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双曲线教案


教案
高考会这样考 1.考查双曲线的定义、标准方程和几何性质; 2.考查直线与双曲线的位置关系,考查数形结合思想的应用. 复习备考要这样做 1.熟练掌握双曲线的定义和标准方程,理解双曲线的基本量对图形、性质的影响; 2.理解数形结合思想,掌握解决直线与双曲线问题的通法. 1.双曲线的定义 平面内与定点 F1、 F2 的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨

迹叫做双曲线, 这两个定点叫做双曲线的焦点,两焦点间的距离叫做双曲线的焦距. 2.双曲线的标准方程和几何性质 x2 y2 - =1(a>0,b>0) a2 b2 y2 x2 - =1(a>0,b>0) a2 b2

标准方程

图形

范围 对称性 顶点 渐近线 性质 离心率

x≥a 或 x≤-a 对称轴:坐标轴对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) b y=± x a

y≤-a 或 y≥a 对称轴:坐标轴对称中心:原 点 A1(0,-a),A2(0,a) a y=± x b

c e= ,e∈(1,+∞),其中 c= a2+b2 a 线段 A1A2 叫做双曲线的实轴,它的长|A1A2|=2a;线段 B1B2 叫做双曲线

实虚轴

的虚轴,它的长|B1B2|=2b;a 叫做双曲线的实半轴长,b 叫做双曲线的 虚半轴长 2b2 过焦点垂直于实轴的弦叫通径,其长为 a c2=a2+b2(c>a>0,c>b>0)

通径 a、b、c 的关系

1

例 1 已知双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a>0,b>0)的一条渐近线平行于直线 l:y=2x+10,双曲线的一个 a 2 b2
) C.

焦点在直线 l 上,则双曲线的方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 5 20

B.

x2 y 2 ? ?1 20 5

3x 2 3 y 2 ? ?1 25 100

D.

3x 2 3 y 2 ? ?1 100 25

答案:A 解析:由题意得

=2 且 c=5.故由 c2=a2+b2,得 25=a2+4a2,则 a2=5,b2=20,从而双曲线

方程为

-

=1.

例 2 设 m 是常数, 若点 F(0, 5) 是双曲线 答案: 16 解析: ∵a2=m, b2=9, ∴a2+b2=m+9=25, m=16.

y 2 x2 ? ? 1 的一个焦点, 则 m=__________. m 9

例 3 设椭圆 C1 的离心率为

5 , 焦点在 x 轴上且长轴长为 26. 若曲线 C2 上的点到椭圆 C1 的 13
) C.

两个焦点的距离的差的绝对值等于 8, 则曲线 C2 的标准方程为( A.

x2 y 2 ? ?1 42 32

B.

x2 y2 ? ?1 132 52

x2 y 2 ? ?1 32 42

D.

x2 y2 ? ?1 132 122

答案: A

在椭圆 C1 中, 由



∴椭圆 C1 的焦点为 F1(-5, 0) , F2(5, 0) , 曲线 C2 是以 F1、

F2 为焦点, 实轴长为 8 的双曲线, 故 C2 的标准方程为 - =1, 故选 A. x2 y2 x2 y2 (2012· 天津高考)已知双曲线 C1: 2- 2=1(a>0,b>0)与双曲线 C2: - =1 有相同的 a b 4 16 渐近线,且 C1 的右焦点为 F( 5,0),则 a=________,b=________. x2 y2 b 解析:双曲线 - =1 的渐近线为 y=± 2x,则 =2,即 b=2a,又因为 c= 5,a2+ 4 16 a b2=c2,所以 a=1,b=2. 答案:1 2
2

检测题
1.(教材习题改编)若双曲线方程为 x2-2y2=1,则它的左焦点的坐标为( A.?- ) 2 ? ,0 2 ? 6 ? ,0 2 ? B.?- 5 ? ,0 2 ?

?

?

C.?-

?

D.(- 3,0)

y2 解析:选 C ∵双曲线方程可化为 x2- =1, 1 2 1 3 6 ∴a2=1,b2= .∴c2=a2+b2= ,c= . 2 2 2 ∴左焦点坐标为?-

?

