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【步步高 学案导学设计】2014-2015学年高中数学 第一章 三角函数章末综合检测(B)新人教A版必修4


第一章 三角函数章末检测(B)
(时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分) 1 1.已知 cos α = ,α ∈(370°,520°),则 α 等于( ) 2 A.390° B.420° C.450° D.480° 2.若 sin x?cos x<0,则角 x 的终边位于( ) A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第二、四象限 D.第三、四象限 3.函数 y=tan 是( ) 2 A.周期为 2π 的奇函数 π B.周期为 的奇函数 2 C.周期为 π 的偶函数 D.周期为 2π 的偶函数 4 π 4.已知 tan(-α - π )=-5,则 tan( +α )的值为( ) 3 3 A.-5 B.5 C.±5 D.不确定 5.已知函数 y=2sin (ω x+φ ))(ω >0)在区间[0,2π ]的图象如图,那么 ω 等于(

x

)

A.1 B.2 1 1 C. D. 2 3 6.函数 f(x)=cos(3x+φ )的图象关于原点成中心对称,则 φ 等于( ) π π A.- B.2kπ - (k∈Z) 2 2 π C.kπ (k∈Z) D.kπ + (k∈Z) 2 sin θ +cos θ 7.若 =2,则 sin θ cos θ 的值是( ) sin θ -cos θ 3 3 3 3 A.- B. C.± D. 10 10 10 4 π 8.将函数 y=sin x 的图象上所有的点向右平行移动 个单位长度,再把所得各点的横坐标 10 伸长到原来的 2 倍(纵坐标不变),所得图象的函数解析式是( ) π π ? ? ? ? A.y=sin?2x- ? B.y=sin?2x- ? 10? 5? ? ? ?1 π ? ?1 π ? C.y=sin? x- ? D.y=sin? x- ? ?2 10? ?2 20? π 9.将函数 y=sin(x-θ )的图象 F 向右平移 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称 3 π 轴是直线 x= ,则 θ 的一个可能取值是( ) 4

1

5π 5π A. B.- 12 12 11π 11π C. D.- 12 12 10.已知 a 是实数,则函数 f(x)=1+asin ax 的图象不可能是(

)

1 ?x 3π ? 11.在同一平面直角坐标系中,函数 y=cos? + ?(x∈[0,2π ])的图象和直线 y= 的交 2 ?2 2 ? 点个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.4 5π 2π 2π 12.设 a=sin ,b=cos ,c=tan ,则( ) 7 7 7 A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.b<a<c 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 1 π 13.如果 cos α = ,且 α 是第四象限的角,那么 cos(α + )=________. 5 2 π 14.设定义在区间(0, )上的函数 y=6cos x 的图象与 y=5tan x 的图象交于点 P,过点 P 2 作 x 轴的垂线,垂足为 P1,直线 PP1 与函数 y=sin x 的图象交于点 P2,则线段 P1P2 的长为 ________. 15.

函数 y=Asin(ω x+φ )(A、ω 、φ 为常数,A>0,ω >0)在闭区间[-π ,0]上的图象如图所 示,则 ω =________. 16.给出下列命题: (1)函数 y=sin |x|不是周期函数; (2)函数 y=tan x 在定义域内为增函数; 1 π (3)函数 y=|cos 2x+ |的最小正周期为 ; 2 2 π π (4)函数 y=4sin(2x+ ),x∈R 的一个对称中心为(- ,0). 3 6 其中正确命题的序号是________.

2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分) 17.(10 分)已知 α 是第三象限角,f(α )= (1)化简 f(α ); 3 1 (2)若 cos(α - π )= ,求 f(α )的值. 2 5 π 3π α - +α π -α 2 2 -α -π -π -α .

4sin θ -2cos θ 6 18.(12 分)已知 = ,求下列各式的值. 3sin θ +5cos θ 11 2 5cos θ (1) 2 ; 2 sin θ +2sin θ cos θ -3cos θ 2 (2)1-4sin θ cos θ +2cos θ .

1 19.(12 分)已知 sin α +cos α = . 5 3 3 求:(1)sin α -cos α ;(2)sin α +cos α .

3

π 20.(12 分)已知函数 f(x)=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,|φ |< )的部分图象如图所示. 2

(1)求函数 f(x)的解析式; (2)如何由函数 y=2sin x 的图象通过适当的变换得到函数 f(x)的图象,写出变换过程.

π 21.(12 分)函数 y=Asin(ω x+φ )(A>0,ω >0,0≤φ ≤ )在 x∈(0,7π )内只取到一个最 2 大值和一个最小值,且当 x=π 时,ymax=3;当 x=6π ,ymin=-3. (1)求出此函数的解析式; (2)求该函数的单调递增区间; 2 2 (3)是否存在实数 m,满足不等式 Asin(ω -m +2m+3+φ )>Asin(ω -m +4+φ )?若 存在,求出 m 的范围(或值),若不存在,请说明理由.

