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浙江省慈溪中学2014届高考适应性数学卷(文)试题


2014 年慈溪中学高考适应性考试

数学(文)试题
本试题卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分.考试时间 120 分钟.试卷总分为 150 分。 请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上. 参考公式: 球的表面积公式 柱体的体积公式
S ? 4?R 2 球的体积公式

V ? Sh
其中 S 表示柱体的底面积,h

表示柱体的高 台体的体积公式

V ?

4 ? R3 3

其中 R 表示球的半径 锥体的体积公式

1 V ? h ( S1 ? S1 S 2 ? S 2 ) 3
其中 S1,S2 分别表示台体的上、下底面积, h 表示台体的高 如果事件 A、B 互斥,那么

V ?

1 Sh 3

其中 S 表示锥体的底面积,h 表示锥体的高

P( A ? B) ? P( A) ? P( B)

第Ⅰ卷(共 50 分)
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四个选项中,只 有—项是符合题目要求的。 1.已知集合 R 为实数集,集合 M ? ?x 0 ? x ? 2?, N ? x x 2 ? 3x ? 2 ? 0 ,则 M ? CR N = ( ) B. ?x 1 ? x ? 2? C. ?x 1 ? x ? 2? D. ?x 0 ? x ? 2?

?

?

A. ?x 0 ? x ? 1?

4 ? 3i 的虚部为( ) 1 ? 2i A.1 B.-1 C. ?i D. i a 3.已知 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ ? 1 ”成立的 ( ) b A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2.设 i 是虚数单位,则复数 z ? 4. 若 ? , ? 为两个不同的平面,m、n 为不同直线,下列推理: ①若 ? ? ? , m ? ? , n ? ? , 则直线m ? n ;

1

②若直线 m // 平面?,直线n ? 直线m,则直线n ? 平面? ; ③若直线 m//n, m ? ? , n ? ?,则平面? ? 平面? ; ④若平面 ? / /平面?,直线m ? 平面?,n ? ? , 则直线m ? 直线 n; 其中正确说法的序号是( ) A. ③④ B. ①④

C.①②③④

D. ①③④

5.已知函数 f ( x) ? sin ? x ? 3 cos ? x(? ? 0) 的图象与 x 轴的两个相邻交点的距离等于

A. ( ?

? ? ,若将函数 y ? f ( x) 的图象向左平移 个单位得到函数 y ? g ( x) 的图象,则 2 6 y ? g ( x) 是减函数的区间为 ( ) ? ? ? ? ? ?
3 , 0)
B. ( ?

, ) 4 4

C. (0,

3

)

D. (

, ) 4 3

6.一个几何体的正视图、侧视图、俯视图如右图所示,则该几何体的表面积和体积分别 为 ( )
4 A. 2 2? ? 2? ? 4和 ? 3 4 C. 2 2? 和 ? 3

4 B. 2 2? ? 2? 和 ? 3
8 D. 2 2? 和 ? 3

7.设曲线 y ? x ? 1 在点 ( x , f ( x )) 处的切线的斜率为 g ( x ) ,
2

则函数 y ? g ( x)cos x 的部分图象可以为





8.已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 0 , a1 ? 1, 且 a1 , a3 , a13 成等比数列,若 Sn 是数列 ?an ? 的前 n 项和,则 A.4 9.设 F1 , F2 是双曲线
2 Sn ? 14 的最小值为( an ? 3

) C. 4 2 ? 2 D.

B. 3

11 3

x2 y 2 ? ? 1(a, b ? 0) 的左右两个焦点,若在双曲线右支上存在一点 P , a2 b2


使 OP ? OF2 ? F2 P ? 0 (O 为坐标原点), 且 PF1 ? 3 PF2 , 则双曲线的离心率为 (
2

?

?

A.

5 ?1 2

B.

5 ?1

C.

3 ?1

D.