6 ? ,0 . 2 ? )

x2 2.(教材习题改编)若双曲线 2-y2=1 的一个焦点为(2,0),则它的离心率为( a 2 5 A. 5 2 3 C. 3 3 B. 2 D.2

解析:选 C 依题意得 a2+1=4,a2=3, 故 e= 2 2 2 3 = . 2= 3 a 3

y2 3.设 F1,F2 是双曲线 x2- =1 的两个焦点,P 是双曲线上的一点,且 3|PF1|=4|PF2|, 24 则△PF1F2 的面积等于( A.4 2 C.24 ) B.8 3 D.48

解析:选 C 由 P 是双曲线上的一点和 3|PF1|=4|PF2|可知,|PF1|-|PF2|=2,解得|PF1| 1 =8, |PF2|=6.又|F1F2|=2c=10, 所以△PF1F2 为直角三角形, 所以△PF1F2 的面积 S= ×6×8 2 =24. x2 4. 双曲线 2-y2=1(a>0)的离心率为 2, 则该双曲线的渐近线方程为________________. a 解析:由题意知 x± y=0,即 y=± 3x. 答案:y=± 3x
3

a2+1 = a

1?2 3 1+? ?a? =2,解得 a= 3 ,故该双曲线的渐近线方程是 3

5.已知 F1(0,-5),F2(0,5),一曲线上任意一点 M 满足|MF1|-|MF2|=8,若该曲线的 一条渐近线的斜率为 k,该曲线的离心率为 e,则|k|· e=________. 解析:根据双曲线的定义可知,该曲线为焦点在 y 轴上的双曲线的上支, c 5 4 ∵c=5,a=4,∴b=3,e= = ,|k|= . a 4 3 4 5 5 ∴|k|· e= × = . 3 4 3 5 答案: 3 小结: 1.区分双曲线与椭圆中 a、b、c 的关系,在椭圆中 a2=b2+c2,而在双曲线中 c2=a2+ b2.双曲线的离心率 e>1;椭圆的离心率 e∈(0,1). 2.渐近线与离心率: x2 y2 b - =1(a>0,b>0)的一条渐近线的斜率为 = a2 b2 a b2 = a2 c2-a2 = e2-1.可以看出, a2

双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小. [注意] 当 a>b>0 时,双曲线的离心率满足 1<e< 2; 当 a=b>0 时,e= 2(亦称为等轴双曲线); 当 b>a>0 时,e> 2. 3.直线与双曲线交于一点时,不一定相切,例如:当直线与双曲线的渐近线平行时, 直线与双曲线相交于一点,但不是相切;反之,当直线与双曲线相切时,直线与双曲线仅有 一个交点.

1.应用双曲线的定义需注意的问题 在双曲线的定义中要注意双曲线上的点(动点)具备的几何条件,即“到两定点(焦点)的 距离之差的绝对值为一常数, 且该常数必须小于两定点的距离”. 若定义中的“绝对值”去 掉,点的轨迹是双曲线的一支. 2.双曲线方程的求法 (1)若不能明确焦点在哪条坐标轴上,设双曲线方程为 mx2+ny2=1(mn<0). x2 y2 x2 y2 (2)与双曲线 2- 2=1 有共同渐近线的双曲线方程可设为 2- 2=λ(λ≠0). a b a b (3)若已知渐近线方程为 mx+ny=0,则双曲线方程可设为 m2x2-n2y2=λ(λ≠0). x y 例 1 (2012·湖南高考)已知双曲线 C: 2- 2=1 的焦距为 10,点 P(2,1)在 C 的渐近线 a b
4
2 2

