当前位置:首页 >> 数学 >>

9.3空间点线面之间的位置关系


10.3 空间点、线、面之间的位置关系

知识要点
1.平面 (1)概念的理解 ①平面与直线一样,具有无限延展性,常用 平 行四边形 表示; ②平面与平面图形的区别在于: 平面图形如三角形、正方形、梯形、圆形等有 大小,长短之分,可以度量; 但平面是无限延展,不可度量的,且平面常用 平面图形 表示.

公理

/>内容

图形语言

符号语言 A∈l,B∈l 且 A∈α,B∈α?l?α A、B、C 三点不共 线 ? 存在 唯一 平 面 α, 使 A、B、C∈α

如果一条直线上的两点在 公理 1 一个平面内, 那么这条直线 在这个平面内 过不在一条直线上的三点, 有且只有一个平面

公理 2

如果两个不重合的平面有 一个公共点,那么,它们有 公理 3 且只有一条过该点的公共 直线

P∈α, 且 P∈β?α∩β =l,且 P∈l

2.空间中直线与直线的位置关系 (1)空间直线的位置关系 位置关系 共面情况 公共点个数 图形语言

相交直线

共面

1个

平行直线

共面

0个

异面直线

不共面

0个

(2)公理 4 平行于同一直线的两直线 平行 . (3)定理 空间中如果两个角的两边分别对应平行, 那么,这两个角 相等或互补 . (4)两条异面直线所成的角(或夹角) a、b 是两条异面直线,过空间任一点 O 作直线 a′∥a,b′∥b,把 a′与 b′所成的 锐角(或直角) 叫做异面直线 a 和 b 所成的角.

3.直线和平面的位置关系 位置关系 直线 a 在 平面 α 内 直线 a 与 平面 α 相交 一个 a∩α=A 直线 a 与 平面 α 平行 0个 a∥α

公共点个数 无数个 符号语言 a?α

图形语言

4.两平面的位置关系 位置关系 两平面 平行 斜 交 图形语言 符号语言 α∥β 公共点个数 0个

两 平 面 相 交

α∩β=a

无数个

垂 直

α⊥β

无数个

典例精析
题型一 证明三线共点 【例 1】已知空间四边形 ABCD 中,E、F 分别 是 AB、AD 的中点,G、H 分别是 BC、CD 上的 BG DH 点,且 = =2. GC HC 求证:直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P.

【证明】因为 E、F 分别是 AB、AD 的中点, 所以 EF∥BD, 1 且 EF= BD. 2 BG DH 又因为 = =2, GC HC 所以 GH∥BD, 1 且 GH= BD, 3 所以 EF∥GH 且 EF>GH,

所以四边形 EFHG 是梯形,其两腰所在直线必 相交,设两腰 EG、FH 的延长线相交于一点 P, 因为 EG?平面 ABC,FH?平面 ACD, 所以 P∈平面 ABC,P∈平面 ACD. 又平面 ABC∩平面 ACD=AC, 所以 P∈AC, 故直线 EG、FH、AC 相交于同一点 P.

【点拨】证明三线共点的方法:首先证明其中的 两条直线交于一点,然后证明第三条直线是经过 这两条直线的两个平面的交线;由公理 3 可知, 两个平面的公共点必在这两个平面的交线上,即 三条直线交于一点.

【变式训练 1 】 如图,

在四面体 ABCD 中作截面 PQR , PQ 、 CB 的 延长线交于 M , RQ、 DB 的延长线交于 N , RP 、 DC 的延长线交于 K. 求证:M、N、K 三点共线.

【证明】 PQ ? CB ? M ? ? M、N、K ? 平面BCD? RQ ? DB ? N ? ? ? M、N、K ? 平面PRQ? ? RP ? DC ? K ? ?M 、 N 、 K 在平面 BCD 与平面 PQR 的交线上,即 M、 N、 K 三点共线 .

题型二 空间直线的位置关系 【例 2】 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E 是 CD 的中点, 连接 AE 并延长与 BC 的延长线交于点 F, 连接 BE 并延长交 AD 的延长线于点 G, 连接 FG. 求证:直线 FG?平面 ABCD 且直线 FG∥A1B1.

【证明】

因为 E 为 CD 的中点, 在正方体中 AE?面 ABCD, 又 AE∩BC=F,所以 F∈AE, 所以 F∈面 ABCD, 同理 G∈面 ABCD, 所以 FG?面 ABCD.

1 因为 EC AB, 2 故在 Rt△FBA 中,CF=BC, 同理 DG=AD, 所以在正方体中,CF DG, 所以四边形 CFGD 是平行四边形, 所以 FG∥CD,又 CD∥AB,AB∥A1B1, 所以直线 FG∥直线 A1B1.

【点拨】空间直线的位置关系,常需利用线面、 面面、线线的关系确定,推导时需有理有据.

题型三 异面直线所成的角 【例 3】在空间四边形 ABCD 中,已知 AD=1, 13 3 BC= 3且 AD⊥BC, 对角线 BD= , AC= , 2 2 求 AC 和 BD 所成的角.

【解析】 作平行线,找出与异面 直线所成的 角相等的 平面角,将空间问题转 化为平面问 题.

