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2015年惠州市一模文科数学试题及其答案


广东省惠州市 2015 届高三第二次模拟考试
数 学 试 题 (文科)
参考公式:锥体的体积公式 V ? 2015.04

本试卷共 4 页,21 小题,满分 150 分。考试用时 120 分钟。

1 Sh ,其中 S 为锥体的底面积, h 为锥体的高. 3

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的.请在答题卡上填涂相应选项. 1.已知集合 A ? {0,1, 2}, B ? {x | x ? 2 ? 0} ,则 A A. ?0 , 2? A. 1 B. ?0 , 1?
x

B? ( ) C. ?1 , 2?


D. ?0 , 1 , 2? D. 0 )

2.若函数 y ? f ( x) 是函数 y ? 2 的反函数,则 f (2) ? ( B. 2 C. ? 1

3.已知点 A(1,1) , B(4, 2) 和向量 a ? (2 , ? ) ,若 a// AB ,则实数 ? 的值为 ( A. ?

2 3

B.

3 2

C.

2 3

D. ?

3 2


4.已知数列 {an } 为等差数列,且 a1 ? 2 , a2 ? a3 ? 13 ,则 a4 ? a5 ? a6 ? ( A. 45 B. 43 C. 40 5.下列函数中周期为 ? 且为偶函数的是 ( A. y ? cos(2 x ? C. y ? sin( x ? D. 42 )

?
)

?
2

2

)

B. y ? sin(2 x ? D. y ? cos( x ?

?

?

2

)

3

3

2

)
2
正视图

6.已知某几何体的三视图如上图所示,则该几何体的体 积为 ( )

1 1

1
侧视图

2

A.

1 2

1 B.

C.

3 2

D.3

俯视图

x2 y 2 ? ? 1 的焦点相同,且椭圆上任意一点到 4 12 两焦点的距离之和为 10 ,那么椭圆的离心率等于 ( ) 3 4 5 3 A. B. C. D. [ 5 5 4 4 8.执行如图的程序框图,输出的 T = ( )
7.已知椭圆与双曲线 A.30 B.25 C.20 D.12

开始

S ? 0, T ? 0, n ? 0

T ?S




?x ? 2 y ? 8 ? 9.若变量 x , y 满足约束条件 ?0 ? x ? 4 ,则 z ? 2 x ? y 的最大值 ?0 ? y ? 3 ?
等于 ( ) A. 7 B. 8 C.11 D.10 10. 若直角坐标平面内的两个不同点 P 、Q 满足条件:① P 、Q 都在

S ? S ?5

输出 T 结束

n ? n?2
T ?T ?n

函数 y ? f ( x) 的图像上;② P 、 Q 关于原点对称,则称点对 [ P, Q] 是函数 y ? f ( x) 的一对“友好点对”

第 1 页 共 8 页

? 1 x ?( ) , x ? 0 (注:点对 [ P, Q] 与 [Q, P] 看作同一对“友好点对” ) .已知函数 f ( x ) = ? 2 ,则此函数的“友 ? ? x 2 ? 4 x, x ? 0 ?
好点对”有 ( ) 对. A.0 B.1 C.2 D.3 二、填空题:本大题共 5 小题,分为必做题和选做题两部分.每小题 5 分,满分 20 分. (一)必做题:第 11 至 13 题为必做题,每道试题考生都必须作答. 11.计算: (1 ? i)(1 ? 2i) = 12.函数 f ( x) ? x ? 3x ? 4 在 x ?
3 2

. ( i 为虚数单位) 处取得极小值.
b

13.设 a ? 0, b ? 0 ,若 2 是 2

a

与 2 的等比中项,则

1 1 ? 的最小值为 a b



(二)选做题:第 14、15 题为选做题,考生只选做其中一题,两题全答的,只计前一题的得分. 14. (坐标系与参数方程选做题)在极坐标系中,圆 ? ? 4 sin ? 的圆心到直线 ? ? 距离是 .

?
3

(? ? R ) 的
D E A O B

15. (几何证明选做题)如图, AB 是圆 O 的直径,点 C 在圆 O 上, 延长 BC 到 D 使 BC ? CD ,过 C 作圆 O 的切线交 AD 于 E . 若 AB ? 8 , DC ? 4 ,则 DE ? .

C

三、解答题:本大题共 6 小题,满分 80 分.解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤. 16.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? (1) 求 f ( x ) 的表达式; (2) 设 ? , ? ? [0,

?
6

) ( A ? 0 , ? ? 0) 的最小正周期为 T ? 6? ,且 f (2? ) ? 2 . 16 5? 20 ) ? ? ,求 cos(? ? ? ) 的值. , f (3? ? 5 2 13

?
2

] , f (3? ? ? ) ?