上,则 C 的方程为( A. C. x y - =1 20 5 x y - =1 80 20
2 2 2 2

) x y B. - =1 5 20 D. x y - =1 20 80
2 2 2 2 2 2

变式训练: (1)(2012·辽宁高考)已知双曲线 x -y =1,点 F1,F2 为其两个焦点, 点 P 为双曲线上一点,若 PF1⊥PF2,则|PF1|+|PF2|的值为________. x y [自主解答] (1)∵ 2- 2=1 的焦距为 10, a b ∴c=5= a +b .① b 2b 又双曲线渐近线方程为 y=± x,且 P(2,1)在渐近线上,∴ =1,即 a=2b.② a a 由①②解得 a=2 5,b= 5. (2)不妨设点 P 在双曲线的右支上,因为 PF1⊥PF2, 所以(2 2) =|PF1| +|PF2| , 又因为|PF1|-|PF2|=2,所以(|PF1|-|PF2|) =4,可得 2|PF1|·|PF2|=4, 则(|PF1|+|PF2|) =|PF1| +|PF2| +2|PF1|·|PF2|=12,所以|PF1|+|PF2|=2 3. [答案] (1)A (2)2 3 x2 y2 (2)(2012· 大连模拟)设 P 是双曲线 - =1 上一点,F1,F2 分别是双曲线左右两个 16 20 焦点,若|PF1|=9,则|PF2|=( A.1 C.1 或 17 ) B.17 D.以上答案均不对
2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2

解析:选 B 由双曲线定义||PF1|-|PF2||=8,又∵|PF1|=9,∴|PF2|=1 或 17,但双曲 线的右顶点到右焦点距离最小为 c-a=6-4=2>1,∴|PF2|=17. x2 y2 (2012· 浙江高考)如图,F1,F2 分别是双曲线 C: 2- 2=1(a,b>0)的左、右焦 a b

例 2

点,B 是虚轴的端点,直线 F1B 与 C 的两条渐近线分别交于 P,Q 两点,线段 PQ 的垂直平 分线与 x 轴交于点 M.若|MF2|=|F1F2|,则 C 的离心率是( )

5

2 3 A. 3 C. 2

B.

6 2

D. 3

[自主解答] 设双曲线的焦点坐标为 F1(-c,0),F2(c,0). x y ∵B(0,b),∴F1B 所在的直线为- + =1.① c b b 双曲线渐近线为 y=± x, a

?y=ax, 由? x y ?-c+b=1, ?y=-ax, 由? x y ?-c+b=1,
b

b

ac bc 得 Q ?c-a,c-a?. ? ?

ac bc 得 P?-a+c,a+c?, ? ?

a2c bc2 ∴PQ 的中点坐标为?c2-a2,c2-a2?.

?

?

a2c c2? 由 a2+b2=c2 得,PQ 的中点坐标可化为? ? b2 , b ?. b 直线 F1B 的斜率为 k= , c a2c c2 c x- 2 ?. ∴PQ 的垂直平分线为 y- =- ? b ? b b? a2c 令 y=0,得 x= 2 +c, b a2c a2c ? 2 +c,0 ,∴|F2M|= 2 . ∴M? ?b ? b 由|MF2|=|F1F2|得 a2c a2c = =2c, b2 c2-a2 3 6 即 3a2=2c2,∴e2= ,∴e= . 2 2 [答案] B 变式训练: π π 若本例条件变为“此双曲线的一条渐近线与 x 轴的夹角为 α,且 <α< ”,求双曲线 4 3 的离心率的取值范围. b 解:根据题意知 1< < 3, a 即 1< e2-1< 3.所以 2<e<2.
6

即离心率的取值范围为(

2,2).

x2 y2 例 3(2012· 福建高考)已知双曲线 2- =1 的右焦点为(3,0),则该双曲线的离心率等于 a 5 ( ) 3 14 A. 14 3 C. 2 3 2 B. 4 4 D. 3

c 3 解析:选 C 由题意知 c=3,故 a2+5=9,解得 a=2,故该双曲线的离心率 e= = . a 2 x2 y2 变式训练:(2012· 大同模拟)已知双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)与抛物线 y2=8x 有一个 a b 公共的焦点 F,且两曲线的一个交点为 P,若|PF|=5,则双曲线的渐近线方程为( 3 A.y=± x 3 C.y=± 2x B.y=± 3x 2 D.y=± x 2 )

