当前位置:首页 >> 数学 >>

椭圆单元片


曲线方程和椭圆单元片(共 6 课时) 郭梅

一、本单元(片)重要知识点及其内涵: 知识点 1:曲线与方程 理解要点: 1. 一般地, 在平面直角坐标系中, 如果某曲线 C 上的点与一个二元方程 f(x,y)=0
的实数解建立了如下关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解。 (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点。那么这个方程叫做曲线的方程

,这 条曲线叫做方程的曲线。 注:如果中满足第(2)个条件,会出现什么情况?(若只满足“以这个方程的解为坐标的 点都是曲线上的点” ) ,则这个方程可能只是部分曲线的方程,而非整个曲线的方程,如分段 函数的解析式。 2.求动点的轨迹方程的一般步骤 (1)建系——建立适当的坐标系. (2)设点——设轨迹上的任一点 P(x,y). (3)列式——列出动点 P 所满足的关系式. (4)代换——依条件的特点,选用距离公式、斜率公式等将其转化为 x,y 的方程式,并化简。 (5)证明——证明所求方程即为符合条件的动点轨迹方程. 注:

注意事项:求轨迹和轨迹方程有什么不同?(求轨迹和轨迹方程的不同:后者只指方程(包括
范围)),而前者包含方程及所求轨迹的形状、位置、大小等。

应用形式:
求轨迹方程

知识点 2:椭圆及其标准方程:

理解要点:
1. 椭圆的定义: 2.椭圆方程. ①椭圆的标准方程:
2 2 i. 中心在原点,焦点在 x 轴上: x ? y ? 1(a ? b ? 0) . 2 2

b 2 ii. 中心在原点,焦点在 y 轴上: y ? x ? 1(a ? b ? 0) . 2 2 a b
2

a

②一般方程: Ax2 ? By 2 ? 1( A ? 0, B ? 0) .

③椭圆的标准参数方程:

x2 a
2

?

y2 b
2

? x ? a cos? ?1 的参数方程为 ? (一象限 ? 应是属于 ? y ? b sin?

0 ?? ?

?
2

).

注意事项:
PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 方程为椭圆 , PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 无轨迹, PF 1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 以F 1, F 2 为端点的线段

应用形式: 求椭圆的标准方程
知识点 3:椭圆的简单几何性质::

理解要点:
(1)范围: (2)对称性: (3)顶点:椭圆共有四个顶点: A (?a,0), A2 (a,0) , B (0,?b), B2 (0, b) 加两焦点
王新敞
奎屯 新疆

F1 (?c,0), F2 (c,0) 共有六个特殊点.
(4)离心率:定义式: e ?

c b ? e ? 1 ? ( )2 a a

王新敞
奎屯

新疆

注意事项:
范围: 0 ? e ? 1 当 e 越接近于 1 时,椭圆越扁;反之,e 越接近于 0 时,椭圆就越接近 于圆.

应用形式:
求椭圆的离心率 知识点 4:直线与椭圆的位置关系理解要点内化

理解要点:
1、点与椭圆的位置关系。点坐标代入方程后判断。 2、直线与椭圆的判断只能用代数法,即直线与椭圆与方程联立后判断判别式。 1.对 于直线与椭圆方程联立得方程组

? Ax ? By ? C ? 0, ? 2 2 2 2 2 2 ?b x ? a y ? a b .
对解的个数进行讨论,有两组不同实数解(△>0)时,直线与椭圆相交;有两组相 同实数解(△=O)时,直线与椭圆相切;无实数解(△<O)时,直线与椭圆相离. 3、弦长公式:设直线与椭圆的两交点 A(x1,y1),B(x2,y2),直线 L 斜率为 k,

则|AB|=

y1 ? y 2 ? ?x1 ? x2 ?2 ? ? y1 ? y 2 ?2 = ?x ? x ?2 [1 ? ? ? ? 1 2 ? ? ? x1 ? x2 ?

2

].



y1 ? y 2 ? k , ∴|AB|= x1 ? x 2

?x1 ? x2 ?2 ? (1 ? k 2 ) .∴|AB|=|x1-x2|

1? k 2 .