17.(本小题满分 12 分) 某班 50 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间, 将测试结果按如下方式分成五组:第一组 ?13,14) ,第二组 ?14,15) ,…, 第五组 ?17,18? ,下图是按上述分组方法得到的频率分布直方图. (1) 根据频率分布直方图,估计这 50 名学生百米测试成绩的平均值; (2) 若从第一、五组中随机取出两个成绩,求这两个成绩的差的绝对 值大于 1 的概率.
0.38 0.32 频率 组距

0.16

0.08 0.06 O

13

14

15

16

17

18



19 题 图

第 2 页 共 8 页

18. (本小题满分 14 分)

D 点为棱 AB 的 如图所示,在所有棱长都为 2 a 的三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,侧棱 AA 1 ? 底面ABC ,
中点. (1)求证: AC1 ∥平面 CDB1 ; (2)求四棱锥 C1 ? ADB1 A1 的体积. C D 19. (本小题满分 14 分) 若正项数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,首项 a1 ? 1 ,点 P 源: (1)求数列 ?an ? 的通项公式 an ; (2)设 bn ? A B C1 B1 A1

?

Sn , Sn?1 ( n ? N * )在曲线 y ? ( x ? 1)2 上.

?

1 1 , Tn 表示数列 ?bn ? 的前 n 项和,求证: Tn ? . 2 an ? an ?1

20.(本小题满分 14 分) 已知椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为

3 ,且经过点 M (4,1) . 直线 l : y ? x ? m 交椭圆于 2

不同的两点 A, B . (1)求椭圆的方程; (2)求 m 的取值范围; (3)若直线 l 不过点 M ,求证:直线 MA, MB 与 x 轴围成一个等腰三角形.

21.(本小题满分 14 分) 已知 a ? R ,函数 f ( x) ? 4 x ? 2ax ? a .
3

(1)求 f ( x ) 的单调区间; (2)证明:当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 2 ? a ? 0 .

第 3 页 共 8 页

参考答案和评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求 题号 答案 1 B 2 A 3 C 4 D 5 B 6 C 7 B 8 A 9 D 10 B

1.B 【解析】试题分析:由题根据集合 B ? x x ? 2 ,不难求得 A,B 的交集;由题 A
x

?

?

B ? ?0, 1?

2.A 【解析】试题分析:根据互为反函数的两个函数间的关系,原函数中 y ? 2 ? 2 时, x ? 1 , 故反函数中当 x ? 2 时 y ? 1 ,即 f (2) ? 1 3.C 【解析】试题分析:根据 A、B 两点的坐标可得 AB =(3,1) ,∵ a ∥ AB ,∴ 2 ?1 ? 3? ? 0 , 解得 ? ?

2 3

4.D 【解析】试题分析:

5.B 【解析】试题分析:由于周期为 ? ,故排除 C,D;又由于是偶函数,而选项 A,函数

a2 ? a3 ? 13,?a1 ? d ? a1 ? 2d ? 13, a1 ? 2?d ? 3 , a4 ? a5 ? a6 ? 3a1 ? 12d ? 3? 2 ? 12 ? 3 ? 42

y ? cos(2 x ? ) ? sin 2 x ,故排除 A,又选项 B, y ? sin(2 x ? ) ? cos 2 x 是偶函数 2 2 3 1 3 3 6. C 解析:由三视图易知, 该几何体是底面积为 , 高为 3 的三棱锥, 由锥体的体积公式得 V ? ? ? 3 ? 2 3 2 2 4 7.B 【解析】 a ? 5 , c ? 4 ? 12 ? 4 , e ? 5
8. A 【解析】 由题意可知, 第一次循环 S=5, n=2, T=2, 不满足 T>S; 第二次循环, S=10, n=4, T=2+4=6, 不满足 T>S;第三次循环,S=15,n=6,T=12,不满足 T>S;第四次循环,S=20,n=8,T=20, 不满足 T>S;第五次循环,S=25,n=10,T=30,满足 T>S;结束,此时 T=30,故选 A 9.D 【解析】作出不等式组对应的平面图象如下图的阴影部分, z ? 2 x ? y 表示斜率为 ?2 的直线系, z 表示直线在 y 轴上的截距, 由图象可知当直线过 B 点时 z 取得最大值, 最大值为 z ? 2 ? 4 ? 2 ? 10
y

?

?

x O

10.B 【解析】根据题意可知只须作出函数 y ? ( ) ( x ? 0) 的图象关于原点对称的图象,确定它与函数
x

1 2

y ? ? x2 ? 4 x( x ? 0) 交点个数即可,由图象可知,只有一个交点.

二.填空题
11. 3 ? i 12. 2 13.
2

4

14. 1

15. 2

11. 【解析】 因为 (1 ? i)(1 ? 2i) ?1 ? 2 i ? i ? 2 i ? 3 ? i .

