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二项分布经典例题+练习题


二项分布 1. n 次独立重复试验 一般地,由 n 次试验构成,且每次试验相互独立完成,每次试验 的结果仅有两种对立的状态,即 A 与 A ,每次试验中 P( A) ? p ? 0 。我 们将这样的试验称为 n 次独立重复试验,也称为伯努利试验。 (1)独立重复试验满足的条件 第一:每次试验是在同样条件下 进行的;第二:各次试验中的事件是互相独立的;第三:每次试验都 只有两种结果

。 (2) n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k P( X ? k ) ? Cn p k( 1? p)?n 。

2.二项分布 若 随 机 变 量 X 的 分 布 列 为 P( X ? k ) ?
k Cn p k ?q n

, 其 中
k

0 ? p ? 1. p ? q ? 1, k ? 0,1,2,?, n, 则 称 X 服 从 参 数 为 n, p 的 二 项 分 布 , 记 作 X ? B( n p) , 。

1.一盒零件中有 9 个正品和 3 个次品,每次取一个零件,如果取出 的次品不再放回,求在取得正品前已取出的次品数 X 的概率分布。

2.一名学生每天骑车上学,从他家到学校的途中有 6 个交通岗,假设 他在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的,并且概率都是 . (1)设 ? 为这名学生在途中遇到红灯的次数,求 ? 的分布列; (2)设? 为这名学生在首次停车前经过的路口数,求? 的分布列; (3)求这名学生在途中至少遇到一次红灯的概率.
1 3

3.甲乙两人各进行 3 次射击,甲每次击中目标的概率为 ,乙每次击 中目标的概率为 . (1)记甲击中目标的此时为 ? ,求 ? 的分布列及数学期望; (2)求乙至多击中目标 2 次的概率; (3)求甲恰好比乙多击中目标 2 次的概率.
2 3

1 2

【巩固练习】 1.(2012 年高考(浙江理) )已知箱中装有 4 个白球和 5 个黑球,且 规定:取出一个白球的 2 分,取出一个黑球的 1 分.现从该箱中任 取(无放回,且每球取到的机会均等)3 个球,记随机变量 X 为取出 3 球所得分数之和. (Ⅰ)求 X 的分布列; (Ⅱ)求 X 的数学期望 E(X).

2. (2012 年高考(重庆理) )(本小题满分 13 分,(Ⅰ)小问 5 分,(Ⅱ) 小问 8 分.) 甲、 乙两人轮流投篮,每人每次投一球,.约定甲先投且先投中者获 胜,一直到有人获胜或每人都已投球 3 次时投篮结束.设甲每次投 篮投中的概率为 ,乙每次投篮投中的概率为 ,且各次投篮互不 影响. (Ⅰ) 求甲获胜的概率; (Ⅱ) 求投篮结束时甲的投篮次数 ? 的分布列与期望
1 3

1 2

3.设篮球队 A 与 B 进行比赛,每场比赛均有一队胜,若有一队胜

4 场则比赛宣告结束,假定 A, B 在每场比赛中获胜的概率都是

1 , 2

试求需要比赛场数的期望.

3. (2012 年高考(辽宁理) )电视传媒公司为了了解某地区电视观众 对某类体育节目的收视情况,随机抽取了 100 名观众进行调查. 下面是根据调查结果绘制的观众日均收看该体育节目时间的频 率分布直方图;

将日均收看该体育节目时间不低于 40 分钟的观众称为 “体育迷” . (Ⅰ)根据已知条件完成下面的 2 ? 2 列联表,并据此资料你是否认 为“体育迷”与性别 有关?

(Ⅱ)将上述调查所得到的频率视为概率.现在从该地区大量电视 观众中,采用随机抽 样方法每次抽取 1 名观众,抽取 3 次,记被抽取的 3 名观众中的 “体 育迷”人数为 X.若每次抽取的结果是相互独立的,求 X 的分布列, 期望 E ( X ) 和方差 D( X ) .

