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线线垂直、线面垂直、面面垂直的判定与性质


空间中的垂直关系
1.线面垂直 直线与平面垂直的判定定理:如果 线垂直于这个平面。 推理模式: 直线和平面垂直的性质定理: 如果两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直 。 ,那么这条直

线

2.面面垂直 两个平面垂直的定义: 相交成 的两个平面叫做互相垂直的平面。 两平面垂直的判定定理: (线面垂直 ? 面面垂直) 如果 ,那么这两个平面互相垂直。 推理模式: 两平面垂直的性质定理: (面面垂直 ? 线面垂直) 若两个平面互相垂直, 那么在一个平面内垂直于它们的 一个平面。

的直线垂直于另

一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系
判定 判定 ??? ? 线面垂直 ??? ??? ? 面面垂直.这三者之间的关系非常密切, 为:线线垂直 ??? ? ? 性质 性质

可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同 学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.在空间图形中,高一级的垂直关系中 蕴含着低一级的垂直关系,下面举例说明. 例题:1.如图,AB 是圆 O 的直径,C 是圆周上一点,PA⊥平面 ABC. (1)求证:平面 PAC⊥平面 PBC; (2)若 D 也是圆周上一点,且与 C 分居直径 AB 的两侧,试写出图中所有互 相垂直的各对平面.

1

2、如图,棱柱 ABC ? A1B1C1 的侧面 BCC1B1 是菱形, B1C ? A1B 证明:平面 AB1C ? 平面 A1BC1

3、如图所示,在长方体 ABCD ? A1B1C1D1 中,AB=AD=1,AA1=2,M 是棱 CC1 的中点 (Ⅰ)求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值; (Ⅱ)证明:平面 ABM⊥平面 A1B1M1

4、如图, AB 是圆O的直径,C是圆周上一点, PA ? 平面 ABC.若 AE⊥PC ,E 为垂足,F是 PB 上任意一点,求证:平面 AEF⊥平面 PBC.

2

5、如图,直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,AC =BC =1,∠ACB =90°,AA1 = 2 ,D 是 A1B1 中点. (1)求证 C1D ⊥平面 A1B ; (2)当点 F 在 BB1 上什么位置时,会使 得 AB1 ⊥平面 C1DF ?并证明你的结论

6、S 是△ABC 所在平面外一点,SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.
S

A

C

B B B B 7、在四棱锥中,底面 ABCD 是正方形,侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD⊥底面 ABCD 证明:AB⊥平面 VAD
V

B B B B B B

D A

C

B

3

B B

8、如图,平行四边形 ABCD 中, ?DAB ? 60? , AB ? 2, AD ? 4 ,将 ?CBD 沿 BD 折 起到 ?EBD 的位置,使平面 EDB ? 平面 ABD . 求证: AB ? DE w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

9、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,平面 PAD⊥平面 ABCD,AB=AD,∠BAD=60°,E、 F 分别是 AP、AD 的中点 求证: (1)直线 EF‖平面 PCD; (2)平面 BEF⊥平面 PAD

10、如图,在三棱锥 S ? ABC 中,平面 SAB ? 平面 SBC , AB ? BC , AS ? AB .过

A 作 AF ? SB ,垂足为 F ,点 E , G 分别是棱 SA, SC 的中点。
求证: (1)平面 EFG //平面 ABC (2) BC ? SA

4

11、如图,在三棱锥 P ? ABC 中, D, E , F 分别是棱 PC, AC, AB 的中点,已知

PA ? AC, PA ? 6, BC ? 8, DF ? 5 .
求证: (1)直线 PA // 平面 DEF ; (2)平面 BDE ? 平面 ABC

12、如图,在正方形 ABCD 中, AB ? 2, BC ? 1, E 是 CD 的中点, F 是 AE 的中 点。现在沿 AE 将 ?ADE 向上折起,在折起的图形中解答下列问题: (1)在线段 AB 上是否存在一点 K ,使得 BC // 平面 DFK ?若存在,请正明你的 结论;若不存在,请说明理由。 (2)若平面 ADE ? 平面 ABCE ,求证:平面 BDE ? 平面 ADE

5

13、如图,在四棱锥 P ? ABCD 中, AB ? AC, AB ? PA, AB // CD , AB ? 2CD ,

E, F , G, M , N 分别是 PB, AB, BC, PD, PC 的中点。
(1)求证: CE // 平面 PAD ; (2)求证:平面 EFG ? 平面 EMN

14、如图,直四棱柱 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AB // CD , AD ? AB, AB ? 2 ,AD= 2 ,

AA1 ? 3 , E 为 CD 上一点, DE ? 1, EC ? 3
(1)证明: BE ? 平面 BB1CC1 ; (2)求点 B1 到平面 EA1C1 的距离。

6


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