3 ?1 2

x 10.设 x∈R,若函数 f ( x ) 为单调递增函数,且对任意实数 x,都有 f ? ? f ( x) ? e ? ? ? e ?1

(e 是自然对数的底数) ,则 f (ln 2) 的值等于( A. 1 B.e+l

) D. e+3

C.3

二、填空题:本大题有 7 小题,每小题 4 分,共 28 分. 11.在某个样本的频率分布直方图中,共有 7 个小矩形,已知最中间的一个矩形的面积是 其他 6 个矩形面积的

1 ,又知样本容量为 80,则最中间一组的频数是__________ 4

12 . 从 集 合 A ? ??1, 1, ? 2中随机选取一个数记为 k,从集合
B ? ??2,1,2? 中随机选取一个数即为 b,则直线 y ? kx ? b 不经过第

三象限的概率为_______________ 13. 如右图,此程序框图的输出结果为__________ 14. 在△ ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,若 a 2 ? b 2 ? 则直线 ax ? by ? c ? 0 被圆 x 2 ? y 2 ? 9 所截得的弦长为
2 2

1 2 c , 2


15.已知 a ? 0, b ? 0 , ?a ? 1??b ? 1? ? 1 ,则 (a ? 1)(b ? 1) 的最小值为

?x ? 1 ? 16. 已知实数 x , y 满足 ? x ? y ? 4 ,且目标函数 z ? 2 x ? y 的最大值为 6,最小值 ? ax ? by ? c ? 0 ?
为 1,[ 其中 b ? 0, 则

c 的值为___________ b
,则实

? 17.在等边三角形 ABC 中,点 P 在线段 AB 上,满足 AP ? ? AB ,若 CP ?AB ?PA PB

数 ? 的值为_____________ 三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分,解答应写出文字说明、证明过程或算步骤。 18. (本小题满分 14 分) 在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,已知 tan A = (Ⅰ)求

sinC ,c=3. 2 ? cos C

b ; a
3

(Ⅱ)若三角形△ABC 的面积为 3,求 cosC.

19. (本小题满分 14 分) 若一个数列的奇数项与偶数项分别都成等比数列,则称该数列为“亚等比数列” 。已知 数列 ?an ? : an ? 2? 2 ? , n ? N ? ,其中 ? x ? 为 x 的整数部分,如: ?5.9? ? 5, ??1.2? ? ?2 。 (1) 求证: ?an ? 为“亚等比数列” ,并写出通项公式; (2) 求 ?an ? 的前 2014 项和 S2014 。
?n? ? ?

20. (本小题满分 14 分) 如图,在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,∠BAC= 90 ? ,AB=AA1 =2.E 是 BB1 的中点,且 CE 交 BC1 于点 P,点 Q 在线段 BC 上,CQ=2QB. (Ⅰ)证明:CC1∥平面 A1PQ; (Ⅱ)若直线 BC⊥平面 A1PQ,求直线 A1Q 与平面 BCC1B1 的所成角的余弦值. C 21. (本小题满分 15 分) Q P E A1 C1 D B1

A 1 2 (第 20 题图) 已知函数 f ( x) ? ? a ln x ? (a ? 1) x ? x (a ? 0) 2 (1)若 x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点,求函数 f ( x) 的单调递减区间; 1 2 (2)若 f ( x) ? ? x ? ax ? b 恒成立,求实数 ab 的最大值. 2 22. (本小题满分 15 分) 已知直线 l : y ? 2 x ? 2 与抛物线 M : y ? x2 的切线 m 平行. (I)求切线 m 的方程和切点 A 的坐标; (II)若点 P 是直线 l 上的一个动点,过点 P 作抛物 线 M 的两条切线,切点分别为 B 、C ,同时分别与切线 m 交于点 E 、 F .试问: 若不是,则说明理由。

B

S?ABC 是否为定值?若是,则求之; | EF |

4

2013 年慈溪中学高考适应性考试

数学(文)参考答案
一、选择题(每小题 5 分,共 50 分) 1-5: BAB D D 6-10: A AD C C 二、填空题(每小题 4 分,共 28 分) (11)16 (15)9 (12)

2 9

(16) 4

4 9 2? 2 (17) 2
(13)

(14) 2 7

三、解答题(本大题共 5 小题,共 72 分.) 18.解: (Ⅰ) 由题, 由正弦定理得,

sin A sinC = , 即有 2sin A= sinA cos C + sinC cos A= sinB cos A 2 ? cos C
????????????????????7 分

b ?2; a

? a 2 sin C ? 3 ? (Ⅱ)有 ? a 2 ? 4a 2 ? 9 , cos C ? ? 4a 2 ?
利用 sin 2 c ? cos2 c ? 1 ,解得 a 2 ? 5 解得 cos C =

???????????10 分

?????????????13 分 ?????????????14 分

4 . 5

20.解: (Ⅰ)在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中,△BEP≌ △C1CP,且 E 是 BC 的中点 ∴

