v = (1m ? s )i + (1.5m ? s ) j

1.5 o θ = arctan = 56.3 1

(2) 运动方程 )

x (t ) = (1m ? s )t + 2m
y (t ) = ( m ? s )t + 2m
1 4 2 ?2

?1

由运动方程消去参数

1 2 y = ( )x ? x + 3 4
轨迹图

t 可得轨迹方程为
y/m
6

t = ? 4s

t = 4s
t =0
0 2 4

t = ? 2s 4
2 -6 -4 -2

t = 2s

x/m
6

如图所示, 、 例2 如图所示 A、B 两物体由一长为 l 的刚性 细杆相连, 、 两物体可在光滑轨道上滑行.如物体 细杆相连 A、B 两物体可在光滑轨道上滑行 如物体 A以恒定的速率 v向左滑行 当 α = 60o时, 物体 的 物体B的 以恒定的速率 向左滑行, 速率为多少? 速率为多少? 建立坐标系如图, 解 建立坐标系如图 物体A 物体 的速度

y
B

v dx v v v v A = v x i = i = ? vi dt

α

l
A

物体B 物体 的速度 v x o r dy v v v vB = v y j = j dt OAB为一直角三角形,刚性细杆的长度 l 为一常量 为一直角三角形, 为一直角三角形

x + y =l
2 2

2

y
B

两边求导得

dx dy 2x + 2 y = 0 dt dt


α

l
A

o

dy x dx =? dt y dt

x dx Q = ? v, tan α = dt y v vB 沿 y 轴正向 当 α = 60o 时 v B = 1.73 v 轴正向,

v x v x dx v v vB = ? j y dt v v ∴ v B = v tan α j
§1.5

m 、长为 l 的柔软细绳,一端 的柔软细绳, 的物体, 系着放在光滑桌面上质量为 m' 的物体,如图所示 . v
例1 质量为 在绳的另一端加如图所示的力

F.

绳被拉紧时会略

有伸长(形变),一般伸长甚微, 有伸长(形变),一般伸长甚微,可略去不计 . ),一般伸长甚微



设绳的长度不变,质量分布是均匀的 . 求:(1)绳 设绳的长度不变, ) 作用在物体上的力;( ) 作用在物体上的力;(2)绳上任意点的张力 . ;(

l
m'

m

v F

解 设想在点 P 将绳分为两段 v v 其间张力 FT 和 FT' 大小相等, 大小相等,方向相反 (1) )

v FT'

P

v FT

m'

v FT0

v FT0'

m
a

a
FT0 = FT0' a FT0 = m' F ? FT0' ma =

v F

F a= m' m + m' FT0 = F m' m +

(2) )

dm = mdx / l ( FT + dFT ) ? FT m = (dm)a = adx l

l

dm
dx

mF dFT = dx (m' m)l + F l mF ∫FT dFT = ( m ' m )l ∫x dx + x F FT = ( m ' m ) + l m' m +

v v v FT dm FT + dFT
dx

§2.5 牛顿定律应用举例
书第二章§ 的各个例题一定要认真看。 的各个例题一定要认真看 书第二章§2.5的各个例题一定要认真看。 再补充一例,同时说明做题要求。 再补充一例,同时说明做题要求。 z ω 已知:桶绕 z 轴转动, = const. 已知: 轴转动, ω N 水对桶静止。 水对桶静止。 r θ θ z a m r 水面形状( 关系) 求:水面形状(z - r关系) 关系 z0 水 选对象: 解:▲ 选对象:任选表面上 mg r O 一小块水为隔离体 一小块水为隔离体 m ; r 2r 看运动: 作匀速率圆周运动 a ▲ 看运动:m作匀速率圆周运动: = ?ω r ; 作匀速率圆周运动: r r 查受力: ▲ 查受力: 受重力mg 及其余水的压力 N, r (非粘滞流体间只能承受相互的压力) N⊥水面 非粘滞流体间只能承受相互的压力);