5.(2007 陕西理)某项选拔共有三轮考核,每轮设有一个问题,能 正确回答问题者进入下一轮考试,否则即被淘汰,已知某选手能正确

回答第一、二、三轮的问题的概率分别为 4 、 3 、 2 ,且各轮问题能
5 5 5

否正确回答互不影响. (Ⅰ)求该选手被淘汰的概率; (Ⅱ) 该选手在选拔中回答问题的个数记为ξ , 求随机变量ξ 的分布列与数 数期望.(注:本小题结果可用分数表示)

6. 一批产品共 10 件,其中 7 件正品,3 件次品,每次从这批产品中 任取一件,在下述三种情况下,分别求直至取得正品时所需次数 ? 的 概率分别布. (1)每次取出的产品不再放回去; (2)每次取出的产品仍放回去; (3)每次取出一件次品后,总是另取一件正品放回到这批产品中.

7. (2007?山东)设 b 和 c 分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用 随机变量 ξ 表示方程 x2+bx+c=0 实根的个数(重根按一个计) . 2 (I)求方程 x +bx+c=0 有实根的概率; (II)求 ξ 的分布列和数学期望;

8.(本题满分 12 分)某商场为吸引顾客消费推出一项优
A


C
60?

活动.活动规则如 下: 消费额每满 100 元可转动如 图所示的转盘一次,并获得相应金额的返券,假

B

定指针等可能地停在任一位置. 若指针停在 A 区域返券 60 元; 停在 B 区域返券 30 元;停在 C 区域不返券. 例如:消费 218 元, 可转动转盘 2 次,所获得的返券金额是两次金额之和. (I)若某位顾客消费 128 元,求返券金额不低于 30 元的概率; (II)若某位顾客恰好消费 280 元,并按规则 参与 了活动,他获 得返券的金额记为 X (元) ,求随机变量 X 的分布列和数学期望.

9 . (本题满分 12 分)中国 ? 黄石第三届国际矿冶文化旅游 节将于 2012 年 8 月 20 日在黄石铁山举行,为了搞好 接待工作,组委会准备在湖 北理工学院和湖北师范学院分别招募 8 名和 12 名志愿者, 将这 20 名 志愿者的身高编成如下茎叶图(单位:cm) 若身高在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“高个子” ,身高在 175cm 以下(不包括 175cm)定义为“非高个子” ,且只有湖北师范学 院的“高个子”才能担任“兼职导游” 。 (1)根据志愿者的身高编茎叶图指 出湖北师范学院志愿者身高的中位数; (2)如果用分层抽样的方法从“ 高 个子”和“非高个子”中抽取 5 人,再从 这 5 人中选 2 人,那么至少有一人是“高 个子”的概率是多少? (3)若从所有“高个子”中选 3 名 志愿者, ? 表示所选志愿者中能担任 用 “兼 职导游”的人数,试写出 ? 的分布列,并求 ? 的数学期望 。
9 9 6 5 0 7 2 1 15 16 17 18 19 8 1 3 0 9 2 5 4 6 1 8 9 湖北理工学院 湖北师范学院

10.某产品按行业生产标准分成 8 个等级,等级系数 X 依次为 1,2,……,8,其中 X≥5 为标准 A,X≥3 为标准 B,已知甲厂执行标 准 A 生产该产品,产品的零售价为 6 元/件;乙厂执行标准 B 生产该 产品,产品的零售价为 4 元/件,假定甲、乙两厂得产品都符合相应 的执行标准 (I)已知甲厂产品的等级系数 X1 的概率分布列如下所示:
x1

5 0.4

6 a

7 b

8 0.1

P

且 X1 的数字期望 EX1=6,求 a,b 的值; (II)为分析乙厂产品的等级系数 X2,从该厂生产的产品中随机抽取 30 件,相应的等级系数组成一个样本,数据如下: 3 6 8 5 3 3 3 4 4 3 7 3 8 5 4 5 3 4 5 4 7 6 8 5 3 5 6 4 3 7

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,求等级系数 X2 的数学期望.

11. 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业产生每辆轿车的利 润与该轿车首次出现故障的时间有关,某轿车制造厂生产甲、乙两种 品牌轿车,保修期均为 2 年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机 抽取 50 辆,统计书数据如下:

将频率视为概率,解答下列问题: (I)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求首次出现故 障发生在保修期内的概率; (II)若该厂生产的轿车均能售出,记住生产一辆甲品牌轿车的

利润为 X 1 , 生产一辆乙品牌轿车的利润为 X 2 , 分别求 X 1 ,X 2 的分布列; (III)该厂预计今后这两种品牌轿车销量相当,由于资金限制, 只能生产其中一种品牌轿车,若从经济效益的角度考虑, 你认为应该产生哪种品牌的轿车?说明理由。 巩固练习答案 1.【解析】本题主要考察分布列,数学期望等知识点. (Ⅰ) X 的可能取值有:3,4,5,6.
P( X ? 3) ? P( X ? 5) ?
3 C5 5 ; ? 3 C9 42 1 2 C5C4 15 ; ? 3 42 C9

P( X ? 4) ?