CP 2 CQ ? ? ,∴PQ∥EB∥C1C,又 PQ ? 平面 A1PQ,C1C ? 平面 A1PQ PE 1 BQ

∴CC1∥平面 A1PQ; ??????????????????6 分 (Ⅱ)由(Ⅰ)PQ∥C1C,∴PQ∥A1A ,∴BC⊥平面 A1PQA,∴BC⊥AQ 又∵∠BAC= 90 ? ,CQ=2QB,∴AC= 2 2 ,AQ=

2 6 3

??8 分

5

延长 QP 至与 C1B1 相交于点 H,连接 A1H, A1Q ∵C1C⊥AQ,∴AQ⊥平面 BCC1B1, 又 PQ∥A1A,且 HQ= A1A ∴四边形 A1AHQ 是平行四边形 ∴A1H∥AQ ∴A1H⊥平面 BCC1B1, ∴直线 A1Q 与平面 BCC1B1 的所成角即为∠A1QH,?12 分

C1 D A1

H D

B1

QH ? ∴cos∠A1QH= A1Q

15 ? . ??14 分 2 2 5 AQ ? AA1
A

QH

C Q

P

E

B

(第 20 题图)

21 解: (1) f ?( x) ? ?

a ? x 2 ? (a ? 1) x ? a ( x ? a)(? x ? 1) ? a ?1? x ? ? , x x x x ? 1 是函数 f ( x) 的极大值点,? 0 ? a ? 1 , ? 函数 f ( x) 的单调递减区间为 (0, a),(1, ??) . 1 2 (2) f ( x) ? ? x ? ax ? b 恒成立, 2 1 1 ??a ln x ? (a ? 1) x ? x 2 ? ? x 2 ? ax ? b 恒成立, 2 2 即 a ln x ? x ? b ? 0 恒成立, a a?x 令 g ( x) ? a ln x ? x ? b( x ? 0), g ?( x) ? ? 1 ? , x x ? g ( x) 在 (0, a ) 上递增, (a, ??) 上递减, ? g ( x)max ? g (a) ? a ln a ? a ? b ? 0 ,

?b ? a ? a ln a,?ab ? a2 ? a2 ln a , 2 2 令 h( x) ? x ? x ln x( x ? 0) , h?( x) ? x ? 2 x ln x ? x(1 ? 2ln x) ,Ks5u
? h( x) 在 (0, e ) 上递增,在 (e , ??) 上递减,? h( x) max ? h(e ) ?
e ? 实数 ab 的最大值为 . 2
1 2 1 2
1 2

e e ,? ab ? , 2 2

2 22.解: (I)设切点 A( x0 , x0 ) ,切线斜率 k ? 2 x0 ,? 2 x0 ? 2, x0 ? 1

? A(1,1) ,切线 m 的方程为 y ? 2 x ? 1 ……..3 分
(II)设 P( s, t ) ,切点 B( x1 , x1 ) , C ( x1 , x2 ) ∵ y? ? 2 x ,∴切线 PB , PC 的方程分别是 y ? 2x1x ? x1 , y ? 2x2 x ? x2
2 2 2 2

6

x ?x ? ? y ? 2 x1 x ? x12 x1 ? x2 ?s ? 1 2 , x1 x2 ) ,即 ? 联立方程组 ? 得交点 P ( 2 2 2 y ? 2 x x ? x ? 2 2 ? t ? x ? 1 x2
∵点 P 在直线 l : y ? 2 x ? 2 上,即 t ? 2 s ? 2 , 2 s ? t ? 2 又∵直线 BC 的方程为 y ? ( x1 ? x2 ) x ? x1 x2 ? 2sx ? t ∴点 A(1,1) 到直线 BC 的距离 d ? ??????7 分

| 2s ? 1 ? t | 1 ? 4s
2

?

1 1 ? 4s 2

又由 ?

? y ? 2sx ? t 2 得 x ? 2sx ? t ? 0 2 ? y?x

2 ∴ | BC |? 1 ? 4 s | x1 ? x2 |

∴ S?ABC ?

1 1 | BC | d ? | x1 ? x2 | 2 2

??????????11 分

? y ? 2 x1 x ? x12 x ?1 x ?1 , x1 ) ,同理可得交点 F ( 2 , x2 ) 又由联立方程组 ? 得交点 E ( 1 2 2 ? y ? 2x ?1
∴ | EF |?

S 5 5 | x1 ? x2 | ∴ ?ABC ? 2 | EF | 5

?????????????15 分

7


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