第 4 页 共 8 页

12. 【解析】 由 f ?( x) ? 3x2 ? 6 x ? 0 得: x ? 0或x ? 2 ,列表得: (??,0) (0, 2) 0 x _ f ?( x) 0 ? f ( x) ↗ 极大值 ↘ 所以在 x =2 处取得极小值.

2
0

(2, ??)

极小值

? ↗

13. 【解析】 由题意知 ( 2)2 ? 2a ? 2b ? a ? b ? 1 ,又 a ? 0, b ? 0 , 所以

b a 1 1 1 1 1 1 b a ? ? ( ? )(a ? b) ? 1 ? ? ? 1 ? 2 ? ? 4 ,所以 ? 的最小值为 4 . a b a b a b a b a b

14. 【解析】 如下图: d ? 2 ? sin

?

6

?1 .

15. 【解析】 如下图: ?ABC ~ ?CDE ,得

AB BC 8 4 ? ? ? ? DE ? 2 . DC DE 4 DE
D E A O B

d x o

C

三.解答题 16. (本小题满分 12 分)

2π 2π 1 x π = ? ,∴ f(x) = Asin( + ) , T 6π 3 3 6 2π π 5π + ) = 2 ,即 Asin = 2 ,∴ A ? 4 , 由 f (2? ) ? 2 ,得 Asin( 3 6 6 x ? ∴ f ( x ) ? 4sin( ? ) 3 6 16 1 π 16 (2) 由 f(3α + π) = ,得 4sin[ (3α + π) + )] = , 5 3 6 5 π 16 4 即 4sin(α + ) = ,∴ cos? ? , 2 5 5 π 3 又∵ α ? [0, ] ,∴ sin? ? , 5 2 5π 20 1 5π π 20 ) = ? ,得 4sin[ (3? + ) + )] = ? 由 f(3? + , 2 13 3 2 6 13 5 5 即 sin(? + π) = ? ,∴ sinβ ? , 13 13 π 12 又∵ β ? [0, ] ,∴ cosβ ? , 2 13 4 12 3 5 63 cos(? ? ? ) ? cos ? cos ? ? sin ? sin ? ? ? ? ? ? 5 13 5 13 65
解:(1)依题意得 ? = 17.解: (Ⅰ)由频率分布直方图知,百米测试成绩的平均值为

????????2 分 ????????4 分 ????????5 分

????????6 分 ????????7 分

????????9 分 ????????10 分 ????????12 分

x ? 13.5 ? 0.06 ? 14.5 ? 0.16 ? 15.5 ? 0.38 ? 16.5 ? 0.32 ? 17.5 ? 0.08 ? 0.81 ? 2.32 ? 5.89 ? 5.28 ? 1.4 ? 15.7 ????????? 5 分 (Ⅱ)由频率分布直方图知,成绩在 [13,14) 的人数为 50 ? 0.06 ? 3 人,设为 x 、 y 、 z ;

第 5 页 共 8 页

成绩在 [17,18) 的人数为 50 ? 0.08 ? 4 人,设为 A 、 B 、 C 、 D 若 m, n ?[13,14) 时,有 xy, xz , yz 3 种情况; 若 m, n ?[17,18) 时,有 AB, AC, AD, BC, BD, CD 6 种情况;

?????????6 分 ????????7 分 ????????8 分

若 m, n 分别在 [13,14) 和 [17,18) 内时, A B C D x xA xB xC xD y yA yB yC yD z zA zB zC zD 共有 12 种情况. ????????10 分 所以基本事件总数为 21 种,事件“ | m ? n |? 1 ”所包含的基本事件个数有 12 种。 ∴ P ( | m ? n |? 1 ) ?

12 4 ? 。 21 7
C1

?????????12 分

18、(本题满分 14 分) 解:(1)连结 BC1 ,设 BC1 与 B1C 交于点 E ,????1 分 则点 E 是 BC1 的中点,连结 DE ,????2 分 因为 D 点为 AB 的中点, 所以 DE 是 ?ABC1 的中位线, 所以 AC1 ∥ DE , 所以 AC1 ∥平面 CDB1 . ??????4 分 ??????6 分 因为 DE ? 平面 CDB1 , AC1 ? 面 CDB1 ,???5 分 (2)取线段 A1B1 中点 M ,连结 C1M , ??????7 分

B1 A1 E

M 为线段 A1B1 中点, ∵ C1 A 1 ? C1B 1 ,点
∴ C1M ? A1B1 . 又 A1 A ? 平面 ABC 即 A1 A ? 平面 C1 A1B1 , C1M ? 平面 C1 A1B1 ∴ A1 A ? C1M , ∵ A1 A ??????11 分 ??????9 分

C D A

B

A1B1 ? A1 , ∴ C1M ? 平面 ADB1 A 1 ,则 C1M 是四棱锥 C1 ? ADB 1A 1 的高 ??????12 分 1 (2a + a) ? 2a VC1 -ADB1A1 = ? ? 3a = 3a 3 . ??????14 分 3 2
19(本小题满分 14 分) 解:(1)因为点 P

?