·



r r r 2r 列方程: 列方程: N + m g = m a = ? m ω r
ω

z
N

z向: 向 r向: 向

N cos θ ? mg = 0 (1)

r θ a θ z r m



z0 O

·

mg

? N sinθ = ? mω 2 r ( 2) dz 由导数关系:tg θ = 由导数关系: (3) dr 2 dz ω r r = (1)(2)(3)得: 得 dr g

分离变量: 分离变量:
z

dz =
z0

ω

2

g

rdr
ω
2

等号双方积分: 等号双方积分:∫ d z =

∫0

r

g

rdr

解得: 解得:

z=

ω2
2g

r + z0 (旋转抛物面) 旋转抛物面)
2

若已知不旋转时水深为h, 桶半径为R , 若已知不旋转时水深为 , 桶半径为 则由旋转前后水的体积不变, 有: 则由旋转前后水的体积不变,
R

∫0
∫0
R

z ? 2π r d r = π R 2 h
r + z 0 ) 2π r d r = π R h
2 2

(

ω

2

2g

解得: 解得:

z0 = h ?

ω R
2

2

4g



验结果: 验结果:z =

ω2
2g

r + z0 =
2

ω

2

2g

r ?
2

ω

2

4g

R +h
2

[ 单位的分析: ? 单位的分析: ω ] =
2

1/s2
2

[r] = m,[g] = m/s2, , ,
2

(1 /s ) ? m [ r ] =[ R ]= = m = [h] = [z] , 正确。 正确。 2 2g 4g m/s
2 2

ω2

ω2

ω 0, ? 过渡到特殊情形: = 0,有 z = z0 = h,正确。 过渡到特殊情形: h,正确。
合理。 合理。 ω 看变化趋势: 一定时, ↑→( ? 看变化趋势: 一定时, ↑→( z-zo )↑, r )↑, 课后作业的基本要求与此例相同。 课后作业的基本要求与此例相同。 复杂问题往往除动力学方程外, 复杂问题往往除动力学方程外,还需补充一些 运动学方程或几何关系[如前面( ) 。 运动学方程或几何关系 如前面(3)式]。 如前面

如图示, 例 如图示,一实验者 A 在以 10 m/s 的速率沿水平 轨道前进的平板车上控制一台射弹器, 轨道前进的平板车上控制一台射弹器 此射弹器以与车 o 度角斜向上射出一弹丸 . 此时站在地面 前进方向呈 60 看到弹丸铅直向上运动, 上的另一实验者 B 看到弹丸铅直向上运动 求弹丸上升 的高度 . 解 地面参考系为 S 系

v v'

v v

平板车参考系为 S' 系

y
B

v y' v'
60o

α
A

v u

tan α =
速度变换

v'y v'x

v u
x'

o'

o

x

vx = u + v'x vy = v' y

解 地面参考系为 S 系,平板车参考系为

Q vx = 0

v'y tanα = v'x

vx =u + v' x

S vy = v' y
?1

'系

v v'

v v

∴v'x = ?u = ?10 m ? s
v u

v y = v'y = v'x tan α
v y = 17 .3m ? s
弹丸上升高度
?1

y
B

v y' v'
60o

α
A

v u
x'

o'

y=

v

2 y

o

x

2g

= 15.3m

例1 阿特伍德机 (1)如图所示滑轮和绳子的质量均 不计, 不计,滑轮与绳间的摩擦力以及滑轮与 轴间的摩擦力均不计. 轴间的摩擦力均不计.且 m1 > m2 . 求 重物释放后,物体的加速度和绳的张力. 重物释放后,物体的加速度和绳的张力. 解 以地面为参考系 画受力图、 画受力图、选取坐标如图

m1

m2

a m1 g ? FT = m1a ? m2 g + FT = m2 a av m1 ? m2 v 2m1m2 a= g FT = g P2 0 P y 1 m1 + m2 m1 + m2

