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一元二次不等式的解法


课题:一元二次不等式的解法
授课人:湄潭县中等职业学校 毛德萍
教学目的: 1、 掌握一元二次不等式的解法; 2、 能应用一元二次不等式、对应方程、函数三者之间的关系解决综合问题; 3、 会解简单的分式不等式及高次不等式。 教学重点:利用二次函数图象研究对应不等式解集的方法。 教学过程: (一)主要知识: 1.一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系; 2.分式不等式要注意大于等于或小于等于的情况中,分母要不为零; 3.高次不等式要注重对重因式的处理。 (二)主要方法: 1. 解一元二次不等式通常先将不等式化为 ax ? bx ? c ? 0 或 ax2 ? bx ? c ? 0 (a ? 0) 的形式, 然后
2

求出对应方程的根(若有根的话) ,再写出不等式的解:大于 0 时两根之外,小于 0 时两根之间; 2.分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理; 3.高次不等式主要利用“序轴标根法”解。 (三)例题分析: 例 1.解下列不等式: (1) x ? x ? 6 ? 0 ; (2) ? x ? 3x ? 10 ? 0 ; (3)
2 2

x( x ? 1)( x ? 2) ?0. ( x ? 2)( x ? 1)

解: (1) ?2 ? x ? 3 ; (2) x ? 5 or x ? ?2 ; (3)原不等式可化为 ?

? x( x ? 1)( x ? 2)( x ? 2)( x ? 1) ? 0 ? ?2 ? x ? ?1 or 0 ? x ? 1 or x ? 2 . ?( x ? 2)( x ? 1) ? 0

例 2.已知 A ? {x | x2 ? 3x ? 2 ? 0} , B ? {x | x2 ? (a ? 1) x ? a ? 0} , (1)若 A ? ? B ,求 a 的取值范围; (2)若 B ? A ,求 a 的取值范围. 解: A ? {x |1 ? x ? 2} , 当 a ? 1 时, B ? {x |1 ? x ? a} ;当 a ? 1 时, B ? {1} ;当 a ? 1 时, B ? {x | a ? x ? 1} . (1)若 A ? ? B ,则 ?

(2)若 B ? A , 当 a ? 1 时,满足题意;当 a ? 1 时, a ? 2 ,此时 1 ? a ? 2 ;当 a ? 1 时,不合题意. 所以, a 的取值范围为 [1, 2) . 例 3.已知 f ( x) ? x ? 2(a ? 2) x ? 4 ,
2

?a ? 1 ?a ?2; ?a ? 2

(1)如果对一切 x ? R , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (2)如果对 x ?[?3,1] , f ( x) ? 0 恒成立,求实数 a 的取值范围. 解: (1) ? ? 4(a ? 2) ?16 ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;
2

??(a ? 2) ? ?3 ??3 ? ?(a ? 2) ? 1 ??(a ? 2) ? 1 或? 或? , ? f (?3) ? 0 ?? ? 0 ? f (1) ? 0 1 1 解得 a ? ? 或 1 ? a ? 4 或 ? ? a ? 1 ,∴ a 的取值范围为 (? , 4) . 2 2 2 2 例 4. 已知不等式 ax ? bx ? c ? 0 的解集为 {x | 2 ? x ? 4} , 则不等式 cx ? bx ? a ? 0 的解集为
(2) ?



解法一:∵ ( x ? 2)( x ? 4) ? 0 即 ? x ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | x ?
2

1 1 or x ? } , 2 4

x ? b x ? a ? 0 即为 ?8x ? 6 x ? 1 ? 0 , ∴不妨假设 a ? ?1, b ? 6, c ? ?8 , 则c 解得 { x |
2 2

1 1 ? x ? }. 4 2

? ? ?a ? 0 ?c ? 0 ? ? ? b ? b 3 解法二:由题意: ?? ? 6 ? ?? ? , ? a ? c 4 ?c ?a 1 ?8 ? ? ? ?a ?c 8 b a 3 1 1 1 2 2 2 or x ? } . ∴ cx ? bx ? a ? 0 可化为 x ? x ? ? 0 即 x ? x ? ? 0 ,解得 {x | x ? c c 4 8 2 4
例 5.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的图象过点 (?1, 0) ,问是否存在常数 a, b, c ,使不等式

1 (1 ? x 2 ) 对一切 x ? R 都成立? 2 解:假设存在常数 a, b, c 满足题意, ∵ f ( x ) 的图象过点 (?1, 0) ,∴ f (?1) ? a ? b ? c ? 0 ① 1 2 又∵不等式 x ? f ( x) ? (1 ? x ) 对一切 x ? R 都成立, 2 1 2 ∴当 x ? 1 时, 1 ? f (1) ? (1 ? 1 ) ,即 1 ? a ? b ? c ? 1 ,∴ a ? b ? c ? 1 ② 2 1 1 1 1 2 由①②可得: a ? c ? , b ? ,∴ f ( x) ? ax ? x ? ( ? a ) , 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 由 x ? f ( x) ? (1 ? x ) 对一切 x ? R 都成立得: x ? ax ? x ? ( ? a ) ? (1 ? x ) 恒成立, 2 2 2 2 1 ? 2 1 ?ax ? x ? ( ? a) ? 0 ∴? 的解集为 R , 2 2 2 ?(2a ? 1) x ? x ? 2a ? 0 ? x ? f ( x) ?

1 ? ?a ? 0 ?a ? 0 ?2a ? 1 ? 0 ? ?a ? ∴ ?1 且? ,即 ? 且? , 2 1 2 1 ? 8 a (2 a ? 1) ? 0 (1 ? 4 a ) ? 0 ? 4 a ( ? a ) ? 0 2 ? ? ? ?(1 ? 4a) ? 0 ?4 2 ? 1 1 ∴ a ? ,∴ c ? , 4 4 1 1 1 1 2 ∴存在常数 a ? , b ? , c ? 使不等式 x ? f ( x) ? (1 ? x ) 对一切 x ? R 都成立. 4 2 4 2
(四)巩固练习: 2 1.若不等式 (a ? 2) x ? 2(a ? 2) x ? 4 ? 0 对一切 x ? R 成立,则 a 的取值范围是 (?2, 2] . 2.若关于 x 的方程 x ? ax ? a ? 1 ? 0 有一正根和一负根,则 a ? (?1,1) .
2 2

2 3. 关于 x 的方程 m( x ? 3) ? 3 ? m x 的解为不大于 2 的实数, 则 m 的取值范围为 (??, ? ] (0,1) (1, ??) .

3 2

4.不等式

( x ? 1) 2 (2 ? x) ? 0 的解集为 (??, ?4) (0, 2] or x ? ?1. x(4 ? x)


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