1 C52 C4 20 ; ? 3 42 C9 3 C4 2 . ? 3 C9 42

P( X ? 6) ?

故,所求 X 的分布列为

X P

3
5 42

4
20 10 ? 42 21

5
15 5 ? 42 14

6
2 1 ? 42 21

(Ⅱ) 所求 X 的数学期望 E(X)为:

E(X)= ? i ? P( X ? i) ? 13 .
i?4

6

3

【答案】(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)

13 . 3

2.【考点定位】本题考查离散随机变量的分布列和期望与相互独立事 件的概率,考查运用概率知识解决实际问题的能力,相互独立事 件是指两事件发生的概率互不影响,注意应用相互独立事件同时 发生的概率公式. 解:设 Ak , Bk 分别表示甲、乙在第 k 次投篮投中,则

1 1 P ? Ak ? ? , P ? Bk ? ? , 3 2

k ? ?1, 2,3?

(1)记“甲获胜”为事件 C,由互斥事件有一个发生的概率与相互 独 立 事 件 同 时 发 生 的 概 率 计 算 公 式 知, P ? C ? ? P ? A1 ? ? P ? A1 B1 A2 ? ? P ? A1 B1 A2 B2 A3 ?
? P ? A1 ? ? P A1 P B1 P ? A2 ? ? P A1 P B1 P A2 P B2 P ? A3 ?

? ? ? ?
2

? ? ? ? ? ? ? ?

?

1 2 1 1 ?2? ?1? 1 ? ? ? ? ? ? ?? ? ? 3 3 2 3 ?3? ?2? 3

2

1 1 1 13 ? ? ? ? 3 9 27 27

(2) ? 的所有可能为: 1, 2,3 由独立性知: P ?? ? 1? ? P ? A1 ? ? P ? A1B1 ? ? ? ? ?
1 3 2 1 3 2 2 3
2

2 1 1 ?2? ?1? 2 P ?? ? 2 ? ? P A1 B1 A2 ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? ? ? ? 3 2 3 ?3? ?2? 9 1 ?2? ?1? P ?? ? 3? ? P A1 B1 A2 B2 ? ? ? ? ? ? 9 ?3? ?2?

?

? ? ?

?

2

?

2

2

综上知, ? 有分布列
?
P

1
2 3

2
2 9

3
1 9

从而, E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ?

2 3

2 9

1 9

13 (次) 9

3. 解: (1)事件“ X ? 4 ”表示, A 胜 4 场或 B 胜 4 场(即 B 负 4 场或 A 负 4 场) ,且两两互斥.
1 1 1 1 2 4 0 P( X ? 4) ? C4 ? ( )4 ? ( )0 ? C4 ? ( )0 ? ( ) 4 ? ; 2 2 2 2 16

(2)事件“ X ? 5 ”表示, A 在第 5 场中取胜且前 4 场中胜 3 场, 或 B 在第 5 场中取胜且前 4 场中胜 3 场 (即第 5 场 A 负且 4 场中 A 负 了 3 场) ,且这两者又是互斥的,所以

1 3 1 1 1 1 1 1 4 P( X ? 5) ? C4 ( )3 ( ) 4?3 ? C4 ( )1 ( ) 4?1 ? 2 2 2 2 2 2 16

(3)类似地,事件“ X ? 6 ” “ X ? 7 ”的概率分别为 、
1 3 1 1 1 1 1 5 P( X ? 6) ? C5 ( )3 ( )5?3 ? C52 ( ) 2 ( )5?2 ? , 2 2 2 2 2 2 16 1 3 1 1 1 3 1 1 5 P( X ? 7) ? C6 ( )3 ( )6?3 ? C6 ( )3 ( )6?3 ? 2 2 2 2 2 2 16

比赛场数的分布列为
X

4
2 16

5
4 16

6
5 16

7
5 16

P

故比赛的期望为 E ( X ) ? 4 ?

2 4 5 5 ? 5 ? ? 6 ? ? 7 ? ? 5.8125 (场) 16 16 16 16

这就是说,在比赛双方实力相当的情况下,平均地说,进行 6 场 才能分出胜负.