22.(12 分)已知某海滨浴场海浪的高度 y(米)是时间 t(0≤t≤24,单位:小时)的函数,记 作:y=f(t),下表是某日各时的浪高数据: t(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24 y(米) 1.5 1.0 0.5 1.0 1.5 1.0 0.5 0.99 1.5 经长期观测,y=f(t)的曲线,可近似地看成是函数 y=Acos ω t+b. (1)根据以上数据,求函数 y=Acos ω t+b 的最小正周期 T,振幅 A 及函数表达式; (2)依据规定,当海浪高度高于 1 米时才对冲浪爱好者开放,请依据(1)的结论,判断一天内 的上午 8∶00 时至晚上 20∶00 时之间,有多少时间可供冲浪者进行运动?

4

第一章

三角函数(B) 答案

1.B 2.C 3.A 4.A 2π 5.B [由图象知 2T=2π ,T=π ,∴ =π ,ω =2.] ω 6.D [若函数 f(x)=cos(3x+φ )的图象关于原点成中心对称,则 f(0)=cos φ =0,∴φ π =kπ + ,(k∈Z).] 2 sin θ +cos θ tan θ +1 7.B [∵ = =2, sin θ -cos θ tan θ -1 ∴tan θ =3. sin θ cos θ tan θ 3 ∴sin θ cos θ = 2 = = .] 2 2 sin θ +cos θ tan θ +1 10

8.C [函数 y=sin x

y=sin?x- ? 10

? ?

π ?横坐标伸长到原来的2倍 ― ― → 纵坐标不变 ?

?1 π ? y=sin? x- ?.] ?2
10? π ?? π ? ? 9.A [将 y=sin(x-θ )向右平移 个单位长度得到的解析式为 y=sin??x- ?-θ ?= 3? 3 ?? ? π π π π π sin(x- -θ ).其对称轴是 x= ,则 - -θ =kπ + (k∈Z). 3 4 4 3 2 7π 5π ∴θ =-kπ - (k∈Z).当 k=-1 时,θ = .] 12 12 10.D [图 A 中函数的最大值小于 2,故 0<a<1,而其周期大于 2π .故 A 中图象可以是函数 f(x)的图象.图 B 中,函数的最大值大于 2,故 a 应大于 1,其周期小于 2π ,故 B 中图象 可以是函数 f(x)的图象.当 a=0 时,f(x)=1,此时对应 C 中图象,对于 D 可以看出其最 大值大于 2,其周期应小于 2π ,而图象中的周期大于 2π ,故 D 中图象不可能为函数 f(x) 的图象.] x 1 ?x 3π ? 11.C [函数 y=cos? + ?=sin ,x∈[0,2π ],图象如图所示,直线 y= 与该图象有 2 2 ?2 2 ? 两个交点.

] 12.D [∵a=sin 5π 5π 2π =sin(π - )=sin . 7 7 7

2π π 8π 7π - = - >0. 7 4 28 28 π 2π π ∴ < < . 4 7 2 ?π π ? 又 α ∈? , ?时,sin α >cos α . ?4 2?
5

2π 2π >cos =b. 7 7 ? π? 又 α ∈?0, ?时,sin α <tan α . 2? ? 2π 2π ∴c=tan >sin =a. 7 7 ∴c>a.∴c>a>b.] 2 6 13. 5 ∴a=sin 1 解析 ∵α 是第四象限的角且 cos α = . 5 2 6 2 ∴sinα = - 1-cos α =- , 5 π 2 6 ∴cos(α + )=-sin α = . 2 5 2 14. 3 解析 由?
?y=6cos ? ? ?y=5tan
2

x, x

消去 y 得 6cos x=5tan x.
2

整理得 6cos x=5sin x,6sin x+5sin x-6=0,(3sin x-2)(2sin x+3)=0, 2 3 所以 sin x= 或 sin x=- (舍去). 3 2 2 2 点 P2 的纵坐标 y2= ,所以|P1P2|= . 3 3 15.3 解析 由函数 y=Asin(ω x+φ )的图象可知: T π 2 π 2 =(- )-(- π )= ,∴T= π . 2 3 3 3 3 2π 2 ∵T= = π ,∴ω =3. ω 3 16.(1)(4) 解析 本题考查三角函数的图象与性质.(1)由于函数 y=sin |x|是偶函数,作出 y 轴右侧 的图象,再关于 y 轴对称即得左侧图象,观察图象可知没有周期性出现,即不是周期函数; (2)错,正切函数在定义域内不单调,整个图象具有周期性,因此不单调;(3)由周期函数的 π 1 π π 定义 f(x+ )=|-cos 2x+ |≠f(x),∴ 不是函数的周期;(4)由于 f(- )=0,故根 2 2 2 6 π 据对称中心的意义可知(- ,0)是函数的一个对称中心,故只有(1)(4)是正确的. 6 π 3π α - +α π -α 2 2 17.解 (1)f(α )= -α -π -π -α π - -α α -tan α 2 = -tan α α cos α sin α tan α = -tan α sin α =-cos α .