解析:选 B 设点 P(m,n),依题意得,点 F(2,0),由点 P 在抛物线 y2=8x 上,且|PF|

? ? ? ?m+2=5, 2 ? =5 得 2 由此解得 m=3,n =24.于是有? 9 24 ?n =8m, ? ? 2- 2 =1, ?a
b b 该双曲线的渐近线方程为 y=± x=± 3x. a

a2+b2=4,

由此解得 a2=1,b2=3,

巩固练习
1. 等轴双曲线 C:x2 ? y 2 ? a 2 与抛物线 y 2 ? 16x 的准线交于 A,B 两点, AB = 4 3 ,则双曲线

C 的实轴长等于(
A. 2 C B. 2 2

) C.4 D.8

解析:设等轴双曲线 C 的方程为 x 2 ? y 2 ? ? .①

p ? 4 .∴ 抛物线的准线方程为 x ? ?4 . 2 设等轴双曲线与抛物线的准线 x ? ?4 的两个交点为 A( ? 4, y ),B( ? 4,? y )(y ? 0) ,
∵ 抛物线 y 2 ? 16 x, 2 p ? 16,p ? 8 ,∴ 则 AB ?| y ? ( ? y) |? 2 y ? 4 3 ,∴ y ? 2 3 . 将 x ? ?4 , y ? 2 3 代入①,得 ( ? 4)2 ? (2 3)2 ? ? ,∴ ? ? 4 . ∴ 等轴双曲线 C 的方程为 x2 ? y 2 ? 4 ,即

x2 y 2 ? = 1 .∴ 双曲线 C 的实轴长为 4. 4 4


2 2 2. 若直线过点 (3,0) 与双曲线 4 x - 9 y = 36 只有一个公共点,则这样的直线有(

7

A.1 条 C

B.2 条

C.3 条
2

D.4 条

x y2 ? ? 1 则点(3,0)为双曲线的右顶点.过点(3,0)与 x 9 4 轴垂直的直线满足题意,过点(3,0)与双曲线渐近线平行的两条直线也满足题意,因此这 样的直线共有 3 条.
解析: 将双曲线化为标准方程为

x2 y2 ) ? = 1(k ? R) 表示双曲线的充要条件是( k ?2 k ?3 A. k ? 2 或 k ? ?3 B. k ? ?3 C. k ? 2 D. ?3 ? k ? 2 2 x y2 A 解析:方程 ? = 1(k ? R) 表示双曲线,当且仅当 (k ? 2)(k ? 3)>0 ,∴ k ? 2 或 k ?2 k ?3
3.方程

k ? ?3 .反之,当 k ? 2 或 k ? ?3 时,双曲线方程中分母同号,方程
示双曲线. 4. 求适合下列条件的双曲线的标准方程: (1)焦点在轴上,虚轴长为 12,离心率为
5 ; 4

x2 y2 ? = 1(k ? R) 表 k ?2 k ?3

(2)顶点间的距离为 6,渐近线方程为 y = ?

3 x 2
x2 y 2 =1 (a > 0, b > 0). a 2 b2

解: (1)焦点在轴上,设所求双曲线的标准方程为

?2b ? 12, ?c 5 ?a ? 8, ? 由题意,得 ? ? , 解得 ? ?b ? 6. ?a 4 2 2 2 ? ?a ? b ? c ,
所以双曲线的标准方程为
x2 y 2 = 1. 64 36
x2 y 2 ? =1 (a ? 0, b ? 0) a 2 b2

(2)方法一:当焦点在轴上时,设所求双曲线的标准方程为
? 2a ? 6, ?a ? 3, ? ? 由题意,得 ? b 3 解得 ? 9 ? , b? , ? ? ? 2 ?a 2

所以焦点在轴上的双曲线的标准方程为

x2 y 2 = 1. 9 81 4
y 2 x2 = 1. 9 4

同理可求焦点在轴上的双曲线的标准方程为 方法二:设以 y = ?

3 x2 y 2 x 为渐近线的双曲线的方程为 = λ( λ ? 0). 2 4 9 9 x2 y 2 = 1. .此时,所求的双曲线的标准方程为 9 81 4 4

当 λ >时, 2 4 λ = 6 ,解得 λ

8

当 λ <时, 2 - 9 λ = 6 ,解得 λ .此时,所求的双曲线的标准方程为 直线与双曲线的位置关系

y 2 x2 = 1. 9 4

提升题
例1 x2 y2 (2012·南昌模拟)已知双曲线 2- 2=1(b>a>0),O 为坐标原点,离心率 a b

e=2,点 M( 5, 3)在双曲线上. (1)求双曲线的方程;