4.【答案及解析】 (I)由频率颁布直方图可知,在抽取的 100 人中,“体育迷”有 25 人,从而 2×2 列联表如下:

由 2×2 列联表中数据代入公式计算,得:

因为 3.030<3.841,所以,没有理由认为“体育迷”与性别有关. (II)由频率颁布直方图知抽到“体育迷”的频率为 0.25,将频率 视为概率,即从观众中抽取一名“体育迷”的概率为 ,由题意, ,从而 X 的分布列为:
1 4

【点评】本题主要考查统计中的频率分布直方图、独立性检验、 离散型随机变量的分布列,期望 E ( X ) 和方差 D( X ) ,考查分析解决 问题的能力、运算求解能力,难度适中.准确读取频率分布直方图 中的数据是解题的关键.

5.(Ⅰ)解法一:记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 3) , 2, 则 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? ,
?该选手被淘汰的概率 P ? P( A1 ? A1 A2 ? A2 A2 A3 ) ? P( A1 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 1 4 2 4 3 3 101 . ? ? ? ? ? ? ? 5 5 5 5 5 5 125 (Ⅰ)解法二:记“该选手能正确回答第 i 轮的问题”的事件为 Ai (i ? 1, 3) , 2, 4 3 2 则 P( A1 ) ? , P( A2 ) ? , P( A3 ) ? . 5 5 5 ?该选手被淘汰的概率
4 5 3 5 2 5

P ? 1 ? P( A1 A2 A3 ) ? 1 ? P( A1 ) P( A2 ) P( A3 ) 4 3 2 101 . ? 1? ? ? ? 5 5 5 125

(Ⅱ) ? 的可能值为 1, 3 , P(? ? 1) ? P( A1 ) ? , 2,

1 5 4 2 8 , P(? ? 2) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 5 25 4 3 12 . P(? ? 3) ? P( A1 A2 ) ? P( A1 ) P( A2 ) ? ? ? 5 5 25

?? 的分布列为 ?

1
1 5

2
8 25

3
12 25

P

1 8 12 57 . ? E? ? 1? ? 2 ? ? 3 ? ? 5 25 25 25

6.(1)X 的所有可能值为 1,2,3,4。X 的分布列为

P(X=1)=7/10,

P(X=2)=3/10×7/9=7/30,

P(X=3)=3/10×2/9×7/8=7/120,

P(X=4)=3/10×2/9×1/8=1/120。

(2)X 的所有可能值为 1,2,3,4。X 的分布列为

P(X=k)= ( ) k ?1.

3 10

7 ,k=1,2,3,…… 10

(3)X 的所有可能值为 1,2,3,4。X 的分布列为

P(X=1)=7/10,

P(X=2)=3/10×8/10=6/25,

P(X=3)=3/10×2/10×9/10=27/500,

P(X=4)=3/10×2/10×1/10=3/500。 7. 解:(I)由题意知,本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的基本事件总数为 6×6=36, 满足条件的事件是使方程有实根,则△=b2-4c≥0,即 b≥ 2 c 下面针对于 c 的取值进行讨论 当 c=1 时,b=2,3,4,5,6; 当 c=2 时,b=3,4,5,6; 当 c=3 时,b=4,5,6; 当 c=4 时,b=4,5,6; 当 c=5 时,b=5,6; 当 c=6 时,b=5,6, 目标事件个数为 5+4+3+3+2+2=19, 因此方程 x2+bx+c=0 有实根的概率为
19 36

(II)由题意知用随机变量 ξ 表示方程 x2+bx+c=0 实根的个数得到

ξ=0,1,2 根据第一问做出的结果得到 则 P(ξ=0)=
1 17 2 17 ,P(ξ=1)= = ,P(ξ=2)= , 36 36 18 36

∴ξ 的分布列为

∴ξ 的数学期望 Eξ=0×

1 17 17 +1× +2× =1, 18 36 36

8.设指针落在 A,B,C 区域分别记为事件 A,B,C. 则 P( A) ? , P( B) ? , P(C ) ? . (Ⅰ)若返券金额不低于 30 元,则指针落在 A 或 B 区域.
? P ? P( A) ? P( B) ? 1 1 1 ? ? 6 3 2 1 2

1 6

1 3

1 2

??

??