注意事项:
1、判断直线与椭圆位置关系要注意,判断直线的斜率是否存在! 2、焦点弦的问题,可以用焦半径公式处理。

应用形式:
求直线与椭圆相交的弦长、离心率、及综合问题。 二、学难点及突破方法: 1、曲线与方程:理解曲线方程的定义,掌握及其求解步骤及其方法(如待定系数法、定义 法、直接法、代入法、消参法等) 2、圆锥曲线及其标准方程:在求解过程中,先确定焦点位置,选取适当形式并再据条件求 出 a,b,注意 a、b、c 三者的关系。 3、圆锥曲线的几何性质:根据曲线的方程研究曲线的几何性质,并正确地画出图形,引导 学生观察椭圆,从对称性、顶点、范围、扁圆程度等等研究得出椭圆的几何性质。 4、 韦达定理法:直线与曲线方程联立,交点坐标设而不求,用韦达定理写出转化完成。要 注意:如果方程的根很容易求出,就不必用韦达定理,而直接计算出两个根; 5、 点差法:弦中点问题,端点坐标设而不求。 三、生应掌握的题型(问题)及解决方法和规律 题型一:求轨迹方程 方法一:用直接法求轨迹方程 1.如果动点运动的条件就是一些几何量的等量关系,这些条件简单明确,易于表述成 含 x 、 y 的等式,得到轨迹方程,这种方法称之为直接法。用直接法求动点轨迹的方程一般 有建系设点、列式、代换、化简、证明五个步骤,但最后的证明可以省略。 2.用直接法求轨迹方程是近年来高考常考的题型,有时题目以向量为背景,解题中需 注意向量的坐标化运算。有时需分类讨论。 〖例〗如图所示,设动直线 l 垂直于 x 轴,且与椭圆 x ? 2 y ? 4 交于 A、B 两点,P 是
2 2

l 上满足

的点,求点 P 的轨迹方程。 求P点

思路解析:设 P 点坐标为(x,y) ?求出 A、B 两点坐标 ?代入

轨迹 ?标明 x 的范围。 方法二:用定义法求轨迹方程 1.运用解析几何中一些常用定义(例如圆锥曲线的定义) ,可从曲线定义出发直接写出 轨迹方程,或从曲线定义出发建立关系式,从而求出轨迹方程。 2.用定义法求轨迹方程的关键是紧扣解析几何中有关曲线的定义,灵活应用定义。同 时用定义法求轨迹方程也是近几年来高考的热点之一。 〖例〗如图所示, 一 动 圆 与 圆 x2 ? y 2 ? 6 x ? 5 ? 0 外 切 , 同 时 与 圆

x2 ? y 2 ? 6x ? 91 ? 0 内切,求动圆圆心 M 的轨迹方程,并说明它是什
么样的轴线。 思路解析:利用两圆的位置关系一相切这一性质得到动圆圆心与 已知两圆圆心间的关系,再从关系分析满足何种关系的定义。 方法三:用相关点法(代入法)求轨迹方程 1 .动点所满足的条件不易表述或求出,但形成轨迹的动点 P ( x,y )却随另一动点 且动点 Q 的轨迹方程为给定或容易求得, 则可先将 x?、y? Q( x?, y?) 的运动而有规律的运动, 表示 x、y 的式子,再代入 Q 的轨迹方程,然后整理得 P 的轨迹方程,代入法也称相关点法。 2.用代入法求轨迹方程的关键是寻求关系式: x? ? f ( x, y), y? ? g ( x, y) ,然后代入已 知曲线。而求对称曲线(轴对称、中心对称)方程实质上也是用代入法(相关点法)解题。 〖例〗已知 A(-1,0) ,B(1,4) ,在平面上动点 Q 满足 QA QB ? 4 ,点 P 是点 Q 关 于直线 y=2(x-4)的对称点,求动点 P 的轨迹方程。 思路解析: 由已知易得动点 Q 的轨迹方程, 然后找出 P 点与 Q 点的坐标关系, 代入即可。 方法四:用参数法求轨迹方程 〖例〗设椭圆方程为 x 点,点 P 满足 OP ?
2

?

y2 ? 1 ,过点 M (0,1) 的直线 l 交椭圆于点 A、B,O 是坐标原 4

1 1 1 (OA ? OB ), 点 N 的坐标为 ( , ) ,当 l 绕点 M 旋转时,求: 2 2 2

(1)动点 P 的轨迹方程; (2) NP 的最小值与最大值。 题型二 圆锥曲线的定义应用

方法总结:

点 P 在椭圆上这个条件的转化常有两种方法:一是点 P 椭圆的定义

PF1 ? PF 2 ? 2a ? F 1F 2 ,二是点 P 满足椭圆的方程,应该认真领会椭圆定义
例 1. 如果方程 x +ky =2 表示焦点在 y 轴的椭圆,那么实数 k 的取值范围是____________. 焦点三角形 1.设 F1 , F2 是双曲线
2 2

x2 ? y 2 ? 1 的两个焦点,点 P 在双曲线上且满足 ?F1 PF2 ? 90? , 则 4
点 P 的坐标是

?PF1 F2 的面积为
方法总结:数形结合解题 题型三 圆锥曲线方程的求法

例 2:已知椭圆的两个焦点为(-2,0) , (2,0)且过点 ( , ? ) ,求椭圆的标准方程 方法总结:求椭圆的标准方程总结有两种方法:其一是由定义求出长轴与短轴长,根据 条件写出方程;其二是先确定标准方程的类型,并将其用有关参数 a , b 表示出来然后结合条 件建立 a , b 所满足的等式,求得 a , b 的值,再代人椭圆的标准方程

5 2

3 2

题型四 圆锥曲线几何性质 2 2 x y 例: 过椭圆 2+ 2=1(a>b>0)的左焦点 F1 作 x 轴的垂线交椭圆于点 P, F2 为右焦点, 若∠F1PF2 a b =60°,则椭圆的离心率为 ( )

方法总结:直接求出 a,c,得离心率 题型五、求离心率问题 方法 1:直接由方程中 a,b,c 求离心率: 方法 2:由几何方法求解离心率 方法 3:由齐次方程求离心率 例 1 若椭圆的一短轴端点与两焦点连线成 120°角,则该椭圆的离心率为 例 2、圆心在椭圆右焦点 F2,且过椭圆的中心 O(0, 0),该圆与椭圆交于点 P,设 F1 是椭圆 的左焦点,直线 PF1 恰和圆相切于点 P,则椭圆的离心率是 例 3、 (a>b>0)的左焦点 F 到过顶点 A(-a, 0), B(0, b)的直线的距离等于 离心率。 题型六:直线与圆锥曲线位置关系

b ,则椭圆的 7

一) 、直线与椭圆的公共点、弦长、中点问题 1、公共点问题 例 1、若直线 y ? kx ? 1(k ? R) 与椭圆

x2 y2 ? ? 1 恒有公共点,求实数 m 的取值范围 5 m

方法总结:由直线方程与椭圆方程联立的方程组解的情况直接导致两曲线的公共点状 况,而方程解的情况由判别式来决定,直线与椭圆有相交、相切、相离三种关系,直线方程 与椭圆方程联立,消去 y (或 x )得到关于 x (或 y )的一元二次方程,则(1)直线与椭 圆相交 ? ? ? 0 (2)直线与椭圆相切 ? ? ? 0 (3)直线与椭圆相离 ? ? ? 0 ,所以判 定直线与椭圆的位置关系, 方程及其判别式是最基本的工具。 或者可首先判断直线是否过定 点,并且初定定点在椭圆内、外还是干脆就在椭圆上,然后借助曲线特征判断:如例 2 中法 二是根据两曲线的特征观察所至; 法三则紧抓定点在椭圆内部这一特征: 点 M ( xo , yo ) 在椭

圆内部或在椭圆上则 2、弦长问题 例 2、已知椭圆

xo y ? o2 ? 1 2 a b

2

2

x2 y2 ? ? 1 的左右焦点分别为 F1,F2,若过点 P(0,-2)及 F1 的直线交椭 2 1

圆于 A,B 两点,求⊿ABF2 的面积 方法总结: 在利用弦长公式 AB ? 1 ? k x1 ? x2 ? 1 ?
2

1 y1 ? y 2 (k 为直线斜率) k2

或焦(左)半径公式 AB ? PF 1 ? PF 2 ? a ? ex1 ? a ? ex2 ? 2a ? 2e( x1 ? x2 ) 时,应结合 韦达定理解决问题。 3、中点问题

x2 y2 ? ? 1 内有一点 P(2,1) 例 3、椭圆 E: ,求经过 P 并且以 P 为中点的弦所在直线方 16 4
程。 方法总结:椭圆中心定,焦点定,所以椭圆的位置定,而且由准线方程可得一个方程, 还有一个方程怎么找?根据直线与椭圆相交,可联立方程组,利用韦达定理解决,事实上就 是把交点问题化归为方程根的问题,有关中点问题还可设弦的两端点坐标代入椭圆方程相 减,式中含有 x1 ? x2 , y1 ? y 2 ,

y1 ? y 2 三个未知量,但直接联系了中点和直线的斜率,同样可 x1 ? x2

得到 a 与 b 的关系(点差法)从而解决问题,但两者又各有弊端:韦达定理解决过程中易漏 解,需关注直线的斜率问题;点差法则在确定范围方面略显不足。 直线与椭圆的公共点、 弦长、 弦的中点问题常转化为对应方程联立的方程组的解得问题, 进而转化为一元二次方程的问题. 题型七 最值问题

