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2006年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准


2006 年全国高中数学联合竞赛浙江省预赛试卷评分标准 一. 选择题 1. C 二. 填空题 7. 6 3 ? 9 10. 1 (a ? b 2 )1003 2 2. C 3. D 8. n 11. ? 3 4. B 5. C 9. 12. 3 4010 6. B 3 详细解答如下: 一. 选择题 3 1.下列三数 , log16 82, log 27 124

的大小关系正确的是( C ) 2 3 3 (A) ? log16 82 ? log 27 124 (B) ? log 27 124 ? log16 82 2 2 3 3 (C) log 27 124 ? ? log16 82 (D) log 27 124 ? log16 82 ? 2 2 解: 因为 log16 82 ? log16 81 ? log24 34 ? log2 3, log27 124 ? log27 125 ? log33 53 ? log3 5 。 3 令 x ? log2 3 ,则 2 x ? 3 。又因为 2 2 ? 8 ? 3 ? 2 x ,所以 x ? 3 3 。 2 再令 y ? log3 5 ,则 3 y ? 5 ,而 3 2 ? 27 ? 5 ? 3 y ,所以 y ? 综上所述,有 log 27 124 ? 3 ? log16 82 。 因此 选 (C) 。 2 3 。 2 2. 已知两点 A (1,2), B (3,1) 到直线 L 的距离分别是 2, 5 ? 2 ,则满足条件的直线 L 共有( C )条。 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 解: 由 AB ? 5 , 分别以 A,B 为圆心, 2 , 5 为半径作两个圆,则两圆外切,有三 条共切线。正确答案为 C。 3. 设 f (n) 为正整数 n(十进制)的各数位上的数字的平方之和,比如 则 f (123) ? 12 ? 2 2 ? 32 ? 14 。 记 f1 (n) ? f (n) , f k ?1 (n) ? f ( f k (n)) , k ? 1,2,3,?, f 2006 (2006 ) =( D (A) 20 (B) 4 ) (C) 42 (D) 145. 浙江省数学会 2006 ) ? 40 记做 2006 ? 40 ,于是有 解: 将 f (2006 2006 ? 40 ? 16 ? 37 ? 58 ? 89 ? 145 ? 42 ? 20 ? 4 ? 16 ? ? 从 16 开始, f n 是周期为 8 的周期数列。故 f 2006 (2006 ) ? f 2004 (16) ? f 4?250?8 (16) ? f 4 (16) ? 145. 正确答案为 D。 1 4. 设在 xOy 平面上, 0 ? y ? x 2 , 0 ? x ? 1 所围成图形的面积为 ,则集合 3 M ? {( x, y) y ? x ? 1}, N ? {( x, y) y ? x2 ? 1} 的 交 集 M ? N 所 表 示 的 图 形 面 积 为 ( B ) 。 1 (A) (B) 3 2 3 4 . 3 (C) 1 (B) 解: M ? N 在 xOy 平面上的图形关于 x 轴与 y 轴均对称,由此 M ? N 的图形面积只 要算出在第一象限的图形面积乘以 4 即得。为此,只要考虑在第一象限的面积就可以 1 1 1 了。由题意可得, M ? N 的图形在第一象限的面积为 A= ? ? 。因此 M ? N 的 2 3 6 2 图

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