v 0 FT

v y FT

(2)若将此装置置于电梯顶部,当 若将此装置置于电梯顶部, 相对地面向上运动时, 电梯以加速度 相对地面向上运动时, 求两物体相对电梯的加速度和绳的张力. 求两物体相对电梯的加速度和绳的张力. 解 以地面为参考系 v v 设两物体相对于地面的加速度分别 v 为 a1、 2 ,且相对电梯的加速度为 ar a

v a

v ar

v v a a
r

m1 m 2

m1 g ? FT = m1a1

a1 = ar ? a
? m2 g + FT = m2a2

m1 ? m2 ar = ( g + a) m1 + m2
2m1m2 FT = ( g + a) m1 + m2

v 0 FT

a2

v y F T

a1

a2 = ar + a

v Py 1

v P0 2

的轻绳, 的小球, 例2 如图长为 l 的轻绳,一端系质量为 m 的小球, 时小球位于最低位置, 另一端系于定点 o , t = 0 时小球位于最低位置,并具 v 求小球在任意位置的速率及绳的张力. 有水平速度 v0 ,求小球在任意位置的速率及绳的张力. 解

FT ? mg cos θ = ma n ? mg sin θ = ma t

n v FT ? mg cosθ = mv 2 / l et θ dv v ? mg sin θ = m dt v 0 mg dv dv dθ v dv 2 = = v = v0 + 2lg (cos θ ? 1) dt dθ dt l dθ 2 v θ v0 ∫v0 v d v = ? gl ∫0 sin θ d θ FT = m( l ? 2g + 3g cosθ )

o

v v FT e

v v

如图所示(圆锥摆), ),长为 例3 如图所示(圆锥摆),长为 l 的细绳一端固 定在天花板上, 的小球, 定在天花板上,另一端悬挂质量为 m 的小球,小球经 推动后, 推动后,在水平面内绕通过圆心 的铅直轴作角速度 为 ω 的匀速率圆周运动 . 问绳和铅直方向所成的角 为多少?空气阻力不计. 度 θ 为多少?空气阻力不计.

o



v v v FT + P = ma

v2 FT sin θ = man = m = mrω 2 r A FT cosθ ? P = 0

v lθ FT

r = l sin θ

r o vv P et v

v en

v lθ FT
A vv P et

l θ θ

l

v en

r

o
m
2

v

ω m

FT cosθ = P FT = mω l mg g cosθ = = 2 2 mω l ω l

θ = arccos

g

ω 越大, θ 也越大 越大,

ω l
2

利用此原理,可制成蒸汽机的调速器(如图所示) 利用此原理,可制成蒸汽机的调速器(如图所示).

设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比, v例4 设空气对抛体的阻力与抛体的速度成正比, v 即 Fr =v kv , k 为比例系数 . 抛体的质量为 m 、 ? 初速为 v0 、抛射角为 α . 求抛体运动的轨迹方程 . 解 取如图所示的 Oxy 平面坐标系

dv x ma x = m = ?kv x dt dv y ma y = m = ?mg ? kv y dt dv x k = ? dt vx m
k = ? dt mg + kv y m kdv y

y

v v0 v
α

Fr

v P

A

v v
x

o

dv x k = ? dt vx m kdv y k = ? dt mg + kv y m t=0

y

v v0 v
α

Fr

v P

A

v v
x

v0 x = v0 cos α v0 y = v0 sin α

o
? kt / m

v x = v 0 cos αe mg ?kt / m mg v y = ( v0 sin α + )e ?
k k

y v x = v 0 cos αe v mg ?kt/ m mg v0 v k =0 vy = (v0 sinα + )e ? Fr A k k v v dx = v x dt dy = v y dt P v α k >0 m ? kt / m x = (v0 cos α )(1 ? e ) o x k m mg mg ? kt / m y = ( v0 sin α + )(1 ? e )? t
? kt / m