??? ? ??? ? 1 1 (2)若直线 l 与双曲线交于 P,Q 两点,且 OP · OQ =0.求|OP|2+|OQ|2的值.
[自主解答] (1)∵e=2,∴c=2a,b2=c2-a2=3a2, x2 y2 双曲线方程为 2- 2=1,即 3x2-y2=3a2. a 3a ∵点 M( 5, 3)在双曲线上,∴15-3=3a2.∴a2=4. x2 y2 ∴所求双曲线的方程为 - =1. 4 12 x2 y2 (2)设直线 OP 的方程为 y=kx(k≠0),联立 - =1,得 4 12

?x =3-k , ? 12k ?y =3-k ,
2 2 2 2 2

12

12?k2+1? ∴|OP|2=x2+y2= . 3-k2

1 则 OQ 的方程为 y=- x, k 1? 12? ?1+k2? 12?k2+1? 同理有|OQ| = = , 1 3k2-1 3- 2 k
2

3-k2+?3k2-1? 2+2k2 1 1 1 ∴ + = = = . |OP|2 |OQ|2 12?k2+1? 12?k2+1? 6 x2 y2 例 2(2012· 长春模拟)F1,F2 分别为双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)的左,右焦点,过点 F2 a b 作此双曲线一条渐近线的垂线,垂足为 M,满足| MF1 ,|=3| MF2 ,|,则此双曲线的渐近线方 程为________________.

???? ?

?????

9

解析: 由双曲线的性质可得| MF2 ,|=b, 则| MF1 ,|=3b.在△MF1O 中, | OM ,|=a, | OF1 ,| a2+c2-?3b?2 a a =c,cos ∠F1OM=- ,由余弦定理可知 =- ,又 c2=a2+b2,所以 a2=2b2, c 2ac c b 2 2 即 = ,故此双曲线的渐近线方程为 y=± x. a 2 2 2 答案:y=± x 2

?????

???? ?

???? ?

????

例 3 已知点 P1(x0, y0) 为双曲线

x2 y2 ? ? 1 (b 为正常数) 上任一点, F2 为双曲线的右焦点, 8b 2 b 2

过 P1 作右准线的垂线, 垂足为 A, 连结 F2A 并延长交 y 轴于点 P2. (Ⅰ) 求线段 P1P2 的中点 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ) 设轨迹 E 与 x 轴交于 B、D 两点, 在 E 上任取一点 Q(x1, y1) (y1≠0) , 直线 QB、QD 分 别交 y 轴于 M、N 两点. 求证:以 MN 为直径的圆过两定点.

答案: (Ⅰ) 由已知得 F2(3b, 0) , A 令 x=0, 得 y=9y0, 即 P2(0, 9y0) . , 则直线 F2A 的方程为 y=(x-3b) ,

设 P(x, y) , 则



代入

- =1, 得

-

=1, =1. b, 0) , D( b, 0) ,

即 P 的轨迹 E 的方程为 (Ⅱ) 证明:在 -

=1 中, 令 y=0, 得 x2=2b2, 则不妨设 B((x+ (xb) , b) ,

于是直线 QB 的方程为 y= 直线 QD 的方程为 y=

可得 M ,N , 则以 MN 为直径的圆的方程为 x2+ =0,
10

令 y=0, 得 x2= 而 Q(x1, y1) 在 则 -2b2= -

, =1 上,

, 于是 x=±5b,

即以 MN 为直径的圆过两定点(-5b, 0) , (5b, 0) . 例 4 (2012· 宿州模拟)已知双曲线的中心在原点,焦点 F1,F2 在坐标轴上,离心率为 2, 且过点(4,- 10).点 M(3,m)在双曲线上. (1)求双曲线方程; (2)求证: MF1 · MF2 =0. 解:(1)∵e= 2,∴可设双曲线方程为 x2-y2=λ(λ≠0). ∵过点(4,- 10),∴16-10=λ,即 λ=6. x2 y2 ∴双曲线方程为 - =1. 6 6 (2)证明:由(1)可知,双曲线中 a=b= 6,∴c=2 3, ∴F1(-2 3,0),F2(2 3,0), m m ∴kMF1= ,kMF2= , 3+2 3 3-2 3 m2 m2 kMF1· kMF2= =- . 3 9-12 ∵点(3,m)在双曲线上,∴9-m2=6,m2=3, 故 kMF1· kMF2=-1,∴MF1⊥MF2. ∴ MF1 · MF2 =0. 练习题 1.(2013· 唐山模拟)已知双曲线的渐近线为 y=± 3x,焦点坐标为(-4,0),(4,0),则双 曲线方程为( x y A. - =1 4 12 x2 y2 C. - =1 24 8 解析: 选 A
2 2

???? ? ?????