即消费 128 元的顾客,返券金额不低于 30 元的概率是 . (Ⅱ)由题意得,该顾客可转动转盘 2 次. 随机变量 X 的可能值为 0,30,60,90,120. ??????5 分
1 1 1 P( X ? 0) ? ? ? ; 2 2 4 1 1 1 P( X ? 30) ? ? ? 2 ? ; 2 3 3 1 1 1 1 5 P( X ? 60) ? ? ? 2 ? ? ? ; 2 6 3 3 18 1 1 1 P( X ? 90) ? ? ? 2 ? ; 3 6 9 1 1 1 P( X ? 120) ? ? ? . 6 6 36

???

?10 分 所以,随机变 量 X 的分布列为: P 0 30 60 90
X
1 4 1 3 5 18 1 9

120
1 36
????11 分

其数学期望
1 1 5 1 1 EX ? 0 ? ? 30 ? ? 60 ? ? 90 ? ? 120 ? ? 40 4 3 18 9 36

????

12 分

9、解: (1)根据志愿者的身高编茎叶图知湖北师范学院志愿者身高 的中位数为:
168 ? 169 ? 168 .5 .?2 分 2

(2)由茎叶 图可知, “高个子”有 8 人, “非高个子”有 12 人,
?按照分层抽样抽取的 5 人中“高个子”为 5 ?
8 “非高个子” ? 2 人, 20

为 5?

12 ? 3 人; 20

C32 7 则至少有 1 人为高个子的概 率 P =1- 2 ? ??6 分 C5 10

(3)由题可知:湖北师范学院的高个子只有 3 人,则 ? 的可能取值 为 0,1,2,3; 故 P(? ? 0) ?
3 C5 10 C 2C1 30 C1C 2 15 ? , P(? ? 1) ? 5 3 3 ? , P(? ? 2) ? 5 3 3 ? , C83 56 C8 56 C8 56

3 C3 1 P(? ? 3) ? 3 ? , C8 56

即 ? 的分布列为:
?

0

1

2[来 源:Z+xx+k.Com]

3

P

30 15 56 56 9 10 30 15 1 E? =0 ? +1 ? +2 ? +3 ? = 。 8 56 56 56 56

10 56

1 56

答 (略)

: ??????

12 分

10. 解: (I)因为 EX1 ? 6, 所以5 ? 0.4 ? 6a ? 7b ? 8 ? 0.1 ? 6, 即6a ? 7b ? 3.2. 又由 X1 的概率分布列得 0.4 ? a ? b ? 0.1 ? 1,即a ? b ? 0.5. 由?
?6a ? 7b ? 3.2, ?a ? 0.3, 解得 ? ?a ? b ? 0.5. ?b ? 0.2.

(II)由已知得,样本的频率分布表如下:
X2
f

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

用这个样本的频率分布估计总体分布,将频率视为概率,可得等 级系数 X2 的概率分布列如下:
X2

3 0.3

4 0.2

5 0.2

6 0.1

7 0.1

8 0.1

P 所以

EX 2 ? 3P( X 2 ? 3) ? 4 P( X 2 ? 4) ? 5P( X 2 ? 5) ? 6 P( X 2 ? 6) ? 7 P( X 2 ? 7) ? 8P( X 2 ? 8)

? 3? 0.3 ? 4 ? 0.2 ? 5 ? 0.2 ? 6 ? 0.1 ? 7 ? 0.1 ? 8 ? 0.1 ? 4.8.

即乙厂产品的等级系数的数学期望等于 4.8. (III)乙厂的产品更具可购买性,理由如下: 因为甲厂产品的等级系数的期望数学等于 6,价格为 6 元/件,所 以其性价比为 ? 1. 因为乙厂产吕的等级系数的期望等于 4.8,价格为 4 元/件,所以 其性价比为
4.8 ? 1.2. 4 6 6

据此,乙厂的产品更具可购买性。

11. (I)首次出现故障发生在保修期内的概率为 P ? (II)随机变量 X 1 的分布列为
X1

2?3 1 ? 50 10

随机变量 X 2 的分布列为
X2

1
1 25

2
3 50

3
9 10

1.8
1 10

2.9
9 10

P

P

(III) EX1 ? 1?

1 3 9 ? 2 ? ? 3 ? ? 2.86 (万元) 25 50 10 1 9 EX 2 ? 1.8 ? ? 2.9 ? ? 2.79 (万元) 10 10

? EX1 ? EX 2 所以应该生产甲品牌汽车。


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