例 1、如图所示,已知椭圆 x 2 ? 8 y 2 ? 8 ,在椭圆上求一点 P,使 P 到直线 的距离最小,并求出最小值.

方法总结: 常转化为与已知直线平行的直线 m 与椭圆相切问 题, 利用判别式求出直线 m, 再利用平行线间距离公式求出最值。

例 2、已知:B (2,2)是椭圆

x2 y2 ? ? 1内一点, F1 , F2 是两焦点,M 是椭圆上的一个动点, 25 9

求 MF2 ? MB 的最大值和最小值 方法总结:椭圆上点到焦点与一定点距离之和(差)的最值问题往往可用定义转化到另一焦 点距离之差(和)进而求解。本题可利用三角形三边关系,求最值的方法 解析几何中的最值与取值范围问题涉及的知识面较广, 但主要运用数形结合、 函数两大 数学思想,具体方法有以下几种: 1、利用数形结合、几何意义,尤其是以圆与椭圆的性质求最值与取值范围。 2、利用函数,尤其是二次函数求最值与取值范围。 3、利用不等式,尤其是均值不等式求最值与取值范围。 4、利用判别式求最值与取值范围。 ( 四、本单元(片)课时及其教学内容规划

课堂计划完成的内容 课时序号 讲授知识点名称 第1节课 知识点一 讲授题型名称及其对应解决 方法名称 求曲线方程 讲练结合

第2节课

知识点二

椭圆定义及应用

讲练结合

第 3 节课

知识点三

椭圆的几何性质

讲练结合

第 4 节课

知识点四

椭圆的几何性质的应用

讲练结合

第 5 节课

知识点五

直线与椭圆的位置关系

讲练结合


相关文章:
椭圆单元片
椭圆单元片_数学_高中教育_教育专区。曲线方程和椭圆单元片(共 6 课时) 郭梅 一、本单元(片)重要知识点及其内涵: 知识点 1:曲线与方程 理解要点: 1. 一般地...
椭圆单元测试题答案
椭圆单元测试题答案_其它考试_资格考试/认证_教育专区。椭圆单元测试题参考答案一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选...
椭圆单元练习卷
椭圆单元练习卷一、选择题: x2 y2 ? ? 1 上的一点P,到椭圆一个焦点的距离为3,则P到另一焦点距离 1.已知椭圆 25 16 为( ) A.2 B.3 C.5 D.72...
椭圆单元检测
椭圆单元检测_数学_高中教育_教育专区。椭圆阶段测试 椭圆检测一、填空题 1.若一个椭圆长轴的长度、 短轴的长度和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是 ___. x...
椭圆单元练习三答案
椭圆单元练习三答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档 椭圆单元练习三答案_高二数学_数学_高中教育_教育专区。椭圆单元练习三...
椭圆单元综合
椭圆单元综合_高二数学_数学_高中教育_教育专区 暂无评价|0人阅读|0次下载|举报文档椭圆单元综合_高二数学_数学_高中教育_教育专区。椭圆综合卷 1.如果方程 x ...
高二椭圆单元测试卷
高二椭圆单元测试卷一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1.下列命题是真命题的是...
椭圆单元测试题
椭圆单元测试题_数学_高中教育_教育专区。椭圆复习资料一、选择题 1.设 p 是椭圆 A.4 x2 y 2 ? ? 1 上的点.若 F1,F2 是椭圆的两个焦点,则 PF1 ?...
椭圆单元测试题
椭圆单元测试题一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.设 p 是椭圆 A.4 x2 y 2 ?...
更多相关标签:
椭圆单元测试题 | 椭圆照片 | 椭圆卡扣带圆片叫什么 | cdr制作椭圆名片 | 椭圆翅片管 | 椭圆盘片 | 怎么把照片截成椭圆形 | 如何把照片变成椭圆形 |