6

3π 3π 1 (2)∵cos(α - )=cos( -α )=-sin α = . 2 2 5 1 ∴sin α =- . 5 2 6 ∵α 是第三象限角,∴cos α =- . 5 2 6 ∴f(α )=-cos α = . 5 4sin θ -2cos θ 6 18.解 由已知 = , 3sin θ +5cos θ 11 4tan θ -2 6 ∴ = . 3tan θ +5 11 解得:tan θ =2. 5 5 (1)原式= 2 = =1. tan θ +2tan θ -3 5 sin θ -4sin θ cos θ +3cos θ 2 2 (2)原式=sin θ -4sin θ cos θ +3cos θ = = 2 2 sin θ +cos θ 2 tan θ -4tan θ +3 1 =- . 2 1+tan θ 5 1 24 19.解 (1)由 sin α +cos α = ,得 2sin α cos α =- , 5 25 24 49 2 ∴(sin α -cos α ) =1-2sin α cos α =1+ = , 25 25 7 ∴sin α -cos α =± . 5 3 3 2 2 (2)sin α +cos α =(sin α +cos α )(sin α -sin α cos α +cos α )=(sin α +cos α )(1-sin α cos α ), 12 1 由(1)知 sin α cos α =- 且 sin α +cos α = , 25 5 1 ? 12? 37 3 3 ∴sin α +cos α = ??1+ ?= . 5 ? 25? 125 20.解 (1)由图象知 A=2. 5π π 2π π f(x)的最小正周期 T=4?( - )=π ,故 ω = =2.将点( ,2)代入 f(x)的解析式 12 6 T 6 π π π π 得 sin( +φ )=1,又|φ |< ,∴φ = ,故函数 f(x)的解析式为 f(x)=2sin(2x+ ). 3 2 6 6 (2)变换过程如下:
所有点的横坐标缩短为原来的 π 2 ? y=2sin(x+ ) ????????? y=2sin x ??????? ? y=2sin(2x+ 纵坐标不变 6 π ). 6 1 21.解 (1)由题意得 A=3, T=5π ? T=10π , 2 2π 1 1 π ∴ω = = .∴y=3sin( x+φ ),由于点(π ,3)在此函数图象上,则有 3sin( +φ )= T 5 5 5 3, π π π 3π ∵0≤φ ≤ ,∴φ = - = . 2 2 5 10
图像向左平移 个单位 6
2 2

?

1

7

1 3π ∴y=3sin( x+ ). 5 10 π 1 3π π (2)当 2kπ - ≤ x+ ≤2kπ + 时,即 10kπ -4π ≤x≤10kπ +π 时,原函数单调递 2 5 10 2 增. ∴原函数的单调递增区间为[10kπ -4π ,10kπ +π ](k∈Z).
? ?-m +2m+3≥0, (3)m 满足? 2 ?-m +4≥0, ?
2

解得-1≤m≤2. 2 2 ∵-m +2m+3=-(m-1) +4≤4, 2 ∴0≤ -m +2m+3≤2, 2 同理 0≤ -m +4≤2.由(2)知函数在[-4π ,π ]上递增,若有: Asin(ω -m2+2m+3+φ )>Asin(ω -m2+4+φ ),只需要: 1 1 2 2 -m +2m+3> -m +4,即 m> 成立即可,所以存在 m∈( ,2],使 Asin(ω 2 2 +φ )>Asin(ω -m +4+φ )成立. 22.解 (1)由表中数据知周期 T=12, 2π 2π π ∴ω = = = , T 12 6 由 t=0,y=1.5,得 A+b=1.5. 由 t=3,y=1.0,得 b=1.0. ∴A=0.5,b=1, 1 π ∴y= cos t+1. 2 6
2

-m +2m+3

2

1 π (2)由题知,当 y>1 时才可对冲浪者开放,∴ cos t+1>1, 2 6 π π π π ∴cos t>0,∴2kπ - < t<2kπ + ,即 12k-3<t<12k+3.① 6 2 6 2 ∵0≤t≤24,故可令①中 k 分别为 0,1,2, 得 0≤t<3 或 9<t<15 或 21<t≤24. ∴在规定时间上午 8∶00 至晚上 20∶00 之间, 有 6 个小时时间可供冲浪者运动, 即上午 9∶ 00 至下午 3∶00.

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