2 2 Sn , Sn?1 在曲线 y ? ( x ? 1) 上,所以 Sn?1 ? ( Sn ? 1) . ????1 分

?

由 Sn?1 ? ( Sn ? 1)2 得 Sn ?1 ? Sn ? 1 . 且 S1 ? 所以数列

?????3 分

? S ? 是以1 为首项,1 为公差的等差数列
n

a1 ? 1

?????4 分 ?????5 分 ?????6 分 ?????7 分 ?????8 分 ?????9 分

所以 Sn ?

S1 +(n ? 1) ?1 ? n ,

即 Sn ? n

2

2 2 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? n ? (n ?1) ? 2n ? 1

当 n ? 1 时, an ? 2 ?1 ?1 ? 1 也成立 所以 n ? N , an ? 2n ? 1
*

(2) 因为 bn ?

1 1 ? ,所以 bn ? 0 , an ? an?1 (2n ? 1) ? (2n ? 1)
第 6 页 共 8 页

Tn ?

1 1 1 ? ? …… ? 1? 3 3 ? 5 (2n ? 1) ? (2n ? 1) 1 1 1 1 1 1 1 1 = (1 ? + ? + + ? + ? ) 2 3 3 5 2n ? 3 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1 1 1 1 1 1 = (1 ? )? ? ? 2 2n ? 1 2 2(2n ? 1) 2

?????12 分 ?????14 分

20.(本小题满分 14 分) (1)

(1) 由已知椭圆焦点在 x 轴上可设椭圆的方程为错误!未找到引用源。 , (a ? b ? 0) 因为错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 , ① 又因为过点错误!未找到引用源。 ,所以错误!未找到引用源。 , ② 联立①②解得错误!未找到引用源。 ,故椭圆方程为错误!未找到引用源。. ??????4 分 (2) 将错误!未找到引用源。代入错误!未找到引用源。并整理得错误!未找到引用源。 , 因为直线与椭圆有两个交点, 所以 ? ? (8m)2 ? 4 ? 5 ? (4m2 ? 20) ? 0 ,解得错误!未找到引用源。. ??????8 分 (3) 设直线错误!未找到引用源。的斜率分别为错误!未找到引用源。和错误!未找到引用源。 ,只要证 明错误!未找到引用源。即可. 设错误!未找到引用源。 ,错误!未找到引用源。 , 则错误!未找到引用源。. ??????10 分 所以错误!未找到引用源。 错误!未找到引用源。 所以 k1 ? k2 ? 0 所以直线 MA, MB 与 x 轴围成一个等腰三角形. ??????14 分 , 21.(本小题满分 14 分) 解: (1)由题意得 f ?( x) ? 12 x ? 2a
2

x2 y 2 ? ?1 20 5

(2) ?5 ? m ? 5

(3)见解析

??????1 分 ??????2 分 ??????4 分 ??????5 分 ??????6 分

当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 恒成立,此时 f ( x ) 的单调递增区间为 ? ??, +?? 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 12( x ?

a a )( x ? ), 6 6
(-∞, ?

此时函数 f ( x ) 的单调递增区间为

a a ] , [ ,+∞). 6 6 a a f ( x) 的单调递减区间为 [ ? , ] . 6 6

(2)证明:由于 0≤x≤1,故 当 a≤2 时,f(x)+|a-2|=4x3-2ax+2≥4x3-4x+2. ??????8 分 3 3 3 当 a>2 时,f(x)+|a-2|=4x +2a(1-x)-2≥4x +4(1-x)-2=4x -4x+2. ??10 分 设 g(x)=2x3-2x+1, 0 ? x ? 1 , 则 g′(x)=6x2-2=6(x- 于是 x g′(x) g(x) 0 (0,

3 3 )(x+ ), 3 3

??????11 分

3 ) 3

3 3
0 极小值

(

3 ,1) 3
+ 增

1

1

- 减

1 ??????12 分

第 7 页 共 8 页

4 3 3 )=1- >0 9 3 3 ∴ 当 0 ? x ? 1 时, 2 x ? 2 x ? 1 ? 0
所以,g(x)min=g( 故 f ( x) ? a ? 2 ? 4x3 ? 4x ? 2 ? 0 . ∴ 当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? a ? 2 ? 0 (注:此问还可以按分类讨论的思想,令 h( x) ? f ( x) ? a ? 2 , 证明当 0 ? x ? 1 时, h( x)min ? 0 成立,请参照给分)

??????13 分

??????14 分

第 8 页 共 8 页


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