k

k

k

mg m g k y = (tan α + ) x + 2 ln(1 ? x) kv0 cos α k mv0 cos α

2

例5 一质量 m ,半径 r 的球体在水中静止释 放沉入水底. 为粘滞系数, 放沉入水底.已知阻力 Fr = ?6 πrηv , η为粘滞系数, 求 v(t ) . v FB为浮力 解 取坐标如图

mg ? FB ? 6 πη rv = ma 令 F0 = mg ? FB b = 6 πηr
dv F0 ? b v = m dt F0 b dv = ? (v ? ) dt m b

v v FB Fr

v v

y

v P

dv b F0 ) = ? (v ? dt m b



v

0

dv b =? v ? ( F0 b ) m



t

0

dt

v v FB Fr

F0 ?(b / m )t v = [1 ? e ] b 极限速度) t →∞, vL → F0 / b(极限速度)


v v

y
F0 b

v P

t = 3m b 时

v
t

v = vL (1 ? 0.05) = 0.95vL
一般认为

t ≥ 3 m b , v → vL

o

若球体在水面上是具有竖直向 下的速率 v0 ,且在水中的重力与 浮力相等, 浮力相等, 即 FB = P . 则球体在 水中仅受阻力 Fr = ?bv 的作用

v v FB Fr

dv m = ?bv dt

v v

y
v
v0

v P

dv b t ∫v 0 v = ? m ∫0 d t

v

v = v0e

? (b / m )t

o

t

例 6 如图 m与M保持接触 各接触面处处光滑 与 保持接触 m 下滑过程中, 求:m下滑过程中,相对 的加速度 amM 下滑过程中 相对M的加速度 解:画隔离体受力图 M θ
v M相对地面加速运动 运动加速度设为 a0 相对地面加速运动,运动加速度设为 相对地面加速运动

以M为参考系画 为参考系画m 为参考系画 的受力图 y′ N Mm x′ m ma
0

以地面为参考系 画M的受力图 的受力图
N地M

θ

mg

M

r a0

y
x
θ

′ NMm M

r a0

Mg

N Mm

ma 0
θ

mg

y′ x′ m r a0 M

N地M

y
x
θ

′ NMm

r a0

M

以地面为参考系对M列方程 以地面为参考系对 列方程 N mM sin θ = Ma0 (1)

Mg

为参考系( 以M为参考系(非惯性系)对m 列方程 为参考系 非惯性系) ma0 cosθ + mg sinθ = mamM (2) NmM + ma0 sinθ ? mg cosθ = 0 (3) ( M + m) sin θ amM = g 结果为: 结果为: 2 M + m sin θ #

例题7 有一条质量可忽略不记的弹簧, 例题7:有一条质量可忽略不记的弹簧,当下端悬 有质量为0.1kg的砝码而达到平衡时,弹簧将伸长 的砝码而达到平衡时, 有质量为 的砝码而达到平衡时 2.5cm.如果将这一弹簧的上端固定在天花板上,下 如果将这一弹簧的上端固定在天花板上, 如果将这一弹簧的上端固定在天花板上 端悬一个质量为0.3kg的砝码,并将砝码在弹簧原长 的砝码, 端悬一个质量为 的砝码 时由静止释放,问此砝码下降多少距离后开始上升? 时由静止释放,问此砝码下降多少距离后开始上升? 弹簧在运动中只受重力和弹簧中张力的作用. 解:弹簧在运动中只受重力和弹簧中张力的作用. 运动方程为: 运动方程为: 令竖直向下为x正方向,释放点为坐标原点, 令竖直向下为 正方向,释放点为坐标原点,有T=-kx, 正方向 运动方程可写为: 运动方程可写为:

r r r P + T = ma

dυ mg ? kx = m dt

dυ mg ? kx = m dt
这是一个关于x,v和 的微分方程 的微分方程, 这是一个关于 和t的微分方程,由于本问题所考 察的是x和v之间的函数关系,须设法对上式进行适 察的是 和 之间的函数关系, 之间的函数关系 当变换,消去变量t, 因为 当变换,消去变量

dυ 代入最上面的式子, 代入最上面的式子,得 mg ? kx = m υ dx k


dυ dυ dx dυ = =υ dt dx dt dx

m 这就是砝码m关于 关于x和 的运动微分方程 的运动微分方程. 这就是砝码 关于 和v的运动微分方程.