如图所示,分别取 AD、CD、AB、BD 的中点 E、 F、G、H,连接 EF、FH、HG、GE、GF.

由三角形的中位线定理知, 3 13 EF∥AC,且 EF= ,GE∥BD,且 GE= . 4 4 GE 和 EF 所成的锐角(或直角)就是 AC 和 BD 所 成的角. 1 3 同理,GH= ,HF= ,GH∥AD,HF∥BC. 2 2 又 AD⊥BC,所以∠GHF=90° , 2 2 2 所以 GF =GH +HF =1. 2 2 2 在△EFG 中,EG +EF =1=GF , 所以∠GEF=90° ,即 AC 和 BD 所成的角为 90° .

【点拨】立体几何中,计算问题的一般步骤: (1)作图; (2)证明; (3)计算. 求异面直线所成的角常采用“平移线段法”, 平移的方法一般有三种类型: 利用图中已有的平行线平移, 利用特殊点(线段的 端点或中点)作平行线平移, 补形平移. 计算异面直线所成的角通常放在三角形中进行.

【变式训练 2】线段 AB 的两端在直二面角 α-CD-β 的两个面内,并与这两个面都 成 30° 角,求异面直线 AB 与 CD 所成的角.

【解析】

在平面 α 内作 AE⊥CD, 因为 α-CD-β 是直二面角, 由面面垂直的性质定理,所以 AE⊥β, 所以∠ABE 是 AB 与平面 β 所成的角. 1 所以∠ABE=30° ,所以 AE= AB, 2

1 同理作 BF⊥CD,则易得 BF= AB, 2 在平面 β 内作 BG EF,则 BGEF 是矩形, 即 BG⊥GE. 又因为 AE⊥β,BG?β, 所以 AE⊥BG. 所以 BG⊥平面 AEG,所以 BG⊥AG. 又因为在 Rt△AEG 中, 2 2 2 2 2 AG= AE ? EG = AE ? FB = AB, 2 AG 2 所以在 Rt△AGB 中,sin∠ABG= = , AB 2 所以∠ABG=45° . 因为 BG∥EF,所以 BG∥CD, 所以∠ABG 是异面直线 AB 与 CD 所成 的角,为 45° .

总结提高
本节内容主要以四个公理为依托,导出异面直 线,等角定理,线线、线面、面面关系,可见, 解决此类问题,要以公理为标准,以眼前的点、 线、面的实际物体为参考,培养空间想象能力, 重点是点共线、线共面、异面直线、等角定理应 用.


相关文章:
空间点线面之间的位置关系
1 望子成龙双流校区 § 8.3 2014 高考会这样考 空间点、直线、平面之间的位置关系 1.考查点、线、的位置关系,考查逻辑推理能力与空间想象能力; 2.考查公理...
空间点线面之间位置关系知识点总结
空间点线面之间位置关系知识点总结_数学_高中教育_教育专区。高中空间点线面之间位置关系知识点总结第一章 空间几何体(一)空间几何体的结构特征 (1)多面体——由...
空间点线面之间的位置关系
空间点线面之间的位置关系_高三数学_数学_高中教育_教育专区。河北衡水第二中学...9.3空间点线面之间的位置... 25页 2下载券 第二章 空间点线面的位... ...
空间点线面之间的位置关系(一)
一、空间点线面之间的位置关系 考试要求: 1、 2、 熟练掌握点、线、面的概念; 掌握点、线、面的位置关系,以及判定和证明过程; 知识网络: 空间图形的关系 空间...
空间点线面之间的位置关系
授课时间:2013 年 3 月 9 日 学员姓名:小班 课题 年 级:高一 第 2 次课 辅导科目:数学空间点、线、面的位置关系 教师姓名: 教学目标 1、初步理解平面的...
空间中点线面的位置关系
空间点线面的位置关系_高一数学_数学_高中教育_教育专区。空间中点、直线、平面之间的位置关系 1. 平面含义:平面是无限延展的 2 .平面的画法及表示 (1) 平面...
空间点线面之间的位置关系(一)
空间点线面之间的位置关系(一)_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 空间点线面之间的位置关系(一)_数学_高中教育_教育专区。...
空间点线面的位置关系
空间点线面的位置关系_数学_高中教育_教育专区。空间点、直线、平面间的位置关系 考纲要求 1.理解空间直线、平面位置关系的定义,并了解可以作为 推理依据的公理和定...
空间点线面之间的位置关系
Dongxijiadian 空间点、线、面之间的位置关系——蒲松龄 空间点、线、面之间的位置关系 §一、知识总结 知识结构 平面(公理 1、公理 2、公理 3、公理 4) 空间...
7.2空间点线面之间的位置关系
空间点、线、面之间的位置关系【知识梳理】一、空间点、直线、平面之间的位置关系 1、平面的基本性质 公理 1:如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在...
更多相关标签:
空间点线面的位置关系 | 空间点线面位置关系 | 点线面的位置关系 | 点线面位置关系 | 点线面之间的位置关系 | 点线面位置关系测试题 | 点线面位置关系总结 | 点线面的位置关系习题 |