???? ? ?????

) x2 y2 B. - =1 2 4 x2 y2 D. - =1 8 24 x2 y2 由题意可设双曲线方程为 2 - 2 = 1(a > 0 , b > 0) ,由已知条件可得 a b

b b ? ? ?a= 3, ?a= 3, ? 即? ? ? ?c=4, ?a2+b2=42,

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2 ? ?a =4, x2 y2 解得? 2 故双曲线方程为 - =1. 4 12 ?b =12, ?

y2 2.(2012· 华南师大附中模拟)已知 m 是两个正数 2,8 的等比中项,则圆锥曲线 x2+ =1 m 的离心率为( A. 3 5 或 2 2 ) B. D. 3 2 3 或 2 5

C. 5

a2-b2 c 解析: 选 D ∵m2=16, ∴m=± 4, 故该曲线为椭圆或双曲线. 当 m=4 时, e= = a a a2+b2 3 c = .当 m=-4 时,e= = = 5. 2 a a 3.(2012· 浙江高考)如图,中心均为原点 O 的双曲线与椭圆有公共焦点,M,N 是双曲 线的两顶点.若 M,O,N 将椭圆长轴四等分,则双曲线与椭圆的离心率的比值是( A.3 C. 3 B.2 D. 2 )

c 解析:选 B 设焦点为 F(± c,0),双曲线的实半轴长为 a,则双曲线的离心率 e1= ,椭 a c e1 圆的离心率 e2= ,所以 =2. 2a e2 x2 y2 4.(2013· 哈尔滨模拟)已知 P 是双曲线 2- 2=1(a>0,b>0)上的点,F1,F2 是其焦点, a b

???? ???? 5 双曲线的离心率是 ,且 PF1 ,· PF2 ,=0,若△PF1F2 的面积为 9,则 a+b 的值为( 4
A.5 C.7 B.6 D.8

)

???? ???? ???? ???? ???? ???? 解析:选 C 由 PF1 ,· PF2 ,=0 得 PF1 ,⊥ PF2 ,,设| PF1 ,|=m,| PF2 ,|=n,不妨设 m
?a=4, ? 1 c 5 >n,则 m2+n2=4c2,m-n=2a, mn=9, = ,解得? ∴b=3,∴a+b=7. 2 a 4 ?c=5, ?

5.(2012· 浙江模拟)平面内有一固定线段 AB,|AB|=4,动点 P 满足|PA|-|PB|=3,O 为 AB 中点,则|OP|的最小值为( A.3 3 C. 2 B.2 D.1 )

解析:选 C 依题意得,动点 P 位于以点 A,B 为焦点、实轴长为 3 的双曲线的一支上, 结合图形可知, 该曲线上与点 O 距离最近的点是该双曲线的一个顶点, 因此|OP|的最小值等

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3 于 . 2 6.(2012· 西城模拟)若双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是(3,0),则实数 k=________. 解析:∵双曲线 x2-ky2=1 的一个焦点是(3,0), 1 1 ∴1+ =32=9,可得 k= . k 8 1 答案: 8 7.(2012· 广东名校质检)已知双曲线的方程是 16x2-9y2=144. (1)求双曲线的焦点坐标、离心率和渐近线方程; (2)设 F1 和 F2 是双曲线的左、右焦点,点 P 在双曲线上,且|PF1|· |PF2|=32,求∠F1PF2 的大小. x2 y2 解:(1)由 16x2-9y2=144 得 - =1, 9 16 所以 a=3,b=4,c=5, 5 4 所以焦点坐标 F1(-5,0),F2(5,0),离心率 e= ,渐近线方程为 y=± x. 3 3 (2)由双曲线的定义可知||PF1|-|PF2||=6, |PF1|2+|PF2|2-|F1F2|2 cos ∠F1PF2= 2|PF1||PF2| = = ?|PF1|-|PF2|?2+2|PF1||PF2|-|F1F2|2 2|PF1||PF2| 36+64-100 =0, 64

则∠F1PF2=90° .

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