υdυ = gdx ?

xdx

根据题中所给已知条件,在开始释放点, 根据题中所给已知条件,在开始释放点,x=0, V=0; 在开始上升点,令其坐标为x, 速度v=0. 在开始上升点,令其坐标为 速度

∫ υdυ = ∫
0

0

x

0

1 k 2 得 0 = gx ? x 2m 解此方程便得到速度为零的点为: 解此方程便得到速度为零的点为:

k x gdx ? ∫ xdx m 0

x=0 和
由已知条件, 由已知条件, 从 而

x = 2mg k

k = m0 g x 0

2m x= x0 = 0.15m m0

例4、如图所示,一根均质柔绳,单位长度的质 、如图所示,一根均质柔 量为λ 盘绕在一张光滑的水平桌子上。 量为λ,盘绕在一张光滑的水平桌子上。 设在t=0时 今以恒定的加速度a 、设在 时 y=0, v = 0 今以恒定的加速度 竖直向上提绳。当提起的高度为y时 作用 竖直向上提绳。当提起的高度为 时,作用 在绳端的力为多少? 在绳端的力为多少? Y F 、以一恒定的速 率 v 竖 直向上提绳子时, 直向上提绳子时,当提 起高度为y时作用在绳端 起高度为 时作用在绳端 的力又是多少? 的力又是多少? F 以恒力F竖直向上提 竖直向上提, 、以恒力 竖直向上提, 当提起高度为y时绳端 当提起高度为 时绳端 O 的速度又是多少? 的速度又是多少?

d(m2v) d(λyv) = F ? λygL(1) = F ? λygL(2) dt dt

已知: 时 已知:t=0时,y=0 v = 0 v v 时 = a = const 求h= y时, Fv ? 高度y时 v = const 求高度 时, F = ? v y m2 g F F = const 求高度 时, v = ? 高度y时 N 解:以链条整体作为研究 对象。 对象。以地面为参照 O 系建立坐标OY 系建立坐标 m1 g 分析: 分析:因力等于动量的变化 链条动量的变化只是被拉起来的的部分, 链条动量的变化只是被拉起来的的部分,在桌面 上的部分动量总是为零。故有: 与 抵消) 上的部分动量总是为零。故有:(N与m1g 抵消 Y F

Y

F

已知: 时 已知:t=0时,y=0 v = 0 v 时 a = const 求y=h时, F = ?

m2 g O m1 g 讨论: 讨论:

h F N

d(λyv) = F ? λygL(2) dt dy dv λv + λy = F ? λyg dt dt
2

λv + λya = F ? λyg 2 ∴F = λ( yg + v + ya)L(3)
2

a = const v = 2ay F = λ(g + 3a) y

Y

F

λv + λya = F ? λyg
2

m2 g F h N O m1 g

∴F = λ( yg + v + ya)L(3)
2

讨论: 讨论:

v = const a = o 2 F = λ( yg + v ) F = const a v是变化的

dv dv dy dv = 1 d (v2 ) a= = =v dt dy dt dy 2 dy

1 d(v2 ) 2 λv + λy[ ] = F ? λygL(4) 2 dy

F = const a v是变化的
2 2

Y

F

1 d(v ) λv + λy[ ] = F ? λygL(4) m g F h 2 2 dy N
同 × 2y / λ
2 2 2

O m1 g

d(v ) F 2 2yv + y = 2y ? 2gy dy λ d d F 2 2 3 2 2 (v y ) = ( y ? gy ) dy dy λ 3

F = const a v是变化的
d d F 2 2 3 2 2 (v y ) = ( y ? gy ) dy dy λ 3

F Y h N O m1 g

2 3 d[v y ] = d[ y ? gy ] λ 3
2 2 2

F

两边积分: 两边积分:
2 2

2 3 v y = y ? gy + C λ 3
2

F

代入初始条件: 时 代入初始条件:t=0时,y=0

v = 0 得C=0
F 2 ? gy λ 3

1 v= y

F

2 3 y ? gy v = λ 3
2

讨论题
第1题: 题 一质点做抛物体运动(忽略空气阻力), 一质点做抛物体运动(忽略空气阻力), 如图示。 y r 如图示。 v0 回答质点在运 动过程中: 动过程中: r dv 是否变化? (1) ) 是否变化? y dt r dv r 答: = g = const . dt 不变
θ0

x

r v
r g

x

dv 是否变化? (2) ) 是否变化? dt

y

r v0
θ0

at an
θr θ

dv 答: = at = gsinθ , 变化。 变化。 dt

v

(3)法向加速度是否变化? )法向加速度是否变化? 答: an = g cosθ , 变化。 变化。 (4)最大和最小曲率半径在何处? )最大和最小曲率半径在何处?
v2 v2 = 答:曲率半径 ρ = a n g cosθ

r g

x

θ v 起、落点: 0 > v , 0 > θ 落点:

ρ = ρ max

2 v0 = g cos θ 0

最高点: 最高点: = v 0 cosθ 0 , = 0 v θ

ρ = ρ min

2 v 0 cos 2 θ 0 = g

第2题: 题 设质点的运动方程为 x = x (t) ,y = y (t)。 。 在计算质点的速度和加速度时, 在计算质点的速度和加速度时,有人先求 dr d2 r 2 2 和a= 2 r = x + y , 然后根据 v = dt dt

dx 2 dy 2 求出结果。 求出结果。也有人按 v = ( ) +( ), dt dt 2 2 d x 2 d y 2 a = ( 2 ) + ( 2 ) 求解。 哪种方法对? 求解。 哪种方法对? dt dt
后种方法对。 答:后种方法对。

计算题
第1题: 题
v0 岸 h x v0 岸
θ

问 绞车以恒定的速率v 收绳, 绞车以恒定的速率 0 收绳, : 如图示, 如图示,


(1)绳上各点速度相同吗? )绳上各点速度相同吗? (2)船速 v = v0cosθ 吗? ) θ


r r 求: 船的 v 和 a

):如图示, . .B 答(1):如图示,在 ? t 内绳上 B′ ′ t+?t . t A P、A、B点的位移不同, 点的位移不同, 、 、 点的位移不同 . A′ ′ P 因而速度必然不同。 . 因而速度必然不同。 P′ . ′

答(2):比较 v0 与 v0 cosθ 。 ):
v0 h

t+?t

t

?r v0 = lim ?t →0 ? t
P′ ?x ′
θ

?r

r v
由图有: 由图有:

. P

x

?x v = lim ?t →0 ? t

?r = ?x cos θ



v0 = vcosθ
v ≠ v0 cosθ

求船的速度 选坐标系如图, 选坐标系如图,
v0 0

x

的位矢为: 船头 P 的位矢为: r r r 岸 h r = xi + hj
r r dr d x r v= i = dt dt r d 2 2 r ?h i = = dt
2 2

r r
r x vθ

.P

? d r ?r x 2 + h2 r v 0i ? ?i = ? x r 2 ? h2 ? d t ?
dr (v0 = ? ) dt

y r

或由

r v0 r x +h 1 给出 v = ? i = cosθ x cosθ

求船的加速度

r r dv dv x r d ? ?? a= i = = dt dt dt ? ?

?r x 2 + h2 v 0 ?i ? x ?

=

v 0 h2 x2

dxr i x 2 + h2 d t
2
2 ?r v 0 h2 r x +h v 0 ?i = ? 3 i ? x x ?

? v 0h ?? = 2 2 2 ? x x +h ?

2

2

r r 同向, 船加速靠岸。 a 和 v 同向, 船加速靠岸。


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高中物理牛顿运动定律经典练习